精品解析：2026年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考前模拟数学试题

初2023级数学第三次模拟考试问卷 满分：120分时量：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列几何体中，左视图是三角形的为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．圆锥的左视图是三角形，故本选项符合题意； B．球的左视图是圆，故本选项不符合题意； C．正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意； D．三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故计算错误； B、，计算正确； C、，故计算错误； D、，故计算错误． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、若，则或，不能得到，故此选项不符合题意； B、若，则，即，不能得到，故此选项不符合题意； C、若，则或，不能得到，故此选项不符合题意； D、若，则，故此选项符合题意． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 C. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，明天下雨的结果不确定，属于随机事件，说法正确，不符合题意； B选项，折线统计图适合反映数据的变化趋势，描述一周最高气温的变化适宜用折线统计图，说法正确，不符合题意； C选项，调查长江中现有鱼的种类，调查范围广 工作量大，无法进行全面普查，适宜采用抽样调查，说法错误，符合题意； D选项，方差越小数据越稳定，，因此乙组数据更稳定，说法正确，不符合题意． 6. 已知点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点A所在象限得到m，n的取值范围，再推导点B横纵坐标的符号，即可判断点B所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0． ∴，． ∴ ，． ∵第三象限内点的横坐标和纵坐标都小于0． ∴点在第三象限． 7. 含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 先根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，再根据三角形内角和定理求出，即可求出，接下来求出，然后根据“两直线平行同位角相等”得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 8. 下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：反比例函数为，可得． A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意； D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意． 9. 正方形的一条对角线之长为4，则此正方形的面积是（ ） A. 16 B. 4 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】∵正方形的一条对角线长为4， ∴这个正方形的面积=×4×4=8， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键． 10. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＜ 【解析】 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小， 点，都在该一次函数的图象上，且， . 13. 某企业在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为95分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为_______分． 【答案】 【解析】 【详解】解：小李的最终成绩为（分）． 14. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】在中，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：由题意得海里，，，， ∴， ∴在中，（海里） 即P处与B处的距离约是海里． 15. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物的高度为 （cm）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 16. 已知任意两个非零实数a，b满足，小玲说可以得到．下面为小玲给出的证明过程： ， ，第①步 即，第②步 ，第③步 即，第④步 两边开平方，得，第⑤步 ．第⑥步 以上证明过程中，开始出现错误的是第_____步． 【答案】⑤ 【解析】 【分析】根据平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此判断证明过程中出错的步骤即可． 【详解】解： 当得到时，两边开平方应该得到或． 因此开始出现错误的是第⑤步． 三、解答题（第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的； （2）画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留） 【答案】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图，为所求． 线段扫过的图形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据平移的方向和距离作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可．线段扫过的图形为以为半径，圆心角为的扇形，根据扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得， 线段扫过的图形的面积为． 20. 为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：A．胡耀邦故里旅游区：B．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；C．稻花香里农耕文化园；D．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． （1）在本次调查中，一共抽取了_________名学生； （2）请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为__________； （3）此次研学小明和小华同学都参加，请用列表法或树状图法求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率． 【答案】（1）40 （2）补全条形统计图如图所示， ， （3） 【解析】 【分析】（1）利用A选项的人数除以其占比即可求解； （2）根据抽取的总人数求出B选项的人数，再补全统计图即可，用乘以B项的占比即可求解圆心角； （3）画树状图得出所有等可能的结果数和小明和小华恰好去同一个研学基地的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查中，一共抽取的学生为（名）； 【小问2详解】 解：B选项的人数为， 补全条形统计图略； B选项所在扇形的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 总共有16种等可能的结果，小明和小华恰好去同一个研学基地的情况有4种， ∴小明和小华恰好去同一个研学基地的概率为． 21. 如图，在中，于D，于E，与相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可证明； （2）由（1）可得，，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 22. 为了丰富同学们的校园生活，五一返校我校举行了第二届数学节，采购了文件夹和帆布袋作为一等奖的奖品．已知购买10个文件夹和20个帆布袋需要280元，购买15个文件夹和10个帆布袋需要220元． （1）求文件夹和帆布袋的单价分别是多少？ （2）我校计划共准备200份一等奖的奖品，预支总费用不超过1800元，且文件夹的数量不超过帆布袋数量的3倍．请问共有几种购买方案？最省钱的方案所需费用是多少？ 【答案】（1）文件夹单价为8元，帆布袋单价为10元。 （2）共有51种购买方案，最省钱的方案所需费用为1700元。 【解析】 【分析】（1）设文件夹的单价为元，帆布袋的单价为元. 根据购买10个文件夹和20个帆布袋需要280元，购买15个文件夹和10个帆布袋需要220元可列二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买文件夹个，则购买帆布袋个，为整数. 根据题意列不等式组，求出文件夹数量的取值范围，统计整数解的个数得到购买方案的数量，再根据总费用与文件夹数量的变化关系求出最小费用． 【小问1详解】 解：设文件夹的单价为元，帆布袋的单价为元. 根据题意得 ， 解得， 答：文件夹单价为8元，帆布袋单价为10元； 【小问2详解】 解：设购买文件夹个，则购买帆布袋个，为整数. 根据题意列不等式组：  解不等式组得解集为，为整数， 可取值的个数为，即共有51种购买方案. 设总费用为元，则， 因为， 所以随的增大而减小， 当取最大值150时，（元） 答：共有51种购买方案，最省钱的方案所需费用是1700元． 23. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，E，F分别是边和对角线上的点，连接，，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，则由等边对等角和平行线的性质可推出，再证明，即可证明； （2）解直角三角形可得，设，则，由相似三角形的性质可得，据此列式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于和两点，其中，与y轴交于点C，顶点为D，． （1）若，，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点P为抛物线的对称轴上一点，且在x轴上方，，求点P的坐标； （3）若直线与x轴交于点E，求证：平分． 【答案】（1） （2） （3）证明：∵抛物线与x轴交于和两点， ∴，是方程的两个实数根， ∴，． ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为， 抛物线与y轴交点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴点E的坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， 由（1）有，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）有， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）先证明，根据相似三角形的性质求出，得到点C的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）由抛物线解析式可得对称轴为直线，设对称轴与轴交点为，则，且是的中点，由得到点、、、四点共圆，因此，可得点P的坐标； （3）根据抛物线与x轴交于和两点得到，．根据抛物线解析式得到顶点，与y轴交点，运用待定系数法求出直线的解析式为，进而得到，因此，，因此，即可证明，得到，又，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ． ， ， 即， ， ， ， ， ，即， ， ． 抛物线过点， ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解∶∵抛物线 ∴抛物线对称轴为直线， 设对称轴与轴交点为，则，且是的中点， ． ， ∴点、、、四点共圆， ， 是直径，点是圆心，半径， ， 点在对称轴上，即， ． 【小问3详解】 略 25. 定义：若三角形的一条中线的长等于这个三角形的一条边的长，则称这个三角形为“圆梦三角形”，这条中线叫做这条边的“圆梦线” （1）判断下列说法是否正确：（正确的打“√”，错误的打“×”） ①等边三角形都是“圆梦三角形”．（ ） ②含角的直角三角形是“圆梦三角形”．（ ） ③若一个等腰三角形是“圆梦三角形”，则其底角的正切值为2或．（ ） （2）如图1，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接、、，，求证：是“圆梦三角形”； （3）如图2，是“圆梦三角形”，为边的“圆梦线”，过A、D、C三点的与交于点E，连接，设． ①若的半径为r，求的值（用含x的式子表示）； ②若、、的面积分别记为、、，且满足，求的值． 【答案】（1）①×；②√；③× （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是的边上的中线； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是“圆梦三角形”； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）①求出等边三角形的中线与其边长的关系即可得到结论；②在含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半，而斜边上的中线也等于斜边的一半，据此可得结论；③分三种情况：等腰三角形底边上的中线等于底边，等腰三角形腰上的中线等于底边，等腰三角形腰上的中线等于腰，分别画出示意图讨论求解即可得到结论； （2）证明，得到，，则，证明垂直平分，得到，则，据此可证明是“圆梦三角形”； （3）①过点O作于点M，连接，可证明A，O，M三点共线；设，则，解直角三角形得到，则；由勾股定理得，则可得到，据此可得答案；②由题意得是边上的中线，则，可推出，根据，可推出，即；设，则，则，，同理可得，由勾股定理得；证明，推出，则，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①如图所示，在等边中，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴不是“圆梦三角形”，故原说法错误； ②如图所示，在中，，为边上的中线， ∴， ∴， ∴是“圆梦三角形”，故原说法正确； ③如图所示，在等腰中，是边上的中线， ∴， ∵是“圆梦三角形”，且， ∴， ∴； 如图所示，在等腰中，是边上的中线，且时， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 如图所示，过点A作于点H， ∴， ∴， ∴； 如图所示，在等腰中，是边上的中线，且时， 过点A作于点M，过点D作于点N， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，若一个等腰三角形是“圆梦三角形”，则其底角的正切值为2或或，故原说法错误； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图所示，过点O作于点M，连接， ∴； ∵是“圆梦三角形”，为边的“圆梦线”， ∴， ∴， ∴，即A，O，M三点共线； 设，则， 在中，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ②∵是“圆梦三角形”，为边的“圆梦线”， ∴是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 设，则， ∴，， 同理可得， 在中，由勾股定理得； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级数学第三次模拟考试问卷 满分：120分时量：120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列几何体中，左视图是三角形的为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 明天下雨是随机事件 B. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 C. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 6. 已知点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 9. 正方形的一条对角线之长为4，则此正方形的面积是（ ） A. 16 B. 4 C. 8 D. 8 10. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 9的算术平方根是_____． 12. 如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 13. 某企业在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为95分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为_______分． 14. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 15. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 16. 已知任意两个非零实数a，b满足，小玲说可以得到．下面为小玲给出的证明过程： ， ，第①步 即，第②步 ，第③步 即，第④步 两边开平方，得，第⑤步 ．第⑥步 以上证明过程中，开始出现错误的是第_____步． 三、解答题（第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的； （2）画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留） 20. 为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：A．胡耀邦故里旅游区：B．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；C．稻花香里农耕文化园；D．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． （1）在本次调查中，一共抽取了_________名学生； （2）请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为__________； （3）此次研学小明和小华同学都参加，请用列表法或树状图法求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率． 21. 如图，在中，于D，于E，与相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 22. 为了丰富同学们的校园生活，五一返校我校举行了第二届数学节，采购了文件夹和帆布袋作为一等奖的奖品．已知购买10个文件夹和20个帆布袋需要280元，购买15个文件夹和10个帆布袋需要220元． （1）求文件夹和帆布袋的单价分别是多少？ （2）我校计划共准备200份一等奖的奖品，预支总费用不超过1800元，且文件夹的数量不超过帆布袋数量的3倍．请问共有几种购买方案？最省钱的方案所需费用是多少？ 23. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，E，F分别是边和对角线上的点，连接，，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于和两点，其中，与y轴交于点C，顶点为D，． （1）若，，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点P为抛物线的对称轴上一点，且在x轴上方，，求点P的坐标； （3）若直线与x轴交于点E，求证：平分． 25. 定义：若三角形的一条中线的长等于这个三角形的一条边的长，则称这个三角形为“圆梦三角形”，这条中线叫做这条边的“圆梦线” （1）判断下列说法是否正确：（正确的打“√”，错误的打“×”） ①等边三角形都是“圆梦三角形”．（ ） ②含角的直角三角形是“圆梦三角形”．（ ） ③若一个等腰三角形是“圆梦三角形”，则其底角的正切值为2或．（ ） （2）如图1，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接、、，，求证：是“圆梦三角形”； （3）如图2，是“圆梦三角形”，为边的“圆梦线”，过A、D、C三点的与交于点E，连接，设． ①若的半径为r，求的值（用含x的式子表示）； ②若、、的面积分别记为、、，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $