精品解析：2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考三模数学试题

数学试卷 一、单选题 1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上，则记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若气温为零上，则记作，则表示气温为零下． 故选：D． 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面可看，可得如下图形： 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法以及积的乘方判断即可． 【详解】A.不是同类项，不能合并，该选项错误； B.，该选项正确； C. 不是同类项，不能合并，该选项错误； D.，该选项错误. 故选：B 【点睛】此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 计算的结果为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，牢记分式加减的运算法则是解题的关键． 根据分式加减的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 5. 如图，在中，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分，据此判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据四边形是平行四边形无法得出， ∴选项B、C、D结论成立，选项A结论不一定成立， 故选：A． 6. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 同位角相等 B. 若，那么 C. 的立方根是 D. 直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题、平行线的性质、立方根的定义和一次函数图象的平移等知识； 根据平行线的性质、乘方的意义、立方根的定义和一次函数的平移规律逐项判断即可得解. 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； B、若，那么，故原命题是假命题； C、的立方根是，故原命题是真命题； D、直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象，故原命题是假命题； 故选：C 7. 某校收集了写作兴趣小组19名同学2024年这一年的课外阅读量，并绘制了如图所示的折线统计图，这19名学生2024年这一年的课外阅读量的众数是（ ） A. 2本 B. 3本 C. 4本 D. 5本 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，求众数，读懂统计图，掌握众数的定义是解题的关键． 众数值一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义结合统计图就可以求解． 【详解】解：由统计图可得，阅读4本的人数最多， ∴这19名学生2024年这一年的课外阅读量的众数是4， 故选：C． 8. 如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（ ） A. 0平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】C 【解析】 【分析】本考查了完全平方公式的几何应用，关键是完全平方公式的熟练运用．根据面积之差，利用完全平方公式可得结果． 【详解】解：由题可得阴影部分面积为：， 故选：C． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点， ， ， 故选：C． 10. 如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 0.5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴ 故选：A． 二、填空题 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ 即 故答案为：． 12. 若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性是关键． 根据一次函数解析式得到一次函数图象中随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：一次函数中，， ∴一次函数图象中随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： ． 13. 在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求得反比例函数的解析式成为解题的关键． 设该函数的解析式为，将A点代入即可求得k，然后求得当动力为时的函数值即可． 【详解】解：设该函数的解析式为，将A点代入可得：， 解得：， ∴设该函数的解析式为， 当时，． 故答案为：10． 14. 如图，一个英文字母对应一个有序数对，例如字母对应，则有序数对，，，，对应的字母恰好为一个英文单词，这个单词为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有序数对，根据题目所给有序数对，得出相应位置的字母，即可得出代表的英文单词能准确根据所给的坐标得出点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵有序数对对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是，对应的字母是， ∴这个单词为， 故答案为：． 15. 某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在，则袋中红色球是______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，正确理解频数与频率的关系是解题的关键根据“频数总数频率”计算即可． 【详解】解：∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在， ∴袋中红色球是个， 故答案为：． 16. 已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出； （3）当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，平行四边形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点C和的坐标可得平移方式为向右平移7个单位长度，向下平移6个单位长度，据此得到的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和旋转角度结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出，并顺次连接即可； （3）根据平行四边形对角线中点坐标相同列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形为平行四边形，，，， ∴， ∴， ∴． 20. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； （2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． （3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 【答案】（1）50， 补全条形统计图如图所示： （2）2.5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上档的百分比，即可作答． （2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答． （3）依题意，得出档有名男学生，有名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（名） ∴本次调查中，共调查了50名学生； 则（名） ∴（名） 则档有名男学生，有名女学生, 【小问2详解】 解：依题意， （名） 本次调查的男学生的总人数是23名 ∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名， ∵ ∴第名位于C档 ∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9． 则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时， 故答案为2.5； 【小问3详解】 解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种， ． 21. 如图，在中，点是边上一点，且． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求一个角的正切值，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先结合等腰三角形的三线合一，得，则，再把数值代入进行化简，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴在中，． 【小问2详解】 解：∵ ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 则． 22. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】（1）中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． （2）应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．熟练掌握用二元一次方程组解决实际问题的方法以及一次函数的性质是解题的关键． （1）设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据“辆中级型汽车、辆紧凑型汽车的进价共计万元”和“辆紧凑型汽车比辆中级型汽车的进价少万元”这两个条件，可以列出二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进货单价． （2）首先根据已知条件表示出购进紧凑型汽车的数量为辆．然后根据利润的计算方法，分别表示出中级型汽车和紧凑型汽车每辆的利润，进而得出总利润关于的函数表达式．再根据“购进中级型汽车的数量不低于辆”确定的取值范围．最后根据一次函数的性质，求出的最大值以及此时的值，从而确定购进两种型号汽车的数量． 【小问1详解】 解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 将两式相加得：，解得． 把代入得：，，解得． 答：中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 【小问2详解】 解：购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车． 中级型汽车每辆的利润为万元，紧凑型汽车每辆的利润为万元． ． 因为，且中，随的增大而减小． ∴当时，有最大值，（万元），（辆）． ∴应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 23. 如图，在中，，，O是上一点，，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，与相交于点F． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、等腰与等边三角形判定及性质、相似三角形判定与性质、三角形及扇形面积公式；关键在于利用切线性质和平行线得到相似三角形，结合角度与边长关系逐步求解． （1）连接，，利用切线性质得，结合，证． 由三角形内角和求出，根据证是等边三角形，得．利用中角性质，设表示、，再由列方程求出，最后用得出结果． （2）由是等边三角形得度数，进而求出，根据相似三角形性质和已求边长算出，在中用勾股定理求出，计算，确定扇形圆心角和半径，计算，用得出阴影部分面积． 【小问1详解】 连接，， ∵圆与相切于点， ∴． ∴， ∴， ∴． 在中，，， ． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 设， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即． ∴． 【小问2详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴，． 在中，，， ∴ ∴． ∴． 扇形的圆心角，半径． ． 阴影部分面积． 24. 我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各小题． （1）判断下列函数是否为“函数”，若是，在括号里打“”；若不是，则打“”． （ ）； （ ）； （ ）． （2）是否存在，两点，既是一次函数上的“点”，又是二次函数上的“点”？若存在，求出，的坐标（可用表示）；若不存在，说明理由． （3）若关于x的二次函数（是常数），同时满足下列三个条件：，，该函数截x轴得到的线段长度为，证明该函数是“函数”并求出的值． 【答案】（1）；；； （2） 不存在，理由： 设，，分别代入得，， 解得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴不存在，两点； （3） 证明：∵， ∴，， 令，，设两个根为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，符合题意； 当时，，与矛盾，不符合题意； ∴关于的二次函数， 设，， ∴， 得：，得， ∴， ∴，或，， ∴该函数是“函数”． ， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，原点对称，掌握新定义及相关函数的性质是解题的关键． （）根据“函数”定义即可求解； （）设，，分别代入得，，解得，代入求出，，不符合题“函数”定义； （）由，则有，，令，，设两个根为，则，∴，解得或，当时，符合题意；当时，，与矛盾不，符合题意；再代入求出，或，即可求解． 【小问1详解】 解：设函数图象上存在两点，关于原点对称， 将，分别代入联立得， ，方程组无解， 故答案为：； 设函数图象上存在两点，，显然两点关于原点对称， ∴为“函数”， 故答案为：； 设函数图象上存在两点，关于原点对称， 将，分别代入联立得， ，方程组无解， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 我们规定：中，过任意一边上一点作另一边的平行线交第三边于一点，则称这两个点之间的线段为的“等位线”，特殊地：如果这两个点都是中点，则为C的“中位线”．例如：如图所示，D为上一点，E为上一点，且，我们称为的“等位线”． （1）若且D为的中点，“等位线”，则的长为______； （2）若，点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿向点A运动，记x秒时“等位线”的长度为y，当时，写出y关于x的函数关系式； （3）若的“等位线”，连接，设面积为m，的面积为n，求出的最大值及此时D的位置． 【答案】（1） （2）当点E在上时，，当点E在上时，； （3）的最大值为，此时点D为的中点 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，正确理解题意是解题的关键． （1）证明，可得，据此可得答案； （2）分点E在上和点E在上，两种情况讨论求解即可； （3）证明，得到；设，则，则，根据， 得到，据此可得，则，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∵是的“等位线”， ∴当点E在上时，则， ∴ ， ∴，即， ∴； 当点E在上时，则， ∴， ∴，即， ∴； 综上所述，当点E在上时，，当点E在上时，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴； 设，则， ∵的面积为n， ∴， ∵，面积为m， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当长度固定，点D在上运动时，当时，有最大值，最大值为； ∴的最大值为，此时点D为的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、单选题 1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上，则记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. 0 B. C. D. 5. 如图，在中，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 同位角相等 B. 若，那么 C. 的立方根是 D. 直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象 7. 某校收集了写作兴趣小组19名同学2024年这一年的课外阅读量，并绘制了如图所示的折线统计图，这19名学生2024年这一年的课外阅读量的众数是（ ） A. 2本 B. 3本 C. 4本 D. 5本 8. 如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为m米，n米，则阴影部分面积为（ ） A. 0平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 0.5 D. 二、填空题 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 12. 若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：________（填“”，“”或“”）． 13. 在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为______． 14. 如图，一个英文字母对应一个有序数对，例如字母对应，则有序数对，，，，对应的字母恰好为一个英文单词，这个单词为______． 15. 某口袋中有红色、黄色、黑色的小球共个，这些小球除颜色外都相同，通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在，则袋中红色球是______个． 16. 已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； （2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，请作出； （3）当四边形为平行四边形时，请直接写出点D的坐标． 20. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； （2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． （3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 21. 如图，在中，点是边上一点，且． （1）求的长． （2）求的值． 22. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 23. 如图，在中，，，O是上一点，，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，与相交于点F． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 24. 我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各小题． （1）判断下列函数是否为“函数”，若是，在括号里打“”；若不是，则打“”． （ ）； （ ）； （ ）． （2）是否存在，两点，既是一次函数上的“点”，又是二次函数上的“点”？若存在，求出，的坐标（可用表示）；若不存在，说明理由． （3）若关于x的二次函数（是常数），同时满足下列三个条件：，，该函数截x轴得到的线段长度为，证明该函数是“函数”并求出的值． 25. 我们规定：中，过任意一边上一点作另一边的平行线交第三边于一点，则称这两个点之间的线段为的“等位线”，特殊地：如果这两个点都是中点，则为C的“中位线”．例如：如图所示，D为上一点，E为上一点，且，我们称为的“等位线”． （1）若且D为的中点，“等位线”，则的长为______； （2）若，点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿向点A运动，记x秒时“等位线”的长度为y，当时，写出y关于x的函数关系式； （3）若的“等位线”，连接，设面积为m，的面积为n，求出的最大值及此时D的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $