精品解析：2026年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多校中考考前模拟数学试题

2026年龙江县初三教学质量监测数学试卷 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 为进一步弘扬团结互助、友善待人的优良风尚，某校五四青年节表彰增设“友爱之星”荣誉评选．校美术社团为此精心设计“友爱之星”徽章如下，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该几何体所用小立方块的个数为n，则n的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 8 D. 10 6. 紫色石蕊溶液是一种常见酸碱指示剂，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇中性溶液仍为紫色，遇碱性溶液变成蓝色．实验桌上有三瓶因标签被污染而无法分辨的无色溶液：蒸馏水（呈中性）、稀盐酸溶液（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小明将紫色石蕊溶液随机滴入两瓶溶液中，这两瓶溶液恰好变成一红一蓝的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 某工作小组为了节省午饭时间，订了26盒盒饭，共花费180元，盒饭共有A，B，C三种套餐（每种套餐都要订购），它们的单价分别为10元、8元、6元，则不同的订餐方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9. 如图，在中，，，．点D为的中点，交于点，连接，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 随着国产硬核机车品牌崛起，“张雪机车”凭借硬核自研技术、为国争光的赛场实力圈粉无数，全网累计粉丝量约为3260万人，将数据3260万用科学记数法表示为________． 12. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥（接缝忽略不计），则该圆锥的底面圆的半径为__________． 13. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点；再以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若，则的度数为______． 14. 如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 15. 如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行轴，直线交轴于，连接，，双曲线经过点，若的面积为1，则k的值为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点，，，…，均在直线上，点，，…在轴正半轴上．则点的坐标是__________． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算与因式分解 （1）计算：． （2）因式分解：． 18. 解不等式组，并写出它的正整数解． 19. 解方程：． 20. 【新情境AI智能教学】某科技公司研发的AI智能教学助手“智学伴”上线试运行后，受到广泛关注．为收集用户反馈，研发团队随机抽取了60名线下的试用者进行满意度评分，同时统计了4000名线上注册用户的使用评分（满分10分），并根据得分绘制了不完整的统计图和统计表： 两个用户群体对“智学伴”AI教学助手评分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 线下 7.7 8 m 线上 a b 7 （1）依据题意可得_________，_________，_________； （2）请你补全统计图，计算出线上注册用户评分不低于8分的总人数； （3）研发团队的产品经理认为线上用户群体对“智学伴”教学助手的打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 21. 如图，在中，，以为直径作交于点D，过点O作的平行线，交于点E，作射线交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 在一条笔直的公路上依次有三地，甲车从地出发匀速行驶到地，停留小时后掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速到达地，同时乙车从地出发匀速行驶到地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的距离（单位：千米）与甲车行驶时间（单位：小时）之间的函数图像如图所示，请结合图像解决下列问题： （1）乙车的速度为________千米/时，地与地之间的距离为________千米； （2）求甲车从地返回到地过程中与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在两车行驶过程中，甲车行驶多长时间甲、乙两车距地的距离相等？请直接写出答案． 23. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 24. 如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为； ①用含的代数式表示线段的长； ②求的最大值及此时点的坐标； （3）现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年龙江县初三教学质量监测数学试卷 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照定义先求出的相反数，再计算该相反数的倒数即可得到结果． 【详解】解：的相反数为， 的倒数为， ∴的相反数的倒数是． 2. 为进一步弘扬团结互助、友善待人的优良风尚，某校五四青年节表彰增设“友爱之星”荣誉评选．校美术社团为此精心设计“友爱之星”徽章如下，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，是轴对称图形，不是中心对称图形； B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形； C选项，是轴对称图形，不是中心对称图形； D选项，既是轴对称图形又是中心对称图形 ． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的法则逐一判断选项即可． 【详解】A．合并同类项时，系数相加，字母和指数不变， ，故A错误； B． 幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负数的偶次幂为正， ，故B正确； C． 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ，故C错误； D．单项式乘单项式，系数相乘，相同字母相乘， ，故D错误． 4. 如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方形对边平行，得，故；由折叠的性质得，再结合以及平角的定义，列方程求解得出，进而求得的度数． 【详解】解： 四边形是长方形， ， ． 由折叠的性质可知，， ． ，且， ， 即， ， ， ， ∴ ∴． 5. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该几何体所用小立方块的个数为n，则n的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据主视图、俯视图，可以得出最少时，在俯视图的相应位置上所摆放的个数，其中的一种情况如下： 最少时需要9个， 因此n的最小值为9． 6. 紫色石蕊溶液是一种常见酸碱指示剂，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇中性溶液仍为紫色，遇碱性溶液变成蓝色．实验桌上有三瓶因标签被污染而无法分辨的无色溶液：蒸馏水（呈中性）、稀盐酸溶液（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小明将紫色石蕊溶液随机滴入两瓶溶液中，这两瓶溶液恰好变成一红一蓝的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将三瓶溶液分别标记：A为稀盐酸（遇石蕊变红），B为氢氧化钠溶液（遇石蕊变蓝），C为蒸馏水（遇石蕊呈紫色）． 列表如下： 共6种情况，其中满足“两瓶溶液恰好变成一红一蓝”的情况有2种， ∴这两瓶溶液恰好变成一红一蓝的概率是． 7. 若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先按解分式方程的步骤求出关于的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列不等式组求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：原分式方程变形为： 方程两边同乘（分母不为0，因此）去分母得： 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴ 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的取值范围为且． 8. 某工作小组为了节省午饭时间，订了26盒盒饭，共花费180元，盒饭共有A，B，C三种套餐（每种套餐都要订购），它们的单价分别为10元、8元、6元，则不同的订餐方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】C 【解析】 【分析】此题综合考查了方程组和不等式，能够根据不等式组求得未知数的取值范围，从而分析得到所有的情况是解题的关键．通过设未知数，利用总盒数和总花费列方程，消元后得到二元一次方程，根据未知数均为正整数的要求，找出所有符合条件的解，统计方案数即可． 【详解】解：设订A套餐盒，B套餐盒，C套餐盒，均为正整数， 根据题意得 由第一个方程得 ， 代入第二个方程得： 整理得 将代入，得 ∵每种套餐都要订购， ∴，，，且为正整数， 由，得， 又， ∴可取，共个不同值，对应种不同的订餐方案． 9. 如图，在中，，，．点D为的中点，交于点，连接，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在中由勾股定理求出的长度，再利用为中点，，求出、的长度，利用直角三角形斜边中线性质求的长度，结合两点的运动速度，计算出点在各段折线上的运动时间和总运动时间，确定分三段讨论，第一段点在上时，过点作的垂线，通过证明三角形相似求出高的表达式，代入三角形面积公式得到开口向上的二次函数，函数图像从左往右上升；第二段点在上时，利用平行线间距离相等得出点到的距离为定值，代入面积公式得到一次函数，函数图像为从左往右上升的线段；第三段点在上时，用线段和差求出点到的距离，代入面积公式得到开口向下且图像为从左往右下降，最后根据三段函数对应的图像特征，即可匹配出正确的函数图像． 【详解】解：在中，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，是斜边中点 ∴， ∵点速度为单位/秒，点速度为单位/秒， ∴点在上运动时间为秒，在上运动时间为秒，在上运动时间为秒，总运动时间为秒，与点到达点时间一致，故分三段讨论： ①当时， 点在上，，如图，过点作于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，解得， ∵， ∴ ， ∵，对称轴为轴， ∴此段为开口向上的抛物线在第一象限的部分，图像为从左往右上升的曲线； ②当时，点在上， ∵，， ∴，点到的距离恒为， ∵ ∴， ∵， ∴此段为一次函数，随增大而增大，图像为从左往右上升的线段； ③当时，点在上，点到的距离为， ∵， ∴ ， ∵，对称轴为， ∴此段为开口向下的抛物线，在4时随增大而减小，图像为从左往右下降的曲线； 综上，函数图像先为上升的抛物线，再为上升的直线，最后为下降的抛物线，对应选项A． 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴,， ∴, 故①②正确； ， 根据图象，得时，， 故③错误； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， ， 故④正确； 二次函数的图象经过点， 设其对称点为，根据题意，得， 解得， 方程的两根为， 又方程的两根为，， ， ， 故⑤错误． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 随着国产硬核机车品牌崛起，“张雪机车”凭借硬核自研技术、为国争光的赛场实力圈粉无数，全网累计粉丝量约为3260万人，将数据3260万用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：万． 12. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥（接缝忽略不计），则该圆锥的底面圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面周长是：． 设圆锥底面圆的半径是，则． 解得， 即圆锥底面圆的半径为． 13. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点；再以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用是线段的垂直平分线，是的角平分线，是一外角，推导出，即可得到的度数． 【详解】解：由题意可知，是线段的垂直平分线，是的角平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 【答案】或 【解析】 【分析】先根据折叠证明四边形是菱形，然后分类讨论，根据平行证明，再通过相似三角形的性质设未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 当时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴； 当时，如图： 同理，， ∵， ∴， 综上：当是直角三角形时，的长为或． 15. 如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行轴，直线交轴于，连接，，双曲线经过点，若的面积为1，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，连接，根据平行四边形的性质可得，进而得出，根据轴，得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵轴 ∴ ∵双曲线经过点， ∴； ∵双曲线在第一象限，则， ∴. 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点，，，…，均在直线上，点，，…在轴正半轴上．则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的坐标为（为正整数）， ∴点的坐标是． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算与因式分解 （1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值计算即可． （2）先提取公因式，再利用完全平方公式，解答即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组，并写出它的正整数解． 【答案】，正整数解为： 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，根据解集求得正整数解即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴正整数解为：． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 则， ， 即， ∴或， ． 20. 【新情境AI智能教学】某科技公司研发的AI智能教学助手“智学伴”上线试运行后，受到广泛关注．为收集用户反馈，研发团队随机抽取了60名线下的试用者进行满意度评分，同时统计了4000名线上注册用户的使用评分（满分10分），并根据得分绘制了不完整的统计图和统计表： 两个用户群体对“智学伴”AI教学助手评分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 线下 7.7 8 m 线上 a b 7 （1）依据题意可得_________，_________，_________； （2）请你补全统计图，计算出线上注册用户评分不低于8分的总人数； （3）研发团队的产品经理认为线上用户群体对“智学伴”教学助手的打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）8，7.8，8 （2） 2200 （3）解：同意他的说法，理由如下： 线上用户的样本容量大，更具有代表性 【解析】 【分析】（1）求出评分为8分的人数，根据众数的定义求出的值，根据加权平均数的计算公式求出，中位数的计算方法求出即可； （2）根据（1）中求出的评分为8分的人数，补全条形图，用线上总人数乘以评分不低于8分所占的比例求出评分不低于8分的总人数； （3）根据样本容量大，更具有代表性作答即可. 【小问1详解】 解：线下试用者评分为8分的人数为，人数最多，故； ； 由统计图可知，线上打分为6分和7分的人数占比为，线上打分为6分，7分和8分的人数占比为， 故中间的两位数字都是8分， ∴； 【小问2详解】 解：补全条形图略； 线上注册用户评分不低于8分的总人数为； 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，，以为直径作交于点D，过点O作的平行线，交于点E，作射线交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质和扇形的面积： （1）连接，根据平行得到，，从而可得，然后证明即可求出答案； （2）证明，求出长，由正切得到，根据阴影部分面积可得结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 22. 在一条笔直的公路上依次有三地，甲车从地出发匀速行驶到地，停留小时后掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速到达地，同时乙车从地出发匀速行驶到地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的距离（单位：千米）与甲车行驶时间（单位：小时）之间的函数图像如图所示，请结合图像解决下列问题： （1）乙车的速度为________千米/时，地与地之间的距离为________千米； （2）求甲车从地返回到地过程中与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在两车行驶过程中，甲车行驶多长时间甲、乙两车距地的距离相等？请直接写出答案． 【答案】（1）， （2） （3）小时或小时或小时 【解析】 【分析】（）根据函数图象求出甲的速度，进而可求出地到地之间的距离，据此可求出乙车的速度； （）设甲车从地返回到地过程中与的函数解析式为，由（）可得，甲车由地返回到地需要的时间为小时，即得甲车返回到地时在轴对应的时间为，再利用待定系数法即可求解； （）设甲车行驶小时甲、乙两车距地的距离相等，分三种情况：①甲、乙两车相遇前；②甲、乙两车第一次相遇时；③甲、乙两车第二次相遇时；分别列出方程解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：由函数图象可得，地距离地千米， ∴甲车的速度为千米/时， 甲车由地到地用时小时， ∴地到地之间的距离为千米， 乙车由地到地用时小时， ∴乙车的速度为千米/时， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设甲车从地返回到地过程中与的函数解析式为， 由（）可得，甲车由地返回到地需要的时间为小时， ∴甲车返回到地时在轴对应的时间为， 把代入得， ， 解得， ∴所求的函数解析式为； 【小问3详解】 解：设甲车行驶小时甲、乙两车距地的距离相等， ①甲、乙两车相遇前， 由题意得，， 解得； ②甲、乙两车第一次相遇时， 由题意得，， 解得； ③甲、乙两车第二次相遇时， 由题意得，， 解得； 答：甲车行驶小时或小时或小时，甲、乙两车距地的距离相等． 23. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 【答案】（1）4，3 （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； （2）过点作，垂足为H．由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分当点B在线段上时，当点B在线段外时，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即到的距离为3； 【小问2详解】 解：，证明如下： 过点作，垂足为H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：①当点B在线段上时， 在中，， ∴， 在中，． ②当点B在线段外时，过点作，垂足为H． ∵，，B共线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴在中，； 综上所述，长度为或． 24. 如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为； ①用含的代数式表示线段的长； ②求的最大值及此时点的坐标； （3）现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点的坐标为 （2）①，②最大值，此时点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可； （2）①先求出点的坐标，再求出直线的解析式，根据题意表示出点和点的坐标，进而得到的代数式；②利用配方法求出的最大值，并写出此时点的坐标； （3）根据题意，阴影部分包含在抛物线的、两点之间，区域内所有整点（不含边界），一共7个，结合图象可知，当点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上时，满足5个整点的要求．利用平移规律写出抛物线的解析式，求出和时的函数值，并与和作比较，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点， 代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ②， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线的、两点之间， ∵，，，， 又∵抛物线关于直线对称 ∴抛物线的、两点之间的所有整点（不含边界）为，，，，，，，一共7个， 如图， 根据题意，若恰有5个整点，则点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上， 根据平移规律可得，抛物线的解析式为， 将代入，得， ∵点在抛物线的下方， ∴，即， 解得或（不符题意，舍去）； 将代入，得， ∵点在抛物线的上方或者在抛物线上， ∴，即， 解得， 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $