2026年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多校中考考前模拟数学试题

**基本信息** 以“友爱之星”徽章设计、AI教学助手等真实情境为载体，通过矩形旋转分层探究、抛物线整点问题等梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相反数倒数、图形对称、分式方程等|第6题结合石蕊溶液实验考查概率，体现应用意识| |填空题|6/18|科学记数法、圆锥半径、规律探究等|第16题直线与正方形规律探究，培养空间观念| |解答题|8/72|统计、圆切线、旋转探究、抛物线综合等|23题矩形旋转分初步/深入/应用探究，24题抛物线平移整点问题，发展创新意识与推理能力|

2026年龙江县初三教学质量监测数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1．的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 2．为进一步弘扬团结互助、友善待人的优良风尚，某校五四青年节表彰增设“友爱之星”荣誉评选．校美术社团为此精心设计“友爱之星”徽章如下，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． （第4题图） （第5题图） 5．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该几何体所用小立方块的个数为n，则n的最小值为（     ） A．7 B．9 C．8 D．10 6．紫色石蕊溶液是一种常见酸碱指示剂，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇中性溶液仍为紫色，遇碱性溶液变成蓝色．实验桌上有三瓶因标签被污染而无法分辨的无色溶液：蒸馏水（呈中性）、稀盐酸溶液（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小明将紫色石蕊溶液随机滴入两瓶溶液中，这两瓶溶液恰好变成一红一蓝的概率是（    ） A． B． C． D． 7．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 8．某工作小组为了节省午饭时间，订了26盒盒饭，共花费180元，盒饭共有A，B，C三种套餐（每种套餐都要订购），它们的单价分别为10元、8元、6元，则不同的订餐方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 9．如图，在中，，，．点D为的中点，交于点，连接，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（     ） A．B．C．D． 10．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．随着国产硬核机车品牌崛起，“张雪机车”凭借硬核自研技术、为国争光的赛场实力圈粉无数，全网累计粉丝量约为3260万人，将数据3260万用科学记数法表示为________． 12．用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥（接缝忽略不计），则该圆锥的底面圆的半径为__________． 13．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点；再以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若，则的度数为______． （第13题图） （第14题图） 14．如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 15．如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行轴，直线交轴于，连接，，双曲线经过点，若的面积为1，则k的值为_____． （第15题图） （第16题图） 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点，，，…，均在直线上，点，，…在轴正半轴上．则点的坐标是__________． 三、解答题(本题共8道大题，共72分) 17．(本题共2个小题，第(1)题5分，第(2)题4分，满分9分) (1)计算：． (2)因式分解：． 18．（4分）解不等式组，并写出它的正整数解． 19．（5分）解方程：． 20．（8分）【新情境AI智能教学】某科技公司研发的AI智能教学助手“智学伴”上线试运行后，受到广泛关注．为收集用户反馈，研发团队随机抽取了60名线下的试用者进行满意度评分，同时统计了4000名线上注册用户的使用评分（满分10分），并根据得分绘制了不完整的统计图和统计表： 两个用户群体对“智学伴”AI教学助手评分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 线下 7.7 8 m 线上 a b 7 (1)依据题意可得_________，_________，_________； (2)请你补全统计图，计算出线上注册用户评分不低于8分的总人数； (3)研发团队的产品经理认为线上用户群体对“智学伴”教学助手的打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 21．（10分）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点O作的平行线，交于点E，作射线交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 22．（10分）在一条笔直的公路上依次有三地，甲车从地出发匀速行驶到地，停留小时后掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速到达地，同时乙车从地出发匀速行驶到地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的距离（单位：千米）与甲车行驶时间（单位：小时）之间的函数图像如图所示，请结合图像解决下列问题： (1)乙车的速度为________千米/时，地与地之间的距离为________千米； (2)求甲车从地返回到地过程中与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在两车行驶过程中，甲车行驶多长时间甲、乙两车距地的距离相等？请直接写出答案． 23．（12分）【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 (1)如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 (2)如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 (3)若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 24．（14分）如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为； ①用含的代数式表示线段的长； ②求的最大值及此时点的坐标； (3)现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年龙江县初三教学质量监测数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A B B B C A B 11． 12． 13． 14．或 15． 16． 17．（1）解：原式. （2）解： ． 18．解： 由①得； 由②得 ∴原不等式组的解集为， ∴正整数解为：． 19．解：， ， 则， ， 即， ． 20．(1)8，7.8，8 (2) 2200 (3)解：同意他的说法，理由如下： 线上用户的样本容量大，更具有代表性 21．（1）证明：连接，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 22．(1)， （2）解：设甲车从地返回到地过程中与的函数解析式为， 由（）可得，甲车由地返回到地需要的时间为小时， ∴甲车返回到地时在轴对应的时间为， 把代入得， ， 解得， ∴所求的函数解析式为； （3）甲车行驶小时或小时或小时，甲、乙两车距地的距离相等． 23．(1)4，3 (2)，见解析 (3)或 【解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即到的距离为3； （2）解：，证明如下： 过点作，垂足为H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． （3）解：①当点B在线段上时， 在中，， ∴， 在中，． ②当点B在线段外时，过点作，垂足为H． ∵，，B共线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴在中，； 综上所述，长度为或． 24．(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为 (2)①，②最大值，此时点的坐标为 (3) 【解答】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点的坐标为； （2）解：①将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点， 代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ②， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线的、两点之间， ∵，，，， 又∵抛物线关于直线对称 ∴抛物线的、两点之间的所有整点（不含边界）为，，，，，，，一共7个， 如图， 根据题意，若恰有5个整点，则点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上， 根据平移规律可得，抛物线的解析式为， 将代入，得， ∵点在抛物线的下方， ∴，即， 解得或（不符题意，舍去）； 将代入，得， ∵点在抛物线的上方或者在抛物线上， ∴，即， 解得， 综上所述，的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $