第八章 课时6 双曲线的方程与性质课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦双曲线专题，依据课标要求覆盖定义、标准方程、几何性质等核心考点，结合2025年北京、新高考1卷等真题，分析离心率、渐近线等高频考点权重，归纳定义应用、方程求解等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“知识体系构建+真题深度剖析+解题方法提炼”，如通过焦点三角形面积公式培养数学思维，用待定系数法突破方程求解，结合易错点判断提升应用意识。帮助学生掌握离心率计算等答题技巧，教师可据此精准指导，助力高效冲刺。

课时6双 曲线的方程 与性质 一、 课标要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 2.掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点 3.了解双曲线的简单应用 、渐近线、离心率) 二、知识梳理 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1,F2FF2=2c 常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫作双曲线. 的 焦点 >0)的距离之差的 绝对值为非零 这两个定点叫作双曲线 (2)集合P={MIMF1-M2 >0. ①当 2a<FF2 时， ②当 2a=FF2 时， ③当■ 2a>FF2 时， 2a,F1F2=2c,其中a,c为常数，且>0，c 点M的轨迹是双曲线； 点M的轨迹是两条射线； 点M不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 答16o,0 图形 B 2 a2 i =1(a>0,b>0) f A2 B16 B2衣 F 范围 ②a或-a,y∈R -a或y2,x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心： 原点 性 顶点 A(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a 质 渐近线 y=x 离心率 e= ，e∈(1，+o） a 实、虚轴 a,b,c的 关系 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长A1A2 =2a;线段BB2叫作双曲线的虚轴，它 的长BB2=2b;a叫作双曲线的实半轴 长，b叫作双曲线的虚半轴长 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) 3.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长 可写作2-y2=(0). (2)等轴双曲线台离心率 和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程 e=v2台两条渐近线y=±x相互垂直. 【拓展知识】 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b (2)若P是双曲线右支上一点，F,F2分别为双曲线的左、右焦点，则 (PF1)mim=a土c_,(PF2)min=」 c-a (3)同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长 2b2 为 异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a (4)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点，其中A,B关于坐标原点对称， b2 直线PA,PB斜率均存在且不为O,则直线PA与PB的斜率之积为 2 (5)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F,F为双曲线的两个焦点，且 b2 0 tan ∠FP乃2=0，则△FPF2的面积为 2 (6)若渐近线方程为y=±x, 风攻曲线方婴可设为片-G0 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打×”) (1)平面内到点F(0,5),F2(0,一5)距离之差的绝对值 双曲线.(×) 等于10的点的轨迹是 (2)方程 =1(mn>0)表示焦点在 m n x轴上的双曲线.(×) )双建领后的m0,m>0 0.(V) 0证线方程足片am以片- m n (4)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口 线的张口”逐渐增大.（√） 大小，当离心率逐渐增大时，双曲 2.（2025·北京高考)双曲线 A. B. 2 2 B【解析】由题有 足一的离心率为( C. 一4 所以华，所以 ) D.5 故选B。 a 2 3.(多选题)若点23在双曲线 (a-C, 近线的右侧，c为半焦距，则有() B. 2 C a c. 3 -2 D. V13 2 bC)的一条斜率为正的渐 ABD【解析】双曲线秀的一条斜率为正的浦近线方程为y-, b 因为12在y名右侧所以合23，放。号，C错误 6 3 所以e套D正确 对于选项A,要证a1, 即证（是曼， 即证乙场，显然成立，A 正确对于选项B,会 B正确.故选ABD 4、己知圆O的半径为定长，A是平面内一定点（不与O重合），P是圆O上任 意一点，线段AP的垂直平分线1和直线OP交于点Q.当点P在圆上运动时，若 A在圆外，则点Q的轨迹是一；若A在圆内，则点Q的轨迹是 双曲线；椭圆【解析】因为线段AP 以QA=QP,若A在圆外，则QO 轨迹为双曲线；若A在圆内，则QA 椭圆. 的垂直平分线1和直线OP相交于点Q,所 QP=OP,即QO-QA=r<OA,此时点Q +QO=QP+QO=r>OA,此时点Q轨迹为 四、考点扫描 考点一双曲线的定义及应用 例1(1)化简方程V(军（季 A. 34 =1 3 B. C. 16 =1 D. 的结果是() 39 16 36 一9 =1 D【解析】设以，②，则由已知得 料邓， 即动点P到两个 定点A,B的距离之差的绝对值等于常数8，又耳，且8，所以根据双 曲线的定义知，动点P的轨迹是以AB为焦点，实轴长为8的双曲线.设双曲线方 程为： 苦芳kA.则 2≤2，所以兰，所以是影， 所以双曲线方程为169司 即化简方程幸 的结果是 169 故选D (2)(2025·浙江杭州第 别是F1与F2,焦距为8. ) A.1 C.9 二中学月考)已知双曲线 若M是双曲线上的一点， B.3 D.1或9 广=1a>0)的两个焦点分 1 且M1=5,则MF2的长是 C【解析】由题意得2c=8,可得c=4,所以a2=c2-b2=16-12=4,解得a =2.根据双曲线定义可得M1-MF2=2a=4,即5-MF2=4,解得MF2=1或 M2=9.当MF2=1时，MF1十MF2=6<8,不满足题意，故舍去；当M2=9 时，M1十M2=14>8，,满足题意.所以M2=9.故选C 规律方法： 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合PF1一PF2=2a,运用 平方的方法，建立与PF1PF2的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题 或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可. 对点训练(1)(2025江苏 上的点，F,F2是其左、 ( ○ A.2 B. 无锡市天一中学模拟)已知P是双曲线 盖器 右焦点，且京若△PF5,的面积为9，则 1 C.3 D.4 B【解析】由Z得 m-n=8a. 则m2+n2=100m2,得a=1 1 mn=9, 02 了子正美，设P白，DP与，不纺设m>m 故选B. 店 (2)已知双曲线的左、右焦点分 B5,且双曲线的实轴长为8， 别为H马，过F的直线与左支交于AB两点若 则的周长为 26【解析】由双曲线的定义知安 |≤，又因 则 故的周长为生中率a6经 , 两式相加得 2, 考点二求双曲线的标准方程 例2求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1) 若双血线过点93，离心率c= 3 (2)若双曲线过点②，渐近线方程是z=B: Q)若双曲线沾双曲钱有共同的渐近线，过点人G三 【解】(1)由C-C 设E, 曲线的方程为 -1② 把(392代入①，得人毛，与0矛盾， 以所求双曲线的标准方程为 x 8 则2M,是曼.设所求双 舍去；把(392代入②，得￡.所 x (2)由渐近线方程3， 可设所求双曲线的方程为U40① y =1 将点②的坐标代入①式，得，所以所求双曲线的标准方程为35 35 设所求双曲线的程为，因为点色在双曲线上， 4}入，即之，所以双曲线的标准方程为。兰1 43 8 规律方法： 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动，点轨迹是双曲线，确定2,2b或2c,从而求出 a2,b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方 程设为0，与双西线'2@0,0有公共焦点的双的线方程 可设为”，一卫=1（一心<：与双曲线片=1具有相同渐近线的双曲 a2+2b2-1 a2 b2 线方程可设为-片-Q≠0). a2 b2 对点训练(1)(2025 则C的标准方程为( A.x 3 -3 C. =1 北京门头沟区模拟 ) 已知双曲线C过点(0，)，离心率为2， B. 3 D. 3 C【解析】由题意知，双曲线的焦点在 2 存疗1(<④因为双曲线C经过点(01 C2,所以叠圣4， 所以双曲线的标准方 轴上，设双曲线的方程为 e==2 所以曰因为 a,所以 程为3故选C (2)在平面直角坐标系中，直线4y=2x+10与双曲线广=1的一条新近线 平行，且双曲线的一个焦点在直线1上，则双曲线的方程为 x2_2 =1【解析】由题意得 520 =1. =2, a=V/5, d c=5, 解得b=25, c2=a2+b2, c=5. 故双曲线的方程为2_卫 520 考点三双曲线的几何性质 考向1离心率 例3(1)(2025·新高考I卷) 心率为 A. B.2 若双曲线的虚轴 C. 长为实轴长的 倍，则的离 D. c) D【解析】根据题意可得 ，所以 ,所以 故选· 双曲线 的离心率为 (2)(2025·湖南衡阳开学考试)已知双曲线C: 2-=1a>0,b>0)的左顶 a2 b2 点为M,左、右焦点分别为F1,F2,过F2作x轴的垂线，交C于A,B两点.若 ∠AB为锐角，则C的离心率的取值范围是( A.(1,3) B.(1,2) C.(3,+∞) D.2,十∞) B以解标折】今=6，代尽广-1，年哭y-土农，则M-公0.e们.-们 022 新+u的痛-+u的国为∠A份克东，后x·痛 e+a-0,即c-ac-2m<0,即e2=e-2<0,结合e>L <e<2.故选B. 规律方法： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为 b,c的方程或不等式，利用c2=a2十b2和e=C转化为关于 a 通过解方程（或不等式）求得离心率的值（或范围）： 关于双曲线基本量a, e的方程（或不等式）， 对点训练(1)(2025·广 交于A,B两点，且A, 东广州上模拟)若直线y B两点的横坐标之积为 与双曲线-。=1a>0) 3 2 8 9,则该双曲线的离心率e= X, 21 【解析】联立 3 三1， d 8 -1 18a2 X1·X 2= 1 1 三-9 a2-18 a2 18 21 3 以-10.8 得( 解得a2=6,所以e=c a tA(x1,),Bx2,2),则 b2 7 3 （2)卫知双出线季房t无g的左、 上的一点.若M在以为直径的圆上，且 的取值范围是() A.(12 B.V2时 C. 右焦点分别为巧，M为双曲线右支 则该双曲线离心率 (1V3+ D.23H D【解】·在以为直径的圆上，Y￥，， ，， 由双曲线定义知： 人经，即安 m 则as 即 围是V3H故选D, 双曲线离心率的取值范 考向2渐近线 例4(1)与椭圆 49 24 为 有公共焦点，且离心率e =5的双曲线的渐近线方程 3 y=士 【解析】 依题意， 4 可设双曲线方程为 a2 b2 解得a=4,所以b=3,从 双曲线的两焦点坐标分别是F1(-5,0),F2(5,0),故 10≥0,6>0，古灵白线的离心率e-子可 d 而双由线的浙近线方程为=士=士： X. (2)(2025秋·上海高考)已知点 ,在 上，则△ 的面积 A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 是() A【解析】因为过点 (廷)的渐近 近线时，△ 在 最小值，当点 位于 积有最大值.故选 的直线 线为 ,所以 上的高无限逼近渐 时，使得△ 的方程为 曲线是二 与渐近线平行，故当点 无限逼近渐 近线与 的距离，故△ 的面积无 在边 上的高最大，此时△ 的面 规律方法： (1)渐近线的求法：求双曲线卫 a2 b2 =1(a>0, 两清淀技方上=支)=】 (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方 b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率 b>0)的渐近线的方法是令尺- a2 b2 0, 根和离率，在双自线琴片-la0 k=主, 满足关系式e2=1十2. 对点训练(1)已知左、右焦点分别为F,F2的双曲线C: x2 2 2b2 =1(a>0,b>0) 的一条渐近线与直线1：x一2y=0互相垂直，点P在双曲线C上，且PF1一PF2 =3,则双曲线C的焦距为 35 【解析】双曲线C: 渐近线与直线1：x-2y 得2a=PF1-PF=3,可 即焦距为2c=35. a b2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b x,一条 d 0互相垂直，可得b=2, 即b=2a.由双曲线的定义可 a 得=3, 2 -3,即有ca5-￥0-325 2 (2)2025·河南焦作市模拟)已知P C的两条渐近线的距离之积为；， 为 是双曲线 （套花仁孩一点若到 则C上的点到焦点距离的最小值 √3【解析所求的双曲线方程为 设点W,则零至又还居，点r到C 解得入= 4 故二，故双曲线C上的点到焦点距离的最 则渐近线方程为3(， 的两条浙近线的距离之积为 故双曲线C方程为 小值为一三. 米 感谢观看 THANKS