第63讲 圆锥曲线中的定值与定点问题-第一课时 定值问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线中的定值问题，覆盖距离、斜率、面积三类核心定值类型，依据高考评价体系梳理“特殊到一般”“变量消元”等解题策略，结合2025年山东烟台一模等真题实例，分析考点权重，归纳常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+策略提炼+素养培养”，如例1通过特殊情况与斜率存在分类证明OM长度定值，例2用韦达定理化简|AB|-2|MN|，培养学生的数学思维（推理、运算）和数学语言（符号表达）能力。提供对应训练和解题步骤示范，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第63讲 圆锥曲线中的定值与定点问题 第一课时 定值问题 2027届高考一轮复习数学 1 【知识要点】 1.圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略 代数式 为定值 依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值 点到直线的 距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得 某线段长 度为定值 利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得 2 2.两种解题思路 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关; ②引进变量法:其解题流程为: 3 考点1 长度或距离为定值 例1　(2025·山东烟台·一模)已知椭圆Γ1:+=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆Γ1的方程; (2)设O为坐标原点，P，Q为Γ1上两个动点，且OP⊥OQ，作OM⊥PQ，垂足为M，证明:线段OM的长度为定值. 4 (1)求椭圆Γ1的方程; [解析] (1)由椭圆Γ1:+=1的焦距为2，则c=， 由椭圆的离心率为，则e==，解得a=， 易知b==，则可得椭圆Γ1:+=1. 5 (2)设O为坐标原点，P，Q为Γ1上两个动点，且OP⊥OQ，作OM⊥PQ，垂足为M，证明:线段OM的长度为定值. [解析](2)当直线PQ的斜率不存在时，可设方程为x=n，代入椭圆Γ1:+=1， 可得P，Q，易知|OM|=|n|=，解得|n|=，即|OM|=; 6 当直线PQ的斜率存在时，可设方程为y=kx+m，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0， 由Δ=48k2+24-8m2>0，则x1+x2=-，x1x2=， 可得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2， 由直线OP的斜率kOP=，直线OQ的斜率kOQ=，且OP⊥OQ， 则kOPkOQ==-1，整理可得y1y2+x1x2=0， 化简可得(1+k2)(2m2-6)-4k2m2+m2(1+2k2)=0，解得m2=2+2k2， 由|OM|===.综上，线段OM的长度为定值. 7 [小结]求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 8 1.(2025高三·广东深圳·期末)已知AB，CD是过抛物线y2=8x焦点F且互相垂直的两弦. (1)若直线AB的倾斜角为45°，求CD的弦长; (2)求+的值. 对应训练 9 (1)若直线AB的倾斜角为45°，求CD的弦长; [解析] (1)由抛物线y2=8x，可得焦点为F(2，0)， 因为AB，CD是过焦点F且互相垂直的两弦，可得直线AB，CD的斜率一定存在， 又由直线AB的斜率为kAB=tan 45°=1，且AB⊥CD，可得kCD=-1， 则直线CD的方程为y=-x+2， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 联立整理得x2-12x+4=0，则Δ>0，且x3+x4=12， 根据抛物线的定义，可得|CD|=|CF|+|DF|=x3+x4+4=12+4=16. 10 (2)求+的值. [解析] (2)由直线AB，CD的斜率一定存在， 设AB的方程为y=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0且Δ=64(1+k2)>0， 可得x1+x2=，x1x2=4， 又由抛物线的定义，可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2， 所以|AF|·|BF|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=， 11 由CD⊥AB，设直线CD方程为y=，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 联立整理得x2-(8k2+4)x+4=0， 同理有x3+x4=8k2+4，x3x4=4， 所以|CF|·|DF|=16(k2+1)， 综上可得+=+=. 12 考点2 斜率或代数式为定值 例2　已知圆N:(x-3)2+y2=25，抛物线G:y2=2px(p>0)的准线与圆N相切，过抛物线焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)求抛物线G的方程; (2)求证:|AB|-2|MN|为定值，并求出该定值. 13 (1)求抛物线G的方程; [解析] (1)由题意可得，圆N的圆心为N(3，0)，半径为5，且抛物线的准线为x=-，与圆N相切，则=5， 因为p>0，解得p=4，故抛物线的方程为y2=8x. 14 (2)求证:|AB|-2|MN|为定值，并求出该定值. [解析] (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 显然直线AB的斜率不为零，设直线l的方程为x=ty+2， 联立可得y2-8ty-16=0， 则Δ=64t2+64>0， 由韦达定理可得y1+y2=8t，y1y2=-16， 则y0==4t，x0=ty0+2=4t2+2， 即点M(4t2+2，4t)， 15 由抛物线焦点弦长公式可得|AB|=x1+x2+4=t(y1+y2)+8=8(t2+1)， |MN|===4t2+1， 所以|AB|-2|MN|=8(t2+1)-2(4t2+1)=6. [小结]在证明一条直线斜率或两条直线斜率和，差或者积与商为定值的问题中，我们需要先将斜率表示出来，然后利用相关量之间的关系式化简即可. 16 2.(2025·江西·二模)已知点P(x0，y0)是双曲线C:-=1的图象上第一象限的任意一点，F1，F2分别为C的左、右焦点.直线l:-=1，且直线l交x轴于点G. (1)已知PF2⊥x轴，求直线l的方程; (2)若直线PF2交C于另一点Q，且=，求直线l和直线QF1斜率之积. 对应训练 17 (1)已知PF2⊥x轴，求直线l的方程; [解析] (1)由题知F1(-3，0)，F2(3，0)， 因为PF2⊥x轴，P在第一象限，所以x0=3，将x0=3代入双曲线方程可得y0=， 所以直线l方程为-=1，整理可得3x-2y-4=0. 18 (2)若直线PF2交C于另一点Q，且=，求直线l和直线QF1斜率之积. [解析] (2)设点Q(x1，y1)，则x1>2，y1<0，设直线PQ方程为x=ty+3， 联立消去x可得(5t2-4)y2+30ty+25=0， 由韦达定理可得y0+y1=，y0y1=， 则+===-t，则+1=， 所以=--1=-1=， 19 由已知= = =， 即 = ， 化简得22x2-45x-28=0，解得x0=-(舍)或x0=， 代入双曲线C:-=1，则y0=， 由=可得y1=-，x1=4， 所以kl·=·=××=-1. 20 考点3 几何图形的面积为定值 例3　(2025·湖南邵阳·二模)已知椭圆C:+y2=1.过C的右焦点F的直线交☉O:x2+y2=3于A，B两点，线段AB的垂直平分线交C于M，N两点.证明:四边形AMBN的面积为定值，并求出该定值. [解析] 设四边形AMBN的面积为S， 因为直线MN垂直平分线段AB， 所以S=|AB|·|MN|， 当直线AB与x轴重合时，此时|AB|=2，|MN|=2，∴S=×2×2=2. 由圆的性质知直线MN过坐标原点O，由椭圆的对称性知|OM|=|ON|. 21 当直线AB与x轴不重合时，设直线AB方程为x=ty+. ∵记AB中点为E，|OE|2=，|AB|2=4(3-|OE|2)=4×， ∴|AB|=2. ∵MN⊥AB，则直线MN的方程为y=-tx， 联立得 22 ∴|MN|2=4|ON|2=4(x2+y2)=. ∴|MN|=2. ∴S=|AB|·|MN|=×2×2=2. 综上所述，四边形AMBN的面积为定值2. 23 [小结]探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可. 24 3.如图，已知双曲线C:-=1(a>0，b>0)，渐近线方程为y±=0，点A在C上. (1)求双曲线C的方程; (2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点(不与A点重合)，且两条直线的斜率k1，k2满足k1+k2=1，直线PQ与直线x=2，y轴分别交于M，N两点，求证:△AMN的面积为定值. 对应训练 25 (1)求双曲线C的方程; [解析] (1)∵a>0，b>0， ∴依题意得⇒b=1， ∴双曲线C的方程为-y2=1. 26 (2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点(不与A点重合)，且两条直线的斜率k1，k2满足k1+k2=1，直线PQ与直线x=2，y轴分别交于M，N两点，求证:△AMN的面积为定值. [解析] (2)依题意可知直线PQ的斜率存在， 设其方程为y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消y得(1-4k2)x2-8kmx-4m2-4=0， Δ=64k2m2+4>0， m2+1-4k2>0　①， 27 ∴ ∴k1+k2=+ = ==1， 整理得=0. 当m+2k=0时，PQ:y=kx-2k，过点A，舍去， 28 当m+2k-1=0时，PQ:y=kx-2k+1，过点， 此时，将m=1-2k代入①得+1-4k2=2-4k>0，k<， ∴直线PQ与直线x=2交于点M， 故S△AMN=×2×1=1(定值). 29 $