第3章 一次函数—— 一次函数的实际应用——期末专项复习 2025-2026学年湘教版数学八年级下册

**基本信息** 以实际问题为载体，系统构建“问题抽象-函数建模-性质应用-实际回归”的解题体系，强化一次函数与生活场景的逻辑联结。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售问题|2题|利润函数构建与二次函数最值|从销量与单价关系抽象一次函数，结合利润公式转化为二次函数求最值| |方案问题|2题|函数比较与不等式应用|建立两种方案的一次函数模型，通过函数值大小比较确定最优方案| |行程问题|2题|图像信息提取与待定系数法|根据行程图像获取关键点坐标，用待定系数法求一次函数关系式解决距离问题| |几何问题|2题|坐标关系与函数表达式求解|利用几何图形性质确定点坐标，结合待定系数法求直线表达式及参数范围| |调运问题|2题|多变量函数建模与一次函数性质应用|分析调运量关系构建总运费函数，依据一次函数增减性及取值范围求最优调运方案|

一次函数的实际应用 ——湘教版八年级（下）期末复习专项训练 一、销售问题 1．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． （1）求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？每天最大利润是多少？ 2．深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共 150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”.已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍. （1）该公司最少生产多少件智能手表? （2）假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小? 二、方案问题 3．《国务院关于印发健身计划（2021-2025年）的通知》文件要求，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身体验中心为答谢新老会员举行春日大回馈活动，特推出两种“春季唤醒计划”活动方案． 方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费20元． 方案2：顾客购买会员卡，每张会员卡100元，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元． 设小宇一年来此健身体验中心健身的次数为（次），使用方案1的费用为（元），使用方案2的费用为（元） （1）请直接写出，与x之间的函数表达式． （2）小宇一年内前往该健身房训练的次数在什么范围时，选择方案2所需费用更少？并说明理由． 4．某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租一本书．使用租书卡，租书金额（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系式为＝0.5；使用会员卡，租书金额（单位：元）与租书时间（单位：天）之间的关系如图所示： （1）用租书卡每天租书的费用为 元； （2）求出关于的函数解析式； （3）如何选取租书方式更划算？ 三、行程问题 5．转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中段y与x之间的函数关系式． （2）求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？ 6．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． （1）求，的函数关系式． （2）几小时后，甲乙两人相距？ 四、几何问题 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，OA=3． （1）求直线OB的表达式； （2）若直线与该正方形有两个公共点，请直接写出的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系上，点P的坐标为，点Q的坐标为，点R的坐标为． （1）求的值； （2）当为直角三角形时，求直线的表达式． 五、调运问题 9．某建材公司在甲、乙两个水泥厂生产某型号水泥共吨，其中甲厂的生产量比乙厂生产量的倍少吨公司计划将这批水泥运往地吨，地吨，运费如表：单位：元吨 目的地 工厂 甲 乙 （1）求这批水泥甲、乙两厂各生产了多少吨？ （2）设从甲厂运往地的水泥为吨，这批水泥运往，两地的总运费为元，求与之间的函数关系式及的取值范围；公司应该怎么调运可使总运费最少？总运费最少是多少？ 10．要从甲、乙两仓库向A，B工地运送水泥。已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥。两仓库到A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如下表： 工地 路程/千米 每千米运费/(元/吨) 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A工地 20 15 1.2 1.2 B工地 25 20 1 0.8 （1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，求总运费y关于x的函数表达式，并画出图象。 （2）当甲、乙两仓库各运往A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省?最省的总运费是多少? 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由题意得：，整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ； （2）解：设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：． ， ∴当时，利润最大，， 答：销售单价为30元时，每天销售最大利润为8000元． 【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）根据 当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件， 可得出，整理即可得出．再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，可得出；（2）设销售该商品每天的总利润为w元，根据总利润=（售价-进价）×销量，可得出，根据二次函数的最值即可求解。 （1）解：由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ； （2）解：设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得： ． ， ∴当时，利润最大，， 答：销售单价为30元时，每天销售最大利润为8000元． 2．【答案】（1）解：设智能手表x件，则手环（150-x）件， 根据题意，得：x≥2（150-x） 解得：x≥100. 所以该公司最少生产 100件智能手表。 （2）解：根据题意，得：w=2000x+1200（150-x）=800x+180000 k=800＞0，根据一次函数的性质，可得出w随x的增大而增大， 由x≥100可得出当x=100时，w取最小值， 当x=100时，150-x=150-100=50。 所以当生产智能手环 50件、智能手表 100件时，总成本w最小。 【知识点】一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）设智能手表x件，则手环（150-x）件，根据 智能手表的生产数量不少于智能手环数量的 2倍. 可得出不等式x≥2（150-x），解不等式可得出解集x≥100.进而即可得出它的最小整数解，即为答案； (2) 设该公司的生产总成本为 w元，根据题意，可得出w=2000x+1200（150-x）=800x+180000，根据一次函数的性质，可得出w随x的增大而增大，根据（1）的结果，可得出当x=100时，w取最小值。 3．【答案】（1），； （2）解：当时，选择方案2所需费用更少， 解，得， 答：小宇一年内前往该健身房训练的次数大于10次时，选择方案2所需费用更少． 【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；一次函数的其他应用 【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，， 即，与x之间的函数表达式分别为，； 故答案为：，； 【分析】 （1）根据方案一 每次健身收费20元 ，因而；方案二费用为卡费+健身费，列出函数关系式，即可求解； （2）解不等式，即可求得x的取值范围． （1）解：根据题意得：，， 即，与x之间的函数表达式分别为，； （2）解：当时，选择方案2所需费用更少， 解，得， 答：小宇一年内前往该健身房训练的次数大于10次时，选择方案2所需费用更少． 4．【答案】（1）0.5 （2）解：使用会员卡每天租书的费用为（45﹣30）÷60＝0.25（元）， 则y2＝0.25x+30， ∴y2关于x的函数解析式为y2＝0.25x+30． （3）解：当y1＜y2时，得0.5x＜0.25x+30，解得x＜120， 当y1＝y2时，得0.5x＝0.25x+30，解得x＝120， 当y1＞y2时，得0.5x＞0.25x+30，解得x＞120， ∴当租书时间不足120天时，选用租书卡方式租书更划算；当租书时间正好为120天时，两种租书方式租书金额相同，任选一种即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡方式租书更划算． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-方案问题 【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，用租书卡每天租书的费用为0.5元． 故答案为：0.5． 【分析】（1）根据关系式 y1＝0.5x，直接求解即可； （2）先根据图象得到每天租书的费用，再根据题意，写出y2关于x的函数解析式即可； （3）根据y1、y2的关系式，得到y1、y2的大小关系，以及对应x的取值范围，即可求解． 5．【答案】（1）解：设BC段y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）， 据图可知，点B（2，100），点C（4，240）， 把点B、点C的坐标代入函数关系式为y=kx+b，得： ， 解得：， ∴y=70x-40（2≤x≤4）， 答：BC段y与x之间的函数关系式为y=70x-40（2≤x≤4）. （2）解：据图可知，当小王与丈夫离家170千米时正在BC段上， 将y=170代入y=70x-40得：170=70x-40， 解得：x=3， 答：小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米． 【知识点】一次函数的实际应用-行程问题 【解析】【分析】（1）由图得出点B、点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先判断离家170千米时在BC段上，再将代入段y与x之间的函数关系式，得到关于x的一元一次方程求解即可． （1）解：设段y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴段y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，得， 解得． 答：小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米． 6．【答案】（1）解：设解析式为， 由图可知经过点， ∴ 解得： ∴解析式为； 设解析式为， 由图可知经过点 ∴ 解得： ∴解析式为； （2）解：由题意得， 解得：或， ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 【知识点】一次函数的实际应用-行程问题 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式，求解即可； （2）根据题意列出方程，解方程，即可求解． （1）解：设解析式为，根据题意经过点， ∴ 解得： ∴解析式为 设解析式为，根据题意经过点 ∴ 解得： ∴解析式为 （2）解：依题意，或 解得：或 ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 7．【答案】（1）∵正方形OABC的边长OA=3，∴B（3，3）．设直线OB的表达式为．把B（3，3）代入，得k=1， ∴直线OB的表达式为．（2）当直线y=x+b过点A（3，0）时，可得0=3+b，即b=-3，当直线y=x+b过点C（0，3）时，可得3=0+b，即b=3，∴b的取值范围是：-3＜b＜3． （1）∵正方形OABC的边长OA=3， ∴B（3，3）． 设直线OB的表达式为． 把B（3，3）代入，得k=1， ∴直线OB的表达式为． （2）-3＜b＜3 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：（2）当直线y=x+b过点A（3，0）时，可得0=3+b，即b=-3， 当直线y=x+b过点C（0，3）时，可得3=0+b，即b=3， ∴b的取值范围是：-3＜b＜3． 【分析】（1）根据正方形性质可得B（3，3），设直线OB的表达式为，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案. （2）分别将点A，C坐标代入解析式求出b值，即可求出答案. 8．【答案】（1）解： 点，点，点， 点在轴的正半轴上，，，， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解： 点在轴的正半轴上， ，， 当为直角三角形时，只有， 在中，由勾股定理得： ， 由（1）可知：，，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 点， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：． 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题；利用开平方求未知数 【解析】【分析】（1）根据两点间距离可得，，，根据边之间的关系可得QR，再根据勾股定理即可求出答案. （2）由题意可得，，则当为直角三角形时，只有，根据勾股定理建立方程，解方程可得点，设直线的表达式为：，根据待定系数法将点P，Q坐标代入解析式即可求出答案. （1）解： 点，点，点， 点在轴的正半轴上，，，， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解： 点在轴的正半轴上， ，， 当为直角三角形时，只有， 在中，由勾股定理得： ， 由（1）可知：，，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 点， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：． 9．【答案】（1）解：设这批水泥甲厂生产了吨，乙厂生产了吨， 由题意可得：， 解得：， 这批水泥甲厂生产了吨，乙厂生产了吨； （2）解：甲厂运往地的水泥为吨， 甲厂运往地的水泥为吨，乙厂运往地的水泥为吨，乙厂运往地的水泥为吨， ， 且， 解得， ， 随的增大而增大， 当时总运费最小为元， 此时，，， 公司从甲厂运往地水泥吨，运往地吨；乙厂生产的水泥吨全部运往地时，总运费最小，最小费用为元． 【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用-调运问题 【解析】【分析】(1)由题意甲乙生产的吨数，列出方程组即可求出甲乙两厂生产的吨数； (2)设运往A处的为x吨，求出运费的表达式，利用函数的性质可得x=60时运费最小. 10．【答案】（1）解：y=1.2×20x+1×25(100-x)+1.2×15(70-x)+0.8×20(10+x)=-3x+3920； 画函数图象为： （2）解：∵在一次函数y=-3x+3920中， k = - 3<0 ∴y随x的增大而减小 ∵0≤x≤70， ∴当x = 70时， y有最小值 ∴当甲仓库往A、B两工地各运70吨和30吨水泥，乙仓库往A、B两工地各运0吨和80吨水泥时，总运费最省. 最省总运费为y=-3×70+3920=3710元. 【知识点】一次函数的实际应用-调运问题 【解析】【分析】(1)由甲库运往A地水泥x吨，根据题意首先求得甲库运往B地水泥(100-x)吨，乙库运往A地水泥(70-x)吨， 乙库运往B地水泥(10+x)吨， 然后根据表格求得总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式； (2)根据 (1)中的一次函数解析式的增减性，即可知当x =70时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $