第20章数据的初步分析 知识点总结 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学知识清单系统梳理了“数据的初步分析”单元内容，涵盖频数直方图绘制、数据集中趋势、离散程度、四分位数与箱线图、数据分组五大知识范畴，搭建了从基础步骤到分析方法再到应用题型的递进式学习支架。 清单通过“要点标注+题型示例”呈现知识体系，如将“权的三种形式”“方差性质”标注为重点，例1分步解析四分位数计算，培养数据观念与推理意识。设计“分组原则应用提示”和“箱线图分析步骤”，不同学生可高效掌握，教师能据此优化教学，提升课堂实效。

§20 数据的初步分析 1、绘制频数直方图的一般步骤： （1）确定数据变动范围，也就是极差. （极差=最大值—最小值） （2）决定组距和组数. （，组数向上取整数且控制在6~8组） （3）决定分点. （为避免数据落在分点上，一般向前和后各扩大一点） （4）列频数分布表.（） （5）画频数直方图.（每一个矩形上方标上频数，矩形之间无空隙） 2、数据的集中趋势 （1）平均数：平均数是常用来刻画数据集中趋势的一种方法. 一组数据，，， ，，的平均数为 （2）加权平均数： · 权的三种常见表现形式：数据出现的次数；百分数；整数比. · 平均数可以充分利用数据信息，刻画数据整体的平均状态，但不能反映个体性质，易受到极端值的影响. （3）中位数和众数： 中位数和众数也是刻画数据集中趋势的两种方法 ①一般地，当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间的两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数. ②一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. · 中位数代表了这组数据数值大小的“中点”，不易受极端值影响，不能充分利用所有数据的信息. · 众数是一组数据中出现次数最多的数据.可能不止一个，也可能没有. 3、数据的离散程度 ①设一组数据是 x1，x2，…，xn，它们的平均数是.那么称 为它们的离差平方和，简记 ②将一组数据的离差平方和的平均数称为这组数据的方差，即 · 在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. · 将一组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. · 将一组数据中的每一个数据都变为原来的k倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的k2倍. ③离差平方和与方差都具有如下性质： （I）最小值为0； （II）数据的离散程度大（即波动大），它们的值也大； （III）方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小． 4、四分位数和箱线图 （1）四分位数：（将一组数据按从小到大排列后）后半部分数据的中位数，记为m75， 称为第三四分位数 整组数据的中位数，记为m50， 称为第二四分位数 前半部分数据的中位数，记为m25， 称为第一四分位数 m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2）和第三四分位数（Q3），统称四分位数. 按照定义可知，第p百分位数可能不唯一，因此按照如下方式定第p百分位数. ①将数据从小到大排列，记为x1，x2，…，xn. ②计算指数（数位）i = n×p%. ③若i不是整数，记j为大于i的最小整数，第p百分位数为第j个据xj，若i是整数，第p百分位数为第i个和第(i+1)个数据的平均数. （2）箱线图（约翰·图基20世纪首次提出） 一组数据仅从平均数、方差进行分析还不够全面，我们还可以从四分位数进行分析. 统计学上，常用箱线图直观地展示一组数据的统计特征值，便于分析不同类别数据各层次水平的差异(如离散程度、分布差异等). 5、数据分组（组内离差平方和最小，组间离差平方和最大原则.） 一般地，假设有n个数据x1，x2，x3，…，xn ，若将其分成两组，其中前 m 个数据为一组 ( 称为第一组 )， 后 ( n－m ) 个数据为一组 ( 称为第二组 ). 这 n 个数据的总体离差平方和 S 2 可以表示为： ，. ，. 则： 称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度. 称为组间离差平方和，表达了两组数据之间的差异. 一个合理的分组原则是使组内离差平方和达到最小，组间离差平方和达到最大.由于总体离差平方和 S2不变，只需考虑使组内离差平方和达到最小即可. 数据的分组一般步骤： S1. 排序； S2. 确定组数和各组内数据的个数. 我们只讨论分两组的情形，如果一共有n个数据，要把较小的m个数据分为一组，把剩下的 (n－m) 个数据分为另一组. S3. 通过“组内离差平方和最小” 的原则来确定 m 的大小. · 组内离差平方和：数值越小，组内差异越小. · 组间离差平方和：数值越大，不同组之间差异越明显. · 总体离差平方和 = 组内 + 组间. 6、重点题型 例1：求下列各组数据的四分位数. （1）11，10，12，19，13，11，6，4，17，9，13，17，15； （2）11，10，12，19，13，11，6，4，17，9，13，17. 解：（1）将这 13 个数据从小到大排列，得 4，6，9，10，11，11，12，13，13，15，17，17，19. 因为数据的个数是奇数，所以中位数 m50 = 12. 13×25% = 3.25，13×75% = 9.75. 第 25 百分位数 m25 是第4个数10， 第 75 百分位数 m75 是第 10 个数15. 因此，该组数据的四分位数分别为 10，12，15. （2）将这 12 个数据从小到大排列，得 4，6，9，10，11，11，12，13，13，17，17，19. 12×50% = 6，中位数 m50 是第6，7个数的平均数 12×25% = 3，12×75% = 9. 第 25 百分位数 m25 是第3，4个数的平均数 ， 第 75 百分位数 m75 是第 9，10 个数的平均数. 因此，该组数据的四分位数分别为9.5，11.5，15. 例2：小红同学为了在明年中考体育考试中取得好的成绩，每天自己在家里练习做一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26.按照“组内离差平方和最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（ ） A. B. C. D. 5 提示：排序后分组：2+4；3+3；4+2 答案：B 例3：根据甲、乙两个县各15名选手竞赛成绩的最小值、最大值和四分位数画出箱线图，并根据箱线图进行分析. 甲：69，70，70，71，72，75，78，80，82， 83，87，88，88，93，97； 乙：70，72，73，75，77，79，79，80，80， 81，83，83，85，92，94. 解：易求得甲、乙两个县各15名选手竞赛成绩（单位：分）的最小值、最大值和四分位数，如下表所示： 县 最小值/分 M25(Q1)/分 m50(Q2)/分 m75(Q3)/分 最大值/分 甲 69 71 80 88 97 乙 70 75 80 83 94 画出箱线图如下图. 通过箱线图可以直观看出，甲、乙两个县选手成绩的中位数相同，但是甲县选手的成绩差距较大，乙县选手的成绩差距较小，并结合甲、乙两个县选手成绩的平均数，可以说甲、乙两个县选手的平均水平相当，但是乙县选手的成绩相对于甲县选手的更集中. ~ 5 ~ 学科网（北京）股份有限公司 $