第20章 数据的初步分析 专题复习&数学思维-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（沪科版·新教材 安徽专版）

数理极 专题复习 第0章数据的初步分析 ©湖南温子晴 知识回厨 那么 就是这组数据的平均数，用 表示 1.频数与频率 (2)一般地，在n个数据中，如果数据x, (1)我们把一批数据中落在某个小组内数x2,…,出现的次数分别为方5，…f,其中 据的个数称为这个组的 +5+…+f=n,那么这n个数据的平均数为 (2)如果一批数据共有n个，其中某一组数元= 这个平均数 据是m个，那么m就是该组数据在这批数据中叫作这组数据的加权平均数，其中f,,…,分 出现的 别叫作这组数据x1,x2,…,x的 2.频数分布问题 (3)平均数能充分利用数据提供的信息，但 (1)频数直方图的画法 其缺点是受个别特殊值（也称为极端值）的影响 ①分组；②确定各组的分点；③累计各组频 而影响数据的平均水平，为了避免这个缺点，可 数；④按各组频数的多少画出直方图. 以将这个特殊值去掉，然后求平均数， (2)重要结论 4.中位数 ①频数直方图中的各组频率之和等于1； (1)一般地，一组数据按大小顺序排列后， ②频数直方图中每一个小长方形的高代表位于 的一个数据（当数据的个数是奇 各组相应的频数，所以频数越多，长方形就越高，数时)或 的平均数（当数据的个数是偶 频数的多少可根据直方图中左边对应的数量来数时)叫作这组数据的中位数 确定 (2)中位数代表了这组数据数值大小的“中 3.平均数 点”，不易受极端值影响，但不能充分反映所有 (1)一般地，对于n个数据x1,x2,x3,… 数据的信息 考点解密 (1)此次调查的样本容量是 (2)在频数分布表中，m= ”考点1：频数直方图 ,h= 例1某校随机 每周课外阅读时 频数个 间的频数直方图 (3)补全频数直方图； 抽取50名学生进行每 20 (4)根据频数分布表、频数直方图，你能获 周课外阅读时间的问 得哪些信息？ 卷调查，将调查结果制 765 考点2：平均数 成如图1所示的频数 24681012时间 图1 例2下表是小红参加一次“阳光体育”活 直方图（每组包含最大值，不包含最小值），则该 此赛的得分情况： 校1800名学生中每周阅读时间多于6小时的学 项目跑步 花样跳绳跳绳 生约有 得分 90 80 70 A.20名 B.396名 评总分时，按跑步占50%，花样跳绳占 C.720名 D.1080名 30%,跳绳占20%考评，则小红的最终得分为 解：该校1800名学生中每周阅读时间多于 6小时的学生约有：1800×50-10-20 50 解：小红的最终得分为：90×50%+80× 30%+70×20%=83(分). 720(名). 故选C. 故填83分 ·专项练习 ·专项练习 1.有若干个数据，最大值是135，最小值是 3.某射箭运动员在富阳射击射箭馆进行训 103,用频数分布表描述这组数据时.若取组距为 练，他连续射靶5次，所得环数分别是8,6,10,7， 9,则该运动员所得环数的平均数为 4,则应分为 组 4.某校男子足球队的年龄分布如下表： 2.为了解今年全县2000名初二学生“创新 能力大赛”的笔试情况，随机抽取了部分同学的 年龄/岁131415161718 人数 2 68321 成绩，整理并制作频数分布表和如图2所示的频 数直方图.请你根据提供的信息，解答下列问题： 则这些队员年龄的平均数是 频数 A.13岁 B.14岁 分数段 频数频率 160 D.15岁 60≤x<70 40 0.1 120 C.14.5岁 80 70≤x≤80 120 n 5.如果数据x1,x,x3x4的平均数是10，那 40 80≤x<90 h 0 么数据x1+1,x2+2,x3+3,4+4的平均数是 60708090100成绩/分 90≤x<10080 0.2 图2 ) 29 5.众数 (1)一组数据中出现次数 的数据 叫作这组数据的众数， (2)众数是表明一组数据出现次数最多的 统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数 往往是人们较为关心的一个统计量，众数不易受 极端值的影响，一组数据中，众数可能不止一个. 6.离差平方和与方差 (1)设一组数据是x1,x2,…,xn,它们的平均 数是x,我们将(x1-)2+(x2-x)2+…+(xn- x)称为这组数据的离差平方和，可以简记为 .将s2= 称为这组 数据的方差 (2)离差平方和与方差都具有如下性质： ①最小值为0； ②数据的离散程度大，它们的值也 7.四分位数和箱线图 (1)一组数据从小到大排列， 把所有的数据等分成四部 分，因此，称为四分位数 (2)箱线图是用来表示一组或各组数据分 布情况的统计图，其中包含了最小值、最大值和 四分位数信息 A.10 B.11 C.12.5 D.13 考点3：中位数 例3 在一次中学生田径运动会上，参加男 子跳高的10名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 人数 1 3 2 3 则这10名运动员成绩的中位数是( A.1.50m B.1.55m C.1.60m D.1.65m 解：这组数据按从小到大的顺序排列后，中 位数是第5,6两个数的平均数，所以这10名运动 员成绩的中位数是：之×(1.60+1.60)= 1.60(m). 故选C ●专项练习 6.某便利店7天销售一类货品的销量（单 位：件)分别为5,6,7,5,8,10,6，该组数据的中 位数是 A.5 B.7 C.6.5 D.6 7.小颖和小文在课余时间进行射击比赛，两 人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下： 小颖：7,8,6,8,9,9；小文：5,9，x,9,6,10.如果两 人比赛成绩的中位数相同，那么小文的第三次成 绩x为 8.一组数据4,19,10，x,15,它的中位数是 13,则这组数据的平均数是 (下转第30版) 30 专题复习 数理极 (上接第29版) B.这组数据的众数是4 域“晋燕8号”的种植情况更好，成员小明认为 考点4：众数 C.这组数据的平均数是4 小文只从平均数分析是片面的，请你结合表中数 例4为了加强中学生“五项管理”，某校就 D.这组数据的方差是子 据，帮助小文进一步阐述理由： “作业管理”“睡眠管理”“手机管理”“读物管 (3)为了更全面地了解A区域燕麦的种植 理”“体质管理”五个方面对各班进行考核打分 13.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人 情况，调查组又对A区域内种植的两个新品种 （各项满分均为100分)，九(1)班的五项得分依 10次射箭成绩的平均数都是9.1环，四人的方差 “坝莜1号”和“白燕2号”展开研究，并请专家 次为95,90,85,90,92，则这组数据的众数是 分别是5=0.63,52=2.56，=0.49,5子= 对这两种燕麦的三个指标进行评分，结果如下表 0.46,则射箭成绩最稳定的是 单位：分，满分10分)： 解：在这组数据中，90出现2次，出现的次数 14.已知一组数据：1,2,3,4,5，则这组数拒 产量与适应性品质与用途种植成术 最多，所以这组数据的众数是90. 的离差平方和是 ,方差是 坝莜1号 7 9 6 故填90. 考点6：四分位数和箱线图 白燕2号 9 7 ●专项练习 例6将某校吉他社团的 身高/cm 185 调查组将“产量与适应性”“品质与用 9.某学校为了解本校学生暑期参加劳动教 10名同学的身高（单位：cm)绘180： 0 175 18 途”“种植成本”分别赋权2,5,3，请你帮助调查 育活动情况，随机调研了八年级的学生在暑期参 制成箱线图（如图4），从图中170 165 6 组分析：该地区更适宜种植哪种燕麦。 加劳动教育活动的天数.如图3，请根据图中提 可以看出这10名同学身高的160 155 第75百分位数是 ( 图4 供的信息判断在这次抽样调查中，这组数据的众 解：(1)a=167+165 2 =166: 数和中位数分别是 A.180 cm B.178 cm A区域中166出现的次数最多，即b=166: 人 C.170 cm D.165 cm 解：选B c=10×[(170-167)2+(165-167)2+ 。专项练习 (168-167)2+(166-167)2+(169-167)2+ 15.经调查八年级(1)班7位同学每周阅读(164-167)2+(165-167)2+(166-167)2+ 05天6天7天8天9天和9天以上时间天 时间（单位：min)分别为78,80,85,90,79,82，(171-167）2+(166-167)2]=5. 图3 A.5,6 B.5,7 83,则这组数据的第25百分位数为 故填166,166,5. C.6,7 D.7,6 16.已知甲、乙两班人数相 ↑成绩 (2)A区域种植亩产量的平均数高于B区 10.某校积极鼓励学生参加志愿者活动，下同，在一次测试中两班的成绩 20F- 域，方差小于B区域，产量较为稳定，因此A区域 90 表列出了随机抽取的100名学生一周参加志愿 箱线图如图5所示 60 “晋燕8号”的种植情况更好 (1)甲班成绩的中位数为 30 者活动的时间情况： 甲班乙班 (3)“坝腋1号”得分为：7×2+9×5+6×3 乙班成绩的第75百 2+5+3 参加志愿者活动的时间h11.522.53 图5 =7.7(分)； 参加志愿者活动的人数 20x3882 分位数为 (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两 根据表中数据，下列说法不正确的是 “白燕2号”得分为.9×2+8×5+7×3 2+5+3 部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ 7.9(分) (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班 A.表中x的值是32 因为7.7<7.9， 级是哪个 B.这组数据的众数是2 所以该地区更适宜种植“白燕2号” 考点7：利用数据分析作判断 C.这组数据的中位数是2 ●专项练习 例7素有“山西燕麦之乡”之称的右玉县 D.这组数据的平均数是1.7 17.某校为了普及环保知识，从七、八两个年 11.已知一组数据-2,0,1，-2，-3,1，x有 是中国优质燕麦的黄金产区，“右玉燕麦”还获 级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分 得国家农产品地理标志登记保护 惟一众数，则这组数据的中位数是 100分)，并对成绩进行整理分析，得到图6. 【数据收集】为了解右玉县种植燕麦“晋燕8 ”考点5：离差平方和与方差 学生环保知识竞赛成绩折线统计图 号”的情况，某调查组从A,B两个区域随机选取 100t成绩/份 99 例5某校在甲、乙、丙、丁四名同学中选中 ·七年级 95 91 ’97 八年级 一人参加今年5月份举办的教育系统文艺展演 了10块种植区，它们的亩产量（千克/亩）如下： 90 86 独唱大赛，经过三轮初赛，他们的平均成缋都是 A区域：170,165,168,166,169,164,165， 80 166,171,166. 88.5分，方差分别是s=1.5,s2=2.6,s= B☒域：163,167,168,168,171,173,165 04 12345678910序号 1.7,s2=2.8,则这四名同学独唱成绩最稳定的 图6 164,161,160 是 平均数众数中位数 【数据分析】A区域和B区域“晋燕8号”亩 解：因为s屏<病<2<子，所以在平均成 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 产量数据分析如下： 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 绩相等的情况下，这四名同学独唱成绩最稳定的 是甲 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，回答下列问题： A区域167 166 b 故填甲 (1)填空：m= ,n= B区域166 a 16815.8 ●专项练习 (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记 12.白老师在黑板上计算一组数据时，列式 根据以上信息，解决下列问题： 为s,,则 号（填“>”“<”或 (1)表中a= ,b= C “=”); 如下：=4(3-2+(4-)2+(4-)2+ (3)从平均数和中位数的角度分析哪个年 (5-x)2],下列说法错误的是 (2)调查组成员小文认为A区域“晋燕8级参赛学生的成绩较好 A.这组数据的中位数是4 号”种植亩产量的平均数高于B区域，因此A区 (本章检测卷见第19~20版) 数理极 数学 11719111-7191T1 贪梦的白日梦 有个常听智慧故事的打工仔叫白日梦，他聪明过 人，在听过某个故事后，认为南下广东一定可以大捞一 笔。他向某公司老板求职，老板答应他：试用一周（七 天)，日工资20元。白日梦对老板说：“日工资是否能再 谈一谈？”老板很随和地说：“你开个价吧！”白日梦心中 大喜，对老板说：“第一天您须付给我5分钱，第二天付 给我25分钱，以后每天付给我的钱数为前一天与第一 天的钱数之积。” 老板仔细思考后答应了白日梦的要求，并叫来秘书 与白日梦签订如下合同：“本公司职工白日梦，经本人同 意，在试用期期间的工资按如下方案支付：第一天支付 0.05元，以后每天支付的钱数为前一天与第一天的钱数 之积。”签完合同后，白日梦高兴地手舞足蹈，天天沾沾 自喜。你知道为什么吗？ 七天一到，秘书根据合同只付给他6分钱，还说多给 了半分多。同学们，你知道白日梦到底错在哪儿了吗？ 参考答案 白日梦的算法： 第一天5分，第二天5x5=25(分)，即七天试用期的1 资分别是5分，52分，53分，5分，5分，56分，5分。总工资为 97655分，即为976.55元。 而秘书的算法： 第一天0.05元，第二天0.05x0.05=0.0025(元)，即 七天试用期的工资分别是0.05元，0.052元，0.05元，0.05 元，0.05元，0.05元，0.057元，总工资约为0.0526元。 原因为白日梦没搞清楚5分与0.05元在进行乘方 运算时到底有何区别 91717771191T1 韩信分油 韩信是汉代的大将，小时候便爱动脑筋，聪明过人。 传说有一天，街上的两个卖油人争吵不休，路过那 里的韩信出于好奇，呆呆地看着。后来他终于明白，原来 这两个人合伙卖油，因意见不合准备把油桶里还剩下的 10斤油平分后各奔东西，又为了分油不均而争执不停。 韩信仔细端详着，他们手头没有秤，只有一个能装3 斤的油葫芦和一个能装7斤的瓦罐。他们用油桶倒来倒 去，双方总不满意，因而吵嚷起来。有没有办法把油分精 确呢？ 韩信面对两个各不相让的卖油人和眼前的油桶、瓦 罐、油葫芦，默默沉思着。忽然眼前一亮，大声说：“你们 不要吵了，没有秤，也能够分均匀！”说着，他把办法告诉 了卖油人。按照韩信的办法，两个人重新再分，果然都很 满意。 同学们，你们知道韩信是怎样分油的吗？ 参考答案 先用油葫芦连装三次，共装9斤，将7斤的瓦罐注 满后，油葫芦里还剩2斤；然后将瓦罐的7斤再全部倒 入油桶，这时油桶里是8斤油；再将油葫芦内的2斤油 全部倒进瓦罐；最后用空葫芦在油桶里灌满(3斤)，倒 进瓦罐。这样，油桶里剩下的油 和瓦罐中装的油都正好是5 斤，双方各拿其一，恰好两人所 得的油完全相等。 思维 31 97799777779917 数字侦探 在一次魔术表演中，表演者举起一张数字卡片 上面写着“667”。表演者接着说，这是他的数字侦 探。 众人忙问：“它能侦探什么？” 表演者说：“当然是侦探数字咯！三位以内的自然 数，只要尾巴被它接触到，它就侦探出这个数的全部！” “我们悄悄地写下一个数字，它也能侦探出吗？” 有人怀疑地问。 “那当然！”表演者说：“你们尽管写吧，一位数、两位 数、三位数都行！” 几分钟过去了。众人纷纷报告：“写好啦！” 表演者说：“请把写的数与我的秘密侦探‘667'相 乘，只要把积的尾数告诉我，抓住了尾巴，每个人原先写 的数，我便全部知道。” 有人怀疑：我们写的数千差万别，位数也各不相同 667”能有这么大的神通？ 表演者见观众迷惑的神情，忙接着说：“与‘667'相 乘，积的尾数肯定不少，但是我要的尾数却不多，你写的 若是一位数，就只告诉我积的最后一位；若是两位数 的，也只要积的最后两位数，若是三位数的，只要积的 最后三位数。” 表演者刚交代清楚，报数的声音便此起彼落 “我的尾数是9！” “那你写的一定是7。”表演者随口应答。 “我的尾数是82。” “你写的是46” “我的尾数是442。” “你写的是326！” 。 一问一答，速度快得像爆米花，没有提出不 同意见的。 表演者十分自信地说：“我的侦探‘667'，只要 抓住一点信息，便能迅速顺藤摸瓜，找出全部数 字，真相大白，而且从来没有失误。” 众人不解：“667”是怎么侦探的呢： 同学们，你们知道表演者是怎么利用“667”进行侦 探的吗？ 参考答案 因为667x3=2001,任何三位以内的数与2001相乘 积的尾数必定仍是原数。 表演者要求用对方所想的数与667相乘，他只要将 对方告知的尾数再乘以3，原数如果是一位数，那么积 的末位就是原数；原数如果是两位数，那么积的末两位 就是原数：原数如果是三位数，那么积的末三位就是原 数。 如对方告知尾数是9,9x3=27,可知对方想的数是 7。数理招 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠B=90°.所以EG=√BG+BE2=5x. 因为FG是AE的垂直平分线，所以AG=EG=5x. 所以AB=AG+BG=8.x. (1)因为正方形ABCD的边长为4， 所以8=4解得x=分 所以B6=3x=号 (2)连接AF,EF,图略. 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD=BC=CD=8x,∠C=∠D=90° 所以CE=BC-BE=4x. 因为FG是AE的垂直平分线，所以AF=EF 所以AD2+DF2=CE2+CF2,即(8x)2+DF2= (4x)2+(8x-DF)2.解得DF=x. 所以cF=CD-DF=7x所以F=7 26.B. 27.（1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,CD=AB=4. 因为CE∥DB, 所以四边形ECDB是平行四边形. 所以BE=CD=4. 因为2B0=4,所以B0=2. 所以OE=BE-B0=2. (2)由(1)，得0B=0E=2. 因为CE∥DB, 所以∠CEO=∠FBO,∠ECO=∠BFO 所以△COE≌△FOB(AAS).所以OC=OF. 所以四边形BCEF是平行四边形 因为AB∥CD,CF⊥CD, 所以CF⊥OB.所以四边形BCEF是菱形. 因为BE=CD,CF=CD, 所以BE=CF.所以四边形BCEF是正方形 《四边形》复习检测卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B D B 二、11.8；12.两组对边分别相等的四边形是平行 四边形；13.3；14. /1 2 2；15.6或45. 三、16.取BC的中点H,连接EH,FH,图略 因为E,F分别是AB,CD的中点， 所以EH=7AC=2em,PH=2BD=3cm,EH/ AC,FH∥BD. 因为AC⊥BD,所以∠EHF=90° 在Rt△EHF中，由勾股定理，得EF=√E+F :√/13cm. 17.因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC,AD∥BC. 因为BE=DF,所以AD-DF=BC-BE,即AF= EC.所以四边形AECF是平行四边形 因为AC=EF,所以四边形AECF是矩形， 18.(1)因为四边形ABCD为矩形， 所以AD∥BC.所以∠DAC=∠BCA. 由折叠的性质，得∠AF=?∠DAC=子∠BCA =∠MCE. 所以AF∥CE. …参考答案 (2)30.理由如下： 因为四边形ABCD为矩形， 所以AB∥CD,∠B=90°. 又因为AF∥CE,所以四边形AECF是平行四边形 因为∠BAC=30°，所以∠ACB=90°-∠BAC= 60°. 所以∠MCE=30°.所以AE=CE. 所以四边形AECF是菱形 19.（1)因为四边形ABCD是平行四边形，点O是BD 的中点， 所以AD∥BC,BO=DO.所以∠ADB=∠CBD ∠EBO=∠FDO, 在△BOE和△DOF中，{B0=DO, L∠BOE=∠DOF, 所以△BOE≌△DOF(ASA).所以DF=BE. 所以四边形BEDF是平行四边形. (2)过点D作DW⊥EC于点N,图略 因为DE=DC=6,DN⊥EC,CE=4, 所以EN=CN=2.所以DN=√DC-CN2= 42. 因为∠DBC=45°，DN⊥BC, 所以∠BDN=∠DBC=45°. 所以BN=DN=42. 所以BE=BN-EN=4√2-2. 因为S-BEDr=BE·DN=DE·PG,所以PG= BE·DN16-42 DE 3 20.(1)因为EF∥AC,所以∠EFD=∠OCD. ,∠OCD=∠EFD, 在△ODC和△EDF中，{DC=DF L∠CDO=∠FDE, 所以△ODC≌△EDF(ASA). (2)四边形OCEF是正方形.证明如下： 因为△ODC≌△EDF,所以OD=ED. 因为DF=DC,所以四边形OCEF是平行四边形， 因为OD=DC,所以ED=DC,OE=CF 所以四边形OCEF是矩形. 因为∠BEC=45°，所以∠DCE=45°. 所以∠CDE=180°-∠DEC-∠DCE=90°. 所以OE⊥CF.所以四边形OCEF是正方形. 21.（1)取OC的中点M,连接DM. 因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=CD,AB∥CD,∠BAO=∠DCM=45°. 所以∠CE0=∠ABO. 因为D为CE的中点，M为OC的中点， 所以OE=2MD,DM∥OE. 所以∠CDM=∠CEO.所以∠ABO=∠CDM. ,∠BAO=∠DCM, 在△ABO和△CDM中，{AB=CD L∠ABO=∠CDM, 所以△ABO≌△CDM(ASA). 所以OB=MD.所以OE=2OB. (2)因为四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， 所以AB=BC,∠BCE = ∠EBG=90°，BE=BG. 所以∠BEC+∠EBC=90°，∠ABE+∠GBH=90°. 由(1)得∠BEC=∠ABE. 所以∠EBC=∠GBH. 因为GH⊥AB,所以∠BHG=90°.所以△BEC≌ △BGH(AAS). 所以BC=BH.所以AB=BH. 17 《数据的初步分析》专项练习 1.9. 2.(1)400. (2)160,0.3,0.4. (3)补图略 (4)由频数分布表频数直方图可知，80≤x<90的 人数最多，其所占的频率为0.4（答案不惟一）. 3.8;4.D:5.C:6.D;7.7;8.12.2; 9.A;10.C;11.-2或0；12.D;13.丁； 14.10,2:15.79. 16.(1)128,128. (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大 于中等偏上的同学 (3)估计甲班平均分较高. 17.(1)80,86. (2)>. (3)因为七、八年级参赛学生成绩的平均数相同，七 年级参赛学生成绩的中位数较大，所以七年级参赛学生 的成绩较好 《数据的初步分析》复习检测卷 题号 2 3 8 10 答案 B B B 二、11.4；12.22.5；13.24；14.3b+2,9a; 15.-1或3或9. 三、16.(1)小明家每天的平均用电量是6度 (2)小明家4月份的电费约为100.8元 17.由题意得，最小值为102，m5= 117+110 2 113.5,ms0= 118+122 =120,m5= 132+123 2 2 127.5,最大值为150.箱线图略. 18.(1)8,6,0.16. (2)补全频数直方图略. (3)该基地冬训方案科学.理由如下： 由题意，得70分以上的有：16+6+16=38（人）. 所以冬训版果显著的人数占总人数的百分比为：器 ×100%=76%>70%. 所以该基地冬训方案科学， 19.(1)甲的得票分是：40×25%×2=20（分）； 乙的得票分是：40×40%×2=32（分）： 丙的得票分是：40×35%×2=28（分）. (2)甲的得分是：(75+90+20)÷3=1（分）： 乙的得分是：(80+80+32)÷3=64（分）： 丙的得分是：(84+80+28)÷3=64（分）. 因为64=64>185 , 所以无法确定人选 (3)甲的个人成绩是：75×40%+90×35%+20× 25%=66.5(分)； : 乙的个人成绩是：80×40%+80×35%+32×25% =68(分)； 丙的个人成绩是：84×40%+80×35%+28×25% =68.6(分) 因为68.6>68>66.5，所以丙将被选中. 20.(1)3.75,1.91,2.0. (2)B种树 (3)因为11÷5.6≈1.96，所以这片树叶更可能来