期末培优：二次根式中的材料阅读类综合问题、二次根式与勾股定理的应用综合问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦二次根式材料阅读与勾股定理综合应用，以“方法提炼-知识融合-思想渗透”为主线，通过区域真题典例系统培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式材料阅读综合问题|3例+3变式|分母有理化步骤、整体换元思想、信息迁移技巧|概念（二次根式性质）→运算（化简技巧）→应用（新定义问题）| |二次根式与勾股定理应用综合问题|3例+3变式|海伦-秦九韶公式应用、平方法比较大小、数形结合转化|定理（勾股定理）→工具（二次根式运算）→拓展（面积/最值模型）|

期末培优：二次根式中的材料阅读类综合问题、二次根式与勾股定理的应用综合问题专项训练 期末培优：二次根式中的材料阅读类综合问题、二次根式与勾股定理的应用综合问题专项训练 考点目录 二次根式中的材料阅读类综合问题 二次根式与勾股定理的应用综合问题 考点一 二次根式中的材料阅读类综合问题 例1．（25-26八年级下·北京·期中）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：________，________，________； (2)已知：，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）按照题目给出的分母有理化方法计算； （）先对分母有理化化简，相加消去无理数得到整数和，再整体平方求值； （）先对括号内每一项拆分化简，化简括号内式子，再用平方差公式相乘计算结果． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； ． （3）解： 例2．（25-26八年级下·广东广州·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)矩形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的； （2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解； （3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． （3）解：矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴，， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 例3．（25-26八年级下·广东珠海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 变式1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)是正整数，，且，求； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由阅读材料中的分母有理化方法，将式子中的各项分母有理化，再合并同类二次根式化简，最后有有理数运算计算即可； （2）先由阅读材料中的分母有理化方法化简，再将恒等变形为，代入化简后的得到，直接开平方求出值即可； （3）先将两边同时平方得到，再计算，结合二次根式非负性，求算术平方根即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ， 由可得，即， 则或， 解得或， 由是正整数可知，舍去， ； （3）解：， ， 则， ， ， ， 则． 变式2．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）知识与方法的类比，是数学探索发展的核心途径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：当，时，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值．如：若，则，，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)①若，则的最小值为______； ②若，的最小值为______． (3)已知，，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为 【分析】（1）令，原式变为，可化为，再根据完全平方公式求解即可； （2）①变形为，再根据材料2的方法求解即可； ②先化简原式，令，则原式变为再根据材料2的方法求解即可； （3）由，得到，再通过变形得到，根据材料2的方法求解即可； 【详解】（1）解：令， ∴原式 ； （2）解：①， ∵， ∴， 由材料2可得， ， 当且仅当，即时，取得最小值2， ∴的最小值为； ② ， 令， 则原式， 由材料2可得，， 当且仅当，即（满足）时，取最小值， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当，即等号成立，此时， ∴的最小值为． 变式3．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算： ． 【答案】(1)（n为正整数） (2) 【分析】（1）观察运算直接得出结论即可； （2）利用（1）中发现的规律先整理括号中的运算，再结合平方差公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得运算为：（n为正整数）； （2）解： ． 考点二 二次根式与勾股定理的应用综合问题 例1．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 (1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） (2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 【尝试证明】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式： (3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）选择一个公式代入计算即可； （2）作于，设，则，然后分别在和中，表示出，建立方程求解出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）同（2）的方法解答即可． 【详解】（1）解：选择海伦公式： ， ∴ ； 选择秦九韶公式： ； （2）解：如图，作于，则， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图，作于D，则， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 像，，．．．．．这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：； 模型应用1： （1）化简：①②； （2）若，且，，为正整数，求的值； 模型应用2： （3）在中，，，，那么_____．（直接写出结果，并化为最简） 【答案】（1）①；②； （2）或； （3）． 【分析】本题考查二次根式的化简、勾股定理、完全平方公式等，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键． （1）①将拆成，构造完全平方式即可求解；②将拆成，构造完全平方式即可求解； （2）将式子两边平方，根据等式的性质，推出，，的方程组，求解即可； （3）根据勾股定理，求得BC边的长度，再根据模型化简即可． 【详解】解：（1）①， ②； （2）∵， ∴， ， ∴，即， ∵，，为正整数， ∴或， ∴或， ∴综上，或； （3）∵中，，， ∴根据勾股定理：， ， ， ， ， ， ， ． 例3．（25-26八年级下·安徽六安·期中）在进行二次根式大小比较时，除教材展示的方法外，“平方法”也是一种非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方．，，，．另外，我们也可以在网格中利用构造线段的方法来进行二次根式大小的比较，如图1，，，显然，．根据以上提供的内容，解决以下问题： (1)比较大小：____________4 (2)运用上述两种方法比较与的大小 ①利用平方法，请证明； ②利用构造线段法说明，请在图2的网格中，画出图形，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）用平方法比较大小即可； （2）①分别求出和的平方，然后比较大小，即可得出答案； ②根据，，，构造三角形，根据三角形三边关系，比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：①平方法：，，    ∵， ∴， ∴， 则； ②如图所示， ，，， ∵， ∴． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为和的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ． （2）应用：如图，“赵爽弦图”是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ． （3）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． （4）方法应用：已知，均为正数，且，，是三角形的三边长．求这个三角形的面积（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，得到，要使的值最小，则的值最小，根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． （2）设这个全等直角三角形的长边为，短边为，则，，， 由勾股定理得  ， 即，， 构造图形，设，，，， 可得，，  则有的最小值为的长，易证，得到，进而可求得的值． （3）构造图形如图，在矩形中，，，，，且于点，得到 ， ， 则有， 要使的值最大，需的值最大， 当，，三点共线时，的值最大，最大值为，易知，根据平行线分线段成比例，结合，可求得、的值，进而可求得的值． （4）构造图形，使得，，，，，， 则满足 ， ，，可得的面积即为所求， 根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示：，，，， 则，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 由勾股定理，得， 即的最小值是 故答案为：； （2）如图：设这个全等直角三角形的长边为，短边为，则，，， 由勾股定理得 ， 即， 由勾股定理得， 构造图形如下： 设，，，， 可得，， ， 的最小值为的长，如图所示， ， ，， ， ， ， 即的最小值为． （3）构造图形如图：在矩形中，，，，，且于点， 在中， 由勾股定理，得 ， 在中， 由勾股定理，得， ， 要使的值最大，需的值最大， ， 当，，三点共线时，的值最大，最大值为， 如图所示， ，， ， ，即， ， ， 即， ， ， ， ， ， 即的最大值为． （4）构造图形如图：，，，，，， ， ， ， 的面积即为所求， ． 即这个三角形的面积为． 变式2．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小，当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （2）作线段，在的两侧作两个和，使得，，用类似（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为13； 故答案为：13； （2）模仿（1）可知，当，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为5． 故答案为：5． 变式3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）根据勾股定理即可求出斜边的长； （2）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据题意构造图形，，，可将问题转化为求线段的最小值，过点作，交延长线于点，由勾股定理求得的值，从而得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：由题可得：， ∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴斜边长， 故答案为：； （2）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为5； （3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上）， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为13； 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：二次根式中的材料阅读类综合问题、二次根式与勾股定理的应用综合问题专项训练 期末培优：二次根式中的材料阅读类综合问题、二次根式与勾股定理的应用综合问题专项训练 考点目录 二次根式中的材料阅读类综合问题 二次根式与勾股定理的应用综合问题 考点一 二次根式中的材料阅读类综合问题 例1．（25-26八年级下·北京·期中）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：________，________，________； (2)已知：，，求的值． (3)计算：． 例2．（25-26八年级下·广东广州·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 例3．（25-26八年级下·广东珠海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 变式1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)是正整数，，且，求； (3)已知，求的值． 变式2．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）知识与方法的类比，是数学探索发展的核心途径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：当，时，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值．如：若，则，，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)①若，则的最小值为______； ②若，的最小值为______． (3)已知，，且，求的最小值． 变式3．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算： ． 考点二 二次根式与勾股定理的应用综合问题 例1．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 (1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） (2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 【尝试证明】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式： (3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积 例2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 像，，．．．．．这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：； 模型应用1： （1）化简：①②； （2）若，且，，为正整数，求的值； 模型应用2： （3）在中，，，，那么_____．（直接写出结果，并化为最简） 例3．（25-26八年级下·安徽六安·期中）在进行二次根式大小比较时，除教材展示的方法外，“平方法”也是一种非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方．，，，．另外，我们也可以在网格中利用构造线段的方法来进行二次根式大小的比较，如图1，，，显然，．根据以上提供的内容，解决以下问题： (1)比较大小：____________4 (2)运用上述两种方法比较与的大小 ①利用平方法，请证明； ②利用构造线段法说明，请在图2的网格中，画出图形，并说明理由． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为和的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ． （2）应用：如图，“赵爽弦图”是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ． （3）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． （4）方法应用：已知，均为正数，且，，是三角形的三边长．求这个三角形的面积（用含，的代数式表示） 变式2．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 变式3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $