期末复习：乘法公式在几何图形中的应用、乘法公式中的新定义问题专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦乘法公式的几何应用与新定义问题，通过“以形释数”与新定义转化构建系统性方法体系，强化数形结合与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |乘法公式在几何图形中的应用|3例+3变式|“以形释数”（等面积法）、数形结合、图形割补|乘法公式（平方差、完全平方）与几何图形面积互化，通过图形面积验证公式| |乘法公式中的新定义问题|3例+2变式|新定义符号转化、方程思想、定义验证|在乘法公式基础上定义新运算/概念，通过代数推理应用公式|

期末复习：乘法公式在几何图形中的应用、乘法公式中的新定义问题专项训练 期末复习：乘法公式在几何图形中的应用、乘法公式中的新定义问题专项训练 考点目录 乘法公式在几何图形中的应用 乘法公式中的新定义问题 考点一 乘法公式在几何图形中的应用 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）某景区计划改造一块边长为米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为米的装饰区域，其余区域铺设为走道． (1)分别计算花坛和装饰区域的面积； (2)若，，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用． 【答案】(1)花坛的面积为平方米，装饰区域的面积为平方米 (2)铺设走道的总费用为6030元 【分析】（1）直接套用长方形的面积公式“长方形面积长宽”求出花坛的面积和花坛与装饰区域的总面积，再用花坛与装饰区域的总面积减去花坛面积求出装饰区域的面积； （2）用正方形的面积减去长方形的面积，求得走道的面积，用走道的面积乘以每平方米走道铺设的费用算出总花费． 【详解】（1）解：花坛的面积：平方米， 装饰区域和花坛的面积： =平方米， 装饰区域的面积： 平方米． 答：花坛的面积为平方米，装饰区域的面积为平方米． （2）解：走道的面积： （平方米）， 当，时，（平方米）， （元）， 答：铺设走道的总费用为6030元． 例2．（25-26七年级下·广东佛山·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 例3．（25-26七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图1，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1： (1)将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2： (2)四张长为、宽为的长方形纸片按如图4方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是____________． 任务3： (3)若满足，求的值． (4)计算． 【答案】(1)①②④ (2) (3)21 (4) 【分析】（1）根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； （2）方法1，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：，方法2，阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积得：，即可解答； （3）设，则，，再根据完全平方公式变形求值即可求解； （4）根据平方差公式求值即可求解． 【详解】（1）解：图①中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图②中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图③中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图④中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故能验证平方差公式的有①②④； （2）解：方法1，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得， 方法2，阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积得； 则； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； （4）解： ． 变式1．（25-26七年级下·河北唐山·期中）数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． (4)拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张 (3)①；② (4) 【分析】（1）根据图2是由2张A纸片，1张B纸片，3张C纸片组合，进而可得出答案． （2）根据多项式乘多项式计算即可得出答案． （3）①根据图3面积公式求解即可． ②利用平方差公式计算即可． （4）构造平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图2的面积为：， ∴． （2）解： 故需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张． （3）解：①根据图3面积公式可得出． ②． （4）解： ． 变式2．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①；② 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可； ②利用平方差公式将原式变形即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以. （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ② ． 变式3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)288000 【分析】（1）用代数式表示图①中两个正方形的面积差；图②是长为，宽为的长方形，再由长方形的面积公式进行解答即可； （2）由（1）中图①、图②阴影部分面积相等即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，即面积为， （2）解：由（1）得，； （3）解：原式． 考点二 乘法公式中的新定义问题 例1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)14； (2)①；②， (3)23 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）①根据新定义的运算计算即可； ②先分别计算和，化简后再根据加减消元法解方程即可； （2）先根据面积条件推导a，b的关系，，根据完全平方公式变形得出，再根据新定义化简后代入求值即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①； ②∵， 根据题意可得， 化简得， 得， 解得：， 将代入①可得， 解得：； （3）解：根据题意可得面积为，面积为， ∵的面积与的面积之和为5， ∴，即， ∵的面积为， ∴，即， 由完全平方公式：， ∵a，b为正数，故， ， 代入得：原式． 例2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【新定义】设两个相邻整数分别为和（为整数）： 定义：①平均数的平方为，则；②平方的平均数为，则．请完成以下问题： (1)计算验证：取，请计算的值，判断大小； (2)初步化简：分别将、两个代数式化简（即展开并合并同类项）； (3)完整推导：在第（2）问的基础上，的结果是否为一个固定的值？如果是，请求出具体的值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)的结果是一个固定的值，这个值是． 【分析】（1）将代入求解即可； （2）利用完全平方公式计算即可求解； （3）计算，据此即可求解． 【详解】（1）解：当时，，， ∵， ∴； （2）解：， ； （3）解：∵ ， ∴的结果是一个固定的值，这个值是． 例3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)①是；②不是 (2)． 【分析】（1）①根据平衡多项式定义，计算即可判断； ②根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义计算即可． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴由定义可知，，，是平衡多项式； ②∵ ， ∴由定义可知，不是平衡多项式； （2）解：∵，，是平衡多项式， ∴， 整理得， ∴， 因为结果是常数，所以含x的项系数为0： ∴， ∴， ∴， ∴平衡因子． 变式1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解以及因式分解的应用，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得由线段，，，围成的图形的面积为，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： ； ∵， ∴ ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知：，，，围成的图形的面积 ， 将，代入可得，． 变式2．（25-26七年级下·湖南永州·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 【答案】(1)2；6 (2)6 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：乘法公式在几何图形中的应用、乘法公式中的新定义问题专项训练 期末复习：乘法公式在几何图形中的应用、乘法公式中的新定义问题专项训练 考点目录 乘法公式在几何图形中的应用 乘法公式中的新定义问题 考点一 乘法公式在几何图形中的应用 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）某景区计划改造一块边长为米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为米的装饰区域，其余区域铺设为走道． (1)分别计算花坛和装饰区域的面积； (2)若，，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用． 例2．（25-26七年级下·广东佛山·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 例3．（25-26七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图1，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1： (1)将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2： (2)四张长为、宽为的长方形纸片按如图4方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是____________． 任务3： (3)若满足，求的值． (4)计算． 变式1．（25-26七年级下·河北唐山·期中）数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． (4)拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 变式2．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 变式3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 考点二 乘法公式中的新定义问题 例1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 例2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【新定义】设两个相邻整数分别为和（为整数）： 定义：①平均数的平方为，则；②平方的平均数为，则．请完成以下问题： (1)计算验证：取，请计算的值，判断大小； (2)初步化简：分别将、两个代数式化简（即展开并合并同类项）； (3)完整推导：在第（2）问的基础上，的结果是否为一个固定的值？如果是，请求出具体的值；如果不是，请说明理由． 例3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 变式1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 变式2．（25-26七年级下·湖南永州·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $