期末模拟试题卷（三）2025-2026学年下学期八年级数学人教版下册

**基本信息** 融合《周髀算经》《算法统宗》等文化素材与晾衣架、首台套技术装备等现实情境，通过函数图像分析、几何证明、统计推断等题组，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、函数定义、溶解度曲线|第1题以《周髀算经》为背景考查勾股数，体现文化传承| |填空题|6/18|二次根式、勾股定理应用、方差|第13题结合《算法统宗》秋千问题构建方程，培养模型意识| |解答题|8/72|函数图像、几何证明、统计分析、综合实践|第24题晾衣架问题融合菱形性质与空间观念，第23题首台套项目统计考查数据处理能力|

2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试题卷（三） 注意事项： 1.考试时间：120分钟 分值：120分 2.请按试题序号在答题卡相应的位置作答，答在试题卷或其它位置无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．4，5，6 D．5，12，13 2．下列图象中，表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：）与温度（单位：）之间的对应关系，则下列说法正确的是（     ） A．氯化钾的溶解度比的硝酸钾溶解度小 B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C．时，氯化钾的溶解度比硝酸钾的溶解度大 D．溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高 4．如图，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（   ）米． A．13 B．17 C．18 D．20 5．在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 6．已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 7．部分烃类化合物的名称及其结构式如下所示．若将结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知关于的函数解析式为（      ） A． B． C． D． 8．如图，直线l与正五边形的边分别交于点M，N，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算_________． 12．已知，，则代数式的值等于______． 13．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 14．如图是丹丹连续两周健康检测记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，则______（选填“”、“”或“”）． 15．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 16．如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图象，则关于x，y的二元一次方程组的解是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 18．学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B之间的距离． 19．网格纸上每个小正方形的边长为1． (1)在图1中，以端点均在网格格点上的线段为边画正方形． (2)在图2中，画底边长，腰的等腰，并求高的长度． 20．为切实做好防溺水与道路交通安全宣讲工作，某镇政府使用移动广播车开展巡回宣传．如图，笔直公路旁有一村庄A，村庄A到公路的距离为400米（即于点B），广播车的有效收听半径为500米．广播车在公路上沿方向匀速行驶，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后则无法听到广播．求该村村民能够连续听到广播宣传时，广播车行驶的路程的长． 21．如图，O是菱形对角线与的交点；过点C作，过点B作，与相交于点E．求证：四边形为矩形； 22．【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点，分别是，边的中点．求证：，且． 方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接． 【回顾证法】 (1)请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为________米． 23．2025年9月，为推动我省重大技术装备创新发展，加快首台（套）装备产品推广应用，山东省工业和信息化厅组织专家对本年度我省首台（套）技术装备项目材料进行了评审，共有16个地区的260个项目通过评审并予以公示．A省的工业和信息化厅官网也公布了本省通过评审的首台（套）技术装备项目名单，平均各地区首台（套）技术装备项目有13.65个． 【收集与整理数据】 地区 类别 济南 济宁 青岛 烟台 其他地区 入选项目/个 68 20 44 32 x 整机装备/台 54 17 38 25 80 关键核心零部件/套 10 3 5 7 y 核心系统/套 4 0 1 0 1 【描述数据】 图1为山东省2025年度首台（套）技术装备入选项目各地区分布统计图； 图2为山东省2025年度首套关键核心零部件入选项目各地区分布占比统计图．    【分析数据】 类别 平均数 省份 入选项目 整机装备 关键核心零部件 核心系统 A省各地区 13.65个 7.65台 1.5套 4.5套 山东省各地区 16.25个 a台 b套 0.375套 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出x的值，并补全统计图； (2)2025年山东省其他地区入选的首套关键核心零部件项目y是________套，青岛市入选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是________； (3)填空：________，________； (4)请将2025年山东省各地区关于首台（套）技术装备项目的各种平均数与A省相比较，说说我省在创新产业升级中的优劣势． 24．综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）． 【问题提出】 (1)当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm； 【问题探究】 (2)当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离； 【问题解决】 (3)由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试题卷（三） （参考答案及解析） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C D B B C B C 1．D 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项验证即可求解． 【详解】解：根据勾股数定义，三个数必须是正整数，选项A中不是正整数，因此排除A；对剩余选项逐一验证： 选项B：∵ ，，，即， ∴B不是勾股数，不符合题意； 选项C：∵ ，，，即， ∴C不是勾股数，不符合题意； 选项D：∵ ，，即，且三个数均为正整数， ∴D是勾股数，符合题意． 2．D 【分析】根据函数的定义：对于 x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，结合图象利用“垂线法”进行判断即可． 【详解】解：A、作垂直于x 轴的直线，与图象有两个交点的情况，即对于同一个 x值，有两个y值与之对应 ，不符合定义，故选项不符合题意； B、作垂直于x 轴的直线，与图象有两个交点的情况，即对于同一个 x值，有两个y值与之对应 ，不符合定义，故选项不符合题意； C、作垂直于x 轴的直线，与图象有两个交点的情况，即对于同一个 x值，有两个y值与之对应 ，不符合定义，故选项不符合题意； D、作垂直于x 轴的直线，与图象都只有一个交点，即对于同一个 x值，都只有一个y值与之对应 ，符合定义，故选项符合题意． 3．D 【详解】解：A、当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小；当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法错误，不符合题意； B、随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐增大，故原说法错误，不符合题意； C、时，氯化钾的溶解度比硝酸钾的溶解度小，故原说法错误，不符合题意； D、溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高，故原说法正确，符合题意． 4．C 【详解】解：图中树木与地面构成一个直角三角形，题目给出了两个直角边的长度，根据勾股定理得斜边长为（米）； 所以树折断之前的高度为（米）． 5．D 【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形、一个内角是90度的平行四边形是矩形来分析，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故A选项不符合题意；. 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故B选项不符合题意； 由无法推出平行四边形满足矩形的判定条件，不能判定是矩形，故C选项不符合题意； 当时，得平行四边形是矩形，故D选项符合题意； 6．B 【分析】根据一次函数y随x的增大而增大，判断出，再根据即可得出一次函数图象经过一、三、四象限，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∵ ∴一次函数图象经过一、三、四象限， 观察选项，只有B选项符合． 7．B 【分析】根据观察图形得出规律求解即可. 【详解】解：观察图形可知： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴， 故选：B ． 8．C 【分析】先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案. 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．B 【详解】解：∵直线和交于点， ∴当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合， ∴不等式的解集为． 10．C 【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列，中位数把这组数据分成数量相等的两部分，前一半数据的中位数称为第一四分位数，后一半数据的中位数称为第三四分位数，它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和第三四分位数，箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 11． 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到结果． 【详解】解： ． 12．4 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式因式分解，再计算的值，整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13． 【分析】根据已知先表示出的长度，然后在中，利用勾股定理建立方程． 【详解】由题意可知：尺，尺，尺，尺， （尺）， 尺， 在中，， ． 14． 【分析】根据折线统计图的波动情况即可判断． 【详解】解：根据折线统计图的波动情况，可知． 15． 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 16． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题即可. 【详解】解：∵二元一次方程组 的解就是一次函数与图象交点的坐标， 由图象可知，两条直线的交点坐标为， ∴方程组的解为. 17．(1)1 (2) (3)3.2 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 18．(1)是直角三角形，理由见解析 (2)池塘两端A，B之间的距离为 【分析】（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知：是直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴； 答：池塘两端A，B之间的距离为． 19．(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的判定和等腰三角形的判定和性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用网格图的特征以及勾股定理画出图形即可； （2）方法一：根据等腰三角形的性质可得， 然后在中，根据勾股定理解答即可；方法二：根据，解答即可． 【详解】（1）解：如图1，正方形即为所求； （2）解：如图2，等腰即为所求． 方法一：在等腰中，， ， ∴在中，，根据勾股定理得： ； 方法二：， 又 ∴． 20．广播车行驶的路程的长为米． 【分析】根据题意可得米，易证，利用勾股定理求出米，即可得到． 【详解】解：∵广播车的有效收听半径为500米，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后无法听到广播， ∴米， ∵， ∴， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：广播车行驶的路程的长为米． 21．证明见解析 【分析】先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，最后根据矩形的判定，即可证明结论． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是矩形． 22．(1)见解析 (2)24 【分析】（1）选择方法一：延长到点，使，连接，，，先证明四边形是平行四边形，故，，即可证四边形是平行四边形，有，，从而可得结论； 选择方法二：取的中点，连接并延长到点，使，连接，证明，得，，再得，从而可得四边形是平行四边形，有，，可证，四边形是平行四边形，即可得，从而得结论； （2）利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）证明：方法一： 如图2，延长到点，使，连接，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； 即，且； 选择方法二： 取的中点，连接并延长到点，使，连接，如图， ∵E是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，． 即三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：∵D，E分别是的中点， ∴为的中位线， ∴（米）． 23．(1)96，补全统计图如图： (2)15， (3)13.375，2.5 (4)优势：山东省入选项目、整机装备、关键核心零部件的地区平均数量都显著高于A省，说明山东在首台(套)装备的项目规模、整机量产、核心零部件配套上创新产业升级实力更强；仅核心系统均值低于A省，可后续加强核心系统攻关 【分析】（1）根据总数为260个项目即可求解x的值，再补全统计图即可； （2）先求解出关键核心零部件项目的总数即可求解y的值， （3）根据各地区的征集装备个数以及关键核心零部件套数计算即可； （4）结合两省的平均数分析即可． 【详解】（1）解：由表格可知，济南入选68个项目，济宁入选20个项目，青岛入选44个项目，烟台入选32个项目， ∴， 统计图略； （2）解：由扇形统计图可知，济宁关键核心零部件占， ∴总数为， 由表格可知，关键核心零部件套数为：济南10套，济宁3套，青岛5套，烟台7套， 故， 青岛市人选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是：； （3）解：由表格可知，整机装备个数为：济南54台，济宁17台，青岛38台，烟台25台，其他地区80台， 山东共16个地区，则， 由表格可知，关键核心零部件套数为：济南10套，济宁3套，青岛5套，烟台7套，其他地区15套， 则； （4）略 24．(1)16 (2)72cm (3) 【分析】（1）利用已知条件证得，从而得到，再利用中点的性质即可解出答案； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长度，再根据证得四边形是平行四边形，所以，同理证得，即可求出答案； （3）连接点的距离不小于4cm，所以直接将代入，利用勾股定理解出答案． 【详解】（1）解：连接，相交于点， ， ∵和中间三个全等的菱形边长相等， ∴， 在和中，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 当点移动到点的位置时， ． （2）解：连接， 由题意得，． ∵四边形是菱形， ， ． ． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，故，且中间的三个菱形边都相等，对应角也相等，则都是全等的菱形， 同理可得， ． 答：此时晾衣架端点到墙壁的距离是72cm． （3）解：当时，， ． ． ． 答：晾衣架活动端点的最大可移动距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $