23.1 测量&23.2 直角三角形的性质（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

第23章 解直角三角形 23.1测量 针对训练 1.如图，有两棵树，一棵高8m,另一棵高 使AB与河岸BC垂直，在近岸取点C, 2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树 E,使CE⊥BC,AE与BC交于点D.已 的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行 测得BD=30m,CD=10m,EC= 11m,求河宽AB. 8 m A.6 m B.8 m C.10m D.18m 2.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长 为3m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使 竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好 5.如图，一棵高25m的大树在一次台风中 落在地面的同一点.此时竹竿与这一点 被刮断，树顶落点C到树根B的距离为 相距5m,与树相距10m,则树的高度为 15m.科研人员要查看断痕A处的情 况，在与树根B距离6m的D处竖起一 个梯子AD.已知点D,B,C在同一条直 3 m 线上，则这个梯子有多长？ 10m A.5 m B.6 m C.7m D.9 m 3.如图，为了测量油桶内油面的 高度，将一根细木棒自油桶小 孔插入桶内，测得木棒插入部 分的长为100cm,木棒上沾 油部分的长为60cm,桶高为80cm,那 么桶内油面的高度是 cm. 4.如图，为了估计河的宽度，我们可以在河 对岸选定一个目标点A,在近岸取点B, ·26· 23.2直角三角形的性质 √知识梳理 (1)直角三角形的两个锐角 (2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 (勾股定理)； 直角三角形的性质 (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 (4)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的 针对训练 1.已知直角三角形中30°角所对的直角边 好落在边AC上，与点B'重合，AE为折 为3cm,则斜边的长为 ( 痕，则EB= A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 2.直角三角形两条直角边长分别是6和8， B E 则斜边上的中线长为 6.如图，点D是△ABC的BC边上的一 A.3 B.4 点，已知AB=13,AD=12,AC=20, C.5 D.6 BD=5.求BC的长. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∠C=60°，D为边AC的中点，BD=2, 则BC的长为 ( A.√3 B.2√3 C.2 D.4 (第3题图) (第4题图) 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D, E,F分别为AB,BC,AC的中点.若EF 的长为8，则CD的长为 5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB= 30,BC=40,将△ABC折叠，使点B恰 ·27·22.5图形与坐标 22.5.1用坐标确定位置 针对训练 1.A 2.C3.A4.(一4,4)5.解：建立平面直角坐标系如图所示. y 广场(0,0)，第一中学(-1，一2)，酒店(-2,0)，商场（一1,2），第 商场 第中学 酒店广肠 1 第一中学 二中学(2,1).（答案不唯一） 22.5.2图形的变换与坐标 知识梳理 (-）(-,-)(叶0(，(，） 针对训练 1.B2.A3.(-3,-1)4.(4,2)或(-4，-2)5.解：(1)如图，△A1B1C即为所 求 三个顶点的横坐标不变，纵坐标为对应点纵坐标加3. A; (2)如图，△A2B2C2即为所求，三个顶点的横坐标不变，纵坐标为对应点纵坐标的相反 数.(3)如图，△AB,C即为所求.点C的坐标不变，点A:在点A的基础上，横坐标减2， 纵坐标减2，点B:在点B的基础上，横坐标减1，纵坐标加1.(4)如图，△A,B,C即为所 求.点C的坐标不变，点A,在点A的基础上，横、纵坐标都加4，点B,在点B的基础上， 横坐标加2，纵坐标减2 第23章解直角三角形 23.1测量 针对训练 1.C2.D3.484.解：AB⊥BC,CE⊥BC,AB∥CE.△ADB△EDC.9- EC ,即AB=30AB=33m答：河宽AB为33m5解：根据题意，得ABLC 11-10 BC=15m,BD=6m.在Rt△ABC中，：AB2+BC2=AC2,.AB2+152=(25-AB)2, ∴.AB=8m.在Rt△ABD中，AD=√AB+BD=10m.答：梯子的长为10m 23.2直角三角形的性质 知识梳理 互余平方一半一半 针对训练 1.C2.C3.C4.85.156.解：AB=13,AD=12,BD=5,13=12+5, △ABD是直角三角形，∠ADB=90°.∴.∠ADC=90°.：AC=20,.CD= √/AC-AD=√/20-122=16.∴.BC=BD+CD=5+16=21. 23.3锐角三角函数 23.3.1锐角三角函数 第1课时锐角三角函数 知识梳理 c 94 针对训练 1.C 2.A 3.D 4.9 5.解 $$\because \angle C = 9 0 ^ { \circ } ， B C = 4 ， \therefore \tan A = \frac { 2 } { 3 }$$ 即 $$\frac { 4 } { A C } = \frac { 2 } { 3 } ， \therefore A C =$$ $$6 . \therefore A B = \sqrt { A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 1 3 } ， \therefore \cos B = \frac { B C } { A B } = \frac { 4 } { 2 \sqrt { 1 3 } } = \frac { 2 \sqrt { 1 3 } } { 1 3 } .$$ 第2课时特殊角的三角函数值 知识梳理 $$\frac { 1 } { 2 } \frac { \sqrt 2 } { 2 } \frac { \sqrt 3 } { 2 } \frac { \sqrt 3 } { 2 } \frac { \sqrt 2 } { 2 } \frac { 1 } { 2 } \frac { \sqrt 3 } { 3 } 1 \sqrt 3$$ 针对训练 1.D 2.B 3.直角4.解：(1)原式= $$= \sqrt 3 \times \frac { \sqrt 3 } { 2 } - 3 \times { \left( \frac { \sqrt 2 } { 2 } \right) ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } = 0 . \left( 2 \right.$$ (2)原式= $$2 \times \frac { \sqrt 2 } { 2 } - \frac { 3 } { 2 } \times \frac { \sqrt 3 } { 3 } \times \frac { \sqrt 3 } { 2 } + \left( \frac { \sqrt 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \sqrt 2 - \frac { 3 } { 4 } + \frac { 3 } { 4 } = \sqrt 2 .$$ 5. 解：在 Rt△ABC 中， ∠C= $$9 0 ^ { \circ } ， A B = 8 ， B C = 4 \sqrt 3 ， \therefore A C = \sqrt { A B ^ { 2 } - B C ^ { 2 } } = \sqrt { 8 ^ { 2 } - \left( 4 \sqrt 3 \right) ^ { 2 } } = 4 ， \therefore \cos A = \frac { A C } { A B } = \frac { 4 } { 8 } = \frac { 4 } { 8 } =$$ $$\frac { 1 } { 2 } . \therefore \angle A = 6 0 ^ { \circ } .$$ 23.3.2 用计算器求锐角三角函数值 针对训练 1.A 2.C 3.A 4.3.5 5.解：(1)原式 ≈-0.6959.(2) 原式 ≈1.7692.(3) )原式≈ 0.6718.(4)原式 ≈0.7489. 23.4 解直角三角形 第1课时解直角三角形及其简单应用 针对训练 $$1 . A \quad 2 . C \quad 3 . B \quad 4 . 2 1 \quad 5 . \frac { 3 2 } { 5 }$$ s. 6. 解 $$\left( 1 \right) \because \angle C = 9 0 ^ { \circ } ， c = 8 ， \angle A = 3 0 ^ { \circ } ， \therefore a = \frac { 1 } { 2 } c = 4 ，$$ $$b = c \cdot \cos A = 4 \sqrt 3 ， \angle B = 9 0 ^ { \circ } - \angle A = 6 0 ^ { \circ } ， \left( 2 \right) \because \angle C = 9 0 ^ { \circ } ， a = 5 ， b = 1 2 ， \therefore c = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } =$$ $$1 3 ， \tan A = \frac { a } { b } = \frac { 5 } { 1 2 } . \therefore \angle A \approx 2 2 . 6 ^ { \circ } . \therefore \angle B = 9 0 ^ { \circ } - \angle A = 6 7 . 4 ^ { \circ } .$$ 第2课时与仰角、俯角有关的解直角三角形的应用 知识梳理 仰角俯角 针对训练 1.A 2.B 3.D 4.75.解：根据题意，得 $$\angle A = \alpha = 1 7 ^ { \circ } ， \angle C B D = \beta = 4 5 ^ { \circ } .$$ 在 Rt△ACD 中， $$\because C D = 5 m ， \therefore A D = \frac { C D } { \tan A } \approx 1 6 . 1 m . \because$$ 在 Rt△BCD 中， $$， B D = \frac { C D } { \tan \angle C B D } = 5 m .$$ ∴AB=AD-BD=11.1m≈11m. .答：最远点与最近点之间的距离AB约为11m. 第3课时与坡度、坡角有关的解直角三角形的应用 知识梳理 $$\frac { h } { l } \tan \alpha$$ 大陡 针对训练 1.A 2.C 3.54.解： ∵ 坡CD的坡度是 $$1 ： 1 . 5 ， D F = 4 m ， \therefore \tan \angle D C F = \frac { D F } { C F } =$$ $$\frac { 1 } { 1 . 5 } \therefore C F = 1 . 5 D F = 6 m ，$$ 坡AB的坡度是 $$1 ： 1 ， A E = 4 m ， \therefore \tan \angle A B E = \frac { A E } { B E } = \frac { 1 } { 1 } =$$ 1.∴BE=AE=4m. 易得四边形 AEFD 是矩形， ∴EF=AD=2.5m.∴BC=BE+ EF+CF=4+2.5+6=12.5(m). .答：坝底宽 BC 是12.5 m. -95 第24章随机事件及其概率 24.1在重复试验中观察随机现象 第1课时确定事件与随机事件 知识梳理 一定一定不会确定事件无法预先确定 针对训练 1.A2.D3.解：(1)(3)(5)是必然事件，(2)(4)是不可能事件，(6)是随机事件， 4.解：(1)不同意.理由：因为每次抛掷硬币“正面朝上”是一个随机事件，它不受前面出 现结果的影响，虽然前面3次出现的结果都是“正面朝上”，但第4次可能出现“正面朝 上”或“正面朝下”，所以第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是随机事件，故不同意. (2)不同意.理由：因为每次买彩票是否中一等奖是一个随机事件，且它不受前面出现 的结果的影响，所以“今后他买彩票中一等奖”是随机事件，故不同意 第2课时用频率估计随机事件发生的机会的大小 知识梳理 频率 针对训练 1.D2.33%3.62%4.解：(1)猜测：正面朝上的机会为50%.(2)因为试验次数较 小，事件出现的频率与事件出现的机会有比较大的差距，不能据此估计事件发生的机会， 24.2随机事件的概率 24.2.1概率及其意义 知识梳理 可能性 针对训练 1.D2.C3.A4.号5.解：1)P(指针落在标有6的区域内)=令.(2)P(指针落 在标有9的区域内)=0.(3)P(指针落在标有偶数的区域内)=令=宁.（④）P(指针落 8 在标有偶数或奇数的区域内)=1， 24.2.2频率与慨率 针对训练 1.A2.A3.A4.0.95.解：(1)0.700.70(2)发芽的频率接近0.70，.这种 油菜籽发芽的概率估计值为0.70，理由：在相同条件下进行多次重复试验，某一事件的 发生频率近似等于概率，(3)在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗约 10000×0.70×90%=6300(棵). 24.2.3列举所有机会均等的结果 针对训练 1.D2C34.5.解：1 (2)列表如下： A B C D A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D) 共有16种等可能的结果，其中抽到的都是合格品的结果有9种，∴.P(两次抽到的都是 合格品)=16 96