22.2 相似图形&22.3 相似三角形（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

22.2相似图形 √知识梳理 相似多边形的性质 相似多边形的对应边 ,对应角 两个边数相同的多边形，如果各边 ,各角 ,就称 相似多边形的判定 这两个多边形相似 相似比 两个相似多边形 称为它们的相似比 针对训练 1.如图，用放大镜看到的多边形与原多边 5.如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折 形相比较，不发生改变的是 (EF为折痕)得到的两个全等的小矩形. A.周长 如果小矩形与原来的大矩形相似，那么 B.面积 原来矩形的长、宽之比为 C.每个内角的度数 D.每条边的长度 2.下列图形中，一定相似的是 A.所有矩形 B.所有等腰三角形 6.小明家有一个相框，长、宽分别为20cm, C.所有等边三角形D.所有菱形 10cm,小明想做一个与该相框形状完全 3.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,下列 相同的矩形相框，手中只有一根30cm 四个矩形中，与矩形ABCD相似的是 长的相框料，想以这根相框料为一边，那 么新的相框的另一边长为多少？（已知 两矩形相似) 2.5 3 A B D 4.如图，已知两个四边形相似，则α的度数 为 ,x的值为 ,y的值为 120° 8 90d 509 ·16· 22.3相似三角形 22.3.1相似三角形 知识梳理 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，它们是对应边 、对应角 相似三角形 的三角形 相似符号 相似用符号“ ”来表示，读作“相似于” 相似三角形 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与 的预备定理 原三角形 √针对训练 1.已知△ABC∽△DEF,AB=8,DE=6,5.如图，D,E分别是AC,AB上的点， 则紧的值为 △ADE△ABC,且DE=8,BC=24, ( CD=18,AD=6,求AE,AB的长. A.2 C.3 n.9 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=3, DB=2,则△ADE与△ABC的相似比是 ( A B 2-3 c D. 5 6.如图，已知AB∥DE,AC=4cm,BC= (第2题图) (第3题图) 3cm,CE=6cm.求AD的长. 3.如图，点F在口ABCD的边AB上，连结 CF,交DA的延长线于点E.在不添加 辅助线的情况下，与△AEF相似的三角 形有 ( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.已知两个三角形相似，其中一个三角形 的三边长分别为2cm,5cm,6cm,另一 个三角形的最长边为15cm,则它的最 短边为 cm. ·17 22.3.2相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定定理1 知识梳理 相似三角形的判定定理1 两角分别 的两个三角形相似 针对训练 1.下列图形中，与如图所示的三角形相似 4.如图，AD,BC相交于点P,连结AC, 的三角形是 ( BD.若∠C=∠D,AC=6,CP=4,DP= 2,求BD的长. 45 50 A B 50 40入 40 190 30 C D 2.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B.若 AD=3,BD=5,则AC的长为( 5.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在 AB,BC,AC边上，DE∥AC,EF∥AB. 求证：△BDE∽△EFC. A.15 B.2√6 C.√10 D.8 3.如图，已知∠1=∠2，请补充一个条件： 使△ABC∽ △ADE. ·18· 第2课时 相似三角形的判定定理2,3 √知识梳理 相似三角形的判定定理2 两边 且 相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理3 三边 的两个三角形相似 针对训练 1.若要使图中的两个三角形相似，则m的 求证：△ADEp△ACB. 值是 6 3 2 A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列条件可以判定△ABC∽△A'B'C 的是 A.∠A=∠B'=∠C 5.如图，△ABC与△DEF在正方形网格 B8-AC且∠A=∠C 中，它们的顶点都在边长为1的小正方 形的格点上，试判断△ABC与△DEF c0-且/A=/A 是否相似，并说明理由. D.以上都不对 3.如图，∠BAD=∠CAE,AC=2AE, AB=2AD.若BC=3cm,则DE的长为 cm. 4.如图，在△ABC中，D,E分别为边AB, AC上两点，连结DE,且AD=5,BD= 3,AE=4,CE=6. ·19 22.3.3相似三角形的性质 √知识梳理 (1)相似三角形对应边上的高的比等于 相似三角形 (2)相似三角形的面积的比等于 的性质 (3)相似三角形对应角的平分线、对应边上的中线、周长的比等于 √针对训练 1.若两个相似三角形对应边的比为1：3， 5.已知△ABC的三边长分别为6,8,10，和 则它们的周长之比为 ( △ABC相似的△A'B'C'的最长边长为 A.1:3 B.1:3 30,求△AB'C的周长. C.1:6 D.1:9 2.如图，△ABC△A'B'C',AD和A'D 分别是△ABC和△A'B'C'的高.若 AD=2,A'D'=3,则△ABC与△A'B'C' 的面积比为 6.如图，在□ABCD中，E是BC上一点，AE 交BD于点F.已知BE:EC=3：1, A.4:9B.9:4 C.2:3 D.3:2 S△B=18cm2,求△AFD的面积. 3.如图，△ABCD△AB'C,相似比为， AD,A'D'分别是边BC,BC'上的中线， 则AD:AD'= B D B'D' 4.若△ABC∽△A'B'C',AB=16cm, A'B'=4cm,AD平分∠BAC,A'D'平 分∠B'A'C',A'D'=3cm,则AD的长 为 cm. ·20· 22.3.4相似三角形的应用 第1课时 相似三角形的实际应用 针对训练 1.如图，为了测量一池塘的宽DE,在岸边 4.如图，小明欲测量一座垂直于地面的古 找到一点C,测得CD=30m,在DC的延 塔DE的高度，他直立站在该塔的影子 长线上找一点A,测得AC=5m,过点A AE上前后移动，直到他自己影子的顶 作AB∥DE,交EC的延长线于点B,测 端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他 得AB=6m,则池塘的宽DE为( 与该塔的距离CE=32m.已知小明的身 A.25m 高BC=1.8m,他的影长AC=4m. B.30m (1)△ABC与△ADE是否相似？请说 C.36m 明理由， D.40m (2)求古塔DE的高度. 2.我们可用“斜尺”测量管道的内径（如 图).若玻璃管的内径DE正对“30”刻度 线，已知AB的长为5mm,DE∥AB,则 玻璃管内径DE的长为 ( ) E B 30. 40 A A.2.5 mm B.3 mm C.3.5 mm D.4 mm 3.如图，某高铁在修建时需将位于山两侧 的M,N两地间打通一条直线隧道，工 程人员为了计算M,N两地之间的直线 距离，选择了在测量点A,B,C进行测 量，点B,C分别在AM,AN上.现测得 AM=1200m,AN=2000m,AB= 30 m,BC=45 m,AC=18 m,M,N 两地之间直线隧道的长. ·21 第2课时等积式、比例式的证明与应用 √知识梳理 三角形三条边上的 交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点 三角形的重心 的连线的长是对应中线长的 针对训练 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,4.如图，点D,E,F分别在△ABC的边AB, AC上，且DE∥BC,以下结论正确的是 AC,BC上，且DE∥BC,EF∥AB.求证： AD BF AB BC A.AB:AD-DE:BC B.AD:DB=DE:BC C.AD:DB-AE:EC D.AE:AC=AD:DB 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1 AB于点D,下列结论中，错误的是( A.AC=AD·AB B.BC=BD·BA 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,DEI C.CD=AD·DB AB于点E,DF⊥AC于点F.求证：AE· D.CD=AC·BC AB=AF·AC. 3.三角形三条中线相交于一点，这个点称 为三角形的重心.如图，AE,CF分别是 △ABC的边BC,AB的中线，点G是 △ABC的重心，则% 。22·4=号4，=3.(3)原方程可化为3(x-2)=36.两边都除以3，得(x-2)=12.直接 开平方，得x-2=士2√3.x1=2十2√，x2=2-2√5.(4)将方程化为一般形式，得 4x2十20.x十25=0.这里a=4,b=20,c=25.:b2-4ac=202-4×4×25=0..x= 02,即1==号 2×4 21.2.4一元二次方程根的判别式 知识梳理 △不相等相等没有 针对训练 1.B2.B3.-8没有485.解：(1)原方程可变形为3x-2x-1=0.4 (-2)2-4×3×(一1)=16>0，·方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可变形为 x2十4x十4=0.：4=42-4×1×4=0，∴.方程有两个相等的实数根，6.解：由题意， 得△=(-6)2-4kX9=36-36k,且k≠0.(1)由题意，得△=36-36k>0,且k≠0，解得 k<1且k≠0.(2)由题意，得△=36-36k=0,且k≠0，解得k=1.(3)由题意，得△= 36一36k<0,且k≠0，解得k>1. 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 针对训练 1.D2.D3.14.-15.解：(1)原方程可化为x2-6x十5=0，.x1十x2=6, 1=5.(2)原方程可化为7x2-5=0.1十=0，=-号.(3)原方程可化为 3r十4十1=0n十0=一亭，0=子6解：1由题意，得4=2：-4X1Xa .4 1)≥0，解得a≤2.(2)由题意，得x1十x2=-2,x1x2=a-1.,2x1十2x2-x1x2= 2(x1十x2)-x1x2=5,.2×(-2)-(a-1)=5,解得a=-8. 21.3实践与探索 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 针对训练 1.D2.C3.14.85.解：(1)(100-2x)(50-2x)(2)根据题意，得(100-2x) (50一2x)=3600.整理，得x2一75x十350=0.解得x1=5,x2=70(不符合题意，舍去). 答：正方形观光休息亭的边长为5m. 第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 针对训练 1.B2.B3.20%4.八5.解：(1)401800(2)设每件商品降价x元.由题意， 得(250-x-200)(30十2x)=2100.整理，得x2-35.x十300=0.解得x1=20,x2=15. :为了让顾客得到更多的实惠，∴x=20.答：当每件商品降价20元时，商场通过销售 这种商品每天盈利可达到2100元. 第22章图形的相似 22.1成比例线段 22.1.1成比例线段 知识梳理 相同形状合=台（或a:b=c:合=行AP P AB 针对训练 1.D2.D3.(1)8(2)24.(405-40)5.解：1)：2a=36,.2a-b-36-b=2. 91 (2):线段m是a,b的比例中项，m=ah.2a=36,a=6,b=2X6=4.m=4X 3 6=24..m>0,.m=26. 22.1.2平行线分线段成比例 知识梳理 平行线 针对训练 1C2.A3 4.解：DE∥BC,DF∥AC,∴.四边形DECF是平行四边形. FC=DE=2mDr/AC既-器脚些=亭B版=4m点第：1：AB/ CD//EF...AC_BD AE BF' AC6.D015..CE-AE- AC=9.(2:AB/CD∥F,5-8架=合=是：a=20器-子 204 .DF=15. 22.2相似图形 知识梳理 成比例相等对应成比例对应相等对应边的比 针对训练 1.C2.C3.A4.100° 琴5万：16.解：设新的相框的另一边长为rcm 5 当所求的边与20cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=x：30,解得x=60.当所 求的边与10cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=30：x,解得x=15..新的相 框的另一边长为60cm或15cm. 22.3相似三角形 22.3.1相似三角形 知识梳理 成比例相等相似 针对训练 1.B2.C3.C4.55.解：AD=6,CD=18,∴.AC=AD+CD=24.又△ADE △ABC长器是：普=京景AE=8AB=186解：AB/DB, 43 ABC∽△DEC.C=C,AC=4cm,BC=3cm,CE=6cm,…D元 .CD=8cm.,.AD=AC+CD=4+8=12(cm). 22.3.2相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定定理1 知识梳理 相等 针对训练 1.B2.B3.∠B=∠D(答案不唯一)4.解：：∠C=∠D,∠APC=∠BPD, △APCO△BPD.六0-8邵即巴-号.BD=85证明：DE∥AC ∴.∠BED=∠C.EF∥AB,∴∠B=∠FEC.∴△BDE∽△EFC. 第2课时相似三角形的判定定理2,3 知识梳理 成比例夹角成比例 针对训练 1.D2.C3.1.54.证明：AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,.AB=AD十BD=8, 92 AC=AE+B=10.福=青=名，把-品=分∴福-把又：∠A=∠A ∴.△ADE△ACB.5.解：△ABCc∽△DEF.理由如下：由题意，得AB=√+2= √5，BC=5,AC=√1+3z=√10，DE=1,EF=√/1+2=√5，DF=√/1+1=√2， 提后器后品-爱后提器品AAaR 22.3.3相似三角形的性质 知识梳理 相似比相似比的平方相似比 针对训练 1.B2.A3.3:44.125.解：和△ABC相似的△A'B'C的最长边长为30， .△ABC与△A'B'C的相似比为10：30=1：3.：△ABC的周长为6+8十10=24， .△A'B'C的周长为24X3=72.6.解：：四边形ABCD为平行四边形，AD=BC, AD∥BC.∴.△AFDp△EFB.又BE:EC=3:1,∴.BE:BC=3:4.∴.BE:AD= 3:4.S△地= AD、2 S△EFB （0)-(青)广9∴S.v.m=2cm 22.3.4相似三角形的应用 第1课时相似三角形的实际应用 针对训练 1心2B3解准结MN兴-品赢长品品票-盖又 :∠A=∠A,△AC△ANM∴系=、=品BC=45m,MN= 3000m.答：M,N两地之间直线隧道的长为3000m.4.解：(1)△ABC△ADE.理 由如下：：BC⊥AE,DE⊥AE,∴.BC∥DE..△ABC∽△ADE.(2)由(1)知△ABC △ADB,S-BE即产2=DE=16,2m答：古塔DE的高度为16,2m 第2课时等积式、比例式的证明与应用 知识梳理 中线专 针对训练 1.C2.D32 4.证明：：DE∥BC,EF∥AB,四边形DBFE是平行四边形. DE=BR:DE∥BC△ADB△AC铝-.六铝=既 5.证明： :AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90.:DE⊥AB,易得△ABD∽△ADE.AP AE 0:AD=AE·AB,同理，得AD=AF·ACAE·AB=AF·AC 22.4位似图形 知识梳理 位似中心 针对训练 1.C2.C3.B4.D5.解：(1)如图，△A1B1C即为所求 (2) 1 9 93