第8期：相似三角形2-【数理报】2026-2027学年九年级(中考)数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大中考第6~9期 裁理柄 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大中考第6~9期 第6期2版 8器=子所以0h=6,因为AD∥BEcP,所份-品 0G1 22.1.1成比例线段 基础训练1.D;2.D;3.C; 所以 号，所以PM=15 4号；56 22.2相似图形 6.△ABC是直角三角形.理由如下： 基础训练1.B:2.D;3.号；4.6； 设0+4=6+3=+8=k,则a=3k-4,b=2k-3,c 5.2y=3x或3y-2x=10. 3 2 4 6.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 =4k-8. 因为a+b+c=12,所以3k-4+2k-3+4k-8=12, 兰=是或9=受解得1=4或1=1所以当，N运动4 解得k=3. 或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似. 所以a=5,b=3,c=4. 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交BC于点 所以62+c2=32+42=25=a2. E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是平行四边形，所 所以△ABC是直角三角形 以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以∠BAE=∠AEB.所以 能力提高7.当a+b+c+d≠0时， AB=BE.同理AB=AF所以BE=AF.因为AD∥BC,所以四 2a 26 2c 2d 因为b+c+a=a+e+a=a+b+a=a+b+c =k, 边形ABEF是平行四边形.因为AB=BE,所以四边形ABEF是 菱形. 2a+2b+2c+2d 所以b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+C =k, (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE=EF 8+出=6所以4= =FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以FD=CE,EF 3(a+b+c+d) 3 =CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. 当a+b+c+d=0时，b+c+d=-a,所以2L=k,解 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD -a =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x,因为□ABCD 得k=-2. 综上所述，k的值为子或-2 口5C0,所以号=品即产，兰整理得-12x+6 =0,解得x=6±2√5，因为x<4,所以x=6-25,所以AF 22.1.2平行线分线段成比例 =4-6+25=25-2. 基础训练 1D;2.B;3.2:4.6;5.4 第6期3版 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所以 题号12345678 EF= 答案BBCDCD BB 器器-祭所以器-张即cP=BF,6R 7 二、9.5；10.8；11.(300-1005)m;12.3: 能力提高7.(1)因为AD∥BE∥CF,所以Ag=DE AC=DF 13.51.2;14.22. 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= 号，所以2作i0=号所以DE=4,所DF=DE+EP=4 ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= +10=14. ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以 DE 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14:9,设a 初中数学·华东师大中考第6~9期 +b=7k,b+c=14k,c+a=9k,则a+b+c=15k,所以a= 又因为PW∥AC,所以DE∥AC,所以6-2所以0- k,b=6k,c=8k,所以a:b:c=1:6:8. AB AE (2。+的值为-品 c2+bc 指-铝光同理可得完-铝·器所以岩+袋-岩 AB AD BC AB AC AD AP 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, (BC+BC 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 第6期4版 以BE=BC. 重点集训营 (2)AE=BC.理由：因为AD∥EF,EF∥BC,所以 品因为DF=FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE- 4.CE=26. BC. 第7期2版 18.过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF,所以 22.3.1相似三角形 祭-2.因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC,所以BG= 基础训练1.C；2.A;3.12；4.2√3 能力提高5.(1)因为AB∥CD,所以△ABE∽△DCE, GF,因为DG∥CF,所以5=45 AFG=ED 所荒-光=号=号又因为B∥F,所票-能 (1)因为E为AD的中点，所以AE=ED,所以AF=FG= Bc,所以品= 3 （2)因为汽=太，所以瓷=士所以FG=MP,所以G (2②)因为cD∥，所以△BF~△BCD,所u品-品 2 =FG=MF,所以BP=24F,所以部=都e=六 AF 又因为cD=15,器=子所以EF=c0能=15×2子3 6. 19.（1)如图1，连结BC,设AB=x,由翻折的 22.3.2相似三角形的判定（第一课时） 性质得，∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF 基础训练1.D;2.B;3.70;4.1.4. =∠BDF=90°.因为∠ACE=∠ACB+∠ECB= 能力提高5.(1)作图略。 ∠BCF=∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以 ∠ACB=∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD= 图1 (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=子∠BAC, BC=√2x,所以AD=AB+BD=(√2+1)x,所以EF=CE= 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=7∠BAC,所以∠BAD=∠C, AD=(2+1)x,因为DE=AC=AB=x,所以DF=DE+EF 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD△CBA. 2%资反 22.3.2相似三角形的判定（第二课时） 基础训练1.D;2.C;3.2或8； (2)相似.理由：由题意知：A5纸长边为A4纸短边，长为 4.(1,4)或(3,4). (万+1)x,A5纸短边长为(2，+2)x,所以在A5纸中，长边： 能力提高5.(1)证明：因为正方形ABCD,所以∠A= 2 短边=5+)x=万，所以4纸与A5纸相似. ∠D=0,AB=CD=AD,因为CF=3FD,所以FD=子CD, (5+2)x 2 因为E是AD的中点所以A=BD=子40，所以号- 20.(1)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 2,所以△ABE△DEF 1 点，所以点E是AB中点，且是-品所以错-=司 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD=BC (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连结BQ,CQ,则四 =4a,因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE=DE=2a, 边形AB0C是平行因边形，所以PM∥B0,PV∥c0,所以光 DF=a,CF=3a,所以BE=25a,EF=√5a,BF=5a,所以 BF2=EF2+BE2,即∠BEF=90°，所以∠A=∠BEF=90°， 6袋6所以岩-光 AB=AC 因为提-岩=2祭：=2，所光-华所以△M8E 5a (3)证明：过点D作DE∥PW交AB于E,所以是-品 △EBF. 一2 初中数学·华东师大中考第6~9期 22.3.2相似三角形的判定（第三课时） ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 基础训练1.A;2.18;3.①③， ∠EBC=∠BAD=21°. 4.证明：因为AB=2,BC=3,CD=6,AD=8,AC=4,所 (3)证明：由()知∠D=∠CE因为8-能所以光 以号=8%=长=分所以△Bc△4Cn.所以∠BMC= AE,所以△ABD~△ACE ∠CAD,即AC平分∠BAD 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC, 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=√5，BC=25, ∠BAE=∠BCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE. 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF. 在△ABC和△4CD巾，因为%=5=5%=25 1 2 (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, 5是-启-，所光-器-把所以△4c△4n ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= ∠ABF.因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 第7期3版 (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 题号12345678 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 答案CCB CC B BB △BEF△cGF,所u器-3即品-8保 BF=CF 4 二9.∠AED=∠B(答案不唯一)；10.3；1山.丁； 因为∠EFG=∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF 12.30°或60°；13.(-4,0)或(-1,0)或(1,0)： =∠BCF=45°.所以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG, 14.4或7. ∠BEG=90°，所以BE⊥EG. 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 20.(1)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 以∠B=∠C=45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又∠DGE=∠AGC,所 ∠BPE+∠BEP=135° 以∠AGC=∠BFE,又∠ACB=∠FEG=90°，所以∠AEC+ 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 ∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC=∠BEF,所以 ∠BPE+∠CPF=I35°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= △AGC∽△EFB. ∠C,所以△BPE∽△CFP. 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= (2)△BPE∽△CFP.理由如下： ∠BEC=90°，因为∠C=∠C,所以△ACD~△BCE,所以 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C CE =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ =能即光=能又因为∠C=∠c,所以△CB一acDE ∠BEP=135°. 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= ∠C,所以△BPE∽△CFP. 号C=5,因为△4CD△BCE,所以品=8器所以4C= (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， 空所以4B=4C=马 理由如下： 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB. =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB,所以AD: △BPE△PFE. AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. 第7期4版 (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为∠DAC= 重点集训营 ∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD=∠CFE,所以 △AFD∽△CFE. 1.D,22或号 1&()证明：因为始-器=长所以△ABc∽△A0E, 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= ∠DAF,即∠BAD=∠CAE. (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 ∠B,因为1G=40A8,4C=A8,所u号=授即治- AO 一3 初中数学·华东师大中考第6~9期 长所以△4CE△AF0 因为品=器所以哈培解得48=1B5m 第8期2版 答：该龙形雕像的高度为13.5m. 22.3.3相似三角形的性质 7.(1)证明：因为SD⊥AC,所以∠SDA=∠SDC=90°， 基础训练1.C:2.A;3.子： 所以∠SDM+∠MDA=∠SDB+∠BDC=90°. 因为∠MDS=∠BDS,所以∠MDA=∠BDC. 46:516:630, (2)因为TE⊥AC,所以∠TEA=∠TEC=90°.所以 ∠NET+∠NEA=∠BET+∠BEC=90°. 7,)因为△ABc~△1gC,治=子，所以0 CD= 因为∠NET=∠BET,所以∠BEC=∠NEA. 因为∠BCE=∠NAE=90°，所以△BCE∽△NAE. 所器=所以=2 以2+2=2-2-2解得M=3m 又因为CD=4cm,所以C'D'=2CD=8cm,即A'B'边上 因为∠BCD=∠MAD=90°，∠BDC=∠MDA,所以 的中线C'D'的长为8cm. 指=分，所以 (2)因为△ABC~△A'B'C',AB= △BCD一△MA0.所以%-所以片=2解得M4 C△AB'C =7.5m. 2 所以MN=MA-AW=7.5-3=4.5(m),即此公益广告 又因为△ABC的周长为20cm,所以C△MBC=2C△ABc= 牌的高度MN为4.5m. 40cm,即△A'B'C'的周长为40cm 第8期3版 (3)因为△c△4C,治=分，所以- 题号12345678 SAAB'C 答案AA CBBBDA 二、9.4：1； 10.3；11.22;12.3; 又因为△A'B'C'的面积是64cm2,所以SAABC= 13.；14. 2 =16cm,即△ABC的面积是16cm2. 三、15.因为两个相似三角形的最长边分别是5cm和7cm, 能力提高8.因为DE∥AB,所以∠A=∠CED,因为∠A 所以这两个相似三角形的相似比为5：7， =∠EDF,所以∠CED=∠EDF,所以DF∥AC,所以△BDF 所以这两个相似三角形的周长比为5：7， 一△BCM,所以m= 又因为这两个相似三角形的周长之和为48cm, SABCA BC 7 所以较大三角形的周长为：48×5+7=28(cm. 子所u号所以 BD 2 S△BCA 5 较小三角形的周长为：48×5十7=20(cm. 22=去，因为Sc=50,所以5ar=8 16.因为∠AOF=∠BFD=90°，∠AD0=∠BDF,所以 同理可证得△CDE~△CBA,所以g=(0=是， 9 △40D~△BFD.所以品-8器-8号=1设0F=则A0 BC =0D=x+0.7. 所以SACDE=18,所以四边形AFDE的面积为SAc-S△mF 因为∠AOE=∠CFE=90°，∠AE0=∠CEF,所以 SACDE =24. 22.3.4相似三角形的应用 △40△CE所品票即兰-87解得 基础训练1.B;2.60;3.3.6;4.300;5.12. x=5.6,经检验，x=5.6是原方程的解.所以A0=x+0.7= 能力提高6.因为∠FED=∠ABD=∠HGC=90°，6.3m ∠FDE=∠ADB,∠C=∠C,所以△FED∽△ABD,△HGC∽ 答：0A的高度是6.3m. △4BC,所u铝-品胎-能所以品-能又因为D 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, BE DE =2+BE,BC BE EG+CG=BE+8+3=11+ △4E△4c所u-,器-所-器又 BE,所以2E=E·解得服=16m所以BD=BE+ 3 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN. DE=16+2=18(m). (2因为DE∥Bc,所以能-8器=号，△0E 4 初中数学·华东师大中考第6~9期 △c0B,所u=8=子 第9期2版 22.4位似图形 DE 因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以△E=（P BC 基础训练1.C;2.D;3.C;4.1:2:5.2 =2务设Sam=4(x>0),则Sam=25x因为四边形BCED 能力提高6.(1)如图2所示，△MBN即为所求. M 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以S△Bc=50. 18.(I)因为AD∥AD,所以△PAD~△PAD,所以 A'D' =祭所以号.，”，解得PW=180m,所以灯泡离地 36 C 面的高度PM为180cm. 图2 图3 (2)设横向影子A'B,D'C的长度和为xcm,同理可得 (2)如图3所示，△BDE即为所求，此时△ABC∽△EBD, △PD~△PM0,所以品=别即0=解得 相似比为2. 22.5.1用坐标确定位置 12,经检验，x=12是原方程的解.所以横向影子A'B,D'C的长度 基础训练1.D;2.C; 和为12cm 3.(北偏东40°，35海里). 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC, 4.建系略.湖心亭(2,5)，望春亭(3,2)，牡丹亭(8,6)，东 因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=180°-∠BGF,因为∠AGB 门(9,3). =180°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG= 5.以D为坐标原点，DC和AD所在直线为x轴和y轴建立 ∠MBA,所以△BAG△BMA 平面直角坐标系，图略.则点A(0,4),点B(6,4),点C(6,0), (2)连结CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 点D(O,O).过点E作EG⊥CD于点G,交AB于点F.因为AE= CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= CB=CD.又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥ BE,所以AF=之4B=分×6=3在R△AEF中，由勾股定 BC,所以CM⊥BC 理，得EF=√AE2-AF2=52-32=4,所以EG=4+4= 由(I)得品-e所以BG,BN=AB,所以BG·BM 8,所以点E(3,8).(答案不唯一) 22.5.2图形的变换与坐标 BC.所以EC=BC BC=BM 基础训练1.A;2.D;3.(4,-3);4.1:3;5.9. 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 6.(1)图略。 ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. (2)图略。 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△A2B2C2的周长比是 以∠ADG=∠EBG,∠DAG=∠BEG,所以△ADG∽△EBG, 1:2. 所以%-品 能力提高7.(1)(-5,6). (2)当△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单 由题意，得AD∥CE,AD=CE,所以四边形ACED是平行 位长度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F 四边形，所以ACDE,所以∠AFG=∠EDG,∠FAG= 的坐标是(4，-1)； ∠DsG,所以△4K△EGD.所光-品所以-e 当△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长 BG =DG' 度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F的坐 所以DG2=FG·BG. 标是(5，-5).故填(4，-1)或(5，-5). (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, (3)若平移方式为：向上平移1个单位长度，向右平移3个 所以DM=2DC=B=7,AD=CE=24, 单位长度，则点Q(0,y+1),分别过点Q,B作x轴，y轴的平行 线，两平行线交于点H,连接PH,则BH=y+2,QH=4, 在Rt△ADH中，AP=AD2+DF,所以AH=7+24 =25,所以AE=50. 因为Sa网=Sa聊-Sm-Se,所以5=分×(y+ 因为△40G~△BC,所以瓷=品-分，所以4G= 2)×4- ×(+2)×1-7×4×1，解得y=号，因为号 6E,所以4G=宁4-号所以6M=A-4G= 25 3 <3,所以点P的坐标是(-3，号： -5 初中数学·华东师大中考第6~9期 若平移方式为：向下平移3个单位长度，向右平移4个单位】×4×3=5. 2 长度，则点Q(1,y-3),分别过点Q,B作y轴的平行线，再过点 P作x轴的平行线，三条平行线交于点M,N,则BM=y+1,QW (3)设点P的坐标为(a,0),由(1)得点C1的坐标为(4， =3,NP=4,PM=1,MW=5, 0),则CP=14-al, 因为San=S#形w0-SAP-SAP0,所以5=Y+】+3 因为以4，C,P为顶点的三角形面积为弓，所以宁×4- 2 ×5-子×(y+1)×1-7×3×4,解得y=子，因为子< a1×3=子，所以a=3或a=5, 所以点P的坐标为(3,0)或(5,0) 3,所以点P的坐标是(-3，子). 20.(1)因为(a+b-6)2+6-a-2=0,所以 所以点P的坐标为(-3，受)或(-3，子 「a+b-6=0 0所以0=2所以4(0,2），B4,2. L6-a-2=0,b=4, 第9期3版 将点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移1个单 题号12345678 位长度，分别得到点A,B的对应点C,D,所以C(-1,0),D(3, 答案CDCABCAB 0), 二、9.(2，-5)： 5 10.(2,4):1山.54)12.7或号3 因为AB∥CD,AB=CD=4,所以SAD= CD:04- 13.(7,2)；14.3 5 4. 三、15.略. (2)因为△BMD的面积是△BCD面积的氵，所以△BMD 16.(1)如图4所示，△A1BC1即为所求. 的面积 4×4=5, (2)如图4所示，△AB2C2即为所求. 当点M在x轴正半轴上时，设点M(m,0),所以S△wD=2 65 ·DM·A0=5,所以DM=5,且点D(3,0),所以点M(8,0)或 点M(-2,0)(舍去)： 当点M在y轴正半轴上时，设点M(0,n),点M在线段OA C1 012345678910x 上时，因为S△wD=S梯形ODB-S△ABw一S△MOD=5,所以 图4 17.(1)建立平面直角坐标系略.坐标为：点A(-3,-1), 3+2-分×3xn-7×4x(2-)=5,所以n=4(合 2 点B(-2,0),点E(1,3),点F(2,4) 去).当点M在线段OA的延长线上时，因为S△Bw=S梯形OD+ (2)0.3×(8+8)×2=9.6(平方米). s6w-5am=5,所以3±9x2+7×4x(n-2)-分 2 答：地毯要9.6平方米 ×3×n=5,所以n=4,所以M(0,4). I&(1)因为△ABC与△DEF的相似比为1：2，所以S = 综上所述，当点M(0,4)或(8,0)时，△BMD的面积是 之，所以DF=2AC=4 △BCD面积的子 (2)因为∠0=22°，∠ABC=38°，所以∠0CB=180°- 第9期4版 22°-38°=120° 重点集训营 因为△ABC与△DEF位似，点0为位似巾心，所以e 1.(2m,2m）:2.(分，10. 器器 3.(1)图略. (2)(-4,-6). 所以△OBC∽△OEF,所以∠OFE=∠OCB=120°. 19.(1)图略，顶点A的坐标为(0,3) (3)6×4-7×4x4-合x2×2-分x2x6=8 (2)△A,B,G的面积=4×4-7×2×4-7×2×1- 所以△A1B,C1的面积为8. 一64 素养·拓展 数理极 (上接第3版) 19.(12分)如图16，在菱形ABCD中，M为 20.（12分)如图17，矩形ABCD的对角线 18.(I0分)小明和几位同学做手的影子游AD的中点，BM与AC的交点为E,点F在边BCAC,BD相交于点F,延长BC到点E,使CE= 戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到 上，AF交BM于点G,且∠BGF=∠ABC. BC,连结DE,连结AE交BD于点G,交CD于点 物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物 (1)求证：△BAG∽△BMA; H. 体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他 (2)若∠ABC=60°，连结CG,求证：CG (1)求证：DG2=FG·BG: 们做了以下尝试， BM. (2)若AB=14,BC=24,求线段GH的长 (1)如图15-①，垂直于地面放置的正方 度 形框架ABCD,边AB长为30cm,在其上方点P 处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横 向影子A'B,D'C的长度和为6cm.求灯泡离地 面的高度PM. (2)不改变图15-①中灯泡的高度，将两 个边长为30cm的正方形框架按图15-②摆 放，请计算此时横向影子A'B,D'C的长度和 图15 数理报社试题研究中心 （参考答案见下期) “十十十”十“十十 辅助线 周周练 1.如图1所示，AB=4,AC=2,以BC为底 边向上构造等腰直角三角形BCD,连结AD并 延长至点P,使PD=AD,则PB的最大值为 第7期2版参考答案 第7期3版参考答案 22.3.1相似三角形 题号12345678 基础训练1.C;2.A;3.12;4.2√3. 答案CC BCC BBB 能力提高5.(0=-子(2)=6 二9∠AED=∠B(答案不唯-)：10.号 22.3.2相似三角形的判定（第一课时） 11.丁：12.30°或60°： 13.(-4,0)或(-1,0)或(1,0)；14.4或7. 基础训练1.D:2.B;3.70;4.1.4. 图1 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG 能力提高5.(1)作图略. 2.如图2，在□ABCD中，对角线AC和BD =∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°.因为 (2)证明：因为AD平分LBAC,所以∠BAD=∠BFE+∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE.又 相交于点0，AD=5,AC=8,BD=6,延长BC 子∠BAC因为∠BAC=2∠C,所以∠C=之LBAC,所∠DGE:∠AC,所以∠4GC∠BFE,又∠ACB 至点E,连结OE交CD于点F,若∠E= ∠FEG=90°，所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC 以∠BAD=∠C.又因为LABD=∠CBA,所以△ABD=90°，所以LEAC=∠BEF,所以△ACC~△EFB. ∠ACD,则线段OF的长为■ ∽△CBA. 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以 22.3.2相似三角形的判定（第二课时） ∠ADC=∠BEC=90°.因为∠C=∠C,所以△ACDM 基础训练1.D;2.C;3.2或8； △cE,所是-品即是荒又压为Lc=c "口怕翅米缸部g出唑华售·！-0 4.(1,4)或(3,4). BPAC-BC 9=40 能力提高5.(1)证明略， 所以△CAB∽△CDE. (2)AB=3 用影3aV01V亚9a∥0：号 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD =BC=4a,因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC= =a子=0低‘明4鲜三型 =DE=2a,DF=a,CF=3a,所以BE=25a,EF= ∠CAB.因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽ 5a,BF=5a,所以BF2=EF2+BE2,即∠BEF=90°， △ACB,所以AD:AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD 座量‘b=O0=3用4联‘狂盞音aO8V 所以∠4=∠F=0因提-铝-2等-2 (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为 q6d非1‘N学壬aaTN00学食‘w0 5a ∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD ∠CFE,所以△AFD∽△CFE. 韩柔‘N学中00连【些群】 =2,所以是-器所以△ABE一△EBF 01/℃ 18.(1)证明略. (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因 ￥售具9ad‘H彩并学三d 22.3.2相似三角形的判定（第三课时） 为∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD, 基础训练1.A;2.18;3.①③. ☒‘8示‘☒8=V8庋阴彩本草垂箱 所以∠EBC=∠BAD=21· 4.证明略. ‘忆=HQ亿=d风‘=HQ度利 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到 (6)证明：(1)知∠B4D=∠C4E因为号-能 明：三0斗‘。s=H8V7=aa37 01=3,0B=4,AD=1,CD=2,所以4B=5,AC=5,所以42=0所以△4B0△A0E “少=说-阳居影髰彩得它唑单明 BC=25在△4BC和△4C0中，因为光-5=5， 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB va 9 =BC,∠BAE=∠BCF=45°.因为BE=BF,所以 :三其草部金部‘40‘a&‘da买‘a 器-学-8是-后5品-%-总积a-R =V到‘I学支W斗‘HWVH翻毙WT 回烤4aΨM【些】忆+b1【孝号】 所以△ABC∽△ACD. (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 数理超 2026年8月20日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 期总第1204期 华东师大 0351-5271248 中考 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F)邮发代号：21-207 (2)证明：因为 ∠BEC ∠BAE+ 名师课堂 例1 在《数书九 ∠ABE=45°+∠ABE. 章》（宋·秦九韶）中记载了 ∠ABF ∠EBF 性质应用小超 一个测量塔高的问题：如图 ∠ABE=45°+∠ABE 1所示，AB表示塔的高度， 所以∠BEC=∠ABF ⊙山东王文静 因为∠BAF=∠BCE CD表示竹竿顶端到地面的 图1 =45°，所以△ABF 相似三角形具有“周长比等于相比；对应 F若AE AEF 高度，EF表示人眼到地面的高度，AB,CD,EF △CEB. 中线的比、对应角平分线的比、对应高的比都等 EB 3 △CDF 在同一平面内，点A,C,E在一条水平直线上 (3)EB EG,BE 于相似比；面积比等于相似比的平方”等性质， 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所 ⊥EG.理由如下： 已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF= 因为∠EBF 灵活运用上述性质，可以帮助同学们解决许多以AB∥CD,所以△EAF∽△DCF. 1.4米，人从点F远跳塔顶B,视线恰好经过竹竿 ∠GCF=45°，∠EFB= 相关问题. AE 2 AEAE 2 ∠GFC,所以△BEE 因为品=子，所以=”=，所以 的顶端D,可求出塔的高度.根据以上信息，塔的 应用一：相似三角形周长的比等于相似比 △cGF,所以E 高度为 米 例1若两个相似三角形周长的比为1：4， 4 CD 25 EF GF 因为 则这两个三角形对应边的比是 ( SACDF 热点直击可 BF CF ∠EFG=∠BFC,所以 A.1:2 B.1:4 故填25 △EFG∽△BFC.所以 C.1:8 D.1:16 相似三角形 应用三：相似三角形对应高的比等于相似 LEGF=∠BCF 解析：因为两个相似三角形周长的此为1： 比 45°.所以∠EBF= 4,所以相似三角形对应边的此为1：4. 例3已知△ABC∽△DEF(点A,B,C分 用途多 ∠EGF=45°.所以EB =EG,∠BEG=90°，所 故选B. 别与点D,E,F对应)，且AC:DF=2:3,BC与 ◎江西陈冬波 以BE⊥EG. 应用二：相似三角形面积的比等于相似比 20.(1)证明略 EF边上的高分别记为h,和h2,则h1:h2等于 解析：过F作FQ⊥AB于Q,交CD于H,则 (2)△BPE 的平方 FH=CE=10米，QH=AC=20米，FQ=AE △CFP.理由如下： 例2 如图，在平行四 解析：因为△ABC∽△DEF,AC:DF=2: 因为在△ABC中 =AC+CE=30米，EF=CH=AQ=1.4米， 边形ABCD中，E是线段AE 3,所以h,:h2=AC:DF=2:3. BAC=90°，AB= 上一点，连结AC,DE交于点 故填2：3 所以DH=7-1.4=5.6(米). AC,所以∠B=∠C= 因为DC∥BA,所以△FDH△FBQ,所 45°.因为∠B+∠BPE ∠BEP=180°，所以 疑难解析· BPE+ ∠BEP 运动中的相似三角形 以2证-28m8-6指0R=168米. 135°.因为∠EPF 经检验符合题意，所以AB=AQ+QB= 45°，∠BPE+∠EPF+ ∠CPF=180°，所以 1.4+16.8=18.2(米) ∠BPE ∠CPF 河南 陈梦洁 故填18.2. 135°，所以∠BEP= 一、利用相似求运动时间 解：因为∠BAC=90°，AB=6,AC=8,根 例2如图2是凸透 ∠CPF,又因为∠B= 例1如图1，在Rt△ABC中， 据勾股定理，得BC=10. ∠C,所以△BPE∽ 镜成像示意图，CD是蜡 ∠C=90°，AC=4cm,BC=3 △CFP. ①当△CDE∽△CAB时 CE CD em.动点M从点C出发，以1cm/s 'CB =CA' E 10 烛AB通过凸透镜MN所 (3)动点P运动到 成的虚像，已知蜡烛的高 B O BC中点位置时，△BPE 的速度沿CA向终点A移动，同时 8,解得CE= 25 与△PFE相似，理由如 4 4B为4.8cm,蜡烛AB离 图2 动点P从点B出发，以2cm/s的速 图1 CE CD 凸透镜MN的水平距离OB=6cm,该凸透镜的 同(2)， 可 证 度沿BA向终点A移动，连接PM,设移动时间为 ②当△CED∽△CAB时， CE CB' 8 焦距OF为10cm,AE∥OF,则像CD的高为 △BPE∽△CFP,得 ts(0<t<2.5),求当t为何值时，以A,P,M为 CP:BE=PF:PE,而 解得CE=4 5 cm. CP=BP,因此PB:BE 顶点的三角形与△ABC相似？ 解析：因为AE∥OF,所以△CAE∽ PF:PE.又因为 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm, ∠EBP=∠EPF,所以 BC=3cm,根据勾股定理，得AB=5cm.所以 综上所述，CE的长为4或 5 △BPE∽△PFE. AM =(4-t)cm,AP =(5-2t)cm. 例3如图3，梯形 第7期4版参考答案 2 ABCD中，AD∥BC,对角线 重点集训营 ①当△AMP△ABC时， 光即 AP 1.D:2.2或号 AC⊥BC,AD=9,AC=12 因为AB∥CD,所以△OAB∽△OCD,所 5,24=4‘,解得1= BC=16,点E是边BC上一 3.证明：(1)因为 4 5 2 个动点，∠EAF=∠BAC,AF交CD于点F,交 以院=治所以号=8解得cD=12em, AB=AC,所以∠B= ∠C.因为CE=BF,所 ②当△APM△ABC时，4 = AP,即BC延长线于点G,设BE=x,用含x的代数式表 所以像CD的高为12cm △ACE≌△ABF,所以 AB' 示FC. 故填12. ∠CAE=∠BAF. (2)因为△ACE≌ 4=524,解得1=0（不符合题意，去） 5 解：因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°.因为 △ABF,所以AE=AF AD∥BC,所以∠DAC=∠ACB=90°.因为AD ∠CAE=∠BAF因为 综上所述，当=弓时，以A,P,M为顶点的 本周主讲 =9,AC=12,BC=16,所以AB=20,DC=15. AE=AQ·AB,AC= A,所以-即 三角形与△ABC相以 因为BC =子，∠ACB=∠DAC,所以 4 22.3.3相似三角形的性质 二、利用相似求线段的长 -所以△4cE AE △ABC∽△DCA,所以∠B=∠ACD.因为 22.3.4相似三角形的应用 例2如图2，在Rt△ABC ∠EAF=∠BAC,所以∠BAE=∠CAF,所以 ∽△AFQ.（全文完) 中，∠BAC=90°，AB=6,AC= 主要内容：本期同学们需要掌握相似三角 8,点E是AC上一个动点，点D △ABE一△ACP,所以光=C年，所以2三品 AC 形的性质，并能够运用相似三角形解决实际 在BC上，且CD=5,若以C,D 图2 3 E为顶点的三角形与△ABC相似，求CE的长， 所以CF= 问题 素养专练 数理极 ● 影长AP为2m,路灯BC高9m,则路灯AD的高为 能刀提高 跟踪训练 8.如图5，D,E,F分别为△ABC的边BC,CA AB上的点，DE∥AB,∠A=∠EDR.若BD 2 能刀提高 22.3.3相似三角形的性质 CD 6.龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神 S△ABc=50,求四边形AFDE的面积. 异动物，是中华民族最具代表性的文化象征之一 屋础训练 某广场上有一个龙形雕像，某数学兴趣小组想要 1.若两个相似三角形的相似比为2：3，其中 利用所学知识测量该雕像的高度.如图6，雕像的 较小的三角形的周长为8，则较大的三角形的周 高度为AB,在地面BC上取E,G两点，分别竖立两 长为 ( 根高均为1.5m的标杆EF和GH,两标杆间隔EG D.16 为8m,并且雕像AB,标杆EF和GH在同一竖直平 A.6 B.8 C.12 3 面内.从标杆EF后退2m到D处（即ED=2m), 2.如图1是某家用晾衣架的侧面示意图，已 从D处观察A点，A,F,D三点在一条直线上；从标 知AB∥PQ,根据图中数据，P,Q两点间的距离是 杆GH后退3m到C处（即CG=3m),从C处观 ( 察A点，A,H,C三点也在一条直线上.已知B,E, A.0.6mB.0.8m C.0.9mD.1m 22.3.4相似三角形的应用 D,G,C在同一直线上，AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥ BC,请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出 垦础训练 该龙形雕像的高度， 1.如图1-①，“矩”在古代指两条边成直角 的曲尺，它的两边长分别为a,b.中国古老的天文 和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了 “矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把 D 3.如图2，DE∥BC,AG是△ABC的角平分 图 “矩”仰立放可测物体的高度，如图1-②，从 线装=子能- “矩”AFE的一端A望向树顶端的点C,使视线通 4.如图3，D,E分别是△ABC的边AB,BC上的 过“矩”的另一端E,测得AB=1.5m,BD= 6.2m.若“矩”的边EF=30cm,边AF=60cm, 点，DE∥AC,若SAms:SAcE=1:3,则SAE: 则树高CD为 ) S△Hoc的值为 A.3.1m B.4.6m 7.图7是广场上的矩形公益广告牌的示意 C.5.3m D.4.2m 图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度 MN. 图3 图4 A 5.如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，棱长为 D ③ D 1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC,BC 图1 图2 上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为 2.如图2是跷跷板示意图，支柱OM经过AB 图7 图8 的中点O,OM与地面CD垂直于点M,OM= 如图8，MN所在直线垂直地面于点A.甲把光 30cm,当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地 6.如图5，有一块三角形余料 源放置于点B处，BC垂直地面于点C,点A,C在同 面的高度为 cm. ABC,它的边BC=18cm,高AD= 3.如图3，数学兴趣小组下午测得一根长为 一水平线上.乙沿CA方向移动平面镜，移到点D 12cm,现在要把它加工成长与宽 G 0.8m的竹竿影长是1m,同一时刻测量树高时发 时，从点B发出的光线反射到点M处；移到点E 的比为3：2的矩形零件EFCH,要 图 求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC 现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得 时，从点B发出的光线反射到点N处.经测量：BC 留在墙壁上的影高1.2m,地面上的影长为3m, =1.5m,AC=12m,CD=2m,DE=2m.记点 上，则矩形EFGH的周长为 cm. 请你帮算一下，树高是 D,E处的法线分别为SD,TE,即SD⊥AC,TE1 AB 7.已知△ABC△M'BC,B=2,AB边 AC,根据光的反射定律，∠MDS=∠BDS,∠NET =∠BET, 上的中线CD=4cm,△ABC的周长为20cm, (I)求证：∠MDA=∠BDC; △A'B'C'的面积是64cm2.求： (2)求此公益广告牌的高度MN (1)A'B'边上的中线CD'的长； (2)△A'B'C'的周长； 图 (3)△ABC的面积. 4.《九章算术》中有这样一个问题：“今有邑 方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出 西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的 意思是：如图4，M,N分别是正方形城邑ABCD的 边AD,AB的中点，ME⊥AD,NF⊥AB,已知EF过 点A,且ME=100步，NF=225步，那么该正方形 城邑的边长AD约为 步 5.如图5，AD,BC为两路 灯，身高均为1.8m的小明 小亮站在两路灯之间，两人相 距6.5m,小明站在P处，小亮 数理报社试题研究中心 站在Q处，小明在路灯C下的 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 三、耐心解一解（本大题共6小题，共64分） 同 步 15.(10分)两个相似三角形的最长边分别是 检测题（六） 5cm和7cm,并且它们的周长之和为48cm,求这 两个三角形的周长 【检测范围：22.3.3-22.4】 分割方式如图6所示（分割线的耗料不计），使最 (满分：120分) 底层的小长方形的长为5cm的边在BC上，则接 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 如图方式分割成的小长方形零件最多有() 题号 1 5 6 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4 答案 1.如果两个相似三角形的相似比为16：9，那 么这两个三角形对应边上的高之比为 ( A.16:9 B.4:3 图6 7 C.9:16 D.256:81 8.如图7，DE平分等边△ABC的面积，折叠 2.如图1，在边长为1的小小 A △BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H 正方形网格中，AB,CD相交于 两点.若DG=1,EH=√3，则GH的长为() 点0，点A,B,C,D都在这些小C A.2 B.3C.25D.4 16.(10分)小言家窗外有一个路灯，每天晚上 正方形网格的格点上，则 △A0C与△B0D的周长比为 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道 图1 ( 9两个相似三角形的面积之比为16：1，则它这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识 们周长的比是 后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图13， A.B.9 c号 D号 10.如图8，平行于地面的圆桌 路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的 长度为DE,小言测得窗户距离地面高度BF= 3.如图2，嘉嘉要测量池塘两岸A,B两点间的 正上方有一个灯泡（看作一个点）， 距离，先在AB的延长线上选定点C,测得BC=它发出的光线照射桌面后，在地面上 0.7m,窗高BC=1.4m,某一时刻，FD=0.7m, DE=2.1m,请你根据小言测得的数据，求出路灯 5m,再选一点D,连结AD,CD,作BE∥AD,交CD形成圆形阴影，经测量得，地面上圆 的高度OA. 于点E,测得CD=8m,DE=4m,则AB= 形邓阴影的半径比桌面半径大0.5米， 图图8 ( 桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5 A.3 m B.4 m C.5 m D.6m 米，则灯泡到桌面的距离为 米 D 11.如图9，在□ABCD中，AD=4,CD=2, 1 ∠ADC=45°，点E是对角线AC上一点，过点E作 EF∥BC,交AB于点F,过点F作FH⊥AD交DA的 延长线于点H.若AH=1,则EF的长为 图2 A 4.如图3，在△ABC中，点D在BC边上，连结 AD,点G在线段AD上，GE∥BD交AB于点E,GF ∥AC交CD于点F,若 SAAEG一= 5,4C=9,则 4 GF的长为 ( 图g 图10 12.四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出 A.2 B.3 C.2 D.6 现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.如图 5.如图4是一个铁夹子的侧面示意图，C是连： 10是古代测量员用四分仪测量一方井深度的示意 结夹面的轴上一点，CD1O4于点D.这个侧面图图，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测方 17.(10分)如图14，△ABC中，DE∥BC,BE 是轴对称图形，直线OC是它的对称轴.若DA=井底点F,窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H,四 与CD交于点O,A0与DE,BC分别交于点N,M. 15mm,D0=24mm,DC=10mm,则点A与点B分仪为正方形ABCD,方井为矩形BEFG.若测量员 (1)若点M是BC的中点，求证：DW=EN; 之间的距离为 ) (2)若ON:OM=2:5,四边形BCED的面积 从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE A.20 mm B.30 mm 为42，求△ABC的面积 为2，则井深BG为 C.40 mm D.50 mm 13.如图11，在正方形ABCD中，AB=3,点E B 为正方形ABCD外一点，连结AE分别交BD,CD于 点F,G.若∠AD+∠AEC=180°，父△pc=4,则 D 图4 CE的长为 5 6.如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，G是 △ABC的重心，点D在边BC上，DG⊥GC,如果BD =5,cD=3,那么C的值是 B 图11 A. 2 14.如图12，在△ABC中，AB=AC=5,BC= 7.有一块锐角三角形余料ABC,边BC为6，点D为AC边的中点，点E为BC边上一动点，连 15cm,BC边上的高为12cm,现要把它分割成若结ED并延长，交BA的延长线于点F,当点A恰好 干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，：为BF的中点时，DE的长为_ (下转第4版)