22.1 成比例线段（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

第22章图形的相似 22.1成比例线段 22.1.1成比例线段 √知识梳理 相似图形 具有 的图形称为相似图形 对于给定的四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段 成比例线段 的长度之比，如 ,那么，这四条线段叫做成比例 线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例 比例的基本性质 如果号=行，那么ad=c:如果ad=bc,那么 将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP>PB),使AP=AB·PB.我们称 黄金分割 为AB和PB的比例中项，点 为线段AB的黄金分割点，将线段 黄金分割 针对训练 1.下列各组长度的线段中，是成比例线段 出来的音调最和谐悦耳.如图，一把二胡 的是 ( 的弦长为80cm,求“千斤”下面一截琴 A.3,6,8,9 B.3,5,6,9 弦长为 cm.（保留根号) C.3,6,7,9 D.3,6,9,18 5.已知线段a,b的长满足2a=3b. 2.若3a=4b,则号的值为 ( (①求2a的值： 号 c (2)当线段m是a,b的比例中项，且a= 6时，求m的值. 3.已知四条线段a,b,c,d,其中a=6cm, 6=4 cm,c=12 cm. (1)若a,b,c,d是成比例线段，则线段d 的长是 cm; (2)若d,a,b,c是成比例线段，则线段d 的长是 cm. 4.二胡是中国古老的民族拉弦 一琴头 琴轴 乐器之一，演奏家发现，二胡 千斤 的“千斤”钩在琴弦长的黄金 弓杆 弓毛 分割点处(“千斤”上面一截 个琴筒 琴弦比下面一截琴弦短)，奏 琴托琴皮 。14· 22.1.2平行线分线段成比例 √知识梳理 平行线分线段 两条直线被一组 所截，所得的对应线段成比例（简称平行线分线段成 成比例 比例) 平行线分线段 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 成比例的推论 √针对训练 如图，在△ABC中，DE∥BC.若B4.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB AC,BC上，DE∥BC,DF∥AC,AD=3cm, ,则 C 的值为 BD=6cm,DE=2cm,求BF的长. 号 B. 3 C. 3 D. 5 B∠ (第1题图) (第2题图) 2.如图，DE∥BC,则下列比例式错误的是 ( 5.如图，AB∥CD∥EF,BF=20. AD DE (1)若AC=6,BD=8,求CE的长； A.BD-BC 部 EC (2)若AC:CE=1：3,求DF的长. c部S n架-铝 \B 3.如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于 点G,AG=2,GD=1,DP=5,则e的值 为 ·15·4=号4，=3.(3)原方程可化为3(x-2)=36.两边都除以3，得(x-2)=12.直接 开平方，得x-2=士2√3.x1=2十2√，x2=2-2√5.(4)将方程化为一般形式，得 4x2十20.x十25=0.这里a=4,b=20,c=25.:b2-4ac=202-4×4×25=0..x= 02,即1==号 2×4 21.2.4一元二次方程根的判别式 知识梳理 △不相等相等没有 针对训练 1.B2.B3.-8没有485.解：(1)原方程可变形为3x-2x-1=0.4 (-2)2-4×3×(一1)=16>0，·方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可变形为 x2十4x十4=0.：4=42-4×1×4=0，∴.方程有两个相等的实数根，6.解：由题意， 得△=(-6)2-4kX9=36-36k,且k≠0.(1)由题意，得△=36-36k>0,且k≠0，解得 k<1且k≠0.(2)由题意，得△=36-36k=0,且k≠0，解得k=1.(3)由题意，得△= 36一36k<0,且k≠0，解得k>1. 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 针对训练 1.D2.D3.14.-15.解：(1)原方程可化为x2-6x十5=0，.x1十x2=6, 1=5.(2)原方程可化为7x2-5=0.1十=0，=-号.(3)原方程可化为 3r十4十1=0n十0=一亭，0=子6解：1由题意，得4=2：-4X1Xa .4 1)≥0，解得a≤2.(2)由题意，得x1十x2=-2,x1x2=a-1.,2x1十2x2-x1x2= 2(x1十x2)-x1x2=5,.2×(-2)-(a-1)=5,解得a=-8. 21.3实践与探索 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 针对训练 1.D2.C3.14.85.解：(1)(100-2x)(50-2x)(2)根据题意，得(100-2x) (50一2x)=3600.整理，得x2一75x十350=0.解得x1=5,x2=70(不符合题意，舍去). 答：正方形观光休息亭的边长为5m. 第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 针对训练 1.B2.B3.20%4.八5.解：(1)401800(2)设每件商品降价x元.由题意， 得(250-x-200)(30十2x)=2100.整理，得x2-35.x十300=0.解得x1=20,x2=15. :为了让顾客得到更多的实惠，∴x=20.答：当每件商品降价20元时，商场通过销售 这种商品每天盈利可达到2100元. 第22章图形的相似 22.1成比例线段 22.1.1成比例线段 知识梳理 相同形状合=台（或a:b=c:合=行AP P AB 针对训练 1.D2.D3.(1)8(2)24.(405-40)5.解：1)：2a=36,.2a-b-36-b=2. 91 (2):线段m是a,b的比例中项，m=ah.2a=36,a=6,b=2X6=4.m=4X 3 6=24..m>0,.m=26. 22.1.2平行线分线段成比例 知识梳理 平行线 针对训练 1C2.A3 4.解：DE∥BC,DF∥AC,∴.四边形DECF是平行四边形. FC=DE=2mDr/AC既-器脚些=亭B版=4m点第：1：AB/ CD//EF...AC_BD AE BF' AC6.D015..CE-AE- AC=9.(2:AB/CD∥F,5-8架=合=是：a=20器-子 204 .DF=15. 22.2相似图形 知识梳理 成比例相等对应成比例对应相等对应边的比 针对训练 1.C2.C3.A4.100° 琴5万：16.解：设新的相框的另一边长为rcm 5 当所求的边与20cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=x：30,解得x=60.当所 求的边与10cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=30：x,解得x=15..新的相 框的另一边长为60cm或15cm. 22.3相似三角形 22.3.1相似三角形 知识梳理 成比例相等相似 针对训练 1.B2.C3.C4.55.解：AD=6,CD=18,∴.AC=AD+CD=24.又△ADE △ABC长器是：普=京景AE=8AB=186解：AB/DB, 43 ABC∽△DEC.C=C,AC=4cm,BC=3cm,CE=6cm,…D元 .CD=8cm.,.AD=AC+CD=4+8=12(cm). 22.3.2相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定定理1 知识梳理 相等 针对训练 1.B2.B3.∠B=∠D(答案不唯一)4.解：：∠C=∠D,∠APC=∠BPD, △APCO△BPD.六0-8邵即巴-号.BD=85证明：DE∥AC ∴.∠BED=∠C.EF∥AB,∴∠B=∠FEC.∴△BDE∽△EFC. 第2课时相似三角形的判定定理2,3 知识梳理 成比例夹角成比例 针对训练 1.D2.C3.1.54.证明：AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,.AB=AD十BD=8, 92 AC=AE+B=10.福=青=名，把-品=分∴福-把又：∠A=∠A ∴.△ADE△ACB.5.解：△ABCc∽△DEF.理由如下：由题意，得AB=√+2= √5，BC=5,AC=√1+3z=√10，DE=1,EF=√/1+2=√5，DF=√/1+1=√2， 提后器后品-爱后提器品AAaR 22.3.3相似三角形的性质 知识梳理 相似比相似比的平方相似比 针对训练 1.B2.A3.3:44.125.解：和△ABC相似的△A'B'C的最长边长为30， .△ABC与△A'B'C的相似比为10：30=1：3.：△ABC的周长为6+8十10=24， .△A'B'C的周长为24X3=72.6.解：：四边形ABCD为平行四边形，AD=BC, AD∥BC.∴.△AFDp△EFB.又BE:EC=3:1,∴.BE:BC=3:4.∴.BE:AD= 3:4.S△地= AD、2 S△EFB （0)-(青)广9∴S.v.m=2cm 22.3.4相似三角形的应用 第1课时相似三角形的实际应用 针对训练 1心2B3解准结MN兴-品赢长品品票-盖又 :∠A=∠A,△AC△ANM∴系=、=品BC=45m,MN= 3000m.答：M,N两地之间直线隧道的长为3000m.4.解：(1)△ABC△ADE.理 由如下：：BC⊥AE,DE⊥AE,∴.BC∥DE..△ABC∽△ADE.(2)由(1)知△ABC △ADB,S-BE即产2=DE=16,2m答：古塔DE的高度为16,2m 第2课时等积式、比例式的证明与应用 知识梳理 中线专 针对训练 1.C2.D32 4.证明：：DE∥BC,EF∥AB,四边形DBFE是平行四边形. DE=BR:DE∥BC△ADB△AC铝-.六铝=既 5.证明： :AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90.:DE⊥AB,易得△ABD∽△ADE.AP AE 0:AD=AE·AB,同理，得AD=AF·ACAE·AB=AF·AC 22.4位似图形 知识梳理 位似中心 针对训练 1.C2.C3.B4.D5.解：(1)如图，△A1B1C即为所求 (2) 1 9 93