20章 二次根式（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

第20章二次根式 20.1认识二次根式 一知识梳理 二次根式的概念 形如 (a≥0)的式子叫做二次根式 二次根式有意义的条件 在√a中，a的取值必须满足 ,即二次根式的被开方数必须是 a(a≥0)， 二次根式的性质 (1)(√a)2= (a≥0)；(2)√a= -a(a<0) 针对训练 1.下列各式中，一定是二次根式的是 (2)V2x+7 ( x-2 A.√-2 B.√16 C.√-3 D.元 2.化简（一）的结果是 A.-3 B.3 C.-9 D.9 3.若√(a-3)严=a-3,则a的值可能是 7.计算： ( A.-1 B司 C.0 D.4 4.若√4x一8在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 5.若y=√3.x-2+√2-3.z+2,则xy的 值为 2: 6.当x是怎样的实数时，下列二次根式有 意义？ a≥0. (3) 20.2二次根式的乘除 20.2.1二次根式的乘法 20.2.2积的算术平方根 ◆知识梳理 二次根式的乘法法则 √a√b= (a≥0，b≥0) 积的算术平方根 √ab= (a≥0，b≥0) 针对训练 1.将√27化简，正确的结果是 04国·F>0>0. A.3√3 B.士33 C.3⑨ D.±3√ 2.若√a(a-3)=√a·√a-3,那么( A.a≥3 B.a≥0 C.0≤a≤3 D.a为一切正实数 4.化简： 3.计算： (1)-√/45； (1)3X√/12； (2)√9X7; (3)√-16)×(-25)； (43x×8. (3) 5 ·2· 20.2.3二次根式的除法 √知识梳理 二次根式的除法法则 (a≥0，b>0) 商的算术平方根 (a≥0，b>0) 化简后的二次根式被开方数中不含 ,并且被开方数中所有因数（或 最简二次根式 因式)的幂的指数都 ,像这样的二次根式称为最简二次根式 √针对训练 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的 13 是 ( A. B.√/1.5 C.3 D.√8 2.下列各式计算正确的是 A.√2×5=√6 B.√⑧÷22=2 (4)4y 2xy C.2√12=6√2 D.√(-3)=-3 3.请写出一个能与√8合并的最简二次根 式： 4.计算： 5.有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲 (1)6 6 的长为25√2cm,宽为16√3cm,乙的长 为10√/15cm,求乙的宽（结果保留根号）. (2)4 3 ·3· 20.3二次根式的加减 √知识梳理 同类二次根式 二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式 二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并 运算顺序 先 (或开方)，再 ,最后 ,如果有括号就先算括号里的 实数运算中的运算律（交换律、结合律、分配律）及所有的乘法公式（平方差公式、 运算律 完全平方公式)在二次根式中同样适用 针对训练 1.下列各式，化简后能与√3合并的是 (2-2+： ( A./18 B.√24 C.√/I2 D.√F 2.下列计算结果正确的是 ( A.√5+√3=2√2 B.√5-√3=√2 C.√5X√3=√5 D.√/15：3=5 3.若一个矩形的长35cm,宽2四 (3)(√1z+√3)×√6÷√⑧； 2 cm,则 此矩形的周长是 cm. 4.如果最简二次根式√3a-8与√/17一2a在 二次根式的加减运算中可以合并，那么 a= 5.计算： (1)√24-√6； (4)(5+2)2+(5+2)(5-2).阶段小测（七） 1.D2C3.B4.C5.D6.C7.随机8.029号10.号山.解：1D随机 不可能（②）由题意，得名沿解得m=8.12.解：列表如下。 第一次 第二次和 1 2 2 2 3 共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，.P(两次分数之和不大 于3)=子13解：1 ,(2)画树状图如下： 爸爸 亮亮CD正 D C D 图可知共有12种等可能的结果，其中亮亮和爸爸邻座的结果有4种，∴.P(亮亮和爸爸被分 配到相邻座位)-意弓14解，山面树状图如下： 所 有(m,n)可能的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,2),(4,3),(4,4),共12种.(2)，m,n都是方程x2-7x十12=0的根，m=3,n=4 或m=4,n=3.由树状图可知共有12种等可能的结果，m,n都是方程x2-7x十12=0 的根的结果有4种（包括m=n=3和m=n=4两种情况），同理m,n都不是方程x2一 5x十6=0的根的结果有2种，∴P(小明获胜)=是=名，P(小利获胜)=是=合 :子>。“小明获胜的概率大. 阶段小测（八） 1.C2.A3B4.A5.D6.A7.-18.号9310.务1，解：1)原式 3√2-(3十2√2)十3-1=32-3-2√2+2=√2-1.(2)原方程可化为(x-1)(2x-3)= 0,解得=1，=号.12.解：(1)设该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为x根 据题意，得100(1十x)2=144.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答： 该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为20%.(2)设售价应降低m元，则每千克的销 售利润为(300-m一240)元，每周能售出(50十2m)kg.根据题意，得(300-m 240)(50十2m)=3600.整理，得m2-35m十300=0.解得m1=20,2=15.:要尽量减 少库存且让顾客得到实惠，·m=20,答：售价应降低20元.13.解：过点B作BF⊥ AC于点R.由题意，得an∠BAF-器=员，AB=25m.设BF=7am,AF=2am, .(7a)2+(24a)2=252,解得a=1..AF=24m,BF=7m.:∠DAC=45°，∠C=90°， ∴∠DAC=∠ADC=45°..AC=DC.设DE=xm,则DC=(x十7)m,BE=CF=x十7 24=(-17)m.在R△BDE中，an∠DBE-,即an60=千77-5， 解得x≈41，答：东楼的高度DE约为41m.14.(1)证明：：AD∥BC,∴.∠ACB= ∠CAD,∠ADB=∠CBD.义：∠BAC=∠ADC,△ABCO△DCA.÷答-0 CA2=BC·AD.BD平分∠ABC,∠ABD=∠CBD.∴∠ADB=∠ABD.∴.AB= AD.∴.CA=BC·AB.根据“比例三角形”的定义可知△ABC是“比例三角形”.(2)解： 过点A作AH⊥BD于点H.由(1)知AB=AD,BH=号BD.:AD∥BC, .∠ADC+∠BCD=180°..∠BCD=180°-∠ADC=90°...∠BHA=∠BCD.由(1) ∠ABH=∠DBC,.△ABHO△DBC.-BAB·BC=BH·DB.& BC-号BD.由(I)知AB·C=AC号BD=AC.∴肥-E(负值已合去). 88 随堂反馈答案 第20章二次根式 20.1认识二次根式 知识梳理 √aa≥0非负数aa 针对训练 1B2.D3D4≥25.专6解：1)被开方数≥0且4-x≠0，即<4 “当x<4时，二次根式√仁有意义，(2油题意得 2x十1≥ x一2≠0 0解得>-合且x≠2. 7.解：(1)原式= 号.(2)原式=号=(3)原式=子 20.2二次根式的乘除 20.2.1二次根式的乘法 20.2.2积的算术平方根 知识梳理 √ab√a·√b 针对训练 1A2.A3解：1)原式=3X卫=V丽=6.2)原式=√分×27=厅=-3. (3)原式=√×是=-√气=号(0原式=4√·于=4瓜，4解：1)原 式=-√9X5=-√5×5=-3√5.(2)原式=√×W7=3√7.(3)原式=√/6×√/25= 4×5=20.(4)原式=/32×4=3×2=6. 20.2.3二次根式的除法 知识梳理 分母小于2 针对训练 1.C2A3(答案不雕-）4.解：)原式-√厚=(2)原式=√厚 压=8.(3)原式=√唇÷√停-√侣×-.（原式=√盛-√层 V√2z x 5.解：255×165÷10V压=406÷10VE=40√层=40× 5 8√I0(cm),∴.乙的宽为8√/10cm. 20.3二次根式的加减 知识梳理 乘方乘除加减 针对训练 1.C2.C3.854.55.解：(1)原式=26-6-6.(2)原式=25-2×2+ 2√2=2W5-√2+2W2=2√5+√2.(3)原式=(2√3+√5)×6÷2√2=3√3X√6÷2√2 =9v万÷2E=号.(4)原式=5+4v5+4什5-4=10+46 第21章一元二次方程 21.1认识一元二次方程 知识梳理 一2≠二次项系数一次项系数常数项 89 针对训练 1.C2.C3.D4.-15.解：(1)化为一般形式为2x2十3x-1=0.它的二次项系数 为2，一次项系数为3，常数项为一1.(2)化为一般形式为x2一7x=0.它的二次项系数 为1，一次项系数为-7，常数项为0.(3)化为一般形式为3x2一7x十1=0.它的二次项 系数为3，一次项系数为-7，常数项为1.6.解：(1)由题意，得2y=3,是一元二次方 程.(2)由题意，得x(x十1)=5，是一元二次方程. 21.2一元二次方程的解法 21.2.1直接开平方法和因式分解法 第1课时直接开平方法 针对训练 1.D2.C3.m≥一44.9x=一35.解：(1)移项，得x2=3.直接开平方，得x= 士，即1=原=一(2)方程两边都除以9，得2=要直接开平方，得x= 上号，甲=号=一号(8)原方程可以变形为(：一5)=36，直接开平方，得x-5 5. =士6.心=11，=一1.(4)方程两边都除以9，得(x十1)=9直接开平方，得x+ 1=±3=3x=-3 4 1 第2课时因式分解法 针对训练 1.C2.B3.54.解：(1)方程左边分解因式，得x(5x十3)=0..x=0或5x+3=0, 得1=0，=一子.(2)原方程可以变形为x(x-5)十8(-5)=0.方程左边分解因 式，得(x-5)(x十8)=0..x一5=0或x十8=0，得x1=5,x2=一8.(3)方程左边分解 因式，得(x-3)(x-3-9)=0,即(x-3)(x-12)=0.x-3=0或x-12=0,得x1= 3,x2=12.(4)整理，得x2一4x一12=0.方程左边分解因式，得(x一6)(x十2)=0.∴.x一 6=0或x十2=0，得x1=6,x2=-2. 21.2.2配方法 知识梳理 非负常数 针对训练 1A2.C3.A4(1)号(2)935.-236.解：(1)移项，得2-4x=3.配方， 得x2-2·x·2十22=3+2，即(x-2)2=7.直接开平方，得x-2=士√7.x1=2十 5 F=2-√7.(2)移项，得3x-6x=5.两边都除以3，得x-2x=号.配方，得x- 2·x·1+12 号+1，用(-1)=号直接开平方，得1=士5：=1十 3,2=1-26 2√6 3 21.2.3公式法 知识梳理 x=二±B4a匹(6-4ac≥0) 2a 针对训练 1.B2.C3.B4.解：(1)方程左边分解因式，得x(x-3)=0.x=0或x-3=0,即 x1=0,x2=3.(2)将方程化为一般形式，得2x2-7x十3=0.这里a=2,b=-7,c=3, :6-4ac=(-7)-4X2X3=25>0,.x=二生B4ac=7告压-7生5，即 2a 2×2 4 90