数学活动 怎样摆放所需栅栏最少&第20章 归纳与提升（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

参考答案 第20章二次根式 20.1认识二次根式 分点训练 1.A2.①②④3.B4.D5.x≥16.6（答案不唯一）7.解：(1)被开方数-2x≥ 0,即x≤0.当x≤0时，二次根式√一2x有意义.(2)x≥0，x2十1≥1.x取任 意实数，二次根式V2均有意义.(3)被开方数26≥0且2x-6≠0，即>3. 当，>3时，三次根式√—有意义.（④油题意，得0解得-3≤长2当 2-x≥0， -3≤x≤2时，二次根式√x十3+√2-x有意义.8.D9.解：(1)原式=2026. (2)原式=-13.(3)原式=4分.(40原式=6a.(6)原式=5-5=0， 弥 综合运用 10.A11.D12.(1)a≥1(2)x≥413.(1)3(2)214.解：(1)原式=4-2+5-7= 帐 0.(2)原式=号+号-2+5=5.15.解：观察数轴可知a<<0<,a>h> |c,∴a+b<0,b+c<0,a-c<0,∴.√(a+b)-|b+c-√/(a-c)F-√a=a+b- b+c-a-c-a=-(a+b)+(b+c)+(a-c)+a=-a-b+b+c+a-c+a=a. 创新拓展 16.解：原式变形为a十1十a-3=6.当a<-1时，原式=-a-1十3-a=-2a十2=6，解 得a=-2;当-1≤a≤3时，原式=a十1十3一a=4,等式不成立；当a>3时，原式=a十 柏 1十a-3=2a-2=6,解得a=4.综上所述，a的值为-2或4. 20.2二次根式的乘除 20.2.1二次根式的乘法 20.2.2积的算术平方根 分点训练 1.D2.(1)2(2)3 3.24.-3≤x≤35.解：(1)原式=√6×24=√144=12. 0 (2②)原式=√2X2-=V厨=8(3)原式=√F·工=.(4原式=√写×40x2 √16=4.6.B7.C8.(1)3√6(2)4√59.解：(1)原式=√400×3=√400×3 20√3.(2)原式=√/49×√12I=7×11=77.(3)原式=3×5√2×12=30√6.(4)原 式=-20×多=-6后.(6)原式=万·F丘·=3y 综合运用 线10.C1山，A12.√（答案不唯-）13.(1)a√厂b(2)-a√Fab14.解：(1)原式= 3 X(-9)×入 ×45=-6×√四x15X3=-45.(2)原式=-号×(-4)× √xy·y=2yF. 创新拓展 15.解：(1)5√24 正明如下-√要-√-5V层√ n n 20.2.3二次根式的除法 分点训练 1.B2.D3.解：1原式=√停==2.(2)原式=86=8=22.3)原式= /12÷ 8 2x8=-4.(4原式=√× =√6.4.A5.解：(1)原 49 4_6=8.4)原式= 式35（2)原式=-12=-.(3)原式=491 √164 W121 11 7 7万=万 √25√/2厉5 6,B11(答案不唯-)8，解：1原式=√-（②）原 "3原式多-层=4原式 5×210 式=√2×2 √2X√10 3×2√106√/10X√10 30 综合运用 9.C10.C11√212.解：(1)原式=√1 品=√×号=2(2)原式=品× 8/ 42/5 2 51 13.解：设矩形地毯的长与宽分别为3xdm,2xdm.由题意，得3x·2x=2200,.6x2= 2200,解得x=10愿（负值已舍去）.3x=103.矩形地毯的长是10√3dm 3 :10√33>50，.矩形地毯的长大于正方形规定区域的边长. 创新拓展 9 解：两位同学的解法都正确，(2)：而三9-0=名，….9=八0 C-品而-流（答案不唯-） V100 20.3二次根式的加减 分点训练 1.D2.C3.34.B5.(1)0(2)2√76.解：(1)原式=3√5-2√2-25=√5 2E.(2)原式=5×9+号×25+号×29-6+5+5=3v6.7.B8.B92 2 5 10.解：(1)原式= 后65(2)原式=26+3②)÷E=2B+3.3)原式 5+25 3反-号-号反.(40原式=-（公同）-8-是=翠6)原式=3-5反+6+ 9-12=6-6√2. 综合运用 11.C12.A13.4√714.解：(1)@2√3十6√2(2)设墨迹覆盖的数是A,.A÷ √2+2√5X6=3√2，∴.A÷√2=3√2-62=-3√2，∴A=-3√2X√2，A=-6, .墨迹覆盖的数是一6. 创新拓展 1篇1)方法66百得后-2方法=点 1 1 5-4=W⑤-2-5+2)×5-2=5-2.(2)原式=[W2-1)+(5-2)+ √5+2W5+2 w5+2 (WA-√3)+…十（√/2026-√/2025）]（√2026+1）=(W/2026-1)(√2026+1)= (√/2026)2-12=2026-1=2025. 专题特训二次根式中常见的化简求值技巧【回归教材】 1.C2.23.1【解析】△ABC的三边长分别为1，k,3,.2<k<4.∴.4<2k<8. ∴.7-√4k-36k+81-2k-3=7-√(2k-9)F-2k-3=7-(9-2k)-(2k-3)= 7-9+2k-2k+3=1.4.D5.-4V3【解析】：xy=12,x十y=-8,.x<0,y<0. “原式=y…四+x.四=--四=-2=-2×2=-4. -y 一x 6解：原我=品√学严-√臣-品·总-盟1336&相原 . 式.=F-0=1当点万-1 √反-√ -50 √写-9时原式=尼-1-=3E-1.9A10.解：x=3十6，y=3 y=8 4 5,x十y=3十√5+3-√5=6，xy=(3+5)×(3-5)=4,x-y=3十√5-(3-5) =25.(1)x2-y=(x十y)(x-y)=6×25=125.(2)义+二=+Y= y (x+)-2x型-63-2X4=7. ry 4 数学活动怎样摆放所需栅栏最少 【解决问题】 √/2a4.828x2=a√a 2a V35 3.722 a3.545 【观察发现】 短 【解决问题】 2π245.013 第20章归纳与提升 思维导图梳理 以 a(a≥0)分母小于2aa0-aVab√ 最简二次根式 核心考点突破 1 1.C2.B3.24.解：(1)小亮(2)√a=-a(a<0)(3)当a=2时， √/a2-6a+9+1-a=√(a-3)z+11-a=a-3|+1-a=3-a+a-1=2. 5.C6B7.A8.号反-25（答案不唯-）9.2【解析】：1<E<21<3- √2<2.：3-√2的整数部分为a,小数部分为b,a=1,b=3-√2-1=2-√2.∴.(2十 aM=2月2-月=210解：1源式=35-(5+2×号-4月)=36-5 E+42=8y5+32.(2)原式=32×5-22)-25+35=3V6-12-5 3 3 3√6-17.(3)原式=5-7+(8-4√6+3)=9-4√6.11.解：：Q=3+2√2，b=3 2√2，∴.a十b=(3+2√2)+(3-2√2)=6，a-b=(3+2√2)-(3-2√2)=4√2，ab= (3+2√/2)X(3-2√2)=1.(1)a2-=(a十b)(a-b)=6×4√2=24√2.(2)a2-3ab+ b2=(a-b)2-ab=(4√2)2-1=32-1=31.12.解：(1)：DE=MF,DM=EF,∴.种 植青菜部分的周长等于长方形空地ABCD的周长为2(AB十BC)=2(√32十√8)= 2×(4√2+3√2)=14√2(m).∴.种植青菜部分的周长是14√2m.(2)种植香菜部分的面 积为W-1)(W3+1)=(3)-1=2(m).种植青菜部分的面积为（√32×√18）-2= (4√2×32)-2=22(m).22-2=20(m),∴.种植青菜和香菜部分的面积差为20m. 第21章一元二次方程 21.1认识一元二次方程 分点训练 1.C2.B3.a≠3【变式题】14.x2-6x十3=0-635.B6.57.B 综合运用 8.B【变式题】D9.202710.-111.解：(1)x2+(30-13-x)2=13.化为一般形式 为x2-17x十60=0.(2)(35-2x)(20-x)=600.化为一般形式为2x2-75.x十100=0. 21.2一元二次方程的解法 21.2.1直接开平方法和因式分解法 第1课时直接开平方法 分点训练 1.D2.解：(1)方程两边都除以2，得x2=50.直接开平方，得x=±5√2，即x1=5√2， =-5反.(2)移项，得写x=8.方程两边都乘3，得r=24,直接开平方，得x= —51数学活动 怎样摆放所需栅栏最少 【活动主题】在面积固定的前提下，如何设计实验田的形状，才能让围栏总长度最短？ 【情境创设】某学校拟在西区划定总面积为a的区域，打造智慧农场种植基地.怎样设计形状， 才能使围栏长度最短、最省材料？ 【提出问题】若实验田是单一的正三角形、等腰直角三角形、正方形、正六边形或圆形，则所需围 栏长度各是多少？ 【解决问题】单一形状围栏计算如下表，补充相关计算结果： 形状 面积S 用含a的式子表示x/r(不化简) 围栏长度L(近似值) B2-a 4a 3x≈4.559√a x459 2x 2-a x- 2.x+√2.x≈ √a x三 4x=4√a 6x≈ √a πr2=a 2πr≈ a 【观察发现】单一图形：面积相等时，图形越接近圆，周长越 (填“长”或“短”) 【进阶提问】若把智慧农场种植基地打造成两块全等的正三角形、正方形或圆形（如图），总面积依 然为am,此时围栏的长度跟上述单一图形对比，又会如何变化？ 【解决问题】组合形状围栏计算（结合单一图形面积公式快速推理，结果保留三位小数）： 金等正三角形（边长为：由题意，得2X82=a→围栏长度L=5y≈5.373a 全等正方形（边长为y):由题意，得2y2=a→围栏长度L=7y≈4.949√a; 全等圆形（半径为r):由题意，得=a→围栏长度L=πr≈ a. 【结论】组合图形：将单一图形分割为全等图形后，总围栏长度必然增加，因新增了内部边界. 【思维拓展】更多材料节省的思路 共享边界法：将多个种植区拼接，利用共用围栏减少材料消耗； 借力天然边界：利用围墙、河流等天然屏障作为部分围栏，进一步节省成本。 【思考与应用】结合前面的探究发现，你还能想到哪些更省材料的摆放方案吗？ 数学九年级上册华师版 10 第20章归纳与提升 思维导图梳理 二次根式 形如 的式子 概念 (1)被开方数不含 最简二次根式 (2)被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都 (a)2 (a≥0) 性质 (a>0), 次根式 /a2=a (a=0), (a<0) 乘法一a·6= (a≥0，b≥0) 运算 除法一 (a≥0，b>0) 加减法一先把各个二次根式化成 再把同类二次根式合并 混合运算一在二次根式的运算中，实数的运算性质和运算法则同样适用 核心考点突破 考点①二次根式有意义的条件及性质 解：原式=a十a-1=2a-1. 1.下列式子中，二次根式的个数为 当a=2026时，原式=4051. 1 小芳 -√x2+1;④8； (1) 的解法是错误的； :⑥6√1-x;⑦√x2+2x+3. (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式 的性质： A.2 B.3 C.4 D.5 (3)当a=2时，求√a-6a+9+|1-a的值. 2.(眉山期中)函数y= √x+2 x+2的自变量x的取 值范围是 ) A.x≥-2 B.x>-2 C.x=士2 D.全体实数 3.(呼伦贝尔中考)已知x,y是实数，且满足 y=2+2-a+ 8,则反·小的值是 考点2二次根式的运算 5.若√12与最简二次根式√2t-1能合并成一 4. 新趋势过程纠错)当a=2026时，求a十 项，则t的值为 ( √a一2a+1的值.小亮和小芳的解答过程 A.6.5 B.3 C.2 D.4 如图所示 6.(洛阳期末)下列二次根式运算正确的是( 解：原式=a+√(1-a) A.√4+√=√13 B.√3×√6=3√2 =a+1-a=1. 小亮 C.√/18：√2=9 D.√5-2=3 11 第20章二次根式