专题5.4 平面向量之三点共线定理和等和线定理讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量高考核心考点，系统整合三点共线定理及推论、等和线定理（共起点与异起点型），按“定理-推论-例题-练习”逻辑架构知识体系。通过考点精准梳理、解题方法分步指导、分层真题训练等环节，帮助学生构建向量共线问题的解题框架，突破思维难点。 资料创新采用分类突破策略，共起点型结合相似比直观分析系数和，异起点型通过平移转化为共起点问题，培养学生几何直观与推理能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合典型例题精讲，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题5.4平面向量之三点共线定理和等和线定理 5.4.1 三点共线定理 1.定理：设O为平面内任意一点（无任何限制），A、B、P为平面内三点，则：A、B、P三点共线⇔存在实数，使且. 2.核心推论：平面上A，B，C三点不共线，D在直线AB上，即B,D,C共线且，则，此时系数和为1，反过来系数和为1则三点共线； 3.推论：（1）若AD为△ABC的中线，则. （2）若AD为△ABC的角平分线，则. 例1.平面内不共线，点在直线上，且，用表示. 例2.已知点是的重心，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 例3.在中，.若点满足，则（ ） A. B. C. D. 例4.在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1.在中，是边上一点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 3.中，点在上，平分.若，则（ ） A. B. C. D. 4.在中，点在上，满足，点为的中点，试用表示为 . 5.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为 . 6.在中，平分，已知，用表示为 . 7.在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为 . 8.已知在内，且，则 . 5.4.2 等和线—共起点型 1.等和线：中，是与的相似比. 证明：如图所示：共线，共线，由三点共线可知： 设，，则，，所以， 当时，在DE上运动，则中，是与的相似比，将DE叫做等和线. 2.解题思路：（1）找到让的直线；（2）过作；（3）计算是与的相似比，结果即为. 3.平面向量等和线性质 （1）当等和线恰为直线时，； （2）当等和线在点和直线之间时，； （3）当直线在点和等和线之间时，； （4）当等和线过点时，； （5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数. 例1.在中，. (1)若，点在上，，求； (2)若点在的延长线上，（为与交点），求. 例2.在中，，，，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是 . 例3.在矩形中，已知分别是上的点，且满足，.若()，则的值为 . 1.已知，等和线，直线在点与之间，，则= . 2.为公共起点，等和线，在与之间，在上运动，，则的取值范围为 . 3.已知为定点，平面内两点，.若点落在：由等和线（对应）、等和线（对应）围成的带状区域内（不含边界，两条等和线均平行于），则的取值范围为 . 4.在中，点在内部（不含边界），，则的取值范围为 . 5.已知为原点，，，且满足，则的取值范围为 . 6.在同一个平面内，向量的模分别为，与的夹角为，且，与的夹角为，若()，则为 . 7.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若()，则的值为 . 第7题图 第8题图 8.如图，矩形中，，，以为直径的半圆上有一点，若，则的最大值为 . 9.在矩形中，，，动点在以为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为( ) A. B. C. D. 5.4.3 等和线—异起点型 利用平行四边形法则，将异起点的向量通过平移，转换成共起点向量再利用共起点等和线处理. 例1.正方形边长为，为边上动点，，求的最大值. 例2.直角梯形，，在上，，求的值. 例3.设、分别是的边，上的点，，．若(为实数)，则的值是 . 1.在梯形中，，，，则= . 2.正方形边长为，，，，则的取值范围为 . 3.在中，（），，则= . 4.矩形：，在矩形内及边界，，则的取值范围为 . 5.平行四边形对角线交于，，则= . 6.如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心， 为半径的圆弧上的任意一点，设向量， 则最小值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4平面向量之三点共线定理和等和线定理 5.4.1 三点共线定理 1.定理：设O为平面内任意一点（无任何限制），A、B、P为平面内三点，则：A、B、P三点共线⇔存在实数，使且. 2.核心推论：平面上A，B，C三点不共线，D在直线AB上，即B,D,C共线且，则，此时系数和为1，反过来系数和为1则三点共线； 3.推论：（1）若AD为△ABC的中线，则. （2）若AD为△ABC的角平分线，则. 例1.平面内不共线，点在直线上，且，用表示. 解：由定比分点推论：， 验证：，满足系数和为1，共线. 例2.已知点是的重心，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 解：， 所以.故选：C. 例3.在中，.若点满足，则（ ） A. B. C. D. 解：. 故选A. 例4.在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解：由题设，如下图示： ， 又， 所以，由三点共线，有， ∴，当且仅当时等号成立.故选：A. 1.在中，是边上一点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 解：∵， ∴，，故选：A. 2.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 解：∵，∴，∴.故选A. 3.中，点在上，平分.若，则（ ） A. B. C. D. 解：如图所示，由题设条件知， ∴，∴， ∴. 4.在中，点在上，满足，点为的中点，试用表示为 . 解：由，得，即. 由定比分点推论：， ，为中点： . 故答案为：. 5.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为 . 解：由，得：，设，， 则，∵，∴.故答案为：2. 6.在中，平分，已知，用表示为 . 解：由角平分线向量推论：， 代入：.故答案为：. 7.在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为 . 解：在中，，边上的中线，，设， 平方可得. 化简可得，，，当且仅当 时成立. 故的面积 .故答案为. 8.已知在内，且，则 . 解：如图，设与相交于， 则由，可得. 设与相交于，则由，可得. 因三点共线，故存在实数，使， 因三点共线，故存在实数，使得， 所以，，解得，，所以，.故答案为：. 5.4.2 等和线—共起点型 1.等和线：中，是与的相似比. 证明：如图所示：共线，共线，由三点共线可知： 设，，则，，所以， 当时，在DE上运动，则中，是与的相似比，将DE叫做等和线. 2.解题思路：（1）找到让的直线；（2）过作；（3）计算是与的相似比，结果即为. 3.平面向量等和线性质 （1）当等和线恰为直线时，； （2）当等和线在点和直线之间时，； （3）当直线在点和等和线之间时，； （4）当等和线过点时，； （5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数. 例1.在中，. (1)若，点在上，，求； (2)若点在的延长线上，（为与交点），求. 解：(1)由相似三角形，，故； (2)由等和线定义，. 例2.在中，，，，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是 . 解：∵三点共线，∴可设， ∵，∴，即， 若且，则三点共线，∴，即， ∵，∴，∵，∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵，∴，解得，∴的长度为. 当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：或. 例3.在矩形中，已知分别是上的点，且满足，.若()，则的值为 . 解：法一：如图，结合题意绘出图像： 因为，，所以，， 则，， 故， 因为，所以，解得，，.故答案为：. 法二：等和线：如图所示易知：， 则.故答案为：. 1.已知，等和线，直线在点与之间，，则= . 解：由等和线定义，.故答案为：3. 2.为公共起点，等和线，在与之间，在上运动，，则的取值范围为 . 解：由等和线性质2，.故答案为：. 3.已知为定点，平面内两点，.若点落在：由等和线（对应）、等和线（对应）围成的带状区域内（不含边界，两条等和线均平行于），则的取值范围为 . 解：等和线定值，区域介于与之间且不含边界，故. 故答案为：(-1，2). 4.在中，点在内部（不含边界），，则的取值范围为 . 解：过作；在内部在与之间； 由等和线定义，，即.故答案为：. 5.已知为原点，，，且满足，则的取值范围为 . 解：，代入约束：， 可行域顶点：-， -超出有效顶点为. 线性目标函数在可行域内最大值为，最小值为，故.故答案为：. 6.在同一个平面内，向量的模分别为，与的夹角为，且，与的夹角为，若()，则为 . 解：以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为， 且，知，，可得， ，，由可得， 则，，.故答案为. 7.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若()，则的值为 . 解：法一：∵，∴，∴. 则，则.故答案为：6. 法二：等和线，如图所示易知 张角定理：. 8.如图，矩形中，，，以为直径的半圆上有一点，若，则的最大值为 . 解：法一：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示， 因为在矩形中，，，所以圆的半径， 所以，，，，，圆的方程为，设，又，所以，解得：. 又点是圆上的点，所以(为参数)， 所以， 其中，所以，当时，取得最大值，故答案为：. 法二：等和线，如图所示， 由图，.故答案为：. 9.在矩形中，，，动点在以为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为( ) A. B. C. D. 解：等和线，如图所示易知：.故选：A. 5.4.3 等和线—异起点型 利用平行四边形法则，将异起点的向量通过平移，转换成共起点向量再利用共起点等和线处理. 例1.正方形边长为，为边上动点，，求的最大值. 解：建平面直角坐标系：， ，由：， 解得：，，令， ，在单调递减，故. 例2.直角梯形，，在上，，求的值. 解：建平面直角坐标系：， ，， 解得：，. 例3.设、分别是的边，上的点，，．若(为实数)，则的值是 . 解：法一：依题意，， ∴，∴，故. 法二，等和线：如图所示，取中点，连接， 作，若易知在时，， .故答案为：. 1.在梯形中，，，，则= . 解：令， ， ，则.故答案为：1. 2.正方形边长为，，，，则的取值范围为 . 解：因为， 则.故答案为：. 3.在中，（），，则= . 解：因为，. 故答案为：. 4.矩形：，在矩形内及边界，，则的取值范围为 . 解：因为，则 ，.故答案为：. 5.平行四边形对角线交于，，则= . 解：因为， 则，∴.故答案为：. 6.如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则最小值为 . 解：法一：以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则.设，.又向量，所以，， 则，∴， 则. 令，则. 所以当时，取最小值为. 法二，等和线： 如图所示， .故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $