第20章 勾股定理（大单元教学设计）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理及逆定理核心知识，以《周髀算经》商高故事、巴比伦泥板勾股数导入，承接七年级三角形全等性质，开启几何从定性到定量的跨越，为解直角三角形等后续内容奠基。 此资料特色在于融合数学文化与探究式教学，通过赵爽弦图拼图、方格纸面积观察培养直观想象与逻辑推理，设计蚂蚁爬行最短路径、梯子滑动等真实情境问题发展数学建模，分层作业与多元评价适配学情，助力学生构建知识体系，为教师提供素养导向的教学范式。

第二十章 勾股定理 大单元教学设计 大单元主题背景分析（教材分析） 教材地位与作用 《勾股定理》是人教版八年级下册几何核心单元，是初中几何体系中数形结合思想的标志性载体，承接七年级三角形基础性质、全等三角形等几何知识，开启初中几何从“定性研究”向“定量计算”的跨越，也是后续学习解直角三角形、四边形、圆的计算、立体几何棱长计算的重要基础。 从知识体系来看，本单元首次建立直角三角形三边的数量关系，打破了学生仅能判断三角形形状、边角定性关系的局限，实现几何图形与代数运算的深度融合。从学科价值来看，勾股定理是初中数学唯一兼具几何直观、代数推理、数学建模、文化传承的核心定理，贯穿整个初中数学几何计算体系，同时广泛应用于生活测量、工程计算、路径最短问题等实际场景，是连接数学知识与现实生活的重要纽带。此外，勾股定理的逆定理为判定直角三角形提供了全新的量化方法，完善了直角三角形的判定体系，构建起“性质—判定—应用”的完整知识闭环。 新课标衔接与核心素养 结合2022版初中数学新课标“三会”核心素养总目标（会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界），本单元精准对接图形与几何领域学业要求，聚焦四大核心素养落地： 1.直观想象：通过方格纸观察、拼图实验、图形拆分拼接，感知直角三角形三边的面积关系，建立几何图形与数量关系的直观关联，培养学生几何直观与空间想象能力。 2.逻辑推理：经历“观察特例—提出猜想—操作验证—严谨证明”的完整探究过程，通过赵爽弦图、总统证法等多种证明方法，培养学生合情推理与演绎推理能力，树立严谨的数学思维。 3.数学建模：将生活中的测距、爬坡、折叠、航海等实际问题抽象为直角三角形模型，利用勾股定理及逆定理解决问题，提升学生数学建模与问题转化能力。 4.数学运算：熟练运用勾股定理公式进行边长计算、根式运算、边长估值，规范运算步骤，提升精准运算、灵活运算的核心能力。 同时，新课标强调数学文化育人，本单元通过渗透中外勾股定理的发展历史，落实立德树人目标，培养学生文化自信与科学探究精神，实现知识传授与素养培育、价值引领的统一。 学情分析 1.已有基础：八年级下学期学生已掌握三角形的基本概念、内角和、全等三角形判定、整式运算、二次根式计算等知识，具备初步的几何观察、简单猜想和代数运算能力，能够完成基础的图形操作与计算，为勾股定理的探究和证明奠定了知识与能力基础。 2.认知短板：学生长期习惯于几何定性分析，对“数形结合定量研究几何”的思维模式较为陌生，难以自主建立图形与代数式的关联；对勾股定理的证明逻辑理解困难，尤其对拼图证法中“等面积法”的转化思想掌握薄弱；在复杂情境中，无法快速剥离无关信息、抽象出直角三角形模型，容易出现公式套用僵化、忽略定理适用条件（仅限直角三角形）等问题。 3.心理特点：八年级学生好奇心强，乐于参与动手操作、小组合作探究活动，但抽象思维、逻辑推导能力参差不齐，耐心不足，对于繁琐的证明过程和复杂的实际应用题容易产生畏难情绪，学习两极分化初步显现。 单元教学目标 知识与技能 1.理解勾股定理的推导过程，精准掌握直角三角形三边关系公式，明确定理的适用条件，能够熟练运用公式求解直角三角形的未知边长。 2.掌握勾股定理的逆定理，能够利用三边数量关系判定三角形是否为直角三角形，熟知常见勾股数并能灵活运用。 3.学会运用等面积法证明勾股定理，了解多种经典证明方法，能够解决折叠、航海、测距、立体图形最短路径等生活化、综合性实际问题。 4.规范勾股定理相关计算、证明、应用题的解题步骤，熟练结合二次根式完成精准运算。 数学思考 1.经历勾股定理的探究与证明全过程，体会数形结合、转化化归、特殊到一般的核心数学思想，建立几何图形与代数运算的双向思维。 2.通过对比勾股定理（性质）与逆定理（判定），培养逆向思维与辩证思考能力，区分定理的正向应用与反向判定逻辑。 3.在复杂问题解决中，学会抽象数学模型、拆分复杂图形，提升数学抽象与逻辑推理素养，形成规范、严谨的数学思维习惯。 问题解决 1.能够从生活真实情境中提炼直角三角形数学模型，运用勾股定理及逆定理解决测量、距离、高度、路径最短等实际问题，提升问题转化与应用能力。 2.通过小组合作探究、一题多解、变式训练，积累几何探究与综合解题经验，提升多角度分析问题、解决问题的能力。 3.能够自主发现解题过程中的漏洞与错误，学会自查纠错、归纳解题规律，形成自主解题、自主复盘的学习能力。 情感态度 1.通过动手拼图、自主猜想、合作验证的探究过程，体验数学发现的乐趣，激发数学学习兴趣，培养主动探究、勇于探索的科学精神。 2.了解我国古代数学家商高、赵爽对勾股定理的研究贡献，感受中华优秀数学文化，增强民族自豪感与文化自信。 3.在小组合作、交流展示、错题反思中，培养团队协作、严谨求实、敢于质疑、乐于纠错的良好学习品质。 学习活动设计 勾股定理及其应用活动一 勾股定理的逆定理及其应用活动二 学习评价设计 过程性评价 聚焦课堂全程学习表现，实时记录、动态反馈，重在激励学生主动参与、规范学习习惯。 1.课堂表现评价（20%）：评价维度包含课堂听课状态、动手操作参与度、猜想发言积极性、小组合作贡献率、思路表达规范性。重点关注学困生的参与情况，鼓励全员参与探究，对能够主动提出疑问、创新解题思路的学生予以加分激励。 2.作业与纠错评价（25%）：分层评价基础作业、变式作业、拓展作业，重点核查公式运用规范性、运算准确性、解题步骤完整性、错题复盘有效性。要求学生建立错题本，记录勾股定理易错点（混淆适用条件、勾股数记忆错误、边长计算漏解等），定期复盘巩固。 3.探究活动评价（15%）：针对拼图证明、勾股数探究、生活测量实践等活动，评价学生的动手能力、探究思路、合作能力、成果展示能力，重点关注学生是否能独立完成猜想、验证、总结的完整流程。 终结性评价 单元终结综合测试，贴合新课标学业质量标准，分层命题，兼顾基础、能力与素养。 1.基础层（70%）：定理概念、公式计算、勾股数识别、基础判定与简单应用，保障全员达标。 2.提升层（20%）：图形折叠、分段求解、逆向判定等变式题型，考查知识灵活运用能力。 3.素养层（10%）：生活情境建模、一题多解、数学文化拓展题，考查数学建模、逻辑推理与创新思维。 反思性教学改进 （一）过往教学存在的核心问题 1.教学重结论、轻过程，素养落地不足：传统教学多直接给出勾股定理公式，以刷题训练为主，压缩学生动手探究、猜想验证、逻辑推导的过程，导致学生只会机械套用公式，不理解定理本质与推导逻辑，无法灵活应对变式题型，数形结合思维未能真正建立。 2.重难点突破单一，学生两极分化明显：勾股定理的证明是教学难点，以往仅讲解赵爽弦图一种证法，讲解方式抽象枯燥，基础薄弱学生无法理解等面积转化思想；同时课堂训练题型统一，未落实分层教学，学困生跟不上、优等生吃不饱。 3.知识与生活脱节，建模能力薄弱：教学中多以纯数学题型训练为主，缺少真实生活情境导入与实践应用，学生难以将实际问题转化为直角三角形模型，面对航海、折叠、立体路径等综合应用题时，无从下手，数学建模素养落实不到位。 4.评价方式单一，忽视过程成长：以往过度依赖单元测试成绩，忽视学生课堂探究、作业纠错、思维成长的过程性评价，无法精准掌握学生的思维短板，错题复盘流于形式，同类错误反复出现。 5.数学文化渗透浅表化：仅简单提及勾股定理历史，未将数学文化与定理探究、素养培育深度融合，未能充分发挥数学文化的育人价值，学生文化自信与科学精神培育不足。 （二）针对性教学改进策略 1.重构探究课堂，落实素养过程化培育：严格遵循“情境导入—特例观察—大胆猜想—动手拼图—严谨证明—归纳总结”的探究流程，把课堂主动权还给学生。让学生自主动手拼接图形、计算面积、推导关系，亲历知识生成全过程，深度理解数形结合、转化思想，从“记公式、用公式”转变为“懂原理、会推理、能创新”。 2.分层突破重难点，缩小两极分化：针对证明难点，分层讲解多种经典证法，基础层掌握赵爽弦图基础证法，提升层理解总统证法、面积拼接法；设计分层任务、分层作业、分层提问，基础聚焦公式应用与简单计算，提升聚焦变式题型与综合应用，拓展聚焦一题多解与创新探究，适配不同层次学生学情。 3.深耕真实情境，强化建模能力：结合生活实景设计教学案例，如梯子靠墙、山坡测距、折叠桌椅、航海定位、楼道搬运等真实问题，引导学生学会剥离无关信息、抽象直角三角形模型、转化数学问题。增设实践作业，让学生自主测量生活中物体高度、距离，真正实现“学数学、用数学”。 4.完善多元评价，落实精准教学：全面落地过程性评价，细化课堂、作业、探究、纠错各环节评价标准，建立学生个人学情档案。针对高频易错点（非直角三角形套用定理、斜边直角边混淆、勾股数误用）开展专项专项复盘训练，引导学生自主归纳错题规律，养成严谨解题习惯。 5.深度融合数学文化，落实立德树人：将勾股定理发展史、中外数学家探究故事融入课堂各环节，课前导入渗透文化背景，探究环节对比中外证法差异，拓展环节布置数学文化手抄报、探究小论文作业，让学生感受数学的历史厚度与人文温度，培育科学探究精神与民族文化自信。 （三）后续教学优化方向 1.持续推进大单元整体教学，打破单课时壁垒，串联“定理探究—证明—判定—应用—综合拓展”完整知识链，帮助学生构建系统化知识体系。 2.强化跨学科融合，结合物理力学、地理测距、工程测量等学科内容，拓宽勾股定理的应用场景，提升学生综合应用能力。 3.依托小组合作、课堂展示、分层辅导，持续关注学困生转化与优等生拔高，全面提升单元教学质量，真正实现新课标“素养导向、全员发展”的教学目标。 单元教学结构图 教学设计 勾股定理及其应用活动一 · 情境引入 在《周髀算经》的开篇，商高(约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”,意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 商高所指的面积关系可以用图形表示.红色直角三角形的三边长分别为3,4,5,分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9,16,25,且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系? 师生活动：在教师的引导下，学生理解情境问题，合作探究勾股定理的内容和证明方法，积极参与到课堂中去． 设计意图：生活中的有趣的数学文化引入，提高学生学习的积极性.从生活中，让学生去发现存在的数学问题，体会数学来源于生活，应用于生活，同时引出本节课题. · 探究新知 思考：如图每个小方格的面积均为1,图中正方形A₁,B₁,C₁的面积之间有什么关系?A₂,B₂,C₂呢? A₃,B₃,C₃呢? 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系?由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗? 如何求蓝色部分（C部分）正方形的面积？ 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 三个正方形面积之间的关系能用直角三角形的边来表示吗？ 通过上面的研究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？ 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(a、b、c为正数) 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. 公式变形： 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 总结： 1. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 2. 根据勾股定理,已知直角三角形两边，可求第三边. 证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.如图，这个图案是赵爽在注解《周牌算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”,赵爽根据此图指出，四个全等的首角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）. 思考：如图所示，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿 墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗? 下滑前后梯子与墙面、地面构成的两个、直角三角形，什么量没有发生变化? 下滑后梯子底端外移的距离是哪条线段的长度?如何计算? 归纳总结： 思考：在一个圆柱石凳上，若蚂蚁在A处，食物在B处，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？ 若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，如何计算最短路径长度？ 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 归纳总结： 如图，一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为a、b、c，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 归纳总结： （1）相邻两面的展开图是一个长方形，有三种展开方式， 其中沿最长的棱长展开得到的路线（即将最长的棱长作为一条直角边的长），距离是最短的. （2）当是正方体时，其三种展开方式的结果都是一样的. 思考：有理数可以表示在数轴上，无理数是不是也可以表示在数轴上呢？ 如何求下列三角形的各边长？ 边长为1的等腰直角三角形，通过勾股定理求得斜边长为√2， 那么√2在数轴上可以找到对应的点表示吗？ 思考：按照以上方法，可以在数轴上画出表示√1、√2、√3、√4、√5⋯⋯的点. 总结：利用勾股定理表示无理数的方法 （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 师生活动：教师引导学生思考无理数与数轴上的点的对应关系，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充． 设计意图：把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 应用新知 例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,求点C到AB的距离. 例2.如图，在长方形ABCD中，点E是BC的中点，且AE=AD,连接AC,BE=2,求AC的长. 例3.果果同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高6m,另一棵高2m,两树相距6m,一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？ 例4.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？ 例5.一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=18，点E在CD上，CE=2m．一滑板爱好者从A点滑到E点，再从点E滑到点B，则他滑行的最短路程是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，π取3） 例6.在数轴上画出表示√5的点. 例7.如图，已知A,B的左边分别为(0,1)，(4,4)，连接AB,求线段AB的长度. 例8.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. 归纳总结： 折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法: (1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程； (4)解这个方程，从而求出所求线段长. 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握勾股定理的本质和应用，同时培养学生变相思考问题的能力、运用勾股定理解决实际问题的能力.培养学生自主学习的能力，同时通过初次尝试，发现学生在做题过程中出现的问题，引起学生对数学解题步骤的重视.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. 勾股定理的逆定理及其应用活动二 · 情境引入 　　巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学生们以手掌大小的粘土板为练习本．只要粘土板还潮湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就是在这些建筑中发现这些泥板的． 泥板上的神秘符号实际上是一些数组．　　经过专家的潜心研究,发现其中两列数字竟然是直角三角形的勾和弦的长,只要再添加一列数(如图左边的一列),那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长． 那如何判定由这些数组构成的三角形是直角三角形呢？ 师生活动：在教师的引导下，学生阅读情境问题，合作探究，积极参与到课堂中去． 设计意图：数学文化引入，提高学生学习的积极性.从生活中，让学生去发现存在的数学问题，体会数学来源于生活，应用于生活，同时引出本节课题. · 探究新知 （1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形 （单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25． （2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数． （3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想． 已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2． 求证：△ABC是直角三角形． 【勾股定理的逆定理】 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 直角三角形的判定有两法可依： （1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角． （2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定． 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 练习：判断三组线段下列能够构成直角三角形？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ， b=14 ， c=15; 思考：你会比较勾股定理和勾股定理的逆定理之间的异同吗？ 你能运用勾股定理的逆定理解决生活中的实际问题吗？ 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 思考1：认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ 思考2：由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 师生活动：教师引导学生思考勾股定理和勾股定理的逆定理之间的异同，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充． 设计意图：把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 应用新知 例1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC上的一点,BC=15,CD=9,BD=12. (1)求证：△BCD是直角三角形；(2)求AB的长. 例2.菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知AC=6m,BC=8m,BD=24m．求放置菊花盆栽区域的面积． 归纳总结： 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26等等. 例3.大型工程车行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台大型工程车沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和 200 m，AB＝250 m，大型工程车周围 130 m 以内为受噪声影响区域． （1）学校会受到大型工程车的影响吗？ （2）若大型工程车的行驶速度为 50 m/min，大型工程车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握勾股定理的逆定理及其运用，同时培养学生变相思考问题的能力、运用知识解决实际问题的能力.培养学生自主学习的能力，同时通过初次尝试，发现学生在做题过程中出现的问题，引起学生对数学解题步骤的重视.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. · 课堂小结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1. 本节课你学到了什么？ 2. 直角三角形三边的长有什么特殊的关系? 3. 赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 4. 已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？ 5. 勾股定理的逆定理是如何证明的？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.由教师引导，学生进行总结勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解勾股定理的基础上，及时把知识系统化、条理化. · 当堂练习 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长． 2.如图所示是一段楼梯，高BC是5米，斜边AB长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要_____元． 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC=8,将△ABC折叠，使点B与AC的中点F重合，折痕为DE,则CE的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.你能在数轴上画出表示的点吗？ 5.以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） 6.如图，在△ABC中，点D在BC边上，AC=17,AD=15,CD=8. (1)求证：AD⊥BC; (2)若AB=20,求BD的长. 7.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是400m/min，甲客轮用30min到达A处，乙客轮用40min到达B处．若，两A,B处的直线距离为20000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 解：甲行驶路程：400×30=12000m，乙行驶路程：400×40=16000m， 又∵12000^2+16000^2=20000^2, ∴△AOB为直角三角形，且∠AOB为直角， ∵甲航行方向为北偏东30°， ∴乙航行方向与甲垂直，可能为北偏西60°或南偏东60°， 选项中南偏东60°对应C， ∴乙客轮航行方向可能为南偏东60°. 8.了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量∠A=90°,AB=9m,AD=12m,BC=8m,CD=17,则空地ABCD的面积为____________． 师生活动：学生做练习，教师订正答案. 设计意图：通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.通过分层练习，进一步提高学生学习兴趣，使学生的认知结构更加完善.同时强化本课的教学重点，突破教学难点. 单元作业设计 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，可以作为直角三角形三边长，符合题意，选项正确； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，对角线长为，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示， 故选：D． 3．如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 所以图形C的面积． 故选：D． 4．如图，，，若，则的长度为（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，延长、交于点A，连接，证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，，在中，根据勾股定理得：，求出，在中，根据勾股定理得：，求出，即可得出答案． 【详解】解：延长、交于点A，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， 故选：C． 5．如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米．为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在、处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．4 B．5 C．7 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由长方形的性质得，再由勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， 在中，由勾股定理得：， （米）， 故选：A． 6．如图，在中，，按以下操作步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点； ②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线，交于点．若，，则线段的长度是（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，利用勾股定理求得，证明，可得，设，则，，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，是的角平分线， 过D点作于H点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理：， 即， 解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查作图−角平分线、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握角平分线的作法得出是的角平分线是解题的关键． 7．在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先结合方向角的度数得到三角形中角的度数，再利用直角三角形性质得到三角形的各个角的度数，进而推出，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 米， 米， 米， 米． 8．如图，长方形的长，宽，高，点M在CH上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将长方体沿、、剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接；或将长方体沿、、剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接，或将长方体沿、、剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，然后分别在与与，利用勾股定理求得的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体沿、、剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图， 由题意可得：，， 在中，根据勾股定理得：； 将长方体沿、、剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， 将长方体沿、、剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，如图， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ∵，则需要爬行的最短距离是． 故选：．    【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解． 9．如图，两个大小、形状均相同的和拼在一起，其中点A与点重合，点落在边上，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，灵活运用勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理求出的长，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得与全等且均为等腰直角三角形， ， ， ， 在中， ∵， 是直角三角形， ． 故选：A． 10．如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；由等腰三角形的性质得，则有；再证明，则可判定①②③；由，，比较两者大小即可判定④． 【详解】解：∵，，P是中点， ∴，， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形； ∴； 故①②正确； ∵ ； 故③正确； 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴ ， ∴； 故④错误． 故选：C． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_________． 【答案】 【分析】根据点的坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴点到原点的距离是：=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，点的坐标，正确理解点的坐标性质是解题关键． 12．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米的学生正对门，走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 即学生头顶离感应器的距离为米． 故答案为：． 13．如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的（勾股圆方图），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为______． 【答案】29 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：29． 14．直角三角形中，若两条直角边的长分别为3，5，则第三条边的长为________． 【答案】 【分析】利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：第三条边的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．如图，在等边中，平分，，分别为，上一点，且，连结，．当时，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作，使，连接、，证明可得，可知，由可得当、、三个点在同一直线上时，有最小值，在中，利用勾股定理求出，即可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作，使，连接、， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三个点在同一直线上时，的值最小，即有最小值，最小值为， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】求的最小值，可将问题转化为线段最值问题，通过作垂线构造全等三角形，将、转化到同一直线上，再利用“两点之间线段最短”求解． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理， ， ∴． （2）解：在中，根据勾股定理，得 ， 则， ∴． 17．已知，，是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，见解析 【分析】先变形等式，由非负数的性质可知：的值，再利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：是直角三角形． 理由如下：由可得， ， ，，， ，，． ， 是直角三角形． 18．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)22800元 【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可． （2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为15米． （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为：． 购买运动型塑胶地板的总费用为（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了米 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为10米， （米）， 在中，米，米， （米） 在中，米，米， （米），​ （米），​ 答：船向岸边移动了米． 20．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 21．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 22．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股黄金三角形”的研究报告【研究对象】勾股黄金三角形． 【研究思路】类比一般三角形，沿着“概念一性质一应用”的路径探究其特征． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明． 【一般概念】如果一个直角三角形的三边长之比为，那么我们就称这个直角三角形为勾股黄金三角形． 【性质揭示】勾股黄金三角形的斜边和短直角边之差与长直角边的比值为黄金分割比． 探究：如图1，是一个勾股黄金三角形，，求证：． …… 任务： (1)若一个直角三角形的三边长分别为，，，这个直角三角形是勾股黄金三角形吗？请说明理由． (2)完成报告中“探究”部分的证明． (3)如图2，请在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出一个面积为5的勾股黄金三角形，使点均在格点（小正方形的顶点）上． 【答案】(1)是，详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）根据勾股黄金三角形的定义判断即可； （2）根据是勾股黄金三角形，，写出较长边的长，斜边的长，计算的值即可； （3）在网格中按的比例画格点三角形即可． 【详解】（1）解：是．理由如下： ，， 这个直角三角形的三边长之比为． 这个直角三角形是勾股黄金三角形． （2）证明：是勾股黄金三角形，， ． ． （3）解：如答图，即为所求．（答案不唯一） 23．如图1，已知中，，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接． 发现问题：如图1，当点D在边上时， (1)请写出和之间的位置关系为________，并猜想和、之间的数量关系：________； (2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； (3)当点D在射线上且其他条件不变时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，数量关系为，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，，再结合勾股定理即可得出结果； （2）由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，，再结合勾股定理即可得出结果； （3）分两种情况：当点在线段上时；当点在射线上时；分别利用全等三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：成立，数量关系为，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时， 在中，，， ∴， 由（1）可得：，, ∴， ∴； 如图，当点在射线上时， ∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边、对应角相等． 24．如图，已知，，且，交y轴于E点． (1)如图1，若，求C点坐标； (2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为的中点，交x轴于G点，连接，若，求G点的坐标； (3)如图3，A在x轴的负半轴上，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过非负数的性质求出点A、B坐标，过点C作轴于点H，易证得，进而得到、，据此求出点C坐标即可； （2）过点C作轴于点H，同理（1）可证明：、，设点、，根据中点坐标公式求出且，利用勾股定理求出，根据列方程，求出的值，从而得到G点的坐标； （3）过点C作轴于点M，在上取一点N，使得，连接，同（1）可证明，进而得到、，易证得是等边三角形，进而得到且，根据是等边三角形得到、，易证得，进而得到、，则，根据直角三角形的性质得到，最后利用得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得， 如图1，过点C作轴于点H， ， 、， ， 在和中， ， ， 、， ， 点C坐标为； （2）解：如图2，过点C作轴于点H，同理（1）可证明：、，设点、， 、E为的中点， ， ， 、， ， ， ， ， 解得， ， 点G坐标为； （3），证明过程如下： 证明：如图3，过点C作轴于点M，在上取一点N，使得，连接， 同（1）可证明：， 、， 、， 是等边三角形， 、， ， 是等边三角形， 、， 在和中， ， ， 、， ， 轴， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $