专题21.1 四边形及多边形【十三大考点+十三大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题21.1 四边形及多边形 · 考点一：四边形的不稳定性 · 考点二：（正）多边形的概念与分类 · 考点三：多边形截角后的边数问题 · 考点四：多边形的周长 · 考点五：网格中多边形面积比较 · 考点六：多边形对角线的条数问题 · 考点七：对角线分成的三角形个数问题 · 考点八：多边形内角和问题 · 考点九：正多边形的内角问题 · 考点十：多（少）算一个角问题 · 考点十一：多边形截角后的内角和问题 · 考点十二：正多边形的外角问题 · 考点十三：多边形外角和的实际应用与平面镶嵌 · 考点十四：多边形内角和与外角和综合 【知识点1】四边形及其相关概念 1. 四边形的定义：如图21.1－1，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图21.1－1 中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. 2. 四边形的相关概念 (1)四边形的对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 在图21.1－3 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形. (2)四边形的内角和外角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 如图21.1－4，∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA是四边形ABCD的内角，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的外角. 【知识点2】四边形的内角和、外角和 1. 四边形的内角和等于360°. 推导过程如下： 如图21.1－6，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 在△ABC中，由三角形的内角和定理，得∠1＋∠B＋∠3＝180°. 同理∠2＋∠4＋∠D＝180°.由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝ ∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D ＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D) ＝180°＋180°＝360°， 即四边形的内角和等于360°. 2. 四边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 因为四边形的内角和等于360°，所以四边形的外角和等于4×180°－360°＝360°. 【知识点3】四边形的不稳定性 1. 四边形的不稳定性：四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. 连接一条对角线后，四边形变成两个三角形，这时四边形的形状不再发生变化. 2. 四边形不稳定性的应用：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图21.1－8中的活动挂架和伸缩门；有时又需要克服四边形的不稳定性， 例如门框在未安装好之前，木工师傅会先沿着对角线钉一根木条，以防门框变形. 【知识点4】多边形及其相关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 多边形有几条边就叫作几边形. 2. 多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的各条线段 顶点 每相邻两条线段的公共端点 内角 多边形相邻两边组成的角 外角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 多边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如上表中的五边形，记作“五边形ABCDE”. 3. 正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.例如正三角形、正方形等(如图21.1－10) 【知识点5】多边形的内角和 1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°. 2. 多边形内角和公式的证明方法 证明方法 图形 证法1 从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线， 将这个n边形分成(n－2)个三角形， 这(n－2) 个三角形的内角和恰好是这个n 边形的内角和， 为(n－2)×180° 证法2 在n边形内任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180° 证法3 在n边形的一边上任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 证法4 在n边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 【知识点06】多边形的外角和 1. 多边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°. 2. 多边形的外角和在正多边形中的应用 (1)正n边形的每一个外角都是； (2)若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为. 题型一：四边形的不稳定性 【典例1】．（25-26八年级下·广东江门·月考）下列图形中，运用四边形不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形和四边形的特征解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意； B选项伸缩门是用到了四边形的不稳定性，符合题意． 【变式1】．（23-24八年级上·湖北武汉·月考）下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）． 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列图形具有稳定性的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，四边形的不稳定性．观察四个选项，图形全部都是三角形组成，则这个图形具有稳定性，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：A、是四边形，不是三角形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； B、含有四边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； C、含有四边形，不具有稳定性，故该选项不符合题意； D、都是有三角形组成的，具有稳定性，故该选项符合题意； 故选：D 【变式3】．（24-25八年级上·新疆和田·期中）用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题． 根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，根据用木条钉成木架后是否得到三角形即可得出答案． 【详解】解：如图，用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是 ， 故选：D 题型二：（正）多边形的概念与分类 【典例2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 【变式3】．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．根据正多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形， 故选：C． 题型三：多边形截角后的边数问题 【典例3】．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角下方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，    故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形的角，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 【变式1】．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 【变式3】．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 题型四：多边形的周长 【典例4】．（25-26七年级上·广东深圳·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·月考）如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得， ，，， 根据勾股定理得， ∴梯形的周长为， 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·重庆·月考）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 【变式3】．（2025·陕西咸阳·一模）如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可． 本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为， 故 ， 由，得， 得， 该六边形的周长一定比原五边形的周长小． 故答案为：小． 题型五：网格中多边形面积比较 【典例5】．（25-26八年级上·重庆长寿·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 【答案】(1)图见解析，、、； (2)12 【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）通过对称点的坐标求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 点、、； （2）解：如图， 根据轴对称的性质，找出点、的对称点、， ∴，， 四边形是等腰梯形， ∴四边形的面积为． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，每个小正方形的边长为1，图中阴影部分是一个大正方形，求这个大正方形的面积和边长． 【答案】面积为13，边长为 【分析】本题主要考查了割补法求图形的面积、算术平方根的应用等知识点，求得阴影正方形的面积是解题的关键． 运用割补法求得阴影正方形的面积，然后运用算术平方根求正方形的边长即可． 【详解】解：根据题意可得，， 正方形的边长为． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 、 【变式3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【答案】作图见解析； 【分析】本题考查作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 根据轴对称的性质作图即可；再利用割补法计算即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 四边形的面积为． 题型六：多边形对角线的条数问题 【典例6】．（25-26八年级下·山东济宁·月考）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 【变式2】．（2022八年级上·全国·专题练习）若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和和对角线数量公式．先利用正多边形外角和为360°求出边数，再根据n边形从一个顶点出发的对角线数量公式计算结果． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角是， ∴该正多边形的边数， ∵从边形的一个顶点出发的对角线数量为， ∴从正六边形一个顶点出发的对角线数量为． 故选：A 【变式3】．（25-26八年级上·山东·期末）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理， 利用多边形外角和恒为的性质，结合内角和公式建立方程求边数n，再计算从一个顶点引出的对角线条数． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得 ， 解得， 从一个顶点引出的对角线条数为． 故选：A． 题型七：对角线分成的三角形个数问题 【典例7】．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）过某个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成6个三角形，这个正多边形每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据过多边形一个顶点的对角线分三角形的规律求出正多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算每个内角的度数． 【详解】解：∵过正多边形一个顶点的所有对角线将这个正多边形分成6个三角形， ∴设正多边形的边数为，可得， 解得，即该正多边形为正八边形； ∵边形的内角和为， ∴正八边形的内角和为， ∴正八边形每个内角的度数为． 【变式1】．（25-26八年级下·上海闵行·月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 【变式2】．（25-26七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的性质，根据规律：从边形的一个顶点出发的所有对角线，会将多边形分成个三角形，据此列方程求解即可得到边数. 【详解】解：∵从边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，题目中分成个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：． 【变式3】．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 题型八：多边形内角和问题 【典例8】．（25-26八年级上·甘肃临夏·月考）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】利用公式列方程即可求解． 【详解】解：设多边形边数为， 根据题意列方程得， 解得， ∴这个多边形的边数是． 【变式1】．（21-22七年级下·江苏扬州·月考）如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多边形内角和且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 【变式2】．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 【变式3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：． 解得：． 所以这个多边形是七边形． 题型九：正多边形的内角问题 【典例9】．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正多边形的内角公式，求出正五边形的内角度数，得到和的度数，再借助等边三角形的内角为，四边形的内角和为，计算即可． 【详解】解：由正多边形的内角公式，可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】．（25-26八年级下·湖南·月考）一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据正多边形的内角公式进行求解即可． 【详解】解：令该正多边形为边形， 由正多边形内角公式得， 解得， 故该正多边形的边数为． 【变式2】．（25-26八年级下·山西运城·月考）如图，小逸同学将正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正五边形和正六边形的内角，再由即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， ∴． 【变式3】．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求一个外角的度数为，根据，求解即可； 【详解】解：根据题意，得外角的度数为， 故内角的度数为：； 题型十：多（少）算一个角问题 【典例10】．（25-26九年级上·天津南开·月考）如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 【变式1】．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 【变式2】．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 【变式3】．（23-24八年级上·河北保定·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得， 解得：，为正整数， 当时，；故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 题型十一：多边形截角后的内角和问题 【典例11】．（22-23八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【变式1】．（2024八年级上·广东中山·竞赛）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【答案】D 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 【变式2】．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 【变式3】．（24-25七年级下·河南周口·月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形． 则， 解得：， ∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， ∴原多边形的边数可能为7或8或9， 故选：D． 题型十二：正多边形的外角问题 【典例12】．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 【变式1】．（2023·湖南娄底·模拟预测）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，则， 解得：． ∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变， ∴原多边形的边数可能为7或8或9． 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质，求出正多边形的边数，即可得出答案． 【详解】． ∴该正多边形的内角和的度数为． 【变式3】．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，一个正多边形左半部分被遮盖，若，互相垂直，则此正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的外角，如图，根据正多边形的每个外角都相等，结合三角形的内角和定理求出，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得， ∴， ∴正多边形的边数为； 故选：B． 题型十三：多边形外角和的实际应用与平面镶嵌 【典例13】．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，他需要转次才会回到原点， 所以一共走了（米）． 【变式1】．（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 【变式2】．（24-25七年级下·山西长治·期末）若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是个正三角形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； B、正四边形的每个内角是个正四边形满足同一顶点处的周角为，故本选项符合题意； C、正六边形的每个内角是个正六边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； D、正八边形的每个内角是个正八边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 题型十四：多边形内角和与外角和综合 【典例14】．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 【变式1】．（25-26八年级下·江西新余·月考）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 【答案】(1)7，8 (2)，， (3)不存在这样的多边形 【分析】（1）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （2）找到多边形从一个顶点出发的对角线的条数及将多边形分割成的三角形的个数的规律，即可解答； （3）设这个多边形的边数为m（，且m为整数），列出方程， 解得，再根据，且m为整数，得到不符合题意，即可解答． 【详解】（1）解： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 按此规律，从十边形的一个顶点可以引出条对角线，对角线将十边形分割成了个三角形； （2）解：从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出条对角线，这些对角线将边形分割成了个三角形，边形的内角和为． （3）解：设这个多边形的边数为（，且为整数）， 依题意，得， 解得， ∵，且m为整数， ∴不符合题意． 答：不存在这样的多边形． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)200°；100° (2)．理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键． （1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数； （2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系． 【详解】（1）解：在中； ∵ 平分，平分； ∴； 在四边形中； ∵ 平分，平分； ∴； 在中． ∴． （2）解：．理由如下： ，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点， ． ，， ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·广东·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）先利用角平分线的意义得出，根据垂直的意义得出，从而可求得，于是可得出，再证明，根据全等三角形的性质可得； （2）如图，过点作，，垂足分别为，，先根据同角的补角相等，得出，再根据证明，从而可根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为，， ∴， 又∵平分，， ∴，， 在四边形中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（   ） A．四边形的内角和与外角和相等 B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C．四边形的外角和是 D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是 【答案】C 【分析】根据四边形内角和、外角和定理及内角与外角的互补关系，逐一判断选项即可得出结论． 【详解】解：∵四边形内角和为，任意多边形外角和均为 ∴A选项中四边形内角和与外角和相等，表述正确． ∵四边形内角和为，若一组对角互补（和为） ∴另一组对角和为，即另一组对角也互补，B选项表述正确． ∵任意四边形外角和为 ∴C选项表述错误． ∵四边形内角与相邻外角互补，若每个内角是 ∴每个外角为，D选项表述正确． 故选：C． 2．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正三角形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】平面镶嵌的条件是围绕同一点拼在一起的多边形内角和恰好等于，判断一种图形能否单独镶嵌，只需验证该图形的单个内角度数能否整除，能整除即可镶嵌，反之不能． 【详解】解：①长方形每个内角为，，结果是整数，长方形可以单独镶嵌； ②正三角形每个内角为，，结果是整数，正三角形可以单独镶嵌； ③正五边形每个内角为，不是整数，正五边形不能单独镶嵌； ④正六边形每个内角为，，结果是整数，正六边形可以单独镶嵌； 因此可供选择的地砖为①②④． 3．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（    ） A．它一定是三角形 B．它可能是四边形 C．它一定是四边形 D．它不可能是三角形和四边形 【答案】A 【分析】利用多边形内角和公式，结合凸多边形每个内角小于的性质，求解多边形边数，即可判断选项． 【详解】解：设该凸多边形为n边形，题中满足条件的内角为， ∵n边形内角和为，等于其余内角的和 ∴， 整理得， 即， ∵凸多边形的内角满足， ∴， 不等式两边同除以得 ，即， ∵n是不小于3的正整数， ∴ ∴它一定是三角形． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 二、填空题 5．（25-26九年级上·重庆·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·山西吕梁·月考）如图，学校的伸缩门是应用了四边形的________． 【答案】 不稳定性 【分析】根据四边形的特性即可得到答案． 【详解】解：学校的伸缩门在开关过程中，其形状可以发生改变，能够灵活伸缩，应用了四边形的不稳定性． 7．（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【答案】6 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引对角线，可以作条对角线， ∴从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数为． 8．（21-22八年级上·山东济南·期末）正五边形和正方形按如图所示摆放，连接，则_____． 【答案】 【分析】根据正多边形的性质和正方形的性质得出，，最后再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 【答案】(1)20 (2)5 【分析】（1）根据正多边形的内角和求出的值，进而求出周长即可； （2）先求出正边形的一个外角的度数，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得， ∵正边形的边长为2， ∴周长为； （2）解：由（1）可知，正边形每个内角的度数为， ∴正边形的每个外角的度数为； ∴． 10．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 【答案】 【分析】根据多边形的内角和公式求出，根据角平分线的定义求出，再根据四边形的内角和为可求得；再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． ∵， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，． (1)求证：； (2)求证：；（提示：过点A作于点F，作的延长线于点E，） (3)求四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，在四边形中，， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：如图，过点A作于点F，作的延长线于点E， ，，， ，， ， ， 又， ，即平分， 又，， ，， ，在和中，， ， ； （3）解：如图，作轴于点G， ， ， ， 在和中，，．， ．四边形的面积 ． 12．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，四边形中，，平分，交于G点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据四边形内角和得出，根据邻补角得出，根据补角的性质即可得出结论；②根据角平分线的定义结合，得出，根据得出, 根据平行线的判定得出； (2)延长交于点, 求出，证明，即可证明平分． 【详解】（1）解：①四边形中，， ， 与互为邻补角， ， ， ， ， 即：． ②， 平分平分， ， ， 在中：， ， ， ， ， ； （2）解：延长交于点M，如图所示： ， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分． 13．（25-26八年级上·山西大同·期末）综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为___________；___________°； 【类比探究】 ②如图2，当时，和都是等边三角形，此时试探究线段与是什么位置关系？ 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，连接，若，则四边形的面积为___________． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①由题意可得，证明，得出，，由等腰直角三角形的性质可得，从而即可得出结果；②由题意可得，由等边三角形的性质可得,再证明，得出，从而得出，即可得出结果； （2）过点作交的延长线于点，证明，得出，，再根据，计算即可得出结果． 【详解】解：（1）①由题意可得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； ②由题意可得， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作交的延长线于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，在和中，， ∴， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1 四边形及多边形 · 考点一：四边形的不稳定性 · 考点二：（正）多边形的概念与分类 · 考点三：多边形截角后的边数问题 · 考点四：多边形的周长 · 考点五：网格中多边形面积比较 · 考点六：多边形对角线的条数问题 · 考点七：对角线分成的三角形个数问题 · 考点八：多边形内角和问题 · 考点九：正多边形的内角问题 · 考点十：多（少）算一个角问题 · 考点十一：多边形截角后的内角和问题 · 考点十二：正多边形的外角问题 · 考点十三：多边形外角和的实际应用与平面镶嵌 · 考点十四：多边形内角和与外角和综合 【知识点1】四边形及其相关概念 1. 四边形的定义：如图21.1－1，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图21.1－1 中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. 2. 四边形的相关概念 (1)四边形的对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 在图21.1－3 中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形. (2)四边形的内角和外角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 如图21.1－4，∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA是四边形ABCD的内角，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的外角. 【知识点2】四边形的内角和、外角和 1. 四边形的内角和等于360°. 推导过程如下： 如图21.1－6，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 在△ABC中，由三角形的内角和定理，得∠1＋∠B＋∠3＝180°. 同理∠2＋∠4＋∠D＝180°.由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝ ∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D ＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D) ＝180°＋180°＝360°， 即四边形的内角和等于360°. 2. 四边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 因为四边形的内角和等于360°，所以四边形的外角和等于4×180°－360°＝360°. 【知识点3】四边形的不稳定性 1. 四边形的不稳定性：四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. 连接一条对角线后，四边形变成两个三角形，这时四边形的形状不再发生变化. 2. 四边形不稳定性的应用：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图21.1－8中的活动挂架和伸缩门；有时又需要克服四边形的不稳定性， 例如门框在未安装好之前，木工师傅会先沿着对角线钉一根木条，以防门框变形. 【知识点4】多边形及其相关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 多边形有几条边就叫作几边形. 2. 多边形的相关概念 概念 定义 图形 边 组成多边形的各条线段 顶点 每相邻两条线段的公共端点 内角 多边形相邻两边组成的角 外角 多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 多边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如上表中的五边形，记作“五边形ABCDE”. 3. 正多边形：各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.例如正三角形、正方形等(如图21.1－10) 【知识点5】多边形的内角和 1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°. 2. 多边形内角和公式的证明方法 证明方法 图形 证法1 从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线， 将这个n边形分成(n－2)个三角形， 这(n－2) 个三角形的内角和恰好是这个n 边形的内角和， 为(n－2)×180° 证法2 在n边形内任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180° 证法3 在n边形的一边上任取一点，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 证法4 在n边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n 边形的内角和为(n－2)×180° 【知识点06】多边形的外角和 1. 多边形的外角和等于360°. 推导过程如下： 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°. 2. 多边形的外角和在正多边形中的应用 (1)正n边形的每一个外角都是； (2)若正多边形的一个外角为α，则正多边形的边数为. 题型一：四边形的不稳定性 【典例1】．（25-26八年级下·广东江门·月考）下列图形中，运用四边形不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24八年级上·湖北武汉·月考）下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列图形具有稳定性的是（    ） A．B．C． D． 【变式3】．（24-25八年级上·新疆和田·期中）用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 题型二：（正）多边形的概念与分类 【典例2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【变式2】．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【变式3】．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 题型三：多边形截角后的边数问题 【典例3】．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【变式1】．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【变式3】．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：多边形的周长 【典例4】．（25-26七年级上·广东深圳·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·月考）如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【变式2】．（25-26七年级上·重庆·月考）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【变式3】．（2025·陕西咸阳·一模）如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 题型五：网格中多边形面积比较 【典例5】．（25-26八年级上·重庆长寿·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． (2)连接、，求出四边形的面积． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，每个小正方形的边长为1，图中阴影部分是一个大正方形，求这个大正方形的面积和边长． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【变式3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 题型六：多边形对角线的条数问题 【典例6】．（25-26八年级下·山东济宁·月考）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【变式2】．（2022八年级上·全国·专题练习）若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】．（25-26八年级上·山东·期末）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型七：对角线分成的三角形个数问题 【典例7】．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）过某个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成6个三角形，这个正多边形每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·上海闵行·月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是（　　）． A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【变式3】．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 题型八：多边形内角和问题 【典例8】．（25-26八年级上·甘肃临夏·月考）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1】．（21-22七年级下·江苏扬州·月考）如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 题型九：正多边形的内角问题 【典例9】．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·湖南·月考）一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】．（25-26八年级下·山西运城·月考）如图，小逸同学将正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（   ） A． B． C． D． 题型十：多（少）算一个角问题 【典例10】．（25-26九年级上·天津南开·月考）如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【变式3】．（23-24八年级上·河北保定·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 题型十一：多边形截角后的内角和问题 【典例11】．（22-23八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024八年级上·广东中山·竞赛）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【变式2】．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式3】．（24-25七年级下·河南周口·月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 题型十二：正多边形的外角问题 【典例12】．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式1】．（2023·湖南娄底·模拟预测）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】．（25-26八年级上·福建福州·期中）若一个正多边形的每一个内角都是，则该正多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，一个正多边形左半部分被遮盖，若，互相垂直，则此正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型十三：多边形外角和的实际应用与平面镶嵌 【典例13】．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，再向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（   ）米 A．36 B．42 C．45 D．48 【变式1】．（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】．（24-25七年级下·山西长治·期末）若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【变式3】．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十四：多边形内角和与外角和综合 【典例14】．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【变式1】．（25-26八年级下·江西新余·月考）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．八年级数学实践小组在学习了多边形的内角和之后，对多边形的对角线的相关问题展开实践探究． 观察图形规律： 归纳探究： 多边形的顶点数 4 5 6 7 ．．． 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 ．．． 一个顶点出发的对角线将多边形分割成的三角形的个数 2 3 4 5 ．．． 多边形的内角和 ．．． 根据图表信息，回答下列问题： (1)从十边形的一个顶点可以引出__________条对角线，对角线将十边形分割成了__________个三角形． (2)从（为自然数，且）边形的一个顶点可以引出__________条对角线，这些对角线将边形分割成了__________个三角形，边形的内角和为__________．（用含的代数式表示） (3)从多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分割多边形所得的三角形个数之和可能为2026吗？若能，请求出这个多边形的内角和；若不能，请说明理由． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【变式3】．（25-26八年级上·广东·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于四边形内角和与外角和的表述，错误的是（   ） A．四边形的内角和与外角和相等 B．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补 C．四边形的外角和是 D．如果一个四边形的每个内角是，那么它的每个外角也是 2．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正三角形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 3．（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（    ） A．它一定是三角形 B．它可能是四边形 C．它一定是四边形 D．它不可能是三角形和四边形 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·重庆·期末）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 6．（25-26八年级下·山西吕梁·月考）如图，学校的伸缩门是应用了四边形的________． 7．（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 8．（21-22八年级上·山东济南·期末）正五边形和正方形按如图所示摆放，连接，则_____． 三、解答题 9．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 10．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 11．（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，． (1)求证：； (2)求证：；（提示：过点A作于点F，作的延长线于点E，） (3)求四边形的面积． 12．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，四边形中，，平分，交于G点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于N，若的大小为，试说明：平分． 13．（25-26八年级上·山西大同·期末）综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为___________；___________°； 【类比探究】 ②如图2，当时，和都是等边三角形，此时试探究线段与是什么位置关系？ 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，连接，若，则四边形的面积为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $