20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）教学设计 2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.2　勾股定理的逆定理及其应用（第1课时） 教学目标 1．经历勾股定理逆定理的探索过程，掌握勾股定理逆定理，感受从特例出发推广至一般结论的研究思路，经历“直观观察、合理推测、逻辑论证”的定理建构过程，发展几何直观和推理能力． 2．能运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，认识并会判断勾股数． 教学重点 勾股定理逆定理的探究与证明过程． 教学难点 勾股定理逆定理的证明． 教学过程 新课导入 【知识回顾】从角的角度来看，直角三角形的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余；反过来，有一个角是直角、其余两个角互余的三角形是直角三角形． 从边的角度来看，由勾股定理可知，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方；那么反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，是否能说明这个三角形是直角三角形呢？本节课我们就来探究这个问题．根据之前的学习经验，你觉得应该怎样开展研究呢？ 【师生活动】师生共同明确研究方法：特例验证—观察猜想—推理论证． 【设计意图】通过知识回顾，先建立“从角判定直角三角形”的明确认知，再利用勾股定理的已知结论，自然引出其逆命题是否成立的疑问，激发学生的探究欲望，明确本节课学习目标，实现新旧知识的衔接与过渡． 新知探究 【问题1】 如图，给出确定直角的一种方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角．请你通过测量进行验证，并想一想，这组边长满足什么数量关系？你能从数学的角度描述这个方法吗？ 【师生活动】学生利用量角器进行测量、验证，随后进行小组讨论，教师组织学生交流，得到如下结论：如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32＋42＝52”，那么围成的三角形是直角三角形． 【问题2】再来看两个具体的三角形：一个三角形三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，另一个三角形三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，请你先通过计算，验证它们是否都满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，再画一画，量一量，判断一下这两个三角形是否是直角三角形． 【师生活动】学生分组画图，用量角器测量，得出两个三角形均为直角三角形． 【问题3】结合绳结案例和画图验证的结果，你能得到怎样的猜想？ 【师生活动】学生基于画图、测量验证的结果，尝试归纳猜想，教师引导规范表述：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．同时明确这个猜想就是勾股定理的逆命题． 【设计意图】落实教材的观察与实践要求，通过实例验证“两条边长的平方和等于第三条边长的平方”与“直角三角形”的对应规律，为提出一般性猜想提供直观依据． 【问题4】如何证明这个猜想呢？ 【师生活动】教师首先引导学生画出图形，写出已知和求证：如图，已知△ABC三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2，求证△ABC是直角三角形； 随后请学生独立思考，交流想法．在学生感到困难时，教师可进行启发：直接证明一个三角形是直角三角形比较困难，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明两个三角形全等，就能解决问题．随后师生共同分析并明确证明思路． 第一步：构造直角三角形． 如图，作一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°． 根据勾股定理，A'B'2＝B'C'2＋A'C'2＝a2＋b2．因为a2＋b2＝c2，所以A'B'＝c； 第二步：证全等，得直角． 在△ABC和△A'B'C'中， 所以△ABC≌△A'B'C'（SSS）．因此∠C＝∠C'＝90°，即△ABC是直角三角形． 这样，我们就证明了勾股定理的逆命题是成立的，它也是一个定理．这个定理叫作勾股定理的逆定理． 【新知】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．它是判定直角三角形的一个依据． 【追问】除了构造两直角边长分别为a和b的直角三角形，还有没有其他构造直角三角形的方法，也能证明这个猜想呢？ 【师生活动】学生小组交流，小组代表分享做法：可以构造斜边长为c，一条直角边长为a的直角三角形，利用勾股定理可以计算得到另一条直角边长为b，同样利用两三角形三边对应相等，证明它们全等．教师板书证明过程． 【答案】证明：作一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a，A′B′＝c． ∵ ∠C′＝90°，∴ A′C′2＝c2－a2． ∴ A′C′＝b． 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）． ∴ ∠C＝∠C′＝90°． 即△ABC是直角三角形． 【设计意图】通过层层引导，帮助学生利用构造直角三角形突破难点，师生合作完成从构造、计算到证明的完整过程，让学生感受转化的思想，体会证明思路的合理性．同时，通过不同的构造方法，拓展学生思维，体现数学方法的灵活性． 例题精讲 【例1】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝8，b＝15，c＝17； （2）a＝14，b＝13，c＝15． 【师生活动】教师带领学生回顾勾股定理的逆定理，明确判定一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．学生尝试在学习任务单上进行解答，容易判断第（1）题中的线段a，b，c满足勾股定理的逆定理，组成的三角形是直角三角形，第（2）题中的线段a，b，c不满足勾股定理的逆定理，但对如何说明组成的三角形不是直角三角形有一定困惑．教师适时引导学生用反证法的思想进行解释： 假设第（2）题中由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，那么c是最长边，即斜边，c2＝225． a＝14，b＝13，142＋132＝196＋169＝365＝斜边的平方≠225，与“直角三角形中两直角边长的平方和等于斜边长的平方”矛盾． 因此假设不成立，这个三角形不是直角三角形． 【答案】解：（1）因为82＋152＝64＋225＝289，172＝289， 所以82＋152＝172． 根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形． （2）因为142＋132＝196＋169＝365，152＝225， 所以142＋132≠152． 根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形． 【新知】像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25． 【归纳】判断三角形是否为直角三角形的“三步法”： （1）找最长边长，计算平方； （2）计算较小两边长的平方和； （3）比较是否相等． 【例2】在△ABC中，a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC是否是直角三角形． 【师生活动】学生尝试在学习任务单上进行解答，教师组织全班交流． 【答案】解：依题意知b是最长边， 设a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)， 因为a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，b2＝(15k)2＝225k2， 所以a2＋c2＝b2，即△ABC是直角三角形． 【设计意图】通过例题巩固学生对勾股定理及逆定理的理解，感受其在判断三角形形状方面的作用，同时，渗透反证法的思想． 课堂练习 1．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝4，b＝5，c＝6； （2）a＝2.5，b＝0.7，c＝2.4； （3）a＝，b＝，c＝； （4）a＝1，b＝，c＝． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师进行讲评． 【答案】解：（1）因为42＋52＝16＋25＝41，62＝36， 所以42＋52≠62，所以这个三角形不是直角三角形． （2）因为2.42＋0.72＝5.76＋0.49＝6.25，2.52＝6.25， 所以2.42＋0.72＝2.52，所以这个三角形是直角三角形． （3）因为＋＝＋＝，＝， 所以＋≠，所以这个三角形不是直角三角形． （4）因为12＋＝1＋2＝3，＝3， 所以12＋＝，所以这个三角形是直角三角形． 【注意】非正整数组a，b，c即使满足a2＋b2＝c2，也不是勾股数（如1，，）． 2．如图，以△ABC的三边为直径，分别画三个半圆，三个半圆的面积分别为S1，S2，S3．若S1＋S2＝S3，判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】解：△ABC是直角三角形． 因为S1＋S2＝S3，即， 所以AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三角形． 【设计意图】通过课堂练习，强化学生对勾股定理及其逆定理的理解，及时反馈学习效果，查漏补缺． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．勾股定理的逆定理是什么？它与勾股定理是什么关系？有什么作用？ 2．在探索勾股定理逆定理的过程中，我们经历了怎样的研究过程？ 3．运用勾股定理逆定理判断直角三角形的步骤是什么？ 4．什么样的数是勾股数？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第38页习题20.2第1，2题． 学科网（北京）股份有限公司 $