2025-2026学年沪科版八年级数学下册期末评估测评模拟卷二

**基本信息** 融合“葭生池中”古代数学文化与光学焦距现代科技情境，通过梯度化问题设计考查二次根式、几何综合等核心知识，适配八年级期末素养评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式、方差、正多边形|第9题以古代数学问题考查勾股定理应用，体现文化传承| |填空题|4/20|取值范围、加权平均数|第14题通过图形变换考查矩形面积计算，培养空间观念| |解答题|9/90|动态几何、统计分析、换元法|23题动点几何综合考查推理能力，21题结合知识竞赛统计培养数据意识，18题光学焦距应用体现数学与科技联系|

2025-2026学年度沪科版八年级数学下册期末评估测评模拟卷二（原卷版） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列二次根式中最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 3．某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 4．福州一中合唱团从初一年段选了名身高统一的学生作为新成员，经过三年的学习与生活，这名学生的身高与入学时相比，身高差异明显变大，因此，三年后这名学生的身高（     ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差变小 C．平均数变大，方差不变 D．平均数变大，方差变大 5．如图是正n边形的一部分，点A，B，C，D是该正多边形相邻的四个顶点，连接，若，则n的值为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 7．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 10．迁移是一种重要的能力．如图，在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：．有下列两种说法： ①如图，在矩形中，若点是矩形内部一点，且，，，则； ②如图，在平行四边形中，对角线，点为边的中点，若，则的值为定值． 则下列判断正确的是（     ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若代数式有意义，则的取值范围是______． 12．小万参加某单位的招聘考试，笔试、面试和操作技能三部分分别得了90分、95分、85分，若按照的比例来确定小万的成绩，则他的最终成绩为________分． 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________． 14．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15．计算：． 16．解方程： (1)； (2)． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中画一条长度为的线段； (2)在图②中画一个面积为5的正方形． 18． 材料阅读： 两个不等于0的根式的积不含根式，则称这两个根式互为共轭根式．例如：与，与，与，共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉． 在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的式子，对这类式子进行分母有理化，可以通过分子和分母同时乘以分母的共轭根式实现．例如，，中分母的共轭根式分别为，，则∶ ；． 解决问题： (1)分母有理化： (2)分母有理化： (3)应用：光学中的焦距．在光学中，凸透镜成像公式为：，其中为焦距，为物距，为像距．已知某凸透镜的物距，像距，求该凸透镜的焦距． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，点，，分别在平行四边形的边，和上，，，点是射线上一点，连接，． 求证：． 20．学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： (1)如图1，等边的边长为4，则它的面积是 ； 活动任务二： (2)如图2，中，，求的面积； (3)如图3，四边形中，，求四边形的面积． 六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 21．某学校开展了主题为“文明交通，你我同行”的知识竞赛活动．为了解竞赛成绩情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，成绩在60分至100分之间．将成绩（分）分成A：，B：，C：，D：四个等级，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)样本容量m的值是__________，扇形统计图中“B等级”圆心角的大小是__________； (2)补全频数分布直方图； (3)成绩达到80分及以上为优秀，估计该校1000名参赛学生中成绩优秀的人数． 七、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 22．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 八、（本大题共1小题，每小题14分，共14分） 23．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度沪科版八年级数学下册期末评估测评模拟卷二（解析版） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列二次根式中最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A：，代数式不含分母，且不能分解出能开得尽方的因式，符合条件，是最简二次根式； 选项B：，被开方数含有分母，不符合条件，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含有能开得尽方的因式，不符合条件，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含有能开得尽方的因数，不符合条件，不是最简二次根式． 2．若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 3．某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，符合题意； C、由二次根式有意义的条件可知，则，原式计算正确，不符合题意； D、由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，则，原式计算正确，不符合题意； 4．福州一中合唱团从初一年段选了名身高统一的学生作为新成员，经过三年的学习与生活，这名学生的身高与入学时相比，身高差异明显变大，因此，三年后这名学生的身高（     ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差变小 C．平均数变大，方差不变 D．平均数变大，方差变大 【答案】D 【分析】平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动大小，根据题干描述的身高变化判断两者变化即可． 【详解】解：∵经过三年生长，所有学生整体身高增加，平均身高上升， ∴平均数变大． ∵方差用来衡量一组数据的波动大小，题干明确三年后身高差异明显变大，即数据波动增大， ∴方差变大． 5．如图是正n边形的一部分，点A，B，C，D是该正多边形相邻的四个顶点，连接，若，则n的值为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】延长，交延长线于，根据正多边形的性质得出，，根据邻补角的定义得出，根据等角对等边得出，进而得出，根据等边对等角及四边形内角和得出，利用多边形内角和公式，列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于， ∵点，，，是该正多边形相邻的四个顶点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 解得：． 6．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 7．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 8．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设，则，在中，，解得，，故． 【详解】解：如图，连接，由折叠知，， 设，则， 在中，， 化简得，，即， 解得，， ． 9．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够使用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题可知，，，则， 在中，． 10．迁移是一种重要的能力．如图，在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：．有下列两种说法： ①如图，在矩形中，若点是矩形内部一点，且，，，则； ②如图，在平行四边形中，对角线，点为边的中点，若，则的值为定值． 则下列判断正确的是（     ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】通过构造垂线，用勾股定理结合矩形性质，推导出矩形内点的恒等式，代入已知值计算得，与题中不符，故①错误；利用对角线垂直四边形的结论，结合平行四边形性质与中位线定理，代入已知条件推得为定值，故②正确． 【详解】解：判断①： 过点作于，延长交于，如图 ∵是矩形， ∴， 则，且四边形都是矩形， 在中：， 在中：， 在中：， 在中：， ∵， ∴ ， ∵，，， ∴， ， ， 解得， 即，因此①错误 判断②： 设与交于点，与交于点，连接， ∵在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：， 即：结论对角线垂直的四边形满足：对边平方和相等， ∵在四边形中，， ∴， ∵在平行四边形中，对角线， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵平行四边形中，对角线交于点，点为边的中点， ∴， ∴， 即， 整理，得， ∴ 结果为定值，因此②正确， 综上，①错误，②正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，分式有意义要求分母不为零，据此列不等式求解即可，解题关键是正确判断分母的取值范围. 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数满足， 对于分母，由平方的非负性可知，因此，分母恒不为零， 解不等式得. 12．小万参加某单位的招聘考试，笔试、面试和操作技能三部分分别得了90分、95分、85分，若按照的比例来确定小万的成绩，则他的最终成绩为________分． 【答案】88.5 【分析】根据已知的三项成绩和权重比例，代入加权平均数公式计算即可得到最终成绩． 【详解】解：小万的分数分别是90分、95分、85分，三项成绩的权重比为， ∴最终成绩 ， 故答案为：． 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】5 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，，，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 14．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 【答案】 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于、的方程组，利用可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得到值，进而得出的值，再利用矩形面积公式得出图3摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案． 【详解】解:设矩形的长为，宽为， 由题意可得： 得：③， 将③代入②，得：， 整理，得， 解得：，（舍去）， 所以， 所以按图3放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 可得或， 故，； （2）解：， ， 由题意得，，，， ， ， 故，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中画一条长度为的线段； (2)在图②中画一个面积为5的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找一个长3格宽2格的长方形的对角线长即为； （2）根据勾股定理得出边长为的正方形即可； 【详解】（1）解：如图，， （2）解：如图，正方形边长为，则面积为 18． 材料阅读： 两个不等于0的根式的积不含根式，则称这两个根式互为共轭根式．例如：与，与，与，共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉． 在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的式子，对这类式子进行分母有理化，可以通过分子和分母同时乘以分母的共轭根式实现．例如，，中分母的共轭根式分别为，，则∶ ；． 解决问题： (1)分母有理化： (2)分母有理化： (3)应用：光学中的焦距．在光学中，凸透镜成像公式为：，其中为焦距，为物距，为像距．已知某凸透镜的物距，像距，求该凸透镜的焦距． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）给的分子分母同乘以即可解答； （2）给的分子分母同乘以即可解答； （3）将、代入，再进行分母有理化，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：将、代入得： ， ， ． 答：该凸透镜的焦距． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，点，，分别在平行四边形的边，和上，，，点是射线上一点，连接，． 求证：． 【答案】证明：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】由，可得，由四边形是平行四边形，则，可得，则，再证明，即可证明结论． 【详解】略 20．学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： (1)如图1，等边的边长为4，则它的面积是 ； 活动任务二： (2)如图2，中，，求的面积； (3)如图3，四边形中，，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）过点作，由等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式计算即可； （2）过点作于点，由勾股定理先求出的长，由三角形内角和求出的度数，根据等角对等边，求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可； （3）连接，由勾股定理先求出的长，由勾股定理的逆定理先求出，分别求出、，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 是等边三角形，， ， ， ； （2）解：如图2，过点C作于点D， ， 在中，， ， ∴ ， 在中，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 在中，， ∴， 在中，， ， ， ，， ． 六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 21．某学校开展了主题为“文明交通，你我同行”的知识竞赛活动．为了解竞赛成绩情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，成绩在60分至100分之间．将成绩（分）分成A：，B：，C：，D：四个等级，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)样本容量m的值是__________，扇形统计图中“B等级”圆心角的大小是__________； (2)补全频数分布直方图； (3)成绩达到80分及以上为优秀，估计该校1000名参赛学生中成绩优秀的人数． 【答案】(1)50， (2) (3)优秀的学生人数有600人 【分析】（1）由A等级人数为5，占比10%，即可算样本容量，（样本样本容量样本所占总体的百分比），再根据C等级的百分比计算出其人数，再计算出B等级的人数，即可求得“B等级”圆心角的大小； （2）分别计算出各个等级的人数，再补全图形即可； （3）先计算出成绩达到80分及以上的人数的频率，即可计算出该校1000名参赛学生中成绩优秀的人数． 【详解】（1）解：已知A等级人数为5，占比10%，因此样本容量 ； C等级占比36%，C等级人数为 ， ∴B等级人数为 ， ∴“B等级”圆心角为 ； （2）B等级（）人数为15，C等级（）人数为18，在直方图对应区间，分别画出高度为15、18的长方形即可； （3）样本中80分及以上（C、D等级）的频率为 ， ∴估计1000名学生中优秀人数为：， 答：估计该校成绩优秀的人数为人． 七、（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 22．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 八、（本大题共1小题，每小题14分，共14分） 23．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形能够成为菱形， (3)或，理由见解析 【分析】（1）利用t表示出和的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此列出方程求得t值． （3）分别从和两种情况分类讨论即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，， 中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：四边形能够成为菱形． ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即， 解得：， 即当时，平行四边形是菱形； （3）解：当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形． 理由如下：当时，如图， ∵， ∴， ∴，， 即， 解得：； 当时，如图， 四边形是平行四边形， ， ∴． ， ， ， ∵， ， 解得． 综上所述，当时或当时，也是直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $