专题06 期末真题百练通关（期末复习专项训练）（一次函数与反比例函数压轴题25题）八年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数期末压轴题，通过24道多地区真题构建函数与几何综合应用体系，强化数形结合与动态探究能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数综合|8题|交点与图像性质、折叠与面积计算|概念生成→解析式求解→图像应用的逻辑链条| |反比例函数综合|5题|图像与面积计算、综合应用|性质推导→与一次函数交点→实际问题建模| |函数与几何综合|11题|存在性与动态问题、图形变换|函数性质与几何图形（三角形、平行四边形）性质融合，体现推理能力与空间观念|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06期末真题百练通关（一次函数与反比例函数压轴25 题) 真题实战·百练通关 1.《2425八年级下广西南宁期未)已知直线：y=x+b与直线：y=一x+m都经过点E-1,3, 直线l1交x轴于点A,交y轴于点B(0,4,直线l2交y轴于点C,交x轴于点D.直线l3直线l1且经过原点， 且与直线，交于点F,点p为x轴上任意一点，连接PC'PF.对于以下结论，正确的个数有(） D八 y=kx+b x=-1 ①方程组 x+m的解为3： ②Sa0n-25 ③ED=3V5: ④当PF+PC的值最小时，点P的坐标为1，O: A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(24-25八年级下·四川成都·期末)在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=x-3与y轴交于点A,点B 在直线1上（点B在y轴右侧），点C在直线l2:y=x+1上.若△ABC为锐角三角形，且其面积为AB, 则点C的横坐标的取值范围是 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2526八年级上河南平顶山期未)如图，。在平面直角华标系中，直线AB:y=x-6与x轴、y特 分别交于点A、B,点C在X轴的正半轴上，若△CAB将沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点 D处 y D B 图1 图2 (1)如图1，求点A、B两点的坐标： (2)如图2，求直线CD的表达式： (3)连接AD,在第一象限内是否存在点P,使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标： 若不存在，请说明理由。 4.(25-26八年级上·安徽安庆期末)【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直 角顶点C在原点，若项点A恰好落在点2,4处.则点B的坐标为·（直接写结果） 【感悟应用】如图2.在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点C-2,0,点A0,4, 试求直线AB的函数表达式 【拓展探究】若点D是直线y=2x+2上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是y轴正半轴上的一个动 点.点F是函数y=-x+3与X轴的交点，当以点D,E,F为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在， 请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由， 图1 图2 5.(25-26八年级上·江苏南京·期末)杆秤是中国人发明的人类最早的衡器.如图，杆秤由秤杆、秤砣、 秤盘、提纽组成.秤盘固定悬挂在秤杆AB的端点A处，提纽固定在点O处，秤砣悬挂的位置记为点C. 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 杆秤称物符合杠杆原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”， 提纽 物体 秤砣 秤盘 设秤盘的质量为mo,秤砣的质量为m1,物体的质量为m,OA=lo,OC=L.根据杠杆原理，可得： l,×m+m=1×m,:已知AB=55cm,0A=4cm,m,=50g,m,1=200g (秤杆自身的质量忽略 不计，秤砣可以悬挂在点B处.) (1)随着m的变化而变化，求出关于m的函数表达式。 (2)在秤杆AB上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点O之间的距离. (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽O的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不 变 ①在下列选项中，能使称重范围变大的有 (填写所有正确的选项) A.提纽O的位置向左移B.提纽O的位置向右移 C.秤砣的质量变小D.秤砣的质量变大 ②若将提纽O的位置向左移动，使OA的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为 8 ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差.用生锈的秤砣称得一个物体的质量为 550g,若该物体的实际质量为580g,则生锈秤砣的质量为 6.(24-25八年级下·四川南充·期末)在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C是直线 y≈、3 +6与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形0ABC沿CD折叠，点O恰好落在AC上 B D A衣 (1)求点D的坐标： 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点M在第一象限，若△AMC是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标： (3)若△AMC是(2)中以AC为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，△CON的面积为3，求 △DMN的周长最小时，点N的坐标和△DMN的面积. 7.(24-25八年级下·甘肃兰州期末)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的 正半轴上，且OA,OB的长满足OA-2+VOB-4=0. 备用图 (1)求点A,点B的坐标： ②法直线cE与线段AB交于点E12与，袖y分别交于CD两在，且点c小-3,0rn0,}动 点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿射线CA方向运动，设点Q的运动时间为t秒(t>O,连接 QE,设△AQE的面积为SS≠0，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）： (3)在(2)的条件下，在坐标平面内是否存在点P,使以A,B,C,P为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 8.（2425八年级下四川成都期未)在平面直角坐标系中，直线1，：y=方x+2与x轴交于点B,与y 轴交于点A点p内线联m的中点，直线，经过点E且与，抽交于点C子，0小与)抽交于点D A 图1 图2 图3 (1)如图1，求直线l2的解析式： 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，连接AC,点P为直线l2上一点且在E点的右侧，线段FG在X轴上移动且FG=2,点G在点F的 左侧，当四边形PACB的面积为 空时，求四边形AGFP周长最小值 (3)如图3，将△ACB沿着射线EC方向平移2V17个单位长度，点A的对应点是M,点B的对应点是N, 点K为直线L2上一点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以M、N、K、H四点构成的四边形是以 MN为边的菱形，若存在，请直接写出点H的横坐标；若不存在，请说明理由. 9.(24-25七年级下黑龙江大庆期未)如图，直线y=-专x+8与x轴，y轴分别交于点么，B.点C在 y轴正半轴上，把△BAC沿AC折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处.直线CD交直线AB于点M, 点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线AB上的一动点. B B M M 0 备用图 (I)填空：点A,B,C坐标分别为A (2)求△MBC的面积， (3)连接PQ.△MBC与△BPQ全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标. 10.(24-25八年级下·河北沧州期末)如图，在平面直角坐标系Oy中，直线y=x-4分别与x轴、y轴 交于点A,B,直线BC与x轴交于点C-1,0,点D在第四象限，BD⊥BA (①)求直线BC的解析式： (2)若S△ABD=4S△Boc,求点D的坐标： (3)在(2)的条件下，若点F在直线BC上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E,使得四边形 CFDE为平行四边形，若存在，请求出OE的长；若不存在，请说明理由。 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(24-25八年级下·黑龙江大庆期末)如图，一次函数y=X+b与反比例函数y=kk≠0的图象相交 于Am,2,B-2,-1两点，分别连接OA,OB. (1),k,b: (2)求△AOB的面积； (3)若在平面内存在一点P,使以点O,B,A,P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标 12.(24-25八年级下·陕西安康期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+6交坐标轴于A,B两 点，过x轴正半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D,且△AOB≌△DOC, (1)求出直线CD对应的函数解析式： (2)点M是线段CD上一动点（不与点C,D重合），ON⊥OM交AB于点N,连接MN,判断△OMN 的形状，并说明理由； (3)若点E-1,a为直线AB上的点，点P为y轴上的点.请问：直线CD上是否存在点Q,使得△EPQ是 以点E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 13.(24-25八年级下·广东广州期末)在平面直角坐标系中，直线1,2,13的解析式分别为y=x+b, y=-+3和y=mx,其中k≠0，m≠0，且直线l1和l2交于点2,1. (1)求k,b的值： (2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数y=-kx+3的 值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） (3)如图，当m=1时，设直线l2与x轴和y轴分别交于A,B两点，点H在直线l3上，连接BH,过点H作 HM⊥BH交线段OA于点M. 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1☑2 B H ①若点H的横坐标为t1.5≤t≤3，用含t的式子表示点M的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点P1,1和任意一点N,使得四边形BHMN为矩形，设S=PN+2BM, 直接写出S的最小值. 14.(24-25八年级下·福建厦门期末)在平面直角坐标系中，一次函数y,=-kc+3mm>1的图象记作 直线l1,11与x轴相交于点A3m,0,一次函数y2=kx-m-2的图象记作直线l2. (1)求k的值； (2)点M,N分别在直线1，L2上，将线段MN进行平移得到线段PQ,使得点P,Q分别落在直线2,11上， 连接NQ,MP, ①若点M1,5,求点Q的坐标； ②若直线l3:y3=ny1+ty2(,t为常数，n+t>0)将四边形MNQP分成面积相等的两部分.试探究 是否存在一组常数n,t,使得无论m取何值，直线3都经过x轴上的某一个定点，若存在，请求出n,t的 值及该定点的坐标：若不存在，请说明理由. 15.(24-25八年级下·湖南长沙期末)如图，在直角坐标系中，直线y=V3x-23交y轴，x轴于点 A,B,点D在y轴正半轴上，以AB,AD为边作平行四边形ABCD,点E从点O出发，以每秒1个单 位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A A 备用图 动态图 (1)直接写出点A的坐标 AB= (2)若OD=2OA,连接BD,F是BD的中点，连接EF并延长交直线BC于点H,当四边形ABHE为平行 四边形时，求的值； (3)若AD=43,点E在OD上，点M位于点E的正上方，且∠EBC+∠MCB=90°，当四边形EBCM 的面积最大时，求DM的长。 16.(24-25八年级下·湖北黄石·期末)如图，平面直角坐标系中，直线AB:y=-x+b交y轴于点A0,4, 交x轴于点B. D E B (I)求直线AB的表达式和点B的坐标； (2)直线l垂直平分OB交AB于点D,交X轴于点E,点P是直线I上一动点，且在点D的上方，设点P的纵 坐标为n. ①当S4ABP=6时，求点P的坐标； ②在①的条件下，是否存在第一象限内的点C,使△PBC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合 点C的坐标；若不存在，请说明理由 17.(24-25八年级下·海南·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y1=x+1与X轴、y轴分别交A、B 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两点，与直线y2=- 2x+b相交于点C2,ml. D (备用图) (1)求m和b的值： (2)若直线y2=- X+b与x轴相交于点D,动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动， 设点P的运动时间为t秒 ①若点P在线段DA上，且△BCP的面积为6，求t的值： ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由. 18.(24-25八年级下·福建厦门期末)综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置 的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外 壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间. 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30c,开始放水后每隔 10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 节流阀 记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30 流水时间t/min 0 10 20 30 水面高度h/cm(观察值) 30 29 28.1 27 其中“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差 任务1利用“t=0,h=30;t=10,h=29”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式. 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为15cm时是几点钟？ 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优化函数解析 式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数 值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w;越小，偏差越小. 任务3确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小. 19.(24-25八年级下·重庆大足·期末)如图1，已知直线1：y=kx+bk≠0)交x,y轴于点A(-2,0 ,B(0,4)两点，正比例函数y=x的图象与直线AB交于点C. M A/O 图1 图2 (I)求直线AB的解析式和点C的坐标； (2y轴负半轴上有一动点E,连接EC.点F是x轴上有一动点，当ScE=12时，求FC+FE的最小值： (3)如图2，将直线I向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G,与直线y=x交于点M,点P 在x轴上.当∠MGO=∠MPO时，请直接写出点P的坐标. 20.(24-25八年级下·四川成都·阶段检测)在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等 数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程. 问题呈现过点Ca,b的直线y=kx+C(k,c为常数且k≠0)分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B, 0A'OB是定值， 探究并说明口+ b H M入 图1 图2 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④)特例探究如图1，过点C2,2的直线y=-2x+6分别交x轴和y轴于点A和B,求是+的值： OA OB (2)一般证明 3 ①a=2,b=3时，直接写出0A+0B一 2 ②求出口+ 0AOB的值， b (3)类比推广如图2，已知H-4,0,T0,2,点M在X轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线 4,5 Hr于第一象限点N,若总有HM+ =1,请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如 果否，请说明理由、 21.(24-25八年级上·广东深圳期末)【综合探究】 (1)如图①，在平面直角坐标系中，直线y=x-4与x轴，y轴分别交于A,B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为_；点B坐标为_； ②C,D是正比例函数y=kx图象上的两个动点，连接AD,BC,若BC⊥CD,BC=3,则AD的最小 值是_； (2)如图②，一次函数y=一2x+2的图象与x轴，y轴分别交于B,A两点.将直线AB绕点A逆时针旋 转45°得到直线1，求直线1对应的函数表达式； 【迁移拓展】 (3)如图③，直线y=-2x+3的图象与x轴，y轴分别交于A,B两点，直线：y=-2与y轴交于点D. 点P,O分别是直线I和直线AB上的动点，点C的坐标为3，O,当△PQC是以CQ为斜边的等腰直角三 角形时，直接写出点Q的坐标 图① 图② 图③ 4 22.(24-25八年级上·重庆·期末)如图1，直线l1:y= 3X+4交x轴，y轴于点B和点A,直线 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12:y=x+b交x轴，y轴于点D和点C,11和l2交于点E-2,a,已知OB 30D E 图1 图2 H B D 图3 (1)求直线l2的解析式： (2)如图2，已知点K是X轴上一动点，点P在直线l1上，且在E点的右侧，连接PD,当△PED的面积为 3时，连接CK,PK,当CK+PK取最小值时，求点K的坐标： 4 (3)如图3，连接AD,将△DAB绕点D顺时针旋转90°得到△DAB,AB所在直线交y轴于点H,连 接BH,点M是x轴上的一点，是否存在点M使得∠HBA=∠MAB?若存在，请直接写出点M的坐标： 若不存在，请说明理由， 23.(23-24八年级下·云南红河·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A-2,0,与 y轴交于点B,点C2,4在直线AB上. 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求直线AB的解析式， (2)P为x轴上一动点，连接PB,PC,当PB+PC最小时，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，当PB+PC最小时，在平面内是否存在一点Q,使得四边形ABPQ是平行四边形？ 若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由， 24.(23-24八年级下·湖北武汉·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线1的解析式为y=-x,直线l2与 1:交于点A-a,a与y轴交于点B0,b且1a-22+Vb-6=0 B 备用图 (1)求直线l2的解析式： (2)若第二象限有一点P|m,8,使得S△AoP=S△AoB,请求出点P的坐标； (3)线段OA上是否存在一个点M,使得∠AB0+∠MBO=45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由. 13/13 专题06 期末真题百练通关（一次函数与反比例函数压轴25题） 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线 直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（   ） ①方程组的解为； ②； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称最短路径问题，勾股定理的应用，正确地求得函数解析式是解题的关键．方程组的解为；故符合题意；把，点代入解方程组得到直线：，求得直线的解析式为，把把代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；解方程得到，根据勾股定理计算可得③符合题意；作点故轴的对称点，连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，，得到，符合题意． 【详解】解：直线：与直线：都经过点， 方程组的解为；故符合题意； 把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解；得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故符合题意； ，， ， ∴，故符合题意； 直线交轴于点， ， 作点作轴的对称点，连接交轴于，则， 当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点B在直线上（点B在y轴右侧），点C在直线上．若为锐角三角形，且其面积为，则点C的横坐标m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意先求出，，得出直线与坐标轴正半轴交点为，直线与直线互相平行，过点作交直线于点，过点作交直线于点，求出点和点的横坐标，即可解答． 【详解】解：如图，在直线中， 令，则，令，则， 则，直线与坐标轴正半轴交点为， 在直线中，令，则，故， 根据题意直线与直线互相平行， 过点作交直线于点，过点作交直线于点， 则，， 则， ∴， 即点B位置固定，， ∴， ∴， ∴，， 将代入直线中得， 根据图象当点C位于点和之间时，为锐角三角形， 此时点C的横坐标m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】该题考查了一次函数的图象和性质，一次函数几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出图象，求出临界点． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，折叠的性质，全等三角形判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）在中，令得，令得，即得点、两点的坐标； （2）求出，根据将沿直线折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处，知， ，故，设，由勾股定理得，即可解得，再用待定系数法可得直线的表达式为； （3）设，分两种情况∶当A为直角顶点时，过A作轴，过P作于K，过B作于T，证明，有，，故可解得；当P为直角顶点时，过P作轴于H，过A作于G，同理可得． 【详解】（1）解：在中， 令得， 令得，解得． ，． （2）解：由（1）知，，． ． 将沿直线折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处， ， ． ． ． 设，则，． ， ，解得． 即． 设直线的表达式为． 把，代入， 得，解得． 直线的表达式为． （3）解：在第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 设， 当A为直角顶点时，过A作轴，过P作于K，过B作于T，如图 ． 为等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中 ， ． ，． ． 解得， ； 当P为直角顶点时，过P作轴交y轴于H，过A作于G， 同理可得． ，． ． 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】【操作思考】；【感悟应用】；【拓展探究】存在，点的坐标为或 【分析】【操作思考】过点A作轴于，过点B作轴于，由点坐标可知，证明，得出，，即可得出点B的坐标； 【感悟应用】通过证明得出点坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； 【拓展探究】分别以F、E、D为等腰直角三角形的直角顶点，设，，利用感悟应用的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点． 由点坐标可知， 为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标为：； 【感悟应用】如图，过点作轴于点H． ∵点，点， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴，， 轴， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为 将和代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为：． 【拓展探究】存在； 由F是函数与轴的交点，可知， 点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点， 设，， 以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，， ∴， 解得： 故此时：； 以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意； 以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，，， 解得： 故： 不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形， 综上，点E的坐标为：或． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 【答案】(1) (2)零刻度所对应的点与点之间的距离为. (3)①AD；②，③ 【分析】本题考查的是一次函数的应用，方程的应用，理解难度大. （1）根据公式代入已知数量可得答案. （2）由零刻度时，，可得. （3）①结合与逐一分析即可；②由，，，，，可得，再进一步解方程即可；③求解当一个物体的质量为，可得，设生锈的秤砣的质量为，结合，进一步建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴. （2）解：∵零刻度时，， ∴， ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为. （3）解：①∵，提纽的位置向左移， ∴变小，则最大， ∵， ∴最大，故A符合题意， 同理可得：提纽的位置向右移，减小，故B不符合题意， ∵，秤砣的质量变小， ∴变小，故C不符合题意； ∵，秤砣的质量变大， ∴变大，故D符合题意. 故答案为：AD ②∵，，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为. ③∵当一个物体的质量为， ∴， ∵，设生锈的秤砣的质量为， ∴， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． (1)求点D的坐标； (2)点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； (3)若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 【答案】(1) (2)或或； (3)， 【分析】（1）求出，再得到，设，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）分三种情况进行解答即可； （3）设，根据的面积为3得，作点D关于直线的对称点，则，连接交直线于点，则，则，此时的周长最小，即为，求出直线的解析式为，即可得到，根据的面积即可求出答案． 【详解】（1）解： 当时，， 当时，，解得， ∴, ∴ ∵， ∴ 设， 则，则， ∴ 解得， ∴ （2）是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时，过点M作轴于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ②当，时，过点M作轴于点， 同理可得， 则 ∴， ∴， ③当，时，设， ∴ 解得， ∴， 综上可知，点M的坐标为或或； （3）是（2）中以为斜边的等腰直角三角形， ∴, 设， ∵的面积为3， ∴， 解得 作点D关于直线的对称点，则， 连接交直线于点，则， 则， 此时的周长最小，即为， 设直线的解析式为，把，代入得到， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ∴， 的面积 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、坐标与轴对称等知识，分类讨论是解题的关键． 7．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． （2）解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． （3）解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的坐标变换．熟练掌握绝对值与二次根式的非负性，根据三角形的列一次函数解析式，平行四边形的性质是解题的关键．注意分类讨论． 8．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，连接，点为直线上一点且在点的右侧，线段在轴上移动且，点在点的左侧，当四边形的面积为时，求四边形周长最小值； (3)如图，将沿着射线方向平移个单位长度，点的对应点是，点的对应点是，点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，由四边形的面积的面积的面积，可求，作点关于轴的对称点，则，连接，过点作，连接，则四边形是平行四边形，当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，可求四边形周长最小值为； （3）根据平移可知沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度，则，，设，当时，点横坐标为，再由点的平移可求点的横坐标为；当时，点横坐标为，再由点的平移可求点横坐标为． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， 点为线段的中点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点， 设，则， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 解得， ， 作点关于轴的对称点，则， 连接，过点作，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小， ， 四边形周长最小值为， 四边形周长最小为； （3）解：存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，理由如下： 将沿着射线方向平移个单位长度， 沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度， ，， 设， 当时，， 解得， 点横坐标为， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点的横坐标为； 当时，， 解得， 点的横坐标为， 点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点横坐标为； 综上所述：点横坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，平移的性质，轴对称求最短距离，勾股定理，菱形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，平移的性质，轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键． 9．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 10．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)x轴上存在点E，使得四边形为平行四边形，的长为 【分析】（1）由求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）过点D作轴于点E，求出，，可得，故，即有，得，再证是等腰直角三角形，知，从而求出； （3）根据四边形为平行四边形，知，即可求出，故，，可得的长为． 【详解】（1）解：在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点E，如图， 在中，令，得，解得， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 轴， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∴； （3）解：轴上存在点E，使得四边形为平行四边形，理由如下： 如图： 由（2）知，， 四边形为平行四边形， ∴，即轴，， ∴， 在中，令得，解得， ∴， ∴， ， ∴， 的长为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象的性质，求一次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 11．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． (1)m，k，b； (2)求的面积； (3)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合、函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、平行四边形性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）把代入一次函数可求得b的值；把代入可求得k的值，把代入可求得m的值； （2）先确定一次函数与y轴交点C的坐标，得长度，再根据三角形面积公式并结合A、B的坐标列式计算即可； （3）分依据、为邻边，、为邻边和、为邻边三种情况，分别利用平行四边形的对角线相互平分即可解答． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得，解得：； 把代入，得，解得：， 把代入，得：，解得． （2）解：∵，当时， ∴ ， 又∵、， ∴． （3）解：如图：设， 当、为邻边时， 则，解得： ∴； 当、为邻边时，、， 则，解得：， ∴； 当、为邻边时，．、， 则，解得：， ∴． 综上，点坐标可为或或． 12．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，过轴正半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)求出直线对应的函数解析式； (2)点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接，判断的形状，并说明理由； (3)若点为直线上的点，点为轴上的点．请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)存在，点坐标为 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）根据全等求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）证明，即可得到是等腰直角三角形； （3）设，当点在点上方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，则，可得，再由点在直线上，得到，即可求；当点在点下方时，同理可得． 【详解】（1）解：当时，，则， ， 当时，，则， ， ， ，， ，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 理由如下： 为直线上的点， ， ， 设， 当点在点上方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， 令， 则点到轴距离为，点到轴距离为， ， 点在直线上， ， 解得， ； 当P点在E点下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， 令， 则点到轴距离为，点到轴距离为， ， 点在直线上， ， 解得， ； 综上所述：点坐标为． 13．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果） (3)如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点． ①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标； ②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象写出结果即可； （3）①由点在上得点的坐标为其中，过点作垂直轴于点，作垂直轴于点，证明得，求出的横坐标为； ②证明矩形为正方形得，作于点G，作于点E，证明得，，求出可知点在上． 过点作轴交轴于点，由，可知当，，三点共线时，最小，最小值为的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：直线过点， ，解得， 将点代入得：，解得 （2）解：如图，当函数的值既大于函数的值，也大于函数的值时，的取值范围是． （3）解：①由（1）得直线的解析式为， 当时，，所以的坐标为， 当时，，所以的坐标为， 点在上， 点的坐标为其中 过点作垂直轴于点，作垂直轴于点， ， ，， 即， ． ． ． 的横坐标为； ②． 由①得， 矩形为正方形， 作于点G，作于点E， ， 又 又， ， ， 点在上， 在正方形中， ， 作关于的对称点，则坐标为，且，过点作轴交轴于点， ，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长． 坐标为， 又， ， ，即的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 14．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象记作直线，与x轴相交于点，一次函数的图象记作直线． (1)求k的值； (2)点M，N分别在直线，上，将线段进行平移得到线段，使得点P，Q分别落在直线，上，连接，． ①若点，求点Q的坐标； ②若直线：（n，t为常数，）将四边形分成面积相等的两部分．试探究是否存在一组常数n，t，使得无论m取何值，直线都经过x轴上的某一个定点，若存在，请求出n，t的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)①，②存在，，，过定点 【分析】（1）根据一次函数过点代入得到方程，结合已知条件求得k值即可； （2）由（1）知一次函数，，①根据点M在直线上求得m，即可得一次函数，，联立求得交点为，结合平移的性质可知四边形为平行四边形，则点M和点Q的中点为直线和交点，设点，根据中点列出方程组求解即可； ②由一次函数和得：，结合平行四边形的性质可得直线经过直线和直线的交点，列出方程组求得直线经过直线和直线的交点为，进一步得到和，联立求得n和t，即可得，可求得与x轴的交点． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴， ∵ ∴， 则； （2）解：由（1）知，则一次函数，， ①∵点在直线， ∴，解得， 则一次函数，， 联立得， 解得， 则直线和交点为， 如图所示， ∵线段进行平移得到线段， ∴四边形为平行四边形， 则点M和点Q的中点为直线和交点， 设点， 则解得， ∴； ②存在，理由如下， ∵一次函数，， ∴直线： ， ∵直线将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线经过直线和直线的交点， 联立，解得， ∵直线经过直线和直线的交点， ∴ ∴， ∵与m的值无关， ∴， ∵无论m取何值，直线都经过x轴上的某一个定点， ∴， 则， ∵无论m取何值， ∴， 则，解得， 则， 则， 令，则，解得， 即过定点， ∴存在，，，过定点． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，涉及一次函数的性质、解二元一次方程组、平移的性质、平行四边形的判定和性质和过定点的性质，解题的关键是熟悉一次函数的性质和过定点的求解方式． 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在直角坐标系中，直线交轴，轴于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动，记点运动时间为秒． (1)直接写出点的坐标________，________； (2)若，连接是的中点，连接并延长交直线于点，当四边形为平行四边形时，求的值； (3)若，点在上，点位于点的正上方，且，当四边形的面积最大时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线与坐标轴交点求法即可得到，再由勾股定理求出即可得到答案； （2）由平行四边形的判定与性质，结合三角形全等的判定与性质得到，从而求出即可得到的值； （3）作，交于点，取的中点，连接，如图所示，数形结合得到，在由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，设，确定，当的值最小时，最大，由定点与直线上动点之间距离垂线段最短可知，当时，的值最小，如图所示，，即，数形结合求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线交轴，轴于点， ∴当时，，即； 当时，，解得，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 若，则四边形为平行四边形，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点是中点， ∴， ∴； （3）解：作，交于点，取的中点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为梯形， ∵， ∴当上底最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，点为中点，则为斜边上的中线， ∴， 设， ∴， ∴当的值最小时，最大， 由定点与直线上动点之间距离垂线段最短可知，当时，的值最小，如图所示： 此时，则， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与平行四边形综合，涉及一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、平行四边形判定与性质、三角形全等的判定与性质、中点定义、梯形面积公式、互余定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段最短等相关知识点，本题难度较大，熟练掌握函数相关知识及函数问题的解法，熟记平行四边形性质、梯形面积面积公式是解决问题的关键． 16．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①当时，求点的坐标； ②在①的条件下，是否存在第一象限内的点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①  ②存在；、、、 【分析】本题考查一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，解题关键在于掌握待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质． （1）把点的坐标代入直线解析式可求得，则直线的解析式为，令可求得，故此可求得点的坐标； （2）①由题垂直平分可知，将代入直线的解析式可求得点的坐标，设点的坐标为，然后依据可得到的面积与的函数关系式为；由得到关于的方程可求得的值，从而得到点的坐标； ②分别按为直角边且，为直角边且，为斜边且点在右侧，为斜边且点在左侧四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵把代入得， ∴直线的函数表达式为：． 令得：，解得：， ∴点的坐标为； （2）解：①∵直线垂直平分， ∴． ∵将代入得：． ∴点的坐标为． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，解得：． ∴点的坐标为； ②存在． 如图所示，作于点，过点作轴，垂足为， 为等腰直角三角形，为直角边， ，， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图所示，作于点，过点作，垂足为，连接， 为等腰直角三角形，为直角边， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图所示，过点作，垂足为，再过点作于点， 设点， ∵为等腰直角三角形，为斜边， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，直线：， ∴， 解得． ∴点的坐标为； 如图所示，过点作，垂足为，再过点作于点， 设点， ∵为等腰直角三角形，为斜边， ∴，， ∵，延长线于， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，，直线：， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为、、、． 17．（24-25八年级下·海南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求和的值： (2)若直线与轴相交于点，动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． ①若点在线段上，且的面积为6，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在；t的值为3或或或6 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，求t的值即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， 当时，， ， ， 把代入得：，把代入得：， ∴，， ，， ； ①∵动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动， ∴， ∴， 过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为6， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴， a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为3或或或6． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 18．（24-25八年级下·福建厦门·期末）综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标记刻度，以便通过刻度直接读取时间． 为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 水面高度（观察值） 30 29 27 其中“，”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差． 任务1利用“，；，”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； 任务1：先判断是一次函数，再利用待定系数法求解即可； 任务2：把代入函数关系式求出t，再进一步求解即可； 任务3：设经过的函数解析式为，根据题意得到w关于a的绝对值式子，再分类讨论求解． 【详解】解：任务1： 由表中数据可得：约过10分钟，水面高度h减少约1cm， 所以水面高度h是流水时间t的一次函数，设， 把，；，代入，得 ，解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数关系式是； 任务2：当水面高度为时，即，， 解得， 分钟小时， ∴当甲容器中的水面高度为时是小时，即； 任务3： 设经过的函数解析式为， 则 当时，， 当时，， 则当时，， 当时，， 综上，当时，w最小，此时函数的解析式是． 19．（24-25八年级下·重庆大足·期末）如图1，已知直线l：交x，y轴于点 ， 两点，正比例函数的图象与直线 交于点． (1)求直线的解析式和点C的坐标； (2)y轴负半轴上有一动点E，连接．点F是x轴上有一动点，当时，求的最小值； (3)如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线交于点M，点P在x轴上．当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据 ， ，带入可得解析式；点是正比例函数 和直线的交点，联立方程组可得点C的坐标； （2）设，可得，由面积可得或，然后再求解论即可； （3）由平移得直线的解析式为：，可得，接着分类讨论即可，①然后可知与关于直线对称，②点关于直线的对称点 【详解】（1）解：将点 ， 带入中得 ，则 ∴直线AB的解析式为： ∵点是正比例函数 和直线的交点， ∴ ，解得： ∴ （2）∵，，，设 ∴ 过点作垂直y轴交于点D ∴ 解得：或（舍去）， 当时，则，作点E关于x轴的对称点， ∴ 连接则与x轴交点G是使得的值最小； 在中，根据勾股定理可得 ∴的值最小是 综上所述：的最小值是：； （3）∵直线l：向下平移7个单位长度后，则直线的解析式为： ∴ 当时， ①如图；在x轴上取点，连接 ∴与关于直线对称， ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图，过点的垂直于x轴的直线，点关于直线的对称点，连接 ∵直线与交于点 ∴ ，解得 ∴ ∵点是关于直线为对称轴的点的对称点 ∴ 综上所述：的坐标为或. 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数平移，全等三角形的性质，等腰三角形对称的性质，构造辅助线利用勾股定理求最值的问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 20．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． (1)特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； (2)一般证明 ①时，直接写出_____； ②求出的值； (3)类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②1； (3)是， 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等知识，解题的关键是： （1），，则； （2）①先求出点、的坐标分别为：、，将点的坐标，，代入一次函数表达式得：，然后代入计算可； ②由①知，，，，则； （3）待定系数法求出直线的表达式为，设直线的表达式为：，联立方程组求出点，求出，，代入，整理得，即可求解． 即可求解． 【详解】（1）解：当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 则； （2）解：①当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， ∴当，时，， ∴， ∴， 故答案为：1； ②由①知，，，， 则； （3）解：设直线的表达式为：， 则， 解得 ∴， 设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点， 由点、的坐标得，，则， 同（2）可求点，则， ，即， 解得：， 则， 当时，， 即直线过定点． 21．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【综合探究】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为 ；点B坐标为 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； （2）如图②，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【迁移拓展】 （3）如图③，直线的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②由于D是正比例函数图象上的动点，根据垂线段最短，当时，取得最小值，利用勾股定理求得，证明，可得； （2）过点作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E,可证得，设，则，，建立方程求得，可得，再运用待定系数法即可求得答案； （3）设，，过点P作轴于点E，过点Q作于点F，证得，分两种情况：当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，分别求得点Q的坐标即可． 【详解】解：（1）①在中，令，得， 解得：， ∴， 令，得， ∴， 故答案为：，； ②∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图1， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， 在中，， ∴AD的最小值是， 故答案为：； （2）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点， ∴，， 将直线绕点A逆时针旋转得到直线，如图2， 过点B作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线l的解析式为， 把，分别代入得， 解得：， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）设，，又， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 22．（24-25八年级上·重庆·期末）如图1，直线交轴，轴于点和点，直线交轴，轴于点和点，和交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)如图2，已知点是轴上一动点，点在直线上，且在点的右侧，连接，当的面积为时，连接，，当取最小值时，求点的坐标； (3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，所在直线交轴于点，连接，点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求解，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由题意设，结合的面积为，求解，，如图，作关于轴的对称点，可得，当三点共线时，最小，再进一步求解即可； （3）由旋转可得，，，过作轴于，证明，可得，求解的解析式为，直线的解析式为：，结合，再分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵直线交轴，轴于点和点， ∴当，则，当，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵和交于点， ∴， ∴， ∵为， ∴，解得：， ∴直线为：． （2）解：由题意设， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∵直线为：． ∴当时，， ∴， 如图，作关于轴的对称点， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴． （3）解：如图，∵，，，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， 过作轴于， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：的解析式为， 同理可得：， 同理可得：直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴， 如图，当时，记的交点为， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：， 当时，解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形面积，轴对称的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）过点B作轴的对称点，连接，显然由对称得,，故，当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点，可求直线的表达式为，令，即可求解； （3）利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 代入点得，， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：过点B作轴的对称点，连接， 当时，， ∴ 由对称得,， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点， 设直线的表达式为， 代入点坐标得，， 解得：， ∴设直线的表达式为， 当是，， 解得， ∴此时． （3）解：∵平行四边形， ∵， ∴点B向点P的平移方式与点A向点的平移方式一样， ∵， ∴点B向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P， ∴点A向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点 而， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，“将军饮马”求最值，平行四边形的性质 ，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 24．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与，交于点，与y轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标； (3)线段上是否存在一个点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据，则，，即点A、的坐标分别为、，即可求解； （2）根据，可得点在过点和与点B关于x轴对称点且平行于的直线上，即可求解； （3）作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E，证是等腰直角三角形，得到，推出，由旋转的性质得：，证，求出，进而求得，，从而得到，求出，得，求直线解析式为，联立直线与直线，求出，由对称可求，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ，， ∴、， 设直线的解析式为，将点、，代入得 ， 解得，， 即直线的解析式为； （2）解：①当点在上方时， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， 故点； ②当点在下方时，设B关于x轴对称点， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， ∴点； 故点的坐标为或； （3）解：存在，的坐标为，理由如下： 作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E， 由题意得：， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理，得， 点在直线上， ， ， 由旋转的性质得：，， 即此时点符合条件， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为， 联立， 解得：， ， 关于y轴对称， ． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，旋转的性质，对称的性质，矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，要注意分类求解，避免遗漏． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $