1.1集合及其运算专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以8大题型系统覆盖集合核心内容，构建从元素特征到新定义应用的递进训练体系，强化抽象能力与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合元素的特征|多题覆盖|考查互异性等基本属性|概念生成起点，奠定集合基础| |元素与集合的关系|多题覆盖|判断元素归属及参数范围|连接元素与集合的桥梁| |集合间关系的确定|多题覆盖|子集、真子集等关系判断|深化集合间包含关系理解| |集合的个数问题|多题覆盖|子集、非空子集个数计算|应用集合关系解决计数问题| |根据两集合的关系求参数|多题覆盖|含参数的集合关系推理|综合集合关系与参数运算| |集合的基本运算|多题覆盖|交、并、补运算及应用|集合核心运算技能训练| |Venn图的应用|多题覆盖|直观表达集合关系及实际问题|数形结合思想的具体应用| |集合新定义|多题覆盖|创新情境下的概念迁移|提升数学语言表达与应用意识|

§1.1 集合及其运算·专项训练 目录 题型1：集合元素的特征 2 题型2：元素与集合的关系 4 题型3：集合间关系的确定 5 题型4：集合的个数问题 7 题型5：根据两集合的关系求参数 9 题型6：集合的基本运算 10 题型7：Venn图的应用 12 题型8：集合新定义 15 题型1：集合元素的特征 【例1.1.】 已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 【例1.2.】 设集合，，若，则______. 【答案】/0.5 【难度】0.94 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 【例1.3.】 已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、利用集合元素的互异性求参数 【分析】先写出等差数列的通项公式，然后根据三角函数的周期性和已知集合的元素个数来分析的取值情况，进而求出的值. 【详解】根据已知条件，等差数列的通项公式为：. 根据三角函数的性质，. 这说明数列的周期为3. 因为集合，即有三个不同的值. 设时，；时，； 时，. 根据三角函数两角和公式可得： . . 则 故选：B. 题型2：元素与集合的关系 【例2.1.】 已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据集合的定义，逐一分析集合中的元素是否满足条件. 【详解】集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 所以. 故选：A. 【例2.2.】 已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.91 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据元素与集合的关系求参数 【详解】由，代入得，解得. 【例2.3.】 已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 【例2.4.】 已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 题型3：集合间关系的确定 【例3.1.】 已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、交集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【详解】集合，集合，检验中元素是否属于： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故中仅有，. 选项A：，即中所有元素都属于，不成立. 选项B：，即中所有元素都不属于，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立. 【例3.2.】 已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】交集的概念及运算、空集的概念以及判断、判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 【例3.3.】 已知集合，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、交集的概念及运算、判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】分别化简集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解. 【详解】， ， 则，，故B正确；A、C错误； ，故D错误； 故选：B 【例3.4.】 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 题型4：集合的个数问题 【例4.1.】 已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】利用导数研究函数的零点、交集的概念及运算、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】构造函数，借助导数计算可得该函数有且仅有一个零点，即可得中有且仅有一个元素，即可得的子集个数. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故有且仅有一个零点， 即图象与图象有且仅有一个交点， 即中有且仅有一个元素，故的子集个数为. 【例4.2.】 已知集合，，则的非空子集的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】公式法解绝对值不等式、分式不等式、交集的概念及运算、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】由题设，， 所以，则其非空子集的个数有个. 【例4.3.】 满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 题型5：根据两集合的关系求参数 【例5.1.】 已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 【例5.2.】 已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【难度】0.87 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 【例5.3.】 已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 【例5.4.】 已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 题型6：集合的基本运算 【例6.1.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分式不等式、具体函数的定义域、并集的概念及运算 【详解】依题意， ，则. 【例6.2.】 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、补集的概念及运算、交集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【详解】由题得，，则，， ，所以A，C，D错误，B正确． 【例6.3.】 已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【难度】0.86 【知识点】交并补混合运算 【详解】因为，， 所以， 所以. 【例6.4.】 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】交并补混合运算、补集的概念及运算 【分析】将全集利用列举法表示出来，利用集合的运算法则直接求解． 【详解】因为，， 故在中不在中的元素为； 故． 【例6.5.】 已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.87 【知识点】交并补混合运算、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的补集、交集以及子集的相关概念来确定参数的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 即的取值范围是. 题型7：Venn图的应用 【例7.1.】 设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用Venn图求集合、交集的概念及运算 【详解】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以. 分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分. 因此阴影部分表示集合. 【例7.2.】 已知全集均为的子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、交并补混合运算、利用Venn图求集合 【详解】 根据图，阴影部分为，显然集合与无公共部分， 所以． 【例7.3.】 已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解. 【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 【例7.4.】 （多选）某校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 题型8：集合新定义 【例8.1.】 已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【难度】0.7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 【例8.2.】 当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【难度】0.53 【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 【例8.3.】 已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【难度】0.4 【知识点】集合新定义、组合数的性质及应用 【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可. 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 【例8.4.】 已知集合 中的最大元素为2，且 ，对任意的 ，则集合中所有元素的和为_____. 【答案】2026 【难度】0.22 【知识点】集合新定义、求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】利用构造等差数列思想，解决任意性问题，从而可求得通项并求和. 【详解】将集合的元素从小到大排列为：， 因为对任意的 ，由最大元素为， 假设最小元素不为，即， 则对任意的 ，则， 此时不可能属于，所以最小元素为，即， 设A中最小正元素为d，由题意，任意两个元素差的绝对值仍属于A， 因此A中所有元素都是d的倍数，且所有元素可表为：，其中最大元素， ， 此时对任意两个元素的差的绝对值， 因为，所以必存在,满足，即，符合题意. 此时所有元素的和为：. 【例8.5.】 给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【答案】(1) ， (2)（i） ；（ii） 【难度】0.38 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据集合及“逆对数”的定义，结合已知条件，写出，； （2）（i）方案一：按“去掉后逆对数的变化”分类，综合得出递推式；方案二：按的位置直接分类，综合得出递推式； （ii）插入，分类讨论逆对数的来源，建立递推关系，再构造等比数列求通项． 【详解】（1）（1） ， ． （2）（2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列， 且这两个数为， 若去掉中最大的数后仍有一个逆对数的排列，则位于，之间或最后； 若去掉后逆对数为0，则可能位于除最后的所有位置， ； 方案二：对按所在位置分类： 若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1； 若不在末位，设，，则当的逆对数为1时， 前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数， 综上， ． （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数后仍有两个逆对数的排列，则位于，或，之间或最后： 若去掉后逆对数为1，且为，则可能位于除最后与，之间的所有位置， ， 由（i）知 ， 又 ，则 ， 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ， ， ， 又 ，则 ， 是首项为3，公比为3的等比数列， ， ． 【例8.6.】 对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． 【答案】(1)集合①②是理想集，③不是理想集 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.22 【知识点】数列新定义、集合新定义 【分析】（1）根据理想集定义，计算每个集合对应的，再判断与是否无公共元素即可； （2）（i）：构造出3个两两不交的非空理想集，使得它们的并集为即可； （ii）：结合题意推导的取值规律，得到的放缩方式，再结合裂项相消原理求和证明不等式. 【详解】（1）根据理想集定义：为理想集当且仅当 ，其中， ① 集合：计算得， ， 因此是理想集， ②集合：计算得：， ， 因此是理想集. ③ 集合：因为，故且， ， 因此不是理想集. 所以集合①②是理想集，③不是理想集． （2）（i）构造集合，，， ，无公共元素，是理想集； ，无公共元素，是理想集； 中最小两元素和为，故，是理想集， 且， ， 所以是可分的，故． （ii）若存在个非空理想集，，…，，且，使得，则对于，取， 其中表示将集合中每个数都加上后所得的新集合． 取，此时存在个非空理想集，，…，， 且，使得． 设，则有 ， 则，又， 于是当时，， 故，当时，依然成立，所以， 于是， 当时，成立； 当时，． 综上所述，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §1.1 集合及其运算·专项训练 目录 题型1：集合元素的特征 2 题型2：元素与集合的关系 2 题型3：集合间关系的确定 2 题型4：集合的个数问题 3 题型5：根据两集合的关系求参数 3 题型6：集合的基本运算 4 题型7：Venn图的应用 4 题型8：集合新定义 5 题型1：集合元素的特征 【例1.1.】 已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【例1.2.】 设集合，，若，则______. 【例1.3.】 已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 题型2：元素与集合的关系 【例2.1.】 已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知集合，且，则实数的值为______________． 题型3：集合间关系的确定 【例3.1.】 已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知集合，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 题型4：集合的个数问题 【例4.1.】 已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【例4.2.】 已知集合，，则的非空子集的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【例4.3.】 满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型5：根据两集合的关系求参数 【例5.1.】 已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【例5.2.】 已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【例5.3.】 已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 题型6：集合的基本运算 【例6.1.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【例6.4.】 ，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：Venn图的应用 【例7.1.】 设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【例7.2.】 已知全集均为的子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【例7.3.】 已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【例7.4.】 （多选）某校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 题型8：集合新定义 【例8.1.】 已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【例8.2.】 当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【例8.3.】 已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【例8.4.】 已知集合 中的最大元素为2，且 ，对任意的 ，则集合中所有元素的和为_____. 【例8.5.】 给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【例8.6.】 对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $