精品解析：漳州实验高级中学2025-2026学年第二学期高二5月质量检测数学试卷

漳州实验高级中学2025－2026学年第二学期高二5月质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导数几何意义及点斜式即可求解直线方程. 【详解】，故，， 故切线方程为，即， 故选：D 2. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列的性质可求. 【详解】因为服从两点分布，故， 故选：A. 3. 为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，令时，求得，结合残差的概念，即可求得样本点的残差，得到答案. 【详解】由关于的回归方程为，且样本点， 当时，可得，所以残差为. 故选：A. 4. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 5. 已知， ， ，则a，b，c的大小关系为（        ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数， 则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，， 因为，所以 故选：D 6. 在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 7. 若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式即可得解. 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ， 解得，则的最大值为6． 故选：C. 8. 若函数有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【详解】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的是6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 若随机变量，且；则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D. 若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据方差的性质判断即可；对于B，根据正态分布的对称性判断即可；对于C，根据独立性检验的性质判断即可；对于D，根据回归直线的性质判断即可. 【详解】对于A，由方差的性质可知，若随机变量满足量满足，则，故A错误； 对于B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确； 对于C，由可知判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，故C正确； 对于D，根据回归直线过样本中心点可知D正确. 故选：BCD. 10. 函数，则（ ） A. 的图象过定点 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，恒成立 D. 存在，使得与轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合可判断A的真假；当时，求导，分析函数的单调性，可判断BC的真假；问题转化为函数的最小值为0是否成立，可判断D的真假. 【详解】对A：不管取何值，， 所以函数的图象过定点，故A正确； 对B：当时，，（），， 设，则，所以在上单调递增. 因为，所以， 所以在上单调递增，这一说法不正确，即B错； 对C：由B选项可知，，所以存在，使得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以函数的最小值为， 且， 因为，故不能取“”.故C正确； 对D：当时，（），所以（）， 设（），则（）. 所以在上单调递增. 因为当时，；当时，. 所以存在，使得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以函数的最小值为，且. 由. 设，（），则， 所以在上单调递减. 且，，所以必定有解.即D正确. 故选：ACD 11. 如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】蚂蚁从点 P 出发，第一次爬行后只能到达中的一个，从而可确定，从中的任一点出发，均有从该点出发的四条棱，故到达点或的概率为；设次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，只能从中的任一点出发到达点或，则可确定、 与的关系；到达中任一点，可能是从其它两点中的其一，或者从点或到达，从而可以表达，代值化简关系可得解. 【详解】设记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为， 则， 其中， 计算易得，故A、C正确，B错误； 由原方程组可得， 则，所以为常数列，且①. 同理，且，所以②， 由①②可知，=，所以，故D正确. 故选：. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一枚质地均匀的硬币抛掷3次，设事件为“第1次出现正面”，事件为“第3次出现反面”，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为__________cm时，这个纸盒的容积最大. 【答案】1 【解析】 【分析】设剪下的小正方形的边长为，根据条件得到，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【详解】设剪下的小正方形的边长为， 由题知纸盒的容积为， 则，令，得到（舍）或， 所以当时，，当时，， 则的增区间为，减区间为 所以在处取到最大值，最大值为. 故答案为：. 14. 如图，一电路中，为未闭合的开关，为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全部闭合，则最先亮起的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况，得到最先亮起的情况数，计算出7个开关依次全部闭合的总情况数，从而计算出最先亮起的概率，而和的情况是一样的，故两者最先亮起的概率相等，利用概率之和为1，求出最先亮起的概率. 【详解】先考虑最先亮起的概率，则中至少有一个开关闭合在亮起之后， 中也至少有一个开口闭合亮起之后， 下面分三种情况讨论， 情况1：都闭合在亮起之后，这种情况相当于全排列，依次闭合， 再将剩余的四个开关全排列之后依次闭合，可能的情况有种； 情况2：和中都恰好有1个开关闭合在亮起之后， 这种情况要求中有一个开关闭合顺序排在第5位，其余两个排在前四位， 前四位剩下的两个空位分别在和中各选一个进行排列，剩下的两个排在末两位， 可能的情况有种， 情况3：中恰好有三个开关闭合在亮起之后， 这种情况要求中有一个开关闭合顺序排在第四位，其余两个排在前三位， 剩下四个开关全排列，可能的情况有种， 7个开关依次全部闭合共有种情况， 故最先亮起的概率为， 而和的情况是一样的，故两者最先亮起的概率相等， 所以最先亮起的概率为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表： 1 2 3 4 5 35 40 50 55 70 （1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱） （2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量． 参考数据：． 参考公式：相关系数； 回归直线方程中，． 【答案】（1）0.98，变量和的线性相关程度很强； （2），75.5万件． 【解析】 【分析】（1）计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出； （2）根据公式即可求出与的值，即可得出回归方程，令代入计算即可. 【小问1详解】 由题可知， ， 所以， 因为，所以变量和的线性相关程度很强． 【小问2详解】 ， ． 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 所以研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件． 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间的线面垂直的判定与性质定理即可得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求两平面的夹角余弦值即可. 【小问1详解】 如图，连接，在中，， 在正方形中，，又因为平面， 所以平面，又因为，所以平面， 而平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 在中，因为，， 所以由余弦定理可得：， 因为平面，所以，在中， 由勾股定理得：， 又在中，由余弦定理得：. 如图以为原点，分别为轴，过且垂直底面的直线为轴建系， 则，，， 则，， 设为平面的法向量，则，取， 设为平面的法向量，则，取， 所以， 故平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 17. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析，有关联 （2）分布列见解析，期望为 （3）80 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的值，并与临界值对比分析即可； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）由已知可得，利用二项分布概率公式求出概率表达式，再利用作商法求得使事件“”的概率最大时的值. 【小问1详解】 列联表如下： 好评 非好评 合计 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 根据列联表中数据，经计算得到， 所以可以认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个， 而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有， 则， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 【小问3详解】 依题意，更换厨师后好评率为， 从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则， 于是， 由， 由，解得，而，则当时，单调递增； 由，解得，则当时，单调递减， 所以使事件“”的概率最大时的值为80. 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调性； （2）正难则反，通过条件将问题转化成对恒成立，再利用，即可求出结果. 【小问1详解】 当时，, 则，令，得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为， 当时，，，所以当时，， 故函数的值域为等价于函数的最小值小于或等于0， 考虑反面：对恒成立. 由， 得到，化简得， 设， 令，则在区间上恒成立， 所以，当且仅当时取等号， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增， 又，， 存在，使， 所以， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用正难则反的思想，将问题转化成：对恒成立，从而将问题转化成恒成立问题来求解. 19. 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的. （1）若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率； （2）现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，. （i）求； （ii）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据多项分布求概率； （2）（i）根据多项分布求概率； （ii）根据二项分布得到，然后利用条件概率的计算公式得到，最后根据二项分布期望的性质计算即可. 【小问1详解】 记从该厂产品中抽出4个，且恰好抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个为事件，则， 【小问2详解】 （i）， （ii）若把事件作为一方，则作为另一方， 那么随机变量分布列为， 即服从二项分布列为， 同理可知：. 所以 . 所以在给定的条件下，随机变量服从二项分布，即， 所以此时，随机变量的数学期望为. 【点睛】关键点睛：（ii）解题关键在于通过计算得到在给定的条件下随机变量服从二项分布，然后求期望即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州实验高级中学2025－2026学年第二学期高二5月质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 已知， ， ，则a，b，c的大小关系为（        ） A. B. C. D. 6. 在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 若函数有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的是6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 若随机变量，且；则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D. 若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点 10. 函数，则（ ） A. 的图象过定点 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，恒成立 D. 存在，使得与轴相切 11. 如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一枚质地均匀的硬币抛掷3次，设事件为“第1次出现正面”，事件为“第3次出现反面”，则_____. 13. 如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为__________cm时，这个纸盒的容积最大. 14. 如图，一电路中，为未闭合的开关，为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全部闭合，则最先亮起的概率为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表： 1 2 3 4 5 35 40 50 55 70 （1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱） （2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量． 参考数据：． 参考公式：相关系数； 回归直线方程中，． 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值. 17. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数的值域为，求的取值范围． 19. 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的. （1）若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率； （2）现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，. （i）求； （ii）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $