精品解析：福建省龙海第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题

龙海一中2023--2024学年高二下学期高二年数学学科第一次阶段性考试 一.单选题，共8题，每题5分 1. 在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 2. 若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. D. 与斜交 3. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若向量，，共面，则它们所在的直线共面 B. 已知，若，，，四点共面，则 C. 为单位向量 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 4. 已知直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（    ） A. B. C. D. 二、多选题，共3题，每题6分，部分选对得部分分数，有选错得0分 9. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 设函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. 与夹角的余弦值为 11. 已知正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，以下说法正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与面所成角的余弦值为1 C. 在方向上的投影向量为 D. 过点作正方体的截面，所得截面的面积是 三．填空题，共3题，每题5分 12. 已知，，且，则实数的值是____________. 13. 已知为奇函数，则在处的切线方程为_______ 14. 对于函数和，及区间D，b使得对任意恒成立，则称在区间D上优于，若在区间上优于，则实数a的取值范围是 ________． 四. 解答题 15. 已知函数，． （1）若函数在点处的切线过原点，求实数a的值； （2）若，求函数在区间上的最大值． 16. 如图：三棱柱中，，是的中点． （1）在线段上是否存在一点，使得四边形为梯形?说明理由； （2）若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 17. 某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购. （1）求年利润关于年加工量的解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本） （2）当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:）. 18. 如图，已知在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，D，E分别在CC1与AA1上，AE＝2，CD＝1． （1）在线段BE上找一点P使得DP⊥平面ABB1A1，并写出推理证明过程； （2）求二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值． 19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； （3）设，证明：. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙海一中2023--2024学年高二下学期高二年数学学科第一次阶段性考试 一.单选题，共8题，每题5分 1. 在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中的点的对称关系求出，进而求出，再由空间向量数量积的定义求解即可. 【详解】关于平面的对称点为，所以， 所以，即，， 所以. 故选：C. 2. 若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. D. 与斜交 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得，由直线与平面的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，直线的方向向量为， 平面的法向量为，易得， 又直线在平面外，则有． 故选：B． 3. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若向量，，共面，则它们所在的直线共面 B. 已知，若，，，四点共面，则 C. 为单位向量 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共面结合直线的位置关系，可判断A；举反例可判断B；根据单位向量的概念判断C；根据投影向量的额概念，求出在上的投影向量即可判断D. 【详解】对于A，向量，，共面，它们所在的直线可以是异面直线，A错误； 对于B，如图：与，，，共线即共面， 设，满足题意，但，B错误 对于C，，故不是单位向量，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确， 故选：D 4. 已知直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点的坐标为，利用导数的几何意义可得出，再由点为直线与曲线的公共点可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】设切点的坐标为，对函数求导可得， 所以切线的斜率为， 因为函数在点处的切线方程为，则，可得， 又因为点为直线与曲线的公共点， 则，即，解得. 故选：C. 5. 若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，将函数有极大值和极小值问题转化导函数为有两个不相等正根问题，结合判别式和韦达定理求解即可. 【详解】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得， 所以的取值范围为， 故选：A. 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】在棱长为1的正方体中，以D为坐标原点，以为轴， 建立空间直角坐标系， 则， , 设平面的一个法向量为，则, 即，令，则， 则点到平面的距离为， 故选：C 7. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可. 【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为正方体棱长为1，， 所以,, 设, 则, 而, 所以点到直线的投影数量的绝对值为 , 所以点到直线的距离为 ， 当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为， 故选：C. 8. 设，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作差比较大小可得，构造函数，利用导数确定函数在上的单调性，即可比较大小，从而可得结论. 【详解】依题意，，则， ，令， 求导得，令， 求导得，而，，， 于是，即，函数在上单调递增， 则，因此函数在上单调递增，有，即， 所以. 故选：B 二、多选题，共3题，每题6分，部分选对得部分分数，有选错得0分 9. 下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 设函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可. 【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误； 对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确； 对于选项C: ,由， ，解得，故选项C正确； 对于选项D:结合题意可得：,， 解得，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，连接， 由于分别是的中点，所以， 根据棱柱的性质可知，所以, 由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. B选项，， ， ， 所以， 由于平面，所以平面，B选项正确. ， 所以，即，所以C选项错误. D选项，，，， ， 所以与夹角为， 则. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，以下说法正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与面所成角的余弦值为1 C. 在方向上的投影向量为 D. 过点作正方体的截面，所得截面的面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项按照锥体体积计算即可；利用线面平行可判断B；利用线面垂直可得，可判断C；作出截面计算可判断D. 【详解】对于A，在正方体中，易知，所以到底面的距离等价于到底面的距离，即， 所以，故A不正确； 对于B，因为点分别为棱的中点，所以可得， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以直线与面所成角为， 所以直线与面所成角的余弦值为1，故B正确； 对于C：由题意易得，又平面，所以， 所以由投影向量的定义可得在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，作中点，的中点，的中点，连接， 则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为，故D正确． 故选：BCD. 三．填空题，共3题，每题5分 12. 已知，，且，则实数的值是____________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据空间两点间距离公式计算即可. 【详解】因为， 所以，解得或. 故答案为：或 13. 已知为奇函数，则在处的切线方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可. 【详解】因为 ， 所以， 因为为奇函数， 所以对恒成立， 所以，代入函数表达式得， 所以，则， 所以在处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 对于函数和，及区间D，b使得对任意恒成立，则称在区间D上优于，若在区间上优于，则实数a的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得符合条件的直线应为在的公切线，据此计算验证即可． 【详解】因为，且， 若在区间上优于， 可知符合条件的直线应为在的公切线， 则，可得， 则切线方程为， 令在上恒成立， 令，求导可得， 令， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 四. 解答题 15. 已知函数，． （1）若函数在点处的切线过原点，求实数a的值； （2）若，求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出切点，求导，利用导数的意义求斜率，再由点斜式写出直线方程求出； （2）求导，分析单调性，求出最值即可. 【小问1详解】 切点，，． 切线过， ∴，∴． 【小问2详解】 ，， ，或3， 则当或时，,当时，, 在上为减，在为增， ，，∴． 16. 如图：三棱柱中，，是的中点． （1）在线段上是否存在一点，使得四边形为梯形?说明理由； （2）若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 【答案】（1）存在，为中点. （2） 【解析】 【分析】（1）为中点时，可证明四边形为梯形； （2）先将用基底表示，由，根据的数量积运算即可得解. 【小问1详解】 为中点，四边形为梯形，理由如下： 为中点，连接， 又是的中点，则有且， 三棱柱中，且， 所以有且， 故为中点，四边形为梯形； 【小问2详解】 依题意，，， 则有，，， ， ，则，即， 解得. 17. 某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购. （1）求年利润关于年加工量的解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本） （2）当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:）. 【答案】（1） （2）当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元. 【解析】 【分析】（1）依题意，由年利润年销售收入-流动成本-年固定成本，直接写出解析式，化简即可； （2）由（1）中求得的解析式，分别利用导数和基本不等式的性质，分别求得两个式子的最大值，然后作比较，再取较大的值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以年利润关于年加工量的解析式为：； 【小问2详解】 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以， 当时，， 当且仅当，即时取得等号. 因为， 所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元. 18. 如图，已知在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，D，E分别在CC1与AA1上，AE＝2，CD＝1． （1）在线段BE上找一点P使得DP⊥平面ABB1A1，并写出推理证明过程； （2）求二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）取BE的中点P，AB的中点F，连接PD，PF，CF，先证四边形PFCD为平行四边形，得DP∥CF，再由CF⊥AB，AA1⊥CF，知CF⊥平面ABB1A1，进而得证； （2）以F为坐标原点建立空间直角坐标系，由FC⊥平面BEA1，知平面BEA1的一个法向量（0，1，0），再求得平面C1BE的法向量，然后由cos，，得解． 【详解】解：（1）取BE的中点P，AB的中点F，连接PD，PF，CF，则PF∥AE，PFAE， 所以PF∥CD，且PF＝CD， 故四边形PFCD为平行四边形， 所以DP∥CF， 由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，知△ABC为等边三角形，则CF⊥AB， 因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥CF， 又AA1∩AB＝A，AA1、AB⊂平面ABB1A1， 所以CF⊥平面ABB1A1， 所以DP⊥平面ABB1A1， 故当点P为线段BE的中点时，使得DP⊥平面ABB1A1． （2）以F为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），E（﹣1，0，2），C1（0，，3），C（0，，0）， 则（﹣1，，3），（﹣2，0，2）， 由（1）知，FC⊥平面BEA1，所以平面BEA1的一个法向量（0，1，0）， 设平面C1BE的法向量为（x，y，z），则，即， 取（，﹣2，）， 所以cos，， 又二面角C1﹣BE﹣A1为锐二面角， 故二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值为． 19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； （3）设，证明：. 【答案】（1）0.48； （2） ，证明如下： 令，，则 令，则， 故在上单调递增，，则 故在上单调递增，， 即证得，故． （3） 由（2）可得当时，， 且由得，当且仅当时取等号， 故当时，，， ， 而 ， 即有 故 而， 即证得． 【解析】 【分析】（1）利用泰勒公式即可估算的值； （2）构造函数，，并利用导数求得最小值，进而得到与的大小关系； （3）利用（2）中结论得到不等式结合裂项相消法对进行放缩变化，进而证得题给不等式成立. 【小问1详解】 令，则，， ，， 故，，，，， 由麦克劳林公式可得， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $