专题05 长方形和正方形（专项训练）三升四年级数学暑假专项提升（苏教版•新教材）

**基本信息** 以“体系重建-易错剖析-方法精讲”为路径，系统构建长方形和正方形知识网络，融合空间观念与几何直观培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|2大知识点|相交平行判定、图形特征辨析、规范作图步骤|从线（相交/平行）到形（长方形/正方形），明确正方形是特殊长方形| |易错点剖析|4个典例|概念对比法（相交vs垂直）、定义关键词法（平行线“同一平面”）、分类计数法（图形拼组）|针对概念混淆、定义遗漏、计数不全等核心易错点| |综合训练|36题（选择12/填空12/作图4/解答8）|垂线最短应用、拼组方案优化、折叠角推理|覆盖判断、计算、操作、应用，形成“概念-技能-应用”完整链条|

编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 三年级数学暑假专项提升 专题05 长方形和正方形 知识点一：相交与平行 1、认识平行线。 同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。因此同一平面内的两条直线不相交就一定平行。 2、画平行线。 用直尺和三角尺画平行线时，牢记“固定三角尺，画直线”“紧靠三角尺，固定直尺，平移三角尺”。 3、认识垂直。 两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。 4、画垂线。 画两条互相垂直的直线的方法很多，可在方格纸上画，也可以用量角器画，还可以用直尺和 三角尺画。 5、点到直线的距离。 （1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到这条直线的距离。 （2）从直线外一点向已知直线所作的几条线段中，垂直线段最短。 知识点二：长方形和正方形 1、长方形有四条边，对边相等；有四个角，都是直角。 2、正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 3、通常把长方形长边的长叫作长，短边的长叫作宽；正方形每条边的长叫作边长。 生活中的长方形和正方形：像教室黑板的面、讲桌的面、课桌的面、国旗的面等都是长方形，像开关盒的面、地板砖的面等都是正方形。 4、长方形和正方形的比较。 相同点：都有四个角，而且每个角都是直角。 不同点：长方形只是对边相等，而正方形的每条边都相等。 长方形是对边相等且四个角都是直角的四边形，正方形是四条边都相等且四个角都是直角的四边形，因此正方形是特殊的长方形。 5、画长方形或正方形。 （1）画长方形。 方法一：利用垂线 画长：用直尺画一条指定长度的线段（如8厘米），作为长方形的长。 画垂线：将三角板的直角边与长对齐，沿另一条直角边画两条垂直线段，长度等于宽（如5厘米）。 确保垂线与长垂直，且长度准确。 连接端点：用直尺连接两条垂线的另一端，形成长方形的另一条长。 标记：标出直角符号和长、宽的数据。 方法二：利用平行线 画平行线：用直尺和三角板画一组平行线，间距等于宽（如5厘米）。 截取长：在一条平行线上量取指定长度（如8厘米），标记两点。 画垂线：从这两点向另一条平行线画垂线，形成长方形的两条宽。 连接端点：连接垂线的端点，完成长方形。 （2）画正方形。 方法一：利用垂线 画边长：用直尺画一条指定长度的线段（如6厘米），作为正方形的一条边。 画垂线： 将三角板的直角边与边长对齐，沿另一条直角边画两条垂直线段，长度等于边长（如6厘米）。 确保垂线与边长垂直，且长度准确。 连接端点：用直尺连接两条垂线的另一端，形成正方形的另一条边。 标记：标出直角符号和边长数据。 方法二：利用平行线 画平行线：用直尺和三角板画一组平行线，间距等于边长（如6厘米）。 截取边长：在一条平行线上量取指定长度（如6厘米），标记两点。 画垂线：从这两点向另一条平行线画垂线，形成正方形的两条边。 连接端点：连接垂线的端点，完成正方形。 易错点1：相交与垂直概念混淆。 【典例1】判断：两条直线相交，它们的夹角一定是直角。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】混淆了“相交”和“垂直”的概念 相交：两条直线有一个公共点。垂直：两条直线相交成直角（是相交的特殊情况），所有垂直的线都相交，但相交的线不一定垂直。 【正确解答】错误 易错点2：平行线概念理解错误。 【典例2】判断：永不相交的两条直线叫做平行线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】平行线的完整定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。 必须强调“在同一平面内”，在立体空间中，不相交的直线可能是异面直线，不是平行线。 【正确解答】错误 易错点3：长方形和正方形特征混淆。 【典例3】判断：正方形的四条边都相等，所以长方形不是正方形。（ ） 【错误答案】错误 【错解分析】正方形的特征：四条边相等，四个角都是直角 长方形的特征：对边相等，四个角都是直角 当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形 正方形是特殊的长方形。本题对于长方形和正方形的特征理解混淆。 【正确解答】正确 易错点4：解决图形的拼组或分割类型题错误。 【典例4】下图中有几个长方形？ 【错误答案】4个 【错解分析】只数了单个的小长方形，漏数了由多个小长方形组成的大长方形。 分类计数： 小长方形：4个 由2个小长方形组成：4个（横2个，竖2个） 大长方形：1个 总共：4+4+1=9个 【正确解答】9个 一、选择题 1．将一张长方形纸对折两次后展开，折痕间的关系不可能是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．既不平行也不垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】将一张长方形纸对折两次后展开，折痕间的关系取决于两次对折的方向。长方形的对称轴只有两条，一条是平行于长边的中线（横向），一条是平行于宽边的中线（纵向），对折时只能沿着这两条对称轴进行，否则无法完全重合。 【解答】两次都沿同一个方向对折（比如两次都沿长的方向对折）：两条折痕是互相平行的。 两次沿不同方向对折（比如先沿长对折，再沿宽对折）：两条折痕是互相垂直的。 由于长方形仅有横向和纵向两条对称轴，无法沿其他方向对折后完全重合，因此不存在既不平行也不垂直。 一张长方形纸对折两次后展开，折痕间的关系有时平行有时垂直。 2．下面各组线中，既有互相垂直的线，又有互相平行的线的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 【解答】A．有两条线互相平行，没有互相垂直的线；不符合题意； B．有两条互相平行的线，有一条线垂直于两条平行线；符合题意； C．有两条线相互垂直，没有相互平行的线；不符合题意； D．三条线既不平行又不垂直；不符合题意。 3．小明家正在装修新房，工人叔叔用一根系着重锤的绳子（也就是重锤线）来检查墙面是否合格。重锤静止时，重锤线会沿着竖直方向下垂。如果一面墙与重锤线是平行的，那么这面墙与地面的关系是（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法判断 【答案】A 【分析】 如图：，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。重锤静止时，重锤线垂直于地面，墙与重锤线是平行的，那么墙也垂直于地面。 【解答】小明家正在装修新房，工人叔叔用一根系着重锤的绳子（也就是重锤线）来检查墙面是否合格。重锤静止时，重锤线会沿着竖直方向下垂。如果一面墙与重锤线是平行的，那么这面墙与地面的关系是互相垂直。 故答案为：A 4．如下图，妈妈在墙上挂了一幅装饰画，她量得a、b两条线的长度都为120cm，此时画框底边和地面的墙角线c的关系是（    ）。 A．互相平行 B．相交 C．互相垂直 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据题图可知，两条线段a、b的端点分别连接并垂直于画框底边和地面的墙角线，又因为妈妈量得a、b两条线的长度都为120cm，根据平行线的性质：平行线之间的距离处处相等，可知此时画框底边和地面的墙角线c的关系是互相平行的。据此解答。 【解答】由分析可知，由于a、b两条线的长度都为120cm，所以画框底边和地面的墙角线之间的距离相等，所以这时画框底边和地面的墙角线c的关系是相互平行的。 故答案为：A 5．直线外一点O和这条直线上的3个点分别相连，画出3条线段，它们的长是13厘米，14厘米和15厘米，其中有一条线段和这条直线垂直，则点O到直线的距离是（    ）厘米。 A．13 B．14 C．15 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义，点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离。题干中明确指出有一条线段与直线垂直，因此这条线段就是垂线段。同时，根据垂线段最短的性质，在从直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短。给出的三条线段长度分别为13厘米、14厘米和15厘米，其中13厘米是最短的，因此垂线段的长度是13厘米，即点O到直线的距离是13厘米。 【解答】点到直线的距离是指从该点到直线的垂线段的长度。已知有一条线段与直线垂直，且三条线段的长度分别是13厘米、14厘米和15厘米。由于垂线段是最短的线段，因此13厘米的线段是垂线段。 故答案为：A 6．在同一平面内，与一条直线平行且相距2厘米的直线有（    ）条。 A．无数 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，在同一平面内，一条直线的平行线可以有无数条，但题目要求距离固定为2厘米。根据平行线的性质（永不相交且距离处处相等），在直线的两侧各有一条直线与它平行且距离为2厘米，因此共有2条。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 在同一平面内，与一条直线平行且相距2厘米的直线有2条。 故答案为：C 7．用18个边长是3厘米的小正方形拼长方形，有（    ）种不同的拼法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将小正方形总个数分解为两个数的乘积，两个乘数分别对应长方形长和宽方向的小正方形数量。小正方形总个数是18，需要找出积是18的乘法算式有几组，那么就有几种拼法。 【解答】积是18的乘法算式：，表示拼成1行18列；，表示拼成2行9列；，表示拼成3行6列。 综上，一共有3种不同的拼法。 8．小丁丁准备用两个完全相同的多连块拼成一个长方形，下面不可能拼成长方形的多连块是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 长方形的对边相等，长方形的特点是长长的，有2条长边，2条短边，且两组对边长度相等，如图所示：，依此即可解答。 【解答】 A．两块拼成的长方形为：。 B．两块不可能拼成长方形。 C．两块拼成的长方形为：。 D．两块拼成的长方形为：。 故答案为：B 9．数一数共有（    ）个长方形。 A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】可以先一个一个地数有4个小长方形，再数由两个小长方形组成的大长方形有3个，再数由三个小长方形组成的大长方形有2个，再数由四个小长方形组成的大长方形有1个，最后把所有的个数加起来。据此解答。 【解答】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 所以，数一数共有10个长方形。 故答案为：D 10．小丁准备沿长方形相框一周贴上花边，下面4条花边按记号处折后能围出一个长方形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方形有4条边，对边相等，4个内角都是直角，从某个顶点处剪开长方形，长和宽相间排列，据此解答即可。 【解答】A．如图所示，只有三条线段，不能围成长方形； B．如图所示，虽有四条线段，但不是两两相等，所以不能围成长方形； C．如图所示，四条线段，长宽相间排列，能围成长方形； D．如图所示，四条线段，虽两两相等，但不是长宽相间排列，不能围成长方形。 故答案为：C 11．下图中一共有（    ）个正方形。 A．16 B．24 C．30 D．32 【答案】C 【分析】四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。据此分别数出边长是1、2、3、4的正方形个数，相加即可。 【解答】边长是1的正方形有：4×4＝16（个） 边长是2的正方形有：3×3＝9（个） 边长是3的正方形有：2×2＝4（个） 边长是4的正方形有：1个 16＋9＋4＋1＝30（个） 图中一共有30个正方形。 故答案为：C 12．摆两个正方形，至少需要（    ）根同样长的小棒。 A．8 B．7 C．9 D．6 【答案】B 【分析】根据题意可知：正方形是四条边相等且四个角相等。则一个正方形是4根同样长的小棒。则两个正方形是4＋4＝8（根）。 但是如果这两个正方形有一条边是相邻的，则至少需要7根同样长的小棒。 【解答】由分析可得： 摆两个正方形，至少需要（7）根同样长的小棒。 故答案为：B 二、填空题 13．如图，直线a与直线b互相（ ）；直线a与直线c互相（ ）。图中共有（ ）组平行线。 【答案】平行 垂直 两/2 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。 在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【解答】直线a与直线b，永不相交，所以直线a与直线b互相平行； 直线a与直线c，两条直线相交成直角，所以直线a与直线c互相垂直； 图中，直线a与直线b互相平行，直线c与直线d互相平行，所以有两组平行线。 14．看一看，填一填。 上图有（ ）组平行线，有（ ）组垂线。 【答案】3 2 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，据此解答。 【解答】 由图可知，AF和BC互相平行，EF和DC互相平行，AB和DE互相平行，共3组平行线； AF和EF互相垂直，BC和CD互相垂直，共2组垂线。 15．下面左图中，直线①与②互相_____，∠1＝_____°，∠2＝_____°。右图中一共有_____个角。              【答案】垂直 30 150 10 【分析】左图中直线①和②有直角符号，所以它们互相垂直。因为直线①与②垂直，夹角为90°，且平角为180°，所以∠1＋60°＝180°－90°＝90°。据此计算出∠1的度数，又因为∠1与∠2组成平角，则可以计算出∠2的度数。 数右图的角的个数，右图有4条射线，计算角的总数为：4＋3＋2＋1＝10（个）。 【解答】直线①与②互相垂直。 ∠1＝90°－60°＝30° ∠2＝180°－30°＝150° 4＋3＋2＋1＝10（个） 16．兰兰、亮亮和彤彤约好16：30到公园散步，三位同学家和公园位置如图。如果他们走路的速度相同，（ ）应该最早出发，（ ）可以最晚出发。 【答案】兰兰 彤彤 【分析】根据从点到直线的所有连线中，垂线段最短，我们可以直接判断兰兰家到公园的距离最远，彤彤家到公园的距离最近。 【解答】如果他们走路的速度相同，兰兰应该最早出发，彤彤可以最晚出发。 17．过直线外一点画已知直线的平行线，可以画（ ）条，两条平行线间可以画（ ）条垂直线段，这些线段的长度都（ ）。 【答案】一 无数 相等 【分析】过直线外任意一点都可以画一条直线与已知直线平行，过直线上任意一点，只有一条直线与已知直线垂直，直线上有无数的点，则能画无数条直线与已知直线垂直，也就是两条平行线间可以画无数条垂直线段，这些线段的长度都相等；据此解答即可。 【解答】过直线外一点画已知直线的平行线，可以画一条，两条平行线间可以画无数条垂直线段，这些线段的长度都相等。 18．依依家到公路有三条笔直的小路，长度分别是270米，210米，150米，其中有一条小路与公路是互相垂直的，这条小路的长度是（ ）米。 【答案】150 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。由题意得，依依家到公路有三条笔直的小路，长度分别是270米，210米，150米，其中有一条小路与公路是互相垂直的，说明这条小路的长度是最短的。270米＞210米＞150米，所以这条小路的长度是150米。 【解答】依依家到公路有三条笔直的小路，长度分别是270米，210米，150米，其中有一条小路与公路是互相垂直的，这条小路的长度是150米。 19．两组平行线中间组成一个长方形（如图），点O在长方形的正中间，如果点O到直线a的距离是5厘米，到直线c的距离是7厘米，那么这个长方形的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 【答案】14 10 【分析】平行线之间的距离处处相等，点O在长方形正中间，到直线a的距离是宽的一半，到直线c的距离是长的一半，分别乘2就是长方形的长和宽。 【解答】长是7×2＝14（厘米） 宽是5×2＝10（厘米） 20．下图中两根铁丝分别沿各自的折痕弯折，可以围成正方形或长方形，（ ）围成的是正方形，（ ）围成的是长方形（填序号）。 【答案】① ② 【分析】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。根据正方形和长方形的特点答题即可。 【解答】下图中两根铁丝分别沿各自的折痕弯折，可以围成正方形或长方形，①围成的是正方形，②围成的是长方形（填序号）。 21．如图，将一副三角尺放在一张长方形纸上，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】15 135 【分析】长方形的四个角都是直角，是90°。一副三角尺的角的度数分别是30°、60°、90°和45°、45°、90°。∠1的度数可以用90°减去45°减去30°。∠2和三角尺45°的角组成平角，∠2的度数用180°减去45°即可。 【解答】90°－45°－30° ＝45°－30° ＝15° 180°－45°＝135° 则∠1＝15°，∠2＝135° 22．用两个长10厘米，宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形长（    ）厘米，宽（    ）厘米或者长（    ）厘米，宽（    ）厘米。（在下面空白处画出示意图） 【答案】12；10；20；6（图见详解） 【分析】可以把两个长方形的长边拼在一起，这时拼成的大长方形的长为两个小长方形宽的和，宽为小长方形的长；也可以把两个长方形的宽边拼在一起，这时拼成的大长方形的长为两个小长方形长的和，宽为小长方形的宽。 【解答】6＋6＝12（厘米） 10＋10＝20（厘米） 用两个长10厘米，宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形长（12）厘米，宽（10）厘米或者长（20）厘米，宽（6）厘米。（图如下） 23．欣欣在画一个长7厘米、宽5厘米的长方形。 第一步：画出一条长（ ）厘米的线段作为长方形的长。 第二步：分别以画出线段的两个端点为垂足，向同一方向画两条长为（ ）厘米且与这条线段（ ）的线段，作为长方形的（ ）。 第三步：把这两条线段的另外两个端点连接起来。 【答案】7 5 垂直 宽 【分析】长方形有四条边，对边相等且四个角都是直角。要画长方形，先确定一条较长的边也就是长，然后根据直角的概念画与长垂直且长度等于宽的线段，最后连接线段端点得到长方形。 【解答】根据分析： 第一步：画出一条长7厘米的线段作为长方形的长。 第二步：分别以画出线段的两个端点为垂足，向同一方向画两条长为5厘米且与这条线段垂直的线段，作为长方形的宽。 第三步：把这两条线段的另外两个端点连接起来。 24．选择下面的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正方形。 （1）选择（ ）根（ ）厘米的小棒就能摆出一个正方形。 （2）选择（ ）根（ ）厘米和（ ）根（ ）厘米的小棒，就能摆出一个长方形。 【答案】（1）4 2 （2）2 1 2 3 【分析】正方形的特征是四条边长度完全相等，需要4根长度相同的小棒；长方形的特征是对边相等，需要分别取两组同长度的小棒，满足要求的组合不唯一，判断即可。 【解答】（1）观察小棒数量：只有2厘米的小棒刚好有4根，其余长度的小棒数量都不够4根，因此选择4根2厘米的小棒就能摆出一个正方形。 （2）由分析得出，可以选2根1厘米和2根3厘米，就能摆出一个长方形。（答案不唯一） 三、作图题 25．画出超市到公路的最近路线。 【答案】 【分析】直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短，因此最近路线就是从超市点向公路作的垂线段。画法：把三角尺的一条直角边和公路的边线重合；平移三角尺，让三角尺的另一条直角边经过代表超市的点；沿着这条直角边，从超市向公路画出垂线段，这条垂线段就是超市到公路的最近路线。 【解答】从超市黑点向公路作垂直于公路的线段。 画图略 26．作图题。（在右边空白处作图） （1）画一条长5厘米的线段AB。 （2）画出到线段AB距离为2厘米的平行线。 （3）在AB的平行线上找一点P，使∠ABP＝90°。 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（）先画一个点，用直尺的0刻度和这点重合，然后在直尺上找5厘米的刻度，点上点，然后过这两点画线段AB即可。 （）三角板一条直角边依旧贴合线段AB，直尺紧靠三角板另一条直角边固定； 沿着直尺向上平移三角板，使三角板和线段AB的距离为厘米时停止， 沿该直角边画出直线，这条直线就是线段AB距离为2厘米的平行线。 （）使量角器的中心和射线的端点B重合，零刻度线和射线BA重合，在量角器上的地方点一个点，使这个点在平行线上，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 27．按要求在下面的方格上画图形。 （1）边长是4厘米的正方形。 （2）长是6厘米，且长是宽的2倍的长方形。 【答案】（1） （2） 【分析】画正方形：如果要画边长4厘米的正方形，那么横向、纵向都占4个小方格的边长，四条边长度相等且相邻边垂直。 画长方形：根据长是宽的2倍，用长的长度除以2计算出宽的长度，再对应确定长方形长和宽分别占的方格数，保证对边相等且相邻边垂直。 【解答】（1）略 （2）宽为：6÷2＝3（厘米） 28．按要求画一画。 （1）在下面左边的点子图上分别画出一个锐角和一个直角。 （2）在下面右边的点子图上按照提示画一个长方形和一个更大的钝角。 【答案】（1） （2） 【分析】锐角：小于90°的角；直角：90°的角；钝角：大于90°小于180°的角。 长方形：对边相等的四边形；画一个更大的钝角：在图中画一个开口更大，角度更大的角即可。 【解答】（1） （2） 四、解答题 29．小美的爸爸是一名工程师，他设计的大桥很美观（如图）。请用你学过的知识分析一下桥梁为什么要设计成平行线？ 【答案】因为平行线间的距离处处相等，所以桥梁要设计成平行线。 【分析】平行线是指在同一平面内永不相交的两条直线，平行线间的距离处处相等，像画格子一样，保证桥面宽度不变，车开起来较稳，同时桥架形成三角形，利用三角形的稳定性让大桥更牢固，据此解答。 【解答】根据分析：因为平行线间的距离处处相等，让路更平，使车开起来较稳，所以桥梁要设计成平行线。 30．把一张长方形纸如下图这样折起来，折痕AB和折痕AC是什么位置关系？ 【答案】互相垂直 【分析】图形对折后得到的两个角相等。正方形和长方形的每个角都是直角。左边两个角是由一个正方形对折后形成的两个角相等都是45度，右边两个角是由长方形的一个角对折平分形成的都是45度，∠BAC＝45＋45＝90（度），互相垂直是指两条直线相交形成直角，那么∠BAC的两边BA和AC形成了直角，据此判断。 【解答】∠BAC＝45＋45＝90（度） 答：折痕AB和折痕AC是互相垂直的关系。 31．练习投掷沙包时，同学们站在起掷线后原地投掷。沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。如图是小江、小华、小军、小力投掷沙包的示意图，（    ）的成绩最好。请用画平行线或画垂线的方法解答。 【答案】图见详解；小军 【分析】画垂线的方法：比较出谁的落地点到起掷线的垂线距离最长，谁的成绩就最好；过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线； 画平行线的方法：画一条与起掷线平行的直线，让它刚好经过沙包落地点，哪条平行线离起掷线越远，对应的成绩就越好。 【解答】如图： 观察发现小军投掷沙包的落地点到起掷线的垂线距离最长，小军的沙包落地点所在的平行线，距离起掷线最远，所以小军的成绩最好。 32．李奶奶有一个长36米、宽17米的长方形菜园。如果菜园的长不变，要把它扩建成正方形，菜园的宽要增加多少米？ 【答案】19米 【分析】长方形对边长度相等，正方形4条边长度相等；菜园的长不变，要把它扩建成正方形，只需把长方形菜园的宽增加到和长相等，所以计算出长方形菜园的长与宽的差，即可求出菜园的宽要增加的长度。 【解答】36－17＝19（米） 答：菜园的宽要增加19米。 33．如图是两个部分重叠的长方形，如果，求的度数。 【答案】 【分析】长方形的角是直角，所以∠2＋∠3＝90°，已知∠1＋∠2＋∠3＝110°，用总和减去∠2与∠3的和就能求出∠1。 【解答】110°－90°＝20° 答：∠1的度数是20°。 34．如下图，把一张正方形纸沿虚线对折，则折痕（图中的虚线）与正方形的边和一个顶点组成了∠1，∠2，你知道∠1等于多少度吗？ 【答案】45° 【分析】正方形四个角都是直角，是，沿对角线对折，把直角平均分成两份，据此求出其中一份即可解答。 【解答】因为、，所以 答：∠1等于 35．把一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸板，剪成4个相同的小长方形，想一想有哪些不同的剪法？在图中画一画，并算出每种剪法中的小长方形的周长。         【答案】图见详解； 第一种剪法：28厘米； 第二种剪法：22厘米； 第三种剪法：20厘米； 【分析】可以拿出一张长方形彩纸动手折一折，看看你能找到几种折法。如果我们沿长边开始对折，再对折，再沿折痕剪开就得出第一种剪法；观察图形可知，每个小长方形的长是12厘米，宽是8÷4＝2（厘米），根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，即可算出小长方形的周长。 如果我们沿短边开始对折，再对折，再沿折痕剪开，就得到了第二种剪法；观察图形可知，每个小长方形的宽是8厘米，长是12÷4＝3（厘米），同理可算出小长方形的周长。 如果我们先沿长边开始对折，然后横过来再沿短边对折，再沿折痕剪开，就得到了第三种剪法；观察图形可知，小长方形的长是12÷2＝6（厘米），宽是8÷2＝4（厘米），同理可算出小长方形的周长。 【解答】 第一种剪法： （12＋8÷4）×2 ＝（12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） 第二种剪法： （8＋12÷4）×2 ＝（8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 第三种剪法： （12÷2＋8÷2）×2 ＝（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 答：第一种剪法中小长方形的周长是28厘米；第二种剪法中小长方形的周长是22厘米；第三种剪法中小长方形的周长是20厘米。 36．如图，有4个长都是4厘米，宽都是1厘米的长方形。 （1）如果拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解决） （2）如果拼成一个长方形，那么这个长方形的长是多少厘米？宽是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解决） 【答案】（1）画图见详解；4厘米 （2）画图见详解；长8厘米、宽2厘米或者长16厘米、宽1厘米 【分析】（1）因为宽是1厘米，长是4厘米，可以如下图拼成正方形： ，边长是4厘米； （2）如果拼成一个长方形，有两种不同拼法，第一种如图： ，长为4×2厘米，宽为1×2厘米； 第二种如图： ，长为4×4厘米，宽为1厘米。 【解答】 （1），正方形边长为4厘米； （2）有两种不同拼法，第一种： 4×2＝8（厘米） 1×2＝2（厘米） 第二种： 4×4＝16（厘米） 答：如果拼成一个长方形，长方形的长为8厘米，宽为2厘米或者长为16厘米，宽为1厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 三年级数学暑假专项提升 专题05 长方形和正方形 知识点一：相交与平行 1、认识平行线。 同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。因此同一平面内的两条直线不相交就一定平行。 2、画平行线。 用直尺和三角尺画平行线时，牢记“固定三角尺，画直线”“紧靠三角尺，固定直尺，平移三角尺”。 3、认识垂直。 两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。 4、画垂线。 画两条互相垂直的直线的方法很多，可在方格纸上画，也可以用量角器画，还可以用直尺和 三角尺画。 5、点到直线的距离。 （1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到这条直线的距离。 （2）从直线外一点向已知直线所作的几条线段中，垂直线段最短。 知识点二：长方形和正方形 1、长方形有四条边，对边相等；有四个角，都是直角。 2、正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 3、通常把长方形长边的长叫作长，短边的长叫作宽；正方形每条边的长叫作边长。 生活中的长方形和正方形：像教室黑板的面、讲桌的面、课桌的面、国旗的面等都是长方形，像开关盒的面、地板砖的面等都是正方形。 4、长方形和正方形的比较。 相同点：都有四个角，而且每个角都是直角。 不同点：长方形只是对边相等，而正方形的每条边都相等。 长方形是对边相等且四个角都是直角的四边形，正方形是四条边都相等且四个角都是直角的四边形，因此正方形是特殊的长方形。 5、画长方形或正方形。 （1）画长方形。 方法一：利用垂线 画长：用直尺画一条指定长度的线段（如8厘米），作为长方形的长。 画垂线：将三角板的直角边与长对齐，沿另一条直角边画两条垂直线段，长度等于宽（如5厘米）。 确保垂线与长垂直，且长度准确。 连接端点：用直尺连接两条垂线的另一端，形成长方形的另一条长。 标记：标出直角符号和长、宽的数据。 方法二：利用平行线 画平行线：用直尺和三角板画一组平行线，间距等于宽（如5厘米）。 截取长：在一条平行线上量取指定长度（如8厘米），标记两点。 画垂线：从这两点向另一条平行线画垂线，形成长方形的两条宽。 连接端点：连接垂线的端点，完成长方形。 （2）画正方形。 方法一：利用垂线 画边长：用直尺画一条指定长度的线段（如6厘米），作为正方形的一条边。 画垂线： 将三角板的直角边与边长对齐，沿另一条直角边画两条垂直线段，长度等于边长（如6厘米）。 确保垂线与边长垂直，且长度准确。 连接端点：用直尺连接两条垂线的另一端，形成正方形的另一条边。 标记：标出直角符号和边长数据。 方法二：利用平行线 画平行线：用直尺和三角板画一组平行线，间距等于边长（如6厘米）。 截取边长：在一条平行线上量取指定长度（如6厘米），标记两点。 画垂线：从这两点向另一条平行线画垂线，形成正方形的两条边。 连接端点：连接垂线的端点，完成正方形。 易错点1：相交与垂直概念混淆。 【典例1】判断：两条直线相交，它们的夹角一定是直角。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】混淆了“相交”和“垂直”的概念 相交：两条直线有一个公共点。垂直：两条直线相交成直角（是相交的特殊情况），所有垂直的线都相交，但相交的线不一定垂直。 【正确解答】错误 易错点2：平行线概念理解错误。 【典例2】判断：永不相交的两条直线叫做平行线。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】平行线的完整定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。 必须强调“在同一平面内”，在立体空间中，不相交的直线可能是异面直线，不是平行线。 【正确解答】错误 易错点3：长方形和正方形特征混淆。 【典例3】判断：正方形的四条边都相等，所以长方形不是正方形。（ ） 【错误答案】错误 【错解分析】正方形的特征：四条边相等，四个角都是直角 长方形的特征：对边相等，四个角都是直角 当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形 正方形是特殊的长方形。本题对于长方形和正方形的特征理解混淆。 【正确解答】正确 易错点4：解决图形的拼组或分割类型题错误。 【典例4】下图中有几个长方形？ 【错误答案】4个 【错解分析】只数了单个的小长方形，漏数了由多个小长方形组成的大长方形。 分类计数： 小长方形：4个 由2个小长方形组成：4个（横2个，竖2个） 大长方形：1个 总共：4+4+1=9个 【正确解答】9个 一、选择题 1．将一张长方形纸对折两次后展开，折痕间的关系不可能是（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．既不平行也不垂直 D．无法确定 2．下面各组线中，既有互相垂直的线，又有互相平行的线的是（    ）。 A． B． C． D． 3．小明家正在装修新房，工人叔叔用一根系着重锤的绳子（也就是重锤线）来检查墙面是否合格。重锤静止时，重锤线会沿着竖直方向下垂。如果一面墙与重锤线是平行的，那么这面墙与地面的关系是（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法判断 4．如下图，妈妈在墙上挂了一幅装饰画，她量得a、b两条线的长度都为120cm，此时画框底边和地面的墙角线c的关系是（    ）。 A．互相平行 B．相交 C．互相垂直 D．以上都不对 5．直线外一点O和这条直线上的3个点分别相连，画出3条线段，它们的长是13厘米，14厘米和15厘米，其中有一条线段和这条直线垂直，则点O到直线的距离是（    ）厘米。 A．13 B．14 C．15 D．无法确定 6．在同一平面内，与一条直线平行且相距2厘米的直线有（    ）条。 A．无数 B．3 C．2 D．1 7．用18个边长是3厘米的小正方形拼长方形，有（    ）种不同的拼法。 A．1 B．2 C．3 D．4 8．小丁丁准备用两个完全相同的多连块拼成一个长方形，下面不可能拼成长方形的多连块是（    ）。 A． B． C． D． 9．数一数共有（    ）个长方形。 A．4 B．5 C．8 D．10 10．小丁准备沿长方形相框一周贴上花边，下面4条花边按记号处折后能围出一个长方形的是（    ）。 A． B． C． D． 11．下图中一共有（    ）个正方形。 A．16 B．24 C．30 D．32 12．摆两个正方形，至少需要（    ）根同样长的小棒。 A．8 B．7 C．9 D．6 二、填空题 13．如图，直线a与直线b互相（ ）；直线a与直线c互相（ ）。图中共有（ ）组平行线。 14．看一看，填一填。 上图有（ ）组平行线，有（ ）组垂线。 15．下面左图中，直线①与②互相_____，∠1＝_____°，∠2＝_____°。右图中一共有_____个角。              16．兰兰、亮亮和彤彤约好16：30到公园散步，三位同学家和公园位置如图。如果他们走路的速度相同，（ ）应该最早出发，（ ）可以最晚出发。 17．过直线外一点画已知直线的平行线，可以画（ ）条，两条平行线间可以画（ ）条垂直线段，这些线段的长度都（ ）。 18．依依家到公路有三条笔直的小路，长度分别是270米，210米，150米，其中有一条小路与公路是互相垂直的，这条小路的长度是（ ）米。 19．两组平行线中间组成一个长方形（如图），点O在长方形的正中间，如果点O到直线a的距离是5厘米，到直线c的距离是7厘米，那么这个长方形的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。 20．下图中两根铁丝分别沿各自的折痕弯折，可以围成正方形或长方形，（ ）围成的是正方形，（ ）围成的是长方形（填序号）。 21．如图，将一副三角尺放在一张长方形纸上，则∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 22．用两个长10厘米，宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形长（    ）厘米，宽（    ）厘米或者长（    ）厘米，宽（    ）厘米。（在下面空白处画出示意图） 23．欣欣在画一个长7厘米、宽5厘米的长方形。 第一步：画出一条长（ ）厘米的线段作为长方形的长。 第二步：分别以画出线段的两个端点为垂足，向同一方向画两条长为（ ）厘米且与这条线段（ ）的线段，作为长方形的（ ）。 第三步：把这两条线段的另外两个端点连接起来。 第一步：画出一条长7厘米的线段作为长方形的长。 第二步：分别以画出线段的两个端点为垂足，向同一方向画两条长为5厘米且与这条线段垂直的线段，作为长方形的宽。 第三步：把这两条线段的另外两个端点连接起来。 24．选择下面的小棒（每根不能折断），摆出长方形和正方形。 （1）选择（ ）根（ ）厘米的小棒就能摆出一个正方形。 （2）选择（ ）根（ ）厘米和（ ）根（ ）厘米的小棒，就能摆出一个长方形。 三、作图题 25．画出超市到公路的最近路线。 26．作图题。（在右边空白处作图） （1）画一条长5厘米的线段AB。 （2）画出到线段AB距离为2厘米的平行线。 （3）在AB的平行线上找一点P，使∠ABP＝90°。 27．按要求在下面的方格上画图形。 （1）边长是4厘米的正方形。 （2）长是6厘米，且长是宽的2倍的长方形。 28．按要求画一画。 （1）在下面左边的点子图上分别画出一个锐角和一个直角。 （2）在下面右边的点子图上按照提示画一个长方形和一个更大的钝角。 四、解答题 29．小美的爸爸是一名工程师，他设计的大桥很美观（如图）。请用你学过的知识分析一下桥梁为什么要设计成平行线？ 30．把一张长方形纸如下图这样折起来，折痕AB和折痕AC是什么位置关系？ 31．练习投掷沙包时，同学们站在起掷线后原地投掷。沙包落地点到起掷线的距离为同学们的成绩。如图是小江、小华、小军、小力投掷沙包的示意图，（    ）的成绩最好。请用画平行线或画垂线的方法解答。 32．李奶奶有一个长36米、宽17米的长方形菜园。如果菜园的长不变，要把它扩建成正方形，菜园的宽要增加多少米？ 33．如图是两个部分重叠的长方形，如果，求的度数。 34．如下图，把一张正方形纸沿虚线对折，则折痕（图中的虚线）与正方形的边和一个顶点组成了∠1，∠2，你知道∠1等于多少度吗？ 35．把一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸板，剪成4个相同的小长方形，想一想有哪些不同的剪法？在图中画一画，并算出每种剪法中的小长方形的周长。         36．如图，有4个长都是4厘米，宽都是1厘米的长方形。 （1）如果拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解决） （2）如果拼成一个长方形，那么这个长方形的长是多少厘米？宽是多少厘米？（如果遇到困难，可以通过画图帮助解决） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $