专题05 运算律（专项训练）四升五年级数学暑假专项提升（苏教版）

**基本信息** 以运算律系统梳理为核心，通过定义-字母表示-应用拓展的逻辑链条，结合易错点深度剖析与方法提炼，构建从概念理解到综合应用的完整训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|2大知识点+应用方法|加法/乘法交换律、结合律、分配律定义与字母表示，凑整法、建模法|从加法到乘法运算律递进，定义到字母表示再到简便计算应用| |易错点剖析|5个典例（含交换律结合律混淆等）|避坑指南（如分配律需完整展开、连乘与乘加区分）|针对核心混淆点，揭示错误本质与避免策略| |综合应用|选择10+填空10+计算2+解答14|运算律灵活运用（如拆分凑整、逆向分配）|覆盖选择、填空、计算、解决问题，强化模型意识与应用能力|

编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 四年级数学暑假专项提升 专题05 运算律 知识点一：加法运算律 1、加法交换律 （1）定义：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。 （2）用字母表示：a+b=b+a 2、加法结合律 （1）定义：三个数相加，先把前两个数相加，再和第三个数相加，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变。 （2）用字母表示：（a+b）+c=a+（b+c） 3、应用加法运算律进行简便计算 （1）计算连加时，先观察哪两个数或哪几个数相加可以凑成整十、整百、整千……数，然后运用加法运算律，可以使计算简便。 （2）运用“凑整”法解决连加算式的简便问题： 连加的简算方法一般离不开“凑整”法，“凑整”法是指把相加的数凑成整十、整百、整千……数，在这个过程中可以调换加数的位置，有时还可以把某个数拆成整十、整百、整千……数加减另一个数的形式。 知识点二：乘法运算律及解决问题 1、乘法交换律 （1）定义：两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。 （2）用字母表示：a×b=b×a 2、乘法结合律 （1）定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，积不变。 （2）用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。 3、运用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算 在连乘算式中，当某两个乘数的积正好是整十、整百、整千……数时，运用乘法交换律或乘法结合律先把这两个数相乘，能使计算简便。 4、定义：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加（或相减）。 5、用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c-b×c。 6、乘法分配律简便计算 （1）两个数相乘，如果有一个乘数接近整百数，可将其转化成整百数加或减一个数的形式，再运用乘法分配律进行计算，可使计算简便。 （2）运用乘法分配律进行简算时，要注意拆分形式为（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c-b×c。 7、解决问题之前，可以先画图或列表理清题目的已知条件和问题，再从不同的角度去思考，就会得到不同的解题方法。 8、运用观察法解决乘除混合运算中的简算问题： 在乘除混合运算中，如果算式中没有括号，移动各数的位置时，要把数前面的运算符号一起移动。 9、运用“建模”法解决复杂的简算问题。 在乘加、乘减算式中，找出相同的乘数，巧用乘法分配律是解答此题的关键。 易错点1：加法交换律和结合律混淆。 【典例1】判断:21+67+79=67+( 21+79)只应用了加法结合律。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】既运用了加法交换律,又运用了加法结合律。 【正确答案】错误 易错点2：运用加法运算定律计算时错误运用。 【典例2】计算：978+301 【错误答案】 978+301 =978+300+1 =1278 【错解分析】应用加法运算律进行简算时,漏掉分解出的数。 【正确答案】 978+301 =978+300+1 =1278+1 =1279 易错点3：乘法结合律和交换律混淆。 【典例3】计算：125×17+8 【错误答案】 125×17+8 =125×8+17 =1000+17 =1017 【错解分析】125×17+8不是三个数连乘的形式,计算时不能将125与8相乘。 【正确答案】 125×17+8 =2125+8 =2133 易错点4：运用乘法运算定律计算时错误运用。 【典例4】计算：45×(10+2) 【错误答案】 45×(10+2) =45×10+2 =450+2 =452 【错解分析】没有正确理解乘法分配律。10和2应分别与45相乘后,再相加。 【正确答案】 45×(10+2) =45×10+45×2 =450+90 =540 易错点5：相遇问题理解错误。 【典例5】蒋老师和儿子沿学校操场的环形跑道行走,他们从同一地点同时出发,向反方向走去,一段时间后,两人会相遇吗? 【错误答案】答:不会相遇。 【错解分析】从同一地点同时出发,如果两人是在直路上向相反方向行走,就不会相遇,但在环形跑道上向相反方向行走就会相遇。 【正确答案】会相遇。 一、选择题 1．下面计算或说法错误的是（    ）。 A．43×12＝43×10×2 B．（64＋56）÷8＝64÷8＋56÷8 C．99×53＝53×100－53运用了乘法分配律 D．25＋77＋75＝77＋（25＋75）运用了加法结合律和加法交换律 【答案】A 【分析】选项A是错误的，43×10×2＝860不等于43×12＝516，原式应为43×（10＋2）； 选项B正确运用了除法对加法的分配性质； 选项C将99看作 （100－1） 展开，正确运用了乘法分配律； 选项D既交换了加数的位置（交换律）又改变了运算顺序（结合律），说法也是正确的。 【解答】A．计算43×12时，可以把12分成4×3，先算43×4，然后再乘3。原题干计算错误。 B．计算（64＋56）÷8时，先算括号里面的加法，再算括号外面的除法，计算64÷8＋56÷8时，先算除法再算加法，然后再比较大小。原题干计算正确。 C．计算99×53时运用乘法分配律，把99看作100－1，分别与53相乘后，再把所得的积相减。原题干计算正确。 D．计算25＋77＋75＝77＋（25＋75），交换了加数的位置，并且把25＋75结合在一起先计算，运用了加法结合律和加法交换律。原题干计算正确。 2．计算：9＋97＋997＋99997＝（    ）。 A．111000 B．101000 C．101100 D．999999 【答案】C 【分析】观察算式中各个加数的特征，发现9接近10，97接近100，997接近1000，99997接近100000。采用凑整的方法进行简便计算。将每个加数转化为整十、整百、整千或整万数减去一个较小的数，再利用加法交换律和结合律，先计算整数的和，再减去多算的部分，用减法的性质进行计算，从而得出结果。 【解答】9＋97＋997＋99997 ＝（10－1）＋（100－3）＋（1000－3）＋（100000－3） ＝（10＋100＋1000＋100000）－（1＋3＋3＋3） ＝（110＋1000＋100000）－（7＋3） ＝（1110＋100000）－10 ＝101110－10 ＝101100 计算：9＋97＋997＋99997＝101100。 3．下面情况不能使用简便计算的是（    ）。 A． B． C．3600－428－572 D． 【答案】A 【分析】判断各选项是否能通过运算定律（如乘法结合律、减法的性质、乘法分配律）进行简便计算。 【解答】A．根据除法的运算规则，除法没有分配律，180÷（9＋18）需先算括号内的加法，再算除法，不能使用简便计算。 B．可将72拆分为8×9，利用乘法结合律：变式为（125×8）×9进行计算，故能使用简便计算。 C．3600－428－572根据减法的性质变式为3600－（428＋572）进行计算，故能简便计算。 D．利用乘法分配律变式为25×（27－3）进行计算，故能简便计算。 4．下列算式中，与算式125×25×32的计算结果相同的是（    ）。 A．125×8＋25×4 B．125×8×25＋4 C．125×8×25×4 D．（125＋25）×8×4 【答案】C 【分析】将32拆分成8×4，算式变成125×25×8×4，先利用乘法交换律，交换25和8的位置，再利用乘法结合律进行简算，据此与各选项对比，即可解答。 【解答】125×25×32 ＝125×25×8×4 ＝125×8×25×4 A．125×8＋25×4，运算符号由乘号变为加号，与原式结果不相同，此选项错误； B．125×8×25＋4，最后一步运算由乘4变为加4，与原式结果不相同，此选项错误； C．125×8×25×4，与原式利用乘法运算律变形后的算式一致，结果相同，此选项正确； D．（125＋25）×8×4，125与25之间的运算由乘号变为加号，与原式结果不相同，此选项错误。 5．一个计算器的按键“7”坏了，计算“76×35”时奇奇用了下面四种不同的输入方法，与“76×35”结果不相等的是（    ）。 A．100×35－24×35 B．60×35＋16×35 C．19×4×35 D．19×35＋4×35 【答案】D 【分析】本题考查乘法运算律（分配律、结合律）的灵活运用，需判断四个选项中哪一个不能等价转换为76×35。 【解答】A．100×35－24×35，提取公因数35，得（100－24）×35＝76×35 ；所以不符合题意； B．60×35＋16×35，提取公因数35，得（60＋16）×35＝76×35 ；所以不符合题意； C．19×4×35，乘法结合律：（19×4）×35＝76×35；所以不符合题意； D．19×35＋4×35，提取公因数35，得（19＋4）×35＝23×35≠76×35；所以符合题意。 6．计算25×41时，小东是这样25×41＝25×（40＋1）＝25×40＋25计算的，这样算的依据是（    ）。 A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】根据小东的计算方法可知：先把41看作40＋1，用25乘40与1的和，等于25分别与后两个数相乘，再把它们的积相加；符合乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把它们的积相加。据此解答。 【解答】25×41 ＝25×（40＋1） ＝25×40＋25×1 ＝1000＋25 ＝1025 计算25×41时，小东是这样25×41＝25×（40＋1）＝25×40＋25计算的，这样算的依据是乘法分配律。 7．计算器上的数字键“4”坏了，小明要计算6192÷24，可以用下面的算式（    ）来代替。 A．6192÷12÷12 B．6192÷22÷2 C．6192÷12÷2 D．6192÷12×2 【答案】C 【分析】根据计算器数字键“4”坏了这一条件，寻找不含数字“4”的替代算式。利用除法的运算性质，将一个数除以两个数的积，转化为这个数连续除以这两个数，即。将除数24拆分成两个不含数字“4”的因数，即可找到正确的算式。 【解答】计算器上数字键“4”坏了，所以替代算式中不能出现数字“4”。将除数24分解因数，，其中12和2都不含数字“4”。根据除法的运算性质：一个数除以两个数的积，等于这个数连续除以这两个数。所以，。 8．如图，一辆客车和一辆货车分别同时从城市A、城市B出发，相向而行，客车的速度是120千米/时，货车的速度是100千米/时，它们的相遇地点应该大约在（    ）。 A．m点处 B．n点处 C．o点处 D．无法确定 【答案】B 【分析】由题意得，一辆客车和一辆货车分别同时从城市A、城市B出发，相向而行，它们会在某个位置相遇。相遇时，两个车行驶的时间相同。客车的速度是120千米/时，货车的速度是100千米/时，即客车的速度比货车的速度快，那么客车行驶的路程应该比货车多。据此解答。 【解答】由分析得，两车相遇时，客车行驶的路程应该比货车多，所以它们的相遇地点应该在n点处。 故答案为：B 9．计算44×25时，运用乘法分配律正确的是（    ）。 A．11×（4×25） B．44×100÷4 C．40×25＋4×25 D．40＋4×25 【答案】C 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 【解答】A．11×（4×25），把原式中44看成11×4，再利用乘法结合律简算，与题意不符； B．44×100÷4，把原式中25看成100÷4，再计算，没有运用乘法分配律，与题意不符； C．40×25＋4×25，把原式中44看成40＋4，再利用乘法分配律简算，与题意相符； D．40＋4×25，根据乘法分配律，正确的写法应该是（40＋4）×25＝40×25＋4×25，而该选项少了括号，运算顺序就错了，所以不符合乘法分配律。 10．小林将8×（－2）算成8×－2，他的答案比正确答案多（    ）。 A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律。算式中带括号时，需要用括号外的数分别乘括号里的两个数，再相减。小林漏乘了“8×2”这一步，导致两个算式的计算结果产生差异。 【解答】1. 正确算式展开： 8×（□－2） ＝8×□－8×2 ＝8×□－16 2. 错误算式： 8×□－2 3. 计算两个算式的差： （8×□－2）－（8×□－16） ＝8×□－2－8×□＋16 ＝14 所以他的答案比正确答案多14。 二、填空题 11．39＋87＝87＋39应用了（ ）律；（A＋32）＋168＝A＋（32＋168）应用了（ ）律。 【答案】 加法交换 加法结合 【分析】加法交换律的定义是：两个数相加，交换加数的位置，和不变。题中交换了39和87的位置，和不变，符合加法交换律。加法结合律的定义是：三个数相加，先算前两个数相加，或是先算后两个数相加，和不变。题中改变了计算顺序，先算后两个数32＋168，和不变，符合加法结合律。 【解答】39＋87＝87＋39应用了加法交换律；（A＋32）＋168＝A＋（32＋168）应用了加法结合律。 12．淘气和笑笑从相距1800米的两地同时步行出发，相向而行，淘气步行的速度是70米/分，笑笑步行的速度是50米/分，出发10分钟后，两人相距（ ）米。 【答案】 【分析】根据速度和乘时间求出已经走的路程，再用总路程减去已经走的路程等于两人相距的路程。 【解答】 （米） 两人相距米。 13．在计算125×88这道算式时，将原式变成（ ）或（ ）可使得计算更简便。 【答案】 125×8×11 125×（8＋80） 【分析】在计算125×88时，把88看作8×11，运用乘法结合律计算，使计算简便，也可以把88看作8＋80，运用乘法分配律计算简便。 【解答】在计算125×88这道算式时，将原式变成125×8×11或125×（8＋80）可使得计算更简便。 14．小明在用计算器计算□□□×44时，少按了一个4，显示得数是2100，比正确得数少了（ ）。 【答案】21000 【分析】根据乘法结合律：a×（c×b）＝a×c×b，□□□×44＝□□□×（4×11）＝□□□×4×11，将乘数44转化为4×11，如果少按一个4，后面可以通过乘11得到正确的答案，再减去2100，就是比正确结果少了多少，据此解答。 【解答】□□□×44 ＝□□□×（4×11） ＝□□□×4×11 2100×11＝23100 23100－2100＝21000 15．如果□＋△＝30，那么（□＋56）＋△＝（ ），22×□＋22×△＝（ ）。 【答案】 86 660 【分析】根据加法交换律和加法结合律，（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 根据乘法分配律，（a＋b）×c＝a×c＋b×c，据此解答。 【解答】（1）因为□＋△＝30，所以（□＋56）＋△ ＝（□＋△）＋56 ＝30＋56 ＝86 （2）因为□＋△＝30，22×□＋22×△ ＝（□＋△）×22 ＝30×22 ＝660 16．如果A＋B＝480，那么A＋（B＋320）＝（ ）；（A＋25）＋B＝（ ）。 【答案】 800 505 【分析】利用加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），将A＋（B＋320）变成（A＋B）＋320，再将A＋B＝480代入进去可计算； 利用加法交换律：a＋b＝b＋a和加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），将算式变成（A＋B）＋25，再将A＋B＝480代入进去可计算。 【解答】A＋（B＋320） ＝（A＋B）＋320 ＝480＋320 ＝800 （A＋25）＋B ＝ A＋25＋B ＝ （A＋B）＋25 ＝480＋25 ＝505 17．“双十一”期间，百货商场进行促销活动。一款电脑原价3888元，现在每台降价288元，会员在此基础上再降价212元。刘叔叔是该商场的会员，他买一台这款电脑，实际花了（ ）元。 【答案】3388 【分析】这款电脑的原价减去降价的288元，再减去会员降价的212元，即可算出刘叔叔实际花了（3888－288－212）元。计算时运用减法的性质进行简算。 【解答】3888－288－212 ＝3888－（288＋212） ＝3888－500 ＝3388（元） 刘叔叔买一台这款电脑，实际花了3388元。 18．老君山位于洛阳市栾川县，不仅是道教文化的重要发源地，还拥有壮丽的自然景观，被誉为“天下无双圣境，世界第一仙山。”某旅行社组织游客去老君山游玩，一共分成2个组，每组租了7辆车，每辆车坐25名游客。该旅行社一共组织（ ）名游客去老君山游玩。 【答案】350 【分析】根据题意，先用每辆车的坐的人数乘每组租的辆数，求出每组有多少人，再乘分成的组数，即可求出该旅行社一共组织多少名游客，可以利用乘法交换律简便计算。 【解答】25×7×2 ＝25×2×7 ＝50×7 ＝350（名） 19．用计算器计算“235×49”时，发现键“4”坏了。如果还用这个计算器，你会怎样计算？请写出综合算式：（ ）。（不计算） 【答案】235×7×7 【分析】根据乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c）将49拆成2个不含数字4的因数相乘，即49＝7×7，原算式235×49＝235×7×7，据此即可解答。 【解答】235×49＝235×7×7（答案不唯一） 20．丽丽由于粗心，在计算60×△＋8时，把算式看成了60×（△＋8），她得到的结果与正确的结果相差（ ）。 【答案】472 【分析】正确的算式结果60×△＋8＝60△＋8 丽丽看错后的算式结果，根据乘法分配律展开：60×（△＋8）＝60△＋60×8＝60△＋480；计算两者的差即可。 【解答】60×△＋8＝60△＋8 60×（△＋8） ＝60△＋60×8 ＝60△＋480 （60△＋480）－（60△＋8） ＝480－8 ＝472 因此她得到的结果和正确结果相差472。 三、计算题 21．怎样简便就怎样算。 147－（169—53）        2400÷4÷25       [372－（152－86）]÷17   360÷（70－4×16）       79×99＋79        104×[（283＋267）÷25] 【答案】31；24；18； 60；7900；2288 【分析】四则混合运算顺序：算式里，只有加减法或只有乘除法，按照从左往右的顺序计算；既有加减法又有乘除法，先算乘除法，再算加减法；有括号的要先算括号里面的。 除法的性质：一个数连续除以两个数等于这个数除以这两个数的积。 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘等于这两个数与这个数分别相乘再相加。 【解答】 22．用简便方法计算。 802－125－275        25×32×125         75×123＋123×25 450÷5÷2            102×45             99×16＋16 【答案】 402；100000；12300； 45；4590；1600 【分析】（1）根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：802－（125＋275），再进行计算。 （2）先把32改写成4×8，根据乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：25×4×（8×125），再进行计算。 （3）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：（75＋25）×123，再进行计算。 （4）根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），变算式为：450÷（5×2），再进行计算 （5）先把102改写成100＋2，根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：100×45＋2×45，再进行计算。 （6）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：（99＋1）×16，再进行计算。 【解答】802－125－275 ＝802－（125＋275） ＝802－400 ＝402 25×32×125 ＝25×4×8×125 ＝25×4×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 75×123＋123×25 ＝（75＋25）×123 ＝100×123 ＝12300   450÷5÷2 ＝450÷（5×2） ＝450÷10 ＝45 102×45 ＝（100＋2）×45 ＝ 100×45＋2×45 ＝4500＋90 ＝4590 99×16＋16 ＝（99＋1）×16 ＝100×16 ＝1600 四、解答题 23．布老虎是潍坊具有浓郁地方特色和文化内涵的传统手工艺品。某团队接了制作布老虎的订单，第一天上午完成了128个，下午完成了216个，第二天上午完成了184个，下午完成了272个，他们两天一共完成了多少个布老虎？ 【答案】800个 【分析】求两天一共完成的数量，就是把第一天上午、下午和第二天上午、下午完成的数量合起来，用加法计算。观察算式中四个加数的特点，128和 272相加能凑成整百数，216和184相加也能凑成整百数.根据加法交换律和加法结合律，交换加数的位置并改变运算顺序，可以使计算简便。 【解答】128＋216＋184＋272 ＝（128＋272）＋（216＋184） ＝400＋400 ＝800（个） 答：他们两天一共完成了800个布老虎。 24．某服装厂四月份生产了378套服装，五月份生产了446套服装，六月份生产的比四、五月份生产的总数量还多122套。六月份生产了多少套服装？ 【答案】946套 【分析】某服装厂四月份生产了378套服装，五月份生产了446套服装，据此用加法先算出四、五月份生产的总数量；又已知六月份生产的比四、五月份生产的总数量还多122套，则用加法即可求出六月份生产的服装套数。计算时根据加法交换律进行计算即可。据此解答。 【解答】378＋446＋122 ＝378＋122＋446 ＝500＋446 ＝946（套） 答：六月份生产了946套服。 25．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值。某垃圾处理厂上个月处理可回收物625千克、厨余垃圾278千克、有害垃圾222千克、其他垃圾375千克，该处理厂上个月一共处理多少千克垃圾？ 【答案】1500 千克 【分析】根据题意，求一共处理多少千克垃圾，就是把四种垃圾的质量合起来，用加法计算。观察数据发现，625与375相加能凑成整千数，278与222相加能凑成整百数，利用加法交换律和加法结合律进行简便计算。 【解答】根据分析，列式如下： （千克） 答：该处理厂上个月一共处理1500千克垃圾。 26．“618”购物节，某商店一台扫地机器人降价218元，前100名消费者再减155元。小红家第一个参加了这个活动，以845元的价格买下了这台扫地机器人，这台扫地机器人原价是多少元？ 【答案】1218元 【分析】845元的价格买下了这台扫地机器人是现价，原价先降价218元，前100名消费者再减155元（第一个属于这个范围），所以现价＋155元＋218元＝原价。列式为845＋218＋155，先交换218和155的位置，再利用加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）把845与155结合，变为（845＋155）＋218简算，据此解答。 【解答】845＋218＋155 ＝（845＋155）＋218 ＝1000＋218 ＝1218（元） 答：这台扫地机器人原价是1218元。 27．阅读对青少年的健康成长至关重要，为了增加学生的课外阅读量，拓展知识面，某小学开展了“打造书香校园”活动，小华计划看一本602页的《太阳的味道》，第一周看了145页，第二周看了155页，还剩多少页没有看？（用简便方法计算） 【答案】302页 【分析】用602页依次减去第一周看了145页，再减去第二周看了155页，即为所求，列式为602－145－155，根据减法的性质简算：a－b－c＝a－（b＋c）。 【解答】602－145－155 ＝602－（145＋155） ＝602－300 ＝302（页） 答：还剩302页没有看。 28．周末，妈妈带着1000元预算前往商场购物。在时尚的服饰区，妈妈挑选了一件质感上乘的天丝衬衫，这件天丝衬衫售价346元；随后又在饰品区看中一条项链，价格为554元，在完成这两笔消费后，妈妈还剩多少钱？ 【答案】100元 【分析】用1000元－天丝衬衫售价346元－一条项链价格为554元＝妈妈还剩多少钱，列式为：1000－346－554，利用减法的性质简算：a－b－c＝a－（b＋c）。 【解答】1000－346－554 ＝1000－（346＋554） ＝1000－900 ＝100（元） 答：妈妈还剩100元。 29．为开展校园劳动种植课，学校采购一批多肉植物花盆。一共运来20箱花盆，每箱有12组，每组包含50个花盆。学校这次采购的花盆一共有多少个？ 【答案】 12000个 【分析】求花盆总个数，花盆箱数×每箱组数×每组花盆个数＝花盆总个数。计算时可根据乘法交换律和结合律进行简便计算。 【解答】20×12×50 ＝12×（20×50） ＝12×1000 ＝12000（个） 答：学校这次采购的花盆一共有12000个。 30．小明有4本集邮册，每本集邮册有25页，每页可放12张邮票，小明买来1000张邮票，如果将邮票插入邮册中，4本集邮册够用吗？ 【答案】够用 【分析】由题意得，小明有4本集邮册，每本集邮册有25页，每页可放12张邮票。可以先用25乘12算出每本集邮册可以放多少张邮票，然后再乘4即可算出4本集邮册一共可以放多少张邮票。最后再与1000比较大小即可。计算时，利用乘法交换律可使计算简便。 【解答】25×12×4 ＝25×4×12 ＝100×12 ＝1200（张） 1200＞1000 答：4本集邮册够用。 31．为增强学生体质，丰富校园生活，光明小学举行阳光大课间队形队列展示活动，共有25个班参加，每班站成4列，每列11人，学校准备为每位参加的同学发一顶太阳帽，准备1000顶够吗？ 【答案】不够 【分析】要判断准备的太阳帽是否够，需要先计算出参加活动的学生总人数。根据题意，总人数等于班级数乘每班列数再乘每列人数。计算出总人数后，与准备的太阳帽数量1000 进行比较，若总人数大于1000，则不够；若总人数小于或等于1000，则够。计算连乘算式时，可利用乘法结合律，先算25乘4使计算简便。 【解答】 （人） 答：准备1000顶不够。 32．学校要为图书馆增添《百科全书》、《趣味数学》两种新书，每种买15套。《百科全书》每套128元，《趣味数学》每套72元，一共要花多少钱？ 【答案】 3000元 【分析】根据数量关系“总价＝单价×数量”，可以先将两种书的单价相加，求出各买1套花费的钱数，再乘购买的套数，即可求出总钱数。这样利用乘法分配律的逆向思维，计算更为简便。 【解答】 （元） 答：一共要花3000元。 33．世界环境日（每年6月5日）是联合国为促进全球环境意识、倡导保护环境设立的重要国际日。实验小学组织有绘画才艺和书法才艺的学生参加世界环境日主题实践活动。绘画团队有12组，每组14人；书法团队也有12组，每组16人。两个团队一共有多少人？ 【答案】360人 【分析】根据题意，求两个团队一共有多少人，可以根据“总人数＝每组人数×组数”先分别求出绘画团队和书法团队的人数，再将两个团队的人数相加即可求得总人数。由于两个团队都是12组，可利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将算式合并为（14＋16）×12，简化计算。 【解答】14×12＋16×12 ＝（14＋16）×12 ＝30×12 ＝360（人） 答：两个团队一共有360人。 34．光明小学四年级学生分成了15个小组，每个小组有6名学生。“品味书香”读书活动期间，他们一共读了810本书，平均每名学生读了多少本书？ 【答案】 9本 【分析】用读书的总数除以小组数求出每个小组读书的本数，再除以每个小组的人数即可求解。 【解答】810÷15÷6 ＝810÷（15×6） ＝810÷90 ＝9（本） 答：平均每名学生读了9本书。 35．甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发，相向而行。甲车每时行75千米，乙车每时行70千米。甲车出发1时后，乙车才出发；乙车出发5时后，两车相遇。两地相距多少千米？ 【答案】800千米 【分析】根据题意，先计算甲出发1小时行驶的路程，即速度×时间＝路程，再算出剩下甲乙行驶5时走到总路程，即行驶时间×速度和＝路程，据此列式即可。 【解答】 （千米） 答：两地相距800千米。 36．小红和小婷每天早晨坚持跑步，小红每秒跑6米，小婷每秒跑4米。 （1）如果她们从长100米的直跑道的两端同时出发，相向而行，多少秒后两人第一次相遇？ （2）如果她们从长200米的环形跑道的同一地点逆时针方向同时出发，多少秒后小红比小婷正好多跑一圈？ 【答案】（1）10秒 （2）100秒 【分析】（1）从直跑道的两端同时出发，相向而行，相遇时两人的路程和就是跑道的长度，先用小红的速度加小婷的速度，求出两人的速度和，再依据相遇时间＝路程÷速度和即可解答； （2）向环形跑道的同一地点逆时针方向同时出发，先用小红的速度减去小婷的速度，求出两人的速度差，再依据追及时间＝路程÷速度差即可解答。 【解答】（1）100÷（6＋4） ＝100÷10 ＝10（秒） 答：10秒后两人第一次相遇。 （2）200÷（6－4） ＝200÷2 ＝100（秒） 答：100秒后小红比小婷正好多跑一圈。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 四年级数学暑假专项提升 专题05 运算律 知识点一：加法运算律 1、加法交换律 （1）定义：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。 （2）用字母表示：a+b=b+a 2、加法结合律 （1）定义：三个数相加，先把前两个数相加，再和第三个数相加，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变。 （2）用字母表示：（a+b）+c=a+（b+c） 3、应用加法运算律进行简便计算 （1）计算连加时，先观察哪两个数或哪几个数相加可以凑成整十、整百、整千……数，然后运用加法运算律，可以使计算简便。 （2）运用“凑整”法解决连加算式的简便问题： 连加的简算方法一般离不开“凑整”法，“凑整”法是指把相加的数凑成整十、整百、整千……数，在这个过程中可以调换加数的位置，有时还可以把某个数拆成整十、整百、整千……数加减另一个数的形式。 知识点二：乘法运算律及解决问题 1、乘法交换律 （1）定义：两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。 （2）用字母表示：a×b=b×a 2、乘法结合律 （1）定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，积不变。 （2）用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。 3、运用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算 在连乘算式中，当某两个乘数的积正好是整十、整百、整千……数时，运用乘法交换律或乘法结合律先把这两个数相乘，能使计算简便。 4、定义：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加（或相减）。 5、用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c-b×c。 6、乘法分配律简便计算 （1）两个数相乘，如果有一个乘数接近整百数，可将其转化成整百数加或减一个数的形式，再运用乘法分配律进行计算，可使计算简便。 （2）运用乘法分配律进行简算时，要注意拆分形式为（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c-b×c。 7、解决问题之前，可以先画图或列表理清题目的已知条件和问题，再从不同的角度去思考，就会得到不同的解题方法。 8、运用观察法解决乘除混合运算中的简算问题： 在乘除混合运算中，如果算式中没有括号，移动各数的位置时，要把数前面的运算符号一起移动。 9、运用“建模”法解决复杂的简算问题。 在乘加、乘减算式中，找出相同的乘数，巧用乘法分配律是解答此题的关键。 易错点1：加法交换律和结合律混淆。 【典例1】判断:21+67+79=67+( 21+79)只应用了加法结合律。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】既运用了加法交换律,又运用了加法结合律。 【正确答案】错误 易错点2：运用加法运算定律计算时错误运用。 【典例2】计算：978+301 【错误答案】 978+301 =978+300+1 =1278 【错解分析】应用加法运算律进行简算时,漏掉分解出的数。 【正确答案】 978+301 =978+300+1 =1278+1 =1279 易错点3：乘法结合律和交换律混淆。 【典例3】计算：125×17+8 【错误答案】 125×17+8 =125×8+17 =1000+17 =1017 【错解分析】125×17+8不是三个数连乘的形式,计算时不能将125与8相乘。 【正确答案】 125×17+8 =2125+8 =2133 易错点4：运用乘法运算定律计算时错误运用。 【典例4】计算：45×(10+2) 【错误答案】 45×(10+2) =45×10+2 =450+2 =452 【错解分析】没有正确理解乘法分配律。10和2应分别与45相乘后,再相加。 【正确答案】 45×(10+2) =45×10+45×2 =450+90 =540 易错点5：相遇问题理解错误。 【典例5】蒋老师和儿子沿学校操场的环形跑道行走,他们从同一地点同时出发,向反方向走去,一段时间后,两人会相遇吗? 【错误答案】答:不会相遇。 【错解分析】从同一地点同时出发,如果两人是在直路上向相反方向行走,就不会相遇,但在环形跑道上向相反方向行走就会相遇。 【正确答案】会相遇。 一、选择题 1．下面计算或说法错误的是（    ）。 A．43×12＝43×10×2 B．（64＋56）÷8＝64÷8＋56÷8 C．99×53＝53×100－53运用了乘法分配律 D．25＋77＋75＝77＋（25＋75）运用了加法结合律和加法交换律 2．计算：9＋97＋997＋99997＝（    ）。 A．111000 B．101000 C．101100 D．999999 3．下面情况不能使用简便计算的是（    ）。 A． B． C．3600－428－572 D． 4．下列算式中，与算式125×25×32的计算结果相同的是（    ）。 A．125×8＋25×4 B．125×8×25＋4 C．125×8×25×4 D．（125＋25）×8×4 5．一个计算器的按键“7”坏了，计算“76×35”时奇奇用了下面四种不同的输入方法，与“76×35”结果不相等的是（    ）。 A．100×35－24×35 B．60×35＋16×35 C．19×4×35 D．19×35＋4×35 6．计算25×41时，小东是这样25×41＝25×（40＋1）＝25×40＋25计算的，这样算的依据是（    ）。 A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 7．计算器上的数字键“4”坏了，小明要计算6192÷24，可以用下面的算式（    ）来代替。 A．6192÷12÷12 B．6192÷22÷2 C．6192÷12÷2 D．6192÷12×2 8．如图，一辆客车和一辆货车分别同时从城市A、城市B出发，相向而行，客车的速度是120千米/时，货车的速度是100千米/时，它们的相遇地点应该大约在（    ）。 A．m点处 B．n点处 C．o点处 D．无法确定 9．计算44×25时，运用乘法分配律正确的是（    ）。 A．11×（4×25） B．44×100÷4 C．40×25＋4×25 D．40＋4×25 10．小林将8×（－2）算成8×－2，他的答案比正确答案多（    ）。 A．6 B．8 C．14 D．16 二、填空题 11．39＋87＝87＋39应用了（ ）律；（A＋32）＋168＝A＋（32＋168）应用了（ ）律。 12．淘气和笑笑从相距1800米的两地同时步行出发，相向而行，淘气步行的速度是70米/分，笑笑步行的速度是50米/分，出发10分钟后，两人相距（ ）米。 13．在计算125×88这道算式时，将原式变成（ ）或（ ）可使得计算更简便。 14．小明在用计算器计算□□□×44时，少按了一个4，显示得数是2100，比正确得数少了（ ）。 15．如果□＋△＝30，那么（□＋56）＋△＝（ ），22×□＋22×△＝（ ）。 16．如果A＋B＝480，那么A＋（B＋320）＝（ ）；（A＋25）＋B＝（ ）。 17．“双十一”期间，百货商场进行促销活动。一款电脑原价3888元，现在每台降价288元，会员在此基础上再降价212元。刘叔叔是该商场的会员，他买一台这款电脑，实际花了（ ）元。 18．老君山位于洛阳市栾川县，不仅是道教文化的重要发源地，还拥有壮丽的自然景观，被誉为“天下无双圣境，世界第一仙山。”某旅行社组织游客去老君山游玩，一共分成2个组，每组租了7辆车，每辆车坐25名游客。该旅行社一共组织（ ）名游客去老君山游玩。 19．用计算器计算“235×49”时，发现键“4”坏了。如果还用这个计算器，你会怎样计算？请写出综合算式：（ ）。（不计算） 20．丽丽由于粗心，在计算60×△＋8时，把算式看成了60×（△＋8），她得到的结果与正确的结果相差（ ）。 三、计算题 21．怎样简便就怎样算。 147－（169—53）        2400÷4÷25       [372－（152－86）]÷17   360÷（70－4×16）       79×99＋79        104×[（283＋267）÷25] 22．用简便方法计算。 802－125－275        25×32×125         75×123＋123×25 450÷5÷2             102×45              99×16＋16 四、解答题 23．布老虎是潍坊具有浓郁地方特色和文化内涵的传统手工艺品。某团队接了制作布老虎的订单，第一天上午完成了128个，下午完成了216个，第二天上午完成了184个，下午完成了272个，他们两天一共完成了多少个布老虎？ 24．某服装厂四月份生产了378套服装，五月份生产了446套服装，六月份生产的比四、五月份生产的总数量还多122套。六月份生产了多少套服装？ 25．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值。某垃圾处理厂上个月处理可回收物625千克、厨余垃圾278千克、有害垃圾222千克、其他垃圾375千克，该处理厂上个月一共处理多少千克垃圾？ 26．“618”购物节，某商店一台扫地机器人降价218元，前100名消费者再减155元。小红家第一个参加了这个活动，以845元的价格买下了这台扫地机器人，这台扫地机器人原价是多少元？ 27．阅读对青少年的健康成长至关重要，为了增加学生的课外阅读量，拓展知识面，某小学开展了“打造书香校园”活动，小华计划看一本602页的《太阳的味道》，第一周看了145页，第二周看了155页，还剩多少页没有看？（用简便方法计算） 28．周末，妈妈带着1000元预算前往商场购物。在时尚的服饰区，妈妈挑选了一件质感上乘的天丝衬衫，这件天丝衬衫售价346元；随后又在饰品区看中一条项链，价格为554元，在完成这两笔消费后，妈妈还剩多少钱？ 29．为开展校园劳动种植课，学校采购一批多肉植物花盆。一共运来20箱花盆，每箱有12组，每组包含50个花盆。学校这次采购的花盆一共有多少个？ 30．小明有4本集邮册，每本集邮册有25页，每页可放12张邮票，小明买来1000张邮票，如果将邮票插入邮册中，4本集邮册够用吗？ 31．为增强学生体质，丰富校园生活，光明小学举行阳光大课间队形队列展示活动，共有25个班参加，每班站成4列，每列11人，学校准备为每位参加的同学发一顶太阳帽，准备1000顶够吗？ 32．学校要为图书馆增添《百科全书》、《趣味数学》两种新书，每种买15套。《百科全书》每套128元，《趣味数学》每套72元，一共要花多少钱？ 33．世界环境日（每年6月5日）是联合国为促进全球环境意识、倡导保护环境设立的重要国际日。实验小学组织有绘画才艺和书法才艺的学生参加世界环境日主题实践活动。绘画团队有12组，每组14人；书法团队也有12组，每组16人。两个团队一共有多少人？ 34．光明小学四年级学生分成了15个小组，每个小组有6名学生。“品味书香”读书活动期间，他们一共读了810本书，平均每名学生读了多少本书？ 35．甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发，相向而行。甲车每时行75千米，乙车每时行70千米。甲车出发1时后，乙车才出发；乙车出发5时后，两车相遇。两地相距多少千米？ 36．小红和小婷每天早晨坚持跑步，小红每秒跑6米，小婷每秒跑4米。 （1）如果她们从长100米的直跑道的两端同时出发，相向而行，多少秒后两人第一次相遇？ （2）如果她们从长200米的环形跑道的同一地点逆时针方向同时出发，多少秒后小红比小婷正好多跑一圈？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $