精品解析：浙江嘉兴一实学校等校2025-2026学年第二学期八年级期末抽测数学素养试题卷

2025学年第二学期八年级期末抽测 数学素养 试题卷（2026．6） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 4. 某班第一组8名同学在某次学科抽测中，成绩统计如表所示， 组员 1 2 3 4 5 6 7 8 平均分 成绩 94 86 ☆ 88 96 95 78 79 88 则这八位同学的成绩的中位数与众数分别是（ ） A. 92，88 B. 88，88 C. 86，88 D. 88，86 5. 把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 平行四边形的三个顶点坐标依次为、、，则第四个顶点的坐标不可能为（ ） A. B. C. D. 8. 迁移是一种重要的能力．如图，在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：．有下列两种说法： ①如图，在矩形中，若点是矩形内部一点，且，，，则； ②如图，在平行四边形中，对角线，点为边的中点，若，则的值为定值． 则下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一轮船以的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心正以的速度由南向北移动．已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风预警时，测得，．如果轮船不改变航向，则下列说法正确的是（ ） A. 若轮船经过小时恰好进入台风影响区，则满足 B. 若轮船处于台风影响区的时间为小时，则 C. 若轮船接到台风预警后加速前进，则当轮船速度时，轮船能避开台风影响区 D. 若轮船接到台风预警后减速前进，则当轮船速度时，轮船能避开台风影响区 10. 八年级某次数学练习甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班学生得分两极分化最小 B. 三个班级中，乙班学生得分的方差最大 C. 三个班级中，丙班学生得分的中位数最大 D. 若每个班级都有48名学生，则三个班级的学生得分按从高到低排列的第36名中，丙班学生的得分最高 11. 如图，菱形的形状和大小保持不变，连结，，将绕点顺时针旋转角度得到，边与，交于点，（，，不重合），连接，．在旋转过程中，下列判断正确的是（ ） A. B. 平分 C. 的周长是一个定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 计算：______． 13. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点为的中点，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 14. 关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 四、解答题：本题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 按要求解答问题： （1）已知，求的值； （2）解方程：． 16. 小丽与小明一起研究一个尺规作图问题： 已知在平行四边形中，以为一边，用直尺和尺规作一个菱形，其中点、分别在边，上． 小丽：如图1，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形． 小明：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形． 小丽：小明，你的作法有问题． 小明：哦……我明白了！ （1）给出小丽作法中四边形是菱形的证明； （2）指出小明作法中存在的问题． 17. 为了激发学生的数学学习兴趣，某班举办了一次数学趣味挑战活动，活动共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目满分都是100分，每项得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在80分以上（含80分）设为一等奖．下表为该班甲、乙、丙三位同学已比项目的得分情况（单位：分）． 项目 得分 学生 七巧拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 折算后总分 甲 乙 丙 根据活动规则，乙、丙两位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为30分． （1）请问甲参加“数学应用”项目至少获得多少分时，他才能获得活动一等奖； （2）如果甲的“数学应用”项目得分为72分，请你在甲、乙、丙这三位同学推荐一位同学代表班级去参加校级比赛，并说明你的推荐理由． 18. 定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． （1）已知关于的方程是理想方程，求的值； （2）当，满足什么条件时，方程是理想方程； （3）关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 19. 已知在矩形中，，，点是射线上的一个动点，以点为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段． （1）当点在线段上时， ①如图1，点为对角线，的交点，若，连接，求证：； ②如图2，连接，，，若为等腰三角形，求的面积； （2）如图3，连接，，在点的运动过程中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期末抽测 数学素养 试题卷（2026．6） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义和性质逐一判断选项即可． 【详解】选项A：∵， ∴选项A错误； 选项B：∵有意义， ∴，即， ∴， ∴选项B错误； 选项C：∵等式左边有意义，可得， 根据二次根式除法法则，，等式一定成立， ∴选项C正确. 选项D：∵， 当时，， ∴选项D错误． 2. 下列图形中，成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可知，选项C符合题意，故选C． 3. 若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 4. 某班第一组8名同学在某次学科抽测中，成绩统计如表所示， 组员 1 2 3 4 5 6 7 8 平均分 成绩 94 86 ☆ 88 96 95 78 79 88 则这八位同学的成绩的中位数与众数分别是（ ） A. 92，88 B. 88，88 C. 86，88 D. 88，86 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平均分求出未知成绩，再将所有成绩从小到大排序，根据中位数和众数的定义计算结果即可． 【详解】解：设被遮挡的成绩为， ∵8名同学的平均分为，总分为， 已知成绩的和为， ∴， 将8位同学的成绩从小到大排列为：， ∵8个数据的中位数为第4个和第5个数据的平均数， ∴中位数为， 众数是出现次数最多的数， ∴众数为． 因此中位数和众数分别是，． 5. 把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质与折叠性质，首先由求出，再由折叠性质得． 【详解】解：由矩形性质知， ， 由折叠性质知． 6. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求式子的高次项降次，再结合一元二次方程根与系数的关系即可计算出结果． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，且由根与系数的关系可得， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把代入得：， 所以的值为． 7. 平行四边形的三个顶点坐标依次为、、，则第四个顶点的坐标不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式，分三种情况讨论得到第四个顶点所有可能的坐标，即可判断出不可能的选项． 【详解】解：设三个已知顶点为，，，第四个顶点为，平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论： 若对角线为和 ，∵ 中点坐标为，即，平行四边形对角线中点重合，中点坐标与中点坐标相等， ∴ ，，解得，，即，故选项C是可能的； 若对角线为和，∵ 中点坐标为，平行四边形对角线中点重合，中点坐标与中点坐标相等， ∴ ，，解得，，即，故选项A是可能的； 若对角线为和，∵ 中点坐标为，平行四边形对角线中点重合，中点坐标与中点坐标相等， ∴ ，，解得，，即，故选项B是可能的； 因此第四个顶点的坐标不可能为选项D． 8. 迁移是一种重要的能力．如图，在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：．有下列两种说法： ①如图，在矩形中，若点是矩形内部一点，且，，，则； ②如图，在平行四边形中，对角线，点为边的中点，若，则的值为定值． 则下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造垂线，用勾股定理结合矩形性质，推导出矩形内点的恒等式，代入已知值计算得，与题中不符，故①错误；利用对角线垂直四边形的结论，结合平行四边形性质与中位线定理，代入已知条件推得为定值，故②正确． 【详解】解：判断①： 过点作于，延长交于，如图 ∵是矩形， ∴， 则，且四边形都是矩形， 在中：， 在中：， 在中：， 在中：， ∵， ∴ ， ∵，​，​， ∴， ， ， 解得， 即​，因此①错误 判断②： 设与交于点，与交于点，连接， ∵在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：， 即：结论对角线垂直的四边形满足：对边平方和相等， ∵在四边形中，， ∴， ∵在平行四边形中，对角线， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵平行四边形中，对角线交于点，点为边的中点， ∴， ∴， 即， 整理，得， ∴ 结果为定值，因此②正确， 综上，①错误，②正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一轮船以的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心正以的速度由南向北移动．已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风预警时，测得，．如果轮船不改变航向，则下列说法正确的是（ ） A. 若轮船经过小时恰好进入台风影响区，则满足 B. 若轮船处于台风影响区的时间为小时，则 C. 若轮船接到台风预警后加速前进，则当轮船速度时，轮船能避开台风影响区 D. 若轮船接到台风预警后减速前进，则当轮船速度时，轮船能避开台风影响区 【答案】ABD 【解析】 【分析】先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理列方程可判断A选项；然后解方程得到两解的差即可判断B选项；设x小时轮船进入台风影响区，轮船行程速度为v，由题意可得，再画出一般式，由题意可知该方程无解，再利用根的判别式和二次函数的性质确定k的取值范围即可判断C、D选项． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴ 如图，设t小时，轮船恰好进入台风影响区， 根据题意得出： ，，， 由勾股定理可得：， ∴即，故A选项正确； 设x时轮船在台风影响区， 同理可得：， 解得：， ∴轮船在时恰好进入台风影响区，轮船在时恰好离开台风影响区， ∴若轮船处于台风影响区的时间为小时，则，即选项B正确； 设x在台风影响区，轮船行程速度为v， ， 化成一般式：， ∵轮船能避开台风影响区，即该方程无解， ∴， 整理得：， 令，或， 对于函数，抛物线开口向上，与v轴的交点的横坐标为和， ∴不等式的解集为或， ∴或， ∴当速度在或时，能够避开台风影响区， ∴选项C不符合题意，选项D符合题意． 10. 八年级某次数学练习甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班学生得分两极分化最小 B. 三个班级中，乙班学生得分的方差最大 C. 三个班级中，丙班学生得分的中位数最大 D. 若每个班级都有48名学生，则三个班级的学生得分按从高到低排列的第36名中，丙班学生的得分最高 【答案】AC 【解析】 【分析】通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：A、由箱线图可知，甲班数据的极差最小，即甲班学生得分两极分化最小，选项A说法正确，符合题意； B、由箱线图可知，丙班数据的极差最大，且箱体（中间的数据）最宽，数据分布最分散，故丙班分数的方差最大，选项B说法错误，不符合题意； C、由箱线图可知，丙班箱体的中位线位置最高，即丙班分数的中位数最大，选项C说法正确，符合题意； D、若每班有48名学生，(名)，故第36名（按分数从高到低排列）对应的分数约为下四分位数，因此甲班的下四分位数最大，即甲班的第36名分数最高，选项D说法错误，不符合题意． 综上，故选AC． 11. 如图，菱形的形状和大小保持不变，连结，，将绕点顺时针旋转角度得到，边与，交于点，（，，不重合），连接，．在旋转过程中，下列判断正确的是（ ） A. B. 平分 C. 的周长是一个定值 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用旋转全等和几何不变性逐一判断，首先由旋转得，结合对顶角相等和三角形内角和推出即可判断A，接着过分别作、、的垂线，结合角平分线的判定定理可判断B，然后利用角平分线性质将拆成两段，代入的周长表达式即可判断C，最后取 的极端情况即可判断D． 【详解】解：由旋转可得，， 设，的交点为， ∴ ∵ ∴，A正确； 过点作， 四边形是菱形，是菱形对角线，且是由绕点顺时针旋转角度得到， ，， ， 是的角平分线，B正确； 在和中，, ， ， 同理可得， ， ， 的周长为， 在和中，, ， ， 的周长为， ，的面积以及均为定值， 为定值，即也为定值，所以C正确； 当，四边形退化为，此时， 所以不恒成立，所以D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可． 【详解】解：， ， ， ． 13. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点为的中点，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，进而得到、、，如图：过E作于H，是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得，进而得到，； ；如图：取的中点G，，易得是的中位线，即，，进而得到，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 如图：过E作于H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴，， 如图：取的中点G，， ∴， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 14. 关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程的两个实根即可解答． 【详解】解：对方程进行整理： ， 配方得： ， 变形得： ， 令，则原方程变为， 已知方程的根为，， 因此，， 即或 解得，， 所有实根之和为． 四、解答题：本题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 按要求解答问题： （1）已知，求的值； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：当时， ． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ∴， ∴或， 解得，， 检验：当时，，则是原分式方程的解； 当时，，则不是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 16. 小丽与小明一起研究一个尺规作图问题： 已知在平行四边形中，以为一边，用直尺和尺规作一个菱形，其中点、分别在边，上． 小丽：如图1，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形． 小明：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形． 小丽：小明，你的作法有问题． 小明：哦……我明白了！ （1）给出小丽作法中四边形是菱形的证明； （2）指出小明作法中存在的问题． 【答案】（1）由作图可知，， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形． （2）小明的作法中以点为圆心，长为半径所作的弧与可能有两个交点，其中一个交点与点连线不与平行，即如下图形： 【解析】 【分析】（1）根据作图得出，根据平行四边形的性质可得，即可得出四边形为平行四边形，进而根据邻边相等，即可判断为菱形； （2）根据小明的作法：以点为圆心，长为半径所作的弧与可能有两个交点，其中一个交点与点连线不与平行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 为了激发学生的数学学习兴趣，某班举办了一次数学趣味挑战活动，活动共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目满分都是100分，每项得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在80分以上（含80分）设为一等奖．下表为该班甲、乙、丙三位同学已比项目的得分情况（单位：分）． 项目 得分 学生 七巧拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 折算后总分 甲 乙 丙 根据活动规则，乙、丙两位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为30分． （1）请问甲参加“数学应用”项目至少获得多少分时，他才能获得活动一等奖； （2）如果甲的“数学应用”项目得分为72分，请你在甲、乙、丙这三位同学推荐一位同学代表班级去参加校级比赛，并说明你的推荐理由． 【答案】（1）甲的“数学应用”项目得分至少为62分 （2）推荐丙同学代表班级参加校级数学趣味挑战活动．推荐理由如下： 记甲、乙、丙三位同学的平均分分别是，，；离差平方和分别是，，． 由（1）可知，七巧拼图和魔方复原的折算百分比均为，趣题巧解的折算百分比为，数学应用的折算百分比为， 当甲的数学应用项目得分为72分时其四个项目的得分分别为78，94，72，72 则甲同学的折算后总分为分 所以甲、丙两位同学的总分得分相同，均为82分，且高于乙同学的74分，所以乙同学不推荐． 下面分析甲、丙两位同学的得分稳定情况： 则，， 所以 所以，综上所述，甲、丙两位同学在折算后总分相同的情况下，丙同学的得分离差平方和较小，他的得分更稳定，所以推荐丙同学参加校级数学趣味挑战活动． 【解析】 【分析】（1）设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为和，甲同学的“数学应用”项目得分为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，进而根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． （2）分别计算出甲、乙、丙的平均数，若平均数相等，再计算差平方和，比较离差平方和，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为和，甲同学的“数学应用”项目得分为． 由题意得， 解得， 由表格可知甲同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和为30分． 因为甲要获得大赛一等奖，所以甲的总分在80分以上（含80分）， 根据活动规则，乙、丙两位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分分别为折算后的分数之和均为30分 则甲同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和也为30分 即， 解得， 所以甲的“数学应用”项目得分至少为62分． 【小问2详解】 略 18. 定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． （1）已知关于的方程是理想方程，求的值； （2）当，满足什么条件时，方程是理想方程； （3）关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）当或时，方程是理想方程 （3）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； 【小问2详解】 解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； 【小问3详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 19. 已知在矩形中，，，点是射线上的一个动点，以点为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段． （1）当点在线段上时， ①如图1，点为对角线，的交点，若，连接，求证：； ②如图2，连接，，，若为等腰三角形，求的面积； （2）如图3，连接，，在点的运动过程中，求的最小值． 【答案】（1）①过点作， 由旋转知，，， ∵矩形，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴点，，共线， ∴； ②的面积为或； （2） 【解析】 【分析】（1）①过点作，证明，得到，则，得到为的中位线，据此即可得到； ②分情况讨论，当时，过点作交延长线于点，交延长线于点，证明，求得，再利用三角形面积公式求解即可；当时，同理求解即可； （2）设，，过点作交延长线于点，交延长线于点，利用勾股定理得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②由题意知，构成等腰三角形有三种情况， 而当时，点，，共线； ∴只有当和时，构成三角形， 当时， ∵，，， ∴， ∴， 过点作交延长线于点，交延长线于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， 同理， ∴， 过点作交延长线于点，交延长线于点， 同理， ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为或； 【小问2详解】 解：设，， 过点作交延长线于点，交延长线于点， 同理得， ∴，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴当且仅当时，和同时取到最小值，0 此时，取到最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $