专题 期末常考压轴题十类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦期末压轴题，覆盖代数几何十大核心题型，通过典例变式构建从概念应用到综合探究的逻辑链条，培养推理能力与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程|1典例+8变式|含参数根的判别式、根与系数关系|从概念理解到综合应用，构建方程思想| |几何计算|1典例+6变式|线段角度面积计算，涉及四边形性质|结合图形性质，培养几何直观| |最值问题|1典例+8变式|动点、翻折旋转中的最值探究|运用轴对称、中点性质，发展空间观念| |多结论问题|1典例+7变式|多个结论正误判断，综合性强|需严谨推理，提升批判性思维| |计算问题|1典例+7变式|方程求解、代数式化简求值|强化运算能力，夯实代数基础| |方程应用|1典例+5变式|行程、利润等实际问题|建立模型意识，实现实际问题数学化| |四边形综合|4类各1典例+多变式|平行四边形、正方形等性质与判定综合|整合四边形知识，培养综合解题能力|

专题01 期末常考压轴题十类题型 典例详解 类型一、一元二次方程 类型二、计算线段、角度、面积 类型三、几何图形的最值问题 类型四、几何图形的多结论问题 类型五、计算问题 类型六、一元二次方程的应用 类型七、平行四边形综合题 类型八、正方形综合题 类型九、矩形综合题 类型十、菱形综合题 压轴专练 类型一、一元二次方程 【典例1】（2026·河南驻马店·三模）若关于的方程没有实数根，则的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【变式1-2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【变式1-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2026·宁夏银川·二模）已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 【变式1-6】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 【变式1-7】（20-21八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【变式1-8】（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 类型二、计算线段、角度、面积 【典例2】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在平行四边形中，，．平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【变式2-2】（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在中，平分平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（    ）    A． B．2 C． D．1 【变式2-3】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 【变式2-4】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，E是线段上的一点，连接．在平面内将线段绕点E逆时针旋转70°，得到线段，连接，则的度数为（    ） A．50° B．40° C．35° D．30° 【变式2-5】（2024九年级下·浙江·学业考试）如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 【变式2-6】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以的三边为边分别向外画一个正方形．过点C作，垂足为M，连接，则的面积等于（    ） A．的面积 B．的面积 C．正方形面积的一半 D．正方形面积的一半 类型三、几何图形的最值问题 【典例3】（2026·安徽安庆·一模）已知如图，在中，，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，其中点为边中点，点为边中点，连接、、，下列说法错误的是（    ） A．最小值为 B．最小值为2 C．的最大值为3 D．最小值为 【变式3-1】（2026·安徽芜湖·一模）如图，中，，，平分交于点F，D在边上，将绕A点逆时针旋转得到，连接，下列说法不正确的是（   ） A．的最小值是1 B． C．若，则最小值为 D．当为等腰三角形时，的长为或2 【变式3-2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（  ） A． B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式3-5】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．当是的中点时，的最小值为4 D．当是的中点时，的最小值为 【变式3-6】（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 【变式3-7】（2026·安徽滁州·二模）如图，在中，，，的度数不定，以为边向右作正方形，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．当时， B．点A到直线的距离的最大值为 C．线段的最大值为6 D．线段的最大值为 【变式3-8】（20-21八年级下·江苏泰州·期末）如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（       ） A．发生变化，存在最大值 B．发生变化，存在最小值 C．不发生变化，存在最大值 D．不发生变化，存在最小值 类型四、几何图形的多结论问题 【典例4】（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，是的角平分线，过点分别作的垂线，垂足为点，点是的中点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式4-2】（25-26九年级上·北京·期末）如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到（的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【变式4-3】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【变式4-4】（21-22八年级下·河北石家庄·期末）如图，在正方形中，，与交于点O，E，F分别为边，上的点（点E，F不与线段，的端点重合），，连接，，.关于以下三个结论，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：始终是90°； 结论Ⅱ：面积的最小值是2； 结论Ⅲ：四边形的面积始终是8 A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错 C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对 【变式4-5】（25-26八年级下·广东阳江·期中）如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有（      ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【变式4-6】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【变式4-7】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论：①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 类型五、计算问题 【典例5】（25-26八年级下·全国·暑假作业）计算． (1)； (2)； (3) (4)． 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）解方程． (1)； (2)． 【变式5-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）先化简．再求值：，其中． 【变式5-3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）计算． (1)； (2)； (3)． 【变式5-4】（2026八年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 【变式5-5】（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【变式5-6】（25-26八年级下·广东广州·期中）计算： (1) (2) 【变式5-8】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）小芳在解决问题：已知，求的值时她是这样分析与解的：， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若，化简，求的值． 类型六、一元二次方程的应用 【典例6】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【变式6-1】（2026·安徽阜阳·三模）某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 【变式6-2】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 【变式6-3】（25-26八年级下·重庆·期中）某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【变式6-4】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 【变式6-5】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件． (1)当童装销售定价为每件100元时，销售量为________件； (2)直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________； (3)为了尽可能地让利于顾客，该童装销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元？ 类型七、平行四边形综合题 【典例7】（2026·内蒙古包头·二模）如图，在中，F为边上的一个动点，连接． (1)当点F为边的中点时 ①如图1，过点B作，垂足为E，连接，延长交的延长线于G，求证：； ②如图2，将沿折叠，点C落在内处，连接并延长交于点G．若，求的长； (2)如图3，当时，延长到，使得，点M是边上一点．连接交于点N，当，BM平分，时，求出的面积． 【变式7-1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在等边中，为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)点为延长线上一点，且，连接，与相交于点，连接，，若． ①如图2，当时，求的长： ②如图3，当四边形的面积为时，直接写出的面积． 【变式7-2】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知，将沿所在的直线折叠至的位置，连接． (1)直接填空：与的位置关系是 ； (2)点、分别是线段、上的两个动点（不与点、、重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【变式7-3】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 【变式7-4】（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，是边上两点，且，．点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 类型八、正方形综合题 【典例8】（25-26八年级下·广东汕头·期中）四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． ∵四边形为正方形， 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西延安·期中）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 【变式8-2】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），连接，若平分，求证：； (3)如图（3），若，连接，为的中点，直接写出的最小值是________． 【变式8-3】（2026·辽宁锦州·三模）如图，在正方形中，，点M为线段上一点，将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部），连接，，，若，则的面积为______． 【变式8-4】（25-26八年级下·浙江台州·阶段检测）如图，在正方形中，点E是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），连接，点C关于直线的对称点为点F，连接，． (1)如图1，若点F恰好落在对角线上，连接，求的度数． (2)如图2，连接，，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图3，连接，，记的面积为，的面积为，若是等腰直角三角形，直接写出的值． 类型九、矩形综合题 【典例9】（25-26八年级下·湖南怀化·阶段检测）【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【变式9-1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． (1)根据以上操作可知的度数为______． (2)如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 【变式9-2】（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）综合与探究 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为． 猜想： (1)如图1，延长交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，连接，当点落在上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： (3)在旋转过程中，当点在同一条直线上时，若，请直接写出的长． 类型十、菱形综合题 【典例10】（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在中，平分，为延长线上一点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，于点，的延长线交于点． ①求证：；②求的值． 【变式10-1】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“极美菱形”．如图为点A，C的“极美菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． (1)点，，中，能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点的是______； (2)如果四边形是点M，P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为15，且与直线有公共点时，请直接写出b的取值范围； ③当四边形的面积为时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数． 【变式10-2】（2026·浙江杭州·二模）【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探究． 如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，．可沿直线平移，连接， 【实验探究】 (1)在平移过程中，同学们发现四边形是平行四边形，请证明此结论； (2)当沿平移到某一个位置时，四边形恰好为菱形， ①如图，此时若，，试求的长； ②如图，连接，若，求的度数． 【变式10-3】（2026·山东青岛·模拟预测）如图，已知，，． (1)证明：． (2)连接，，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上________（填序号），则四边形的形状是________，并说明理由． 1.（2026·北京朝阳·二模）如图，将正方形绕其中心逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的公共点为，B，C，D，E，F，G，H，连接，，．给出下面四个结论： ； ； ； 线段，，可以组成直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）探究解题 (1)【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为 ； (2)【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； (3)【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 3.（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列一元二次方程： (1) (2) 4.（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图1，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，连接，且． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若的中点恰好在线段上，试探究与的数量关系，并说明理由． 5.（25-26八年级下·重庆·期中）近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． (1)求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ (2)4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 6.（2026·辽宁朝阳·二模）在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 (1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； (2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 7.（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 8.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，在上，连接． (1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； (2)如图2，连接，在上，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 9.（2026·吉林长春·二模）如图，已知正方形与，连接，过D作的垂线交于点H，以和为邻边作平行四边形，连结、，与交于点M，和交于点N．给出下面四个结论：①平行四边形是正方形；②；③；④，上述结论中，正确结论的序号是_________． 10.（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在四边形中，，点E为边上的动点．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论：①的最小值是；②的最小值是；③的最大值是；④的最大值是，其中正确的是______．（填序号） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末常考压轴题十类题型 典例详解 类型一、一元二次方程 类型二、计算线段、角度、面积 类型三、几何图形的最值问题 类型四、几何图形的多结论问题 类型五、计算问题 类型六、一元二次方程的应用 类型七、平行四边形综合题 类型八、正方形综合题 类型九、矩形综合题 类型十、菱形综合题 压轴专练 类型一、一元二次方程 【典例1】（2026·河南驻马店·三模）若关于的方程没有实数根，则的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先根据方程无实根求出的取值范围，再结合选项得出答案． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴根的判别式， 即， 解得：， 选项中只有D选项的满足． 【变式1-1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 【变式1-2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程为，解得，方程有实数根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 解得， 即此时的范围为且； 综合两种情况，可得的取值范围是． 【变式1-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 【变式1-4】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 【变式1-5】（2026·宁夏银川·二模）已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】原方程有两个实数根，故为一元二次方程，二次项系数不为，由两根互为相反数得两根之和为，利用根与系数的关系求出，再验证判别式大于，即可得到的值． 【详解】解：原方程有两个互为相反数的实数根， 原方程为一元二次方程，即； 设方程的两根为，由两根互为相反数得， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得 ， ． ， ，解得 由， 将代入得，满足方程有两个实数根的条件，符合题意． 【变式1-6】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得到参数和的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解的取值范围． 【详解】解： 方程 是一元二次方程，． 方程有两个实根 ， 判别式 ． 根据根与系数的关系得：，． ， ， 代入得：， 解得 ， 将 代入 得：， 即 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 且 ． 【变式1-7】（20-21八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 【变式1-8】（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 类型二、计算线段、角度、面积 【典例2】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中线与面积，平行线间的距离．熟练掌握中线的性质，平行线间的距离是解题的关键． 由，可得，设，则，，如图1，连接，，由点是线段的中点，可得，，可判断①的正误；，由点是线段的中点，可得，，则，可判断②的正误；，设到的距离为，到的距离为，则，即，由，，可得，则，由，可得，可判断③的正误；由，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， 如图1，连接，， ∵点是线段的中点， ∴，，①正确，故符合要求； ∴， ∵点是线段的中点， ∴，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， 设到的距离为，到的距离为， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：C． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，在平行四边形中，，．平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出，，再证明为直角三角形，为中线，进而解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵点P为线段的中点， ∴是的斜边的中线， ∴， 故选：D． 【变式2-2】（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在中，平分平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出，，再证明为直角三角形，为中线，进而解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵点P为线段的中点， ∴是的斜边的中线， ∴， 故选：D． 【变式2-3】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 【答案】D 【分析】设，，由题意可得，，由旋转的性质可得，，，，则，连接，则，利用完全平方公式求出，即可得出结果． 【详解】解：设，， 由题意可得：，， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， 如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式2-4】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，E是线段上的一点，连接．在平面内将线段绕点E逆时针旋转70°，得到线段，连接，则的度数为（    ） A．50° B．40° C．35° D．30° 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质，旋转的性质，三角形外角的性质， 连接，并延长至G，根据等腰三角形的性质和旋转的性质可得，即可得，再根据三角形外角的性质得，接下来根据可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，并延长至G， ∵为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴． 根据旋转的性质，得， ∴， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 则． 故选：C． 【变式2-5】（2024九年级下·浙江·学业考试）如图 ，矩形 中，点 分别在 边上，，点 在 边上，连结 ． 若知道矩形 的面积，则一定能求出 （   ） A． 与 的面积之和 B． 与 的面积之和 C．四边形 与 的面积之和 D． 的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．设 ，，则，证明四边形是平行四边形，可得 ，再根据三角形的面积公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴可设 ，，则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴  ， ∴ 与 的面积之和为 ； 与 的面积之和为 ； 四边形 与 的面积之和为 ； 的面积为 ； 故选：A． 【变式2-6】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以的三边为边分别向外画一个正方形．过点C作，垂足为M，连接，则的面积等于（    ） A．的面积 B．的面积 C．正方形面积的一半 D．正方形面积的一半 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等及证明面积相等问题，掌握“手拉手”几何模型及平行线间距离相等是解题的关键． 延长交于点，连接，先证明的面积等于，利用几何模型——“手拉手”，易证，再证明，推出，再根据平行线之间的距离处处相等可得，进而得到，进而即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ∵，， ∴， ∴的面积等于， ∵四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ∴， ， ∴点到所在直线的距离等于，点到所在直线的距离等于， ，， ∴， ∵的面积等于， ∴的面积等于正方形面积的一半． 故选：C． 类型三、几何图形的最值问题 【典例3】（2026·安徽安庆·一模）已知如图，在中，，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，其中点为边中点，点为边中点，连接、、，下列说法错误的是（    ） A．最小值为 B．最小值为2 C．的最大值为3 D．最小值为 【答案】C 【分析】当时，有最小值，利用等积法求解即可判断选项A；当B、E、C三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项B；根据三角形中位线定理，推出当A、B、E三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项C；作点B关于的对称点，当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为，据此计算即可判断选项D． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为， 选项A正确，不符合题意； ∵点E在以B为圆心，为半径的圆上运动， ∴当B、E、C三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项B正确，不符合题意； 连接， ∵点为边中点，点为边中点， ∴根据三角形中位线定理，， ∴当A、B、E三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项C错误，符合题意； 作点B关于的对称点，连接，,，， ∵，∴， ∴当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为， 记交于点，作交的延长线于点， 由对称的性质和选项A的结论，得，，， 设，则， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， ∴， ∴最小值为，选项D正确，不符合题意． 【变式3-1】（2026·安徽芜湖·一模）如图，中，，，平分交于点F，D在边上，将绕A点逆时针旋转得到，连接，下列说法不正确的是（   ） A．的最小值是1 B． C．若，则最小值为 D．当为等腰三角形时，的长为或2 【答案】D 【分析】过点F作于点H，则可得，设，则，由勾股定理得：，从而可得a的值，证明，则,当时，最小，则求得的值，可判断A；当D点和C点重合时，E点和G点重合，此时取得最大值，再证明，得，则可判断B；作A点关于对称点，连接，则；作，则，当E，F，在同一条直线上时，最小，即m值最小，由勾股定理求得的最小值，从而可判断C；当为等腰三角形时，分三种情况考虑，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可判断D． 【详解】解：如图1， 过点F作于点H， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴点E在线段上运动，当时，最小，则， ，即最小值为1， 故选项A正确． 如图2，当D点和C点重合时，E点和G点重合，有最大值， 此时，， ∵， ∴， ， ∴当E在上运动时，， 故选项B正确． 如图3，作A点关于对称点，连接， 则， ∴； 作于点M，则， ． 当E，F，在同一条直线上时，最小，即m值最小， 此时最小值为， 故选项C正确． 当为等腰三角形时，共有三种情况，分别如下： 如图4，当时，则 ∴， ∴； 如图5，当时，； 如图6，当时，则， ∴， ∴， 故当为等腰三角形时，的长为1或或2， 故选项D错误． 【变式3-2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（  ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】通过将绕点旋转，构造等边三角形，将转化为折线长，利用两点之间线段最短及勾股定理求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，， 旋转， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 根据两点之间线段最短，当四点共线时，最小，最小值为的长， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 的最小值为5． 【变式3-3】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式3-4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，即此时最小， ∵当时，， ∴， ∴， ∴最小值为． 【变式3-5】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．当是的中点时，的最小值为4 D．当是的中点时，的最小值为 【答案】C 【分析】根据垂线段最短判断A选项；根据“将军饮马模型”判断B选项；根据两点之间线段最短判断C选项；根据垂线段最短判断D选项． 【详解】解：A选项，∵四边形是菱形，且， 是等边三角形． 是上的动点， ∴当时，最小，此时，， 故A选项不符合题意； B选项，∵四边形是菱形， ∴点关于对称， ． 如图1，连接交于点，当点与点重合时，， 此时，的值最小，过点作交的延长线于点F． ， ， ， ， ，， ，故B选项不符合题意； C选项，如图2，当是的中点时，连接，当三点共线时，的值最小． 是的中点， ， 是等边三角形， ，故C选项符合题意； D选项，如图2，当时，的值最小，此时，故D选项不符合题意． 【点睛】解题时，首先要分析清楚该问题属于哪一种最值题型，再去运用相关类型题目的解题方法求解． 【变式3-6】（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】D 【分析】由 ，，，得四边形 是矩形，对角线 与 交于中点 ；对选项A，由矩形性质得 ，从而 ，利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项B，连接 ，由 ， 为 中点，得 为等腰直角三角形，，，；在 中 ，，得 ；同理 ；进而利用 ，， 证明 ，得 ；再利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项C， 是 的中点，而 各边中点连成的中位线 平行于 且过 中点，故 在中位线 上；作 关于 的对称点 ，则 ，当 、、 共线时取等，利用 及勾股定理求 ；对选项D，由 得 ，从而 为定值，与 的位置无关． 【详解】解：，，， 四边形 是矩形， 与 互相平分，即 是 的中点，， ， 到直线 的距离最短时，， 此时 ， 的最小值为 ，选项A正确； 如图，连接，则， 在中，，， ，， ， ． 当时，有最小值， 在中，， 最小值为2，则的最小值为4，故选项B正确； 如图2，在中，， 是的中点， 点位于的中位线上． ， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，共线时，有最小值，此时， 在中，，故选项C正确； ， ， ，故选项D错误． 【变式3-7】（2026·安徽滁州·二模）如图，在中，，，的度数不定，以为边向右作正方形，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．当时， B．点A到直线的距离的最大值为 C．线段的最大值为6 D．线段的最大值为 【答案】D 【分析】过点作，交的延长线于点，求出，由勾股定理得，故可判断A；过点A向作垂线，垂足为点H，则，可得点A到线段的最大距离为，故可判断B；将绕点E逆时针旋转得到，连接，则，当、、三点在同一直线上时的值最大，最大值为6，故可判断C；同理，用同样的方法和思路可求出的最大值为，故可判断D． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴ ， 又， ∴， 在中，， ∴，故选项A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴一定是锐角． 当或时，过点A向作垂线，垂足为点H，则；当时，， ∴， ∴点A到线段的最大距离为，故选项B正确，不符合题意； C、将绕点E逆时针旋转得到，连接，则， ∴， ∴， ， ∴， 当、、三点在同一直线上时的值最大，最大值为，故选项C正确，不符合题意； D、将绕点B逆时针旋转得到，连接，则， 同理可得的最大值为，故选项D 错误，符合题意． 【变式3-8】（20-21八年级下·江苏泰州·期末）如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（       ） A．发生变化，存在最大值 B．发生变化，存在最小值 C．不发生变化，存在最大值 D．不发生变化，存在最小值 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明是解题的关键． 由“”可证，可得，可得，由 ，可得当有最小值时，有最小值，即可求的值． 【详解】解：∵正方形的对角线交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴两个正方形重叠部分形成图形的面积， ， ∵的周长为， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∵， ， ∴当时，有最小值为3， ∴的最小值为， 因为点不与点重合，所以不存在最大值，所以不存在最大值，所以不存在最大值， 故选：D． 类型四、几何图形的多结论问题 【典例4】（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长、交于点M，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：如图，延长、交于点M， 在中，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 由现有条件无法证明，故③不一定正确， 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 【变式4-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，是的角平分线，过点分别作的垂线，垂足为点，点是的中点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】延长交于点，延长和交于点，证明，推出，利用三角形中位线定理可判断①；同理可判断②；根据，，可判断③；根据三角形的外角性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，平行线的性质可判断④． 【详解】解：延长交于点，延长和交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，故①说法正确； ∵是的角平分线，， 同理， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，故②说法正确； ∵，而， ∵不能确定与相等， ∴不能确定与相等，故③说法错误； ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④说法正确． 【变式4-2】（25-26九年级上·北京·期末）如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到（的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边对等角，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质并添加适当的辅助线构造全等三角形． 添加辅助线，先由边角边的判定方法证明与全等，由此可得，再证明与全等，由此可得，即可验证结论①；根据图形旋转的角度即可验证结论②；先由边边边的判定方法证明与全等，即可得到随着的增大，的长会减小的结论，由此可验证③；再由旋转角度可得到，由等边对等角可验证结论④． 【详解】解：连接，过点作于，于，如图， ∵，， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 连接，如图， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， 在与中， ， ， ∴，，， ∴随着的增大，的长会减小； 当时，； 当时，， ∴的取值范围是，故③正确； ∵， ∴， 由旋转可知，； 当时，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【变式4-3】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④． 【详解】解：如图，连接， 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， F为的中点， ，故①正确； 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， ， ， ， F为的中点， ， ， ， ， 又， ， ，故②正确； ， ， ， 为等腰直角三角形， ，故③正确； 如图，延长交于点H， ， ， ， ，即， ， ， ，故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 【变式4-4】（21-22八年级下·河北石家庄·期末）如图，在正方形中，，与交于点O，E，F分别为边，上的点（点E，F不与线段，的端点重合），，连接，，.关于以下三个结论，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：始终是90°； 结论Ⅱ：面积的最小值是2； 结论Ⅲ：四边形的面积始终是8 A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错 B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错 C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错 D．三个结论都对 【答案】A 【分析】利用正方形的性质证明△OBE≌△OCF，得到∠BOE=∠COF，推出∠EOF=∠BOC=90°，由此判断结论I；根据全等三角形的性质判断△OEF是等腰直角三角形，过点O作OG⊥BC于G，根据等腰三角形三线合一的性质得到OG=2，由此得到当点E与点G重合时，OE有最小值为2，根据面积公式求出面积的最小值，由此判断II；根据△OBE≌△OCF，得到，即可求出四边形OECF的面积=，计算可判断结论III． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF＝45°，AC⊥BD， ∵BE=CF， ∴△OBE≌△OCF， ∴∠BOE=∠COF， ∵AC⊥BD， ∴∠BOC=90°， ∵∠EOB+∠BOF=∠EOF，∠COF+BOF=∠BOC=90°， ∴∠EOF=∠BOC=90°， ∴OE⊥OF．即始终是90°， ∴结论Ⅰ正确； ∵△OBE≌△OCF， ∴OE=OF， ∵=90°， ∴△OEF是等腰直角三角形， 过点O作OG⊥BC于G， ∵OB=OC，BC=AB=4， ∴， ∴当点E与点G重合时，OE有最小值为2， ∴面积的最小值==2； 故结论Ⅱ正确； ∵△OBE≌△OCF， ∴， ∴四边形OECF的面积==， 故结论III错误； 故选A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式4-5】（25-26八年级下·广东阳江·期中）如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有（      ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点作于点，根据角平分线的性质可得，证，得，证，得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：垂直平分， ，故结论①正确； ， 四边形是正方形， ，，，， ， ， 平分，故结论②正确； 如图，过点作于点， 平分，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 点是的中点， ， 假设点是的中点，则， ， ， ， 与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时点不是的中点，故结论④错误； 综上所述，结论①②③正确． 故选：C． 【变式4-6】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质证明，即可判断①②，根据等腰直角三角形的性质即可判断③④，进而可得答案. 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 结论①正确； ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 结论②正确； 在等腰中，， ， ， ， ， ∴结论③错误， ， 是的中点， ， ， 结论④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 【变式4-7】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论：①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①② 【分析】①连接，根据对称的性质得，，由此可判定和全等则，再证明和全等得，由此可得出，据此即可对结论①进行判断；②根据全等三角形性质得，，则，进而得，再根据得，据此即可对结论②进行判断；③根据，及全等三角形性质得，，则，在中，根据三角形三边之间关系得，则，进而得，据此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边上的一动点（不与点，重合）， ∴， ∴， 即，故结论②正确； ③∵正方形的边长为1，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，故结论③错误． 综上所述：正确的结论序号是①②． 类型五、计算问题 【典例5】（25-26八年级下·全国·暑假作业）计算． (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)2 (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解： ∴， ∴ 解得：，． 【变式5-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）先化简．再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，利用因式分解和约分进行化简，最后将给定的y值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式5-3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解： ； （3）解： 【变式5-4】（2026八年级下·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 【变式5-5】（25-26八年级下·四川广安·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式5-6】（25-26八年级下·广东广州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法和加法即可得； （2）先化简二次根式、计算零次幂、用完全平方公式计算乘方，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-8】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）小芳在解决问题：已知，求的值时她是这样分析与解的：， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若，化简，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对每一项分母有理化，再利用裂项相消法求和; （2）先分母有理化化简,再变形得到的值，整体代入代数式求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ， ， ， ． 类型六、一元二次方程的应用 【典例6】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 【变式6-1】（2026·安徽阜阳·三模）某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 【答案】(1)20% (2)万人次 【分析】（1）设第三、四季度的平均增长率为x．根据题意列一元二次方程，求解即可； （2）分别计算各季度的游客人数，再求和即可． 【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x． 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第三、四季度游客人数的平均增长率为； （2）解：∵第一季度游客人数为100万人次， ∴第二季度游客人数为（万人次）， 第三季度游客人数为（万人次）． ∵第四季度游客人数为129.6万人次， ∴该旅游景区一年接待游客的总人数为（万人次）． 【变式6-2】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 【答案】(1)平均每天可销售180件 (2)单价应降低5元 (3)不能做到，理由如下： 由（2）可得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， 即不能每天盈利2000元 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）设单价应降低元，由题意得，然后进行求解即可； （3）由（2）可得：，然后根据根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（件）； 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件． （2）解：设单价应降低元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让消费者得到优惠， ∴； 答：单价应降低5元． （3）略 【变式6-3】（25-26八年级下·重庆·期中）某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【答案】(1)四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； (2)． 【分析】（1）根据票价比例设未知数，结合总销售额列一元一次方程求解； （2）据票价和人数的变化表示出五月份总销售额，结合总额变化条件列方程求解，舍去不符合的根得到结果． 【详解】（1）解：设四月份游船票价为元，观光车票价为元. 将单位统一为元，0.8万人人，1万人人，60万元元． 根据题意列方程得：， 解得， 因此，． 答：四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； （2）解：根据题意，五月份游船票价为元，乘坐游船人数为0.8万人，观光车票价为元，乘坐观光车人数为万人，总销售额为 万元，单位统一为万元， 列方程得：， 化简得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：a的值为50． 【变式6-4】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 【答案】(1)5元 (2)个 (3)5或 【分析】（1）设购买一个牛角粽需元，则购买一个三角粽需元，根据小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个，再建立方程求解即可． （2）表示降价量为元，进一步列代数式即可． （3）结合（2）可列方程，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：设购买一个牛角粽需元，则购买一个三角粽需元， 由题意得， 解得（舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：购买一个牛角粽需元． （2）解：打折时，每个三角粽售价为元， 降价量为元， 多售出个， 总共售出个． （3）解：由（2）可列方程， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：或． 【变式6-5】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件． (1)当童装销售定价为每件100元时，销售量为________件； (2)直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________； (3)为了尽可能地让利于顾客，该童装销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元？ 【答案】(1)40 (2) (3)每件元 【分析】（1）根据当童装的销售定价为每件元时，可售出件，而每件定价每降低元，销售量就增加件，列出算式，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，即可求解； （3）根据利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：（件） 故答案为：． （2）解：依题意， 故答案为：． （3）解：设童装的销售定价为每件元时，商场销售该品牌童装可盈利元，则， 解得：， 由于要尽可能让利于顾客，故取童装的销售定价为每件元． 答：童装的销售定价为每件元时，商场销售该品牌童装可盈利元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． 类型七、平行四边形综合题 【典例7】（2026·内蒙古包头·二模）如图，在中，F为边上的一个动点，连接． (1)当点F为边的中点时 ①如图1，过点B作，垂足为E，连接，延长交的延长线于G，求证：； ②如图2，将沿折叠，点C落在内处，连接并延长交于点G．若，求的长； (2)如图3，当时，延长到，使得，点M是边上一点．连接交于点N，当，BM平分，时，求出的面积． 【答案】(1)①证明：①∵四边形为平行四边形， ． ，． ∵点F为边的中点， ． 在和中 ． ． ， ． ． ②6 (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得 ，则，，即可证明，则，结合直角三角形的性质即可证明；②由折叠得，，则有，则，即可得到，进一步证明四边形为平行四边形，则，即可证明，可求的长； （2）过点M作于H， 得出，．再证，求出，，可得，证明，则求出的面积． 【详解】（1）①略 ②将沿折叠，点C落在内处， ，． 点F为边的中点， ． ． ． ， ． ． ． ∵四边形为平行四边形， ，． ∴四边形为平行四边形． ． ，， ． ， ． ． （2）解：如图，过点M作于H， ， ． 四边形为平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． ． ， ． ． ． ． ． 在和中 ． ． 【变式7-1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在等边中，为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)点为延长线上一点，且，连接，与相交于点，连接，，若． ①如图2，当时，求的长： ②如图3，当四边形的面积为时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由旋转的性质可得，，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，再证明，即可得出，从而得证； （2）①由（1）可得，则，，证明四边形为平行四边形，得出，由直角三角形的性质可得，求出，，由直角三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得出结果；②过点作于点，则，由勾股定理可得，由①可得四边形为平行四边形，则，，，过点作，交的延长线于点，由直角三角形的性质并结合勾股定理可得 ，则，连接，则，，求出，作于，于，由角平分线的性质定理可得，设点到的距离为，结合三角形的面积公式得出，则，从而可得，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作于点，如图： 则， ∴， 由①可得：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，则， ∴， ∴， 作于，于， ∵， ∴， 设点到的距离为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式7-2】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知，将沿所在的直线折叠至的位置，连接． (1)直接填空：与的位置关系是 ； (2)点、分别是线段、上的两个动点（不与点、、重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】(1)垂直 (2)9 (3)当或或时，是直角三角形 【分析】（1）根据翻折变换的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到结论； （2）根据三角形的面积公式求出的边上的高，根据轴对称变换的性质解答； （3）分、、三种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：由翻折变换的性质可知，，， ． ∴与的位置关系是垂直． （2）解：如图，连接，， ，， 是的垂直平分线， ∴点与点关于直线成轴对称， ∴， ∴． ∴的最小值就是的最小值， 即：当、点在上时，取最小值，最小值为的边上的高， 的面积为36，， 的边上的高为， 的最小值为9． （3）解：①如图1，当时，． ∵由翻折变换的性质可知，， ． ， ，， ∴四边形的平行四边形， ， ． ②如图2，由翻折变换的性质可知，当时，． ③如图3，当时， ， ， ， ， ∴当时，． 综上所述，当或或时，是直角三角形． 【变式7-3】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ，； 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； (2)（ⅰ）证明：， ． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ，即为的中点； （ⅱ）． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，结合题中给出的条件求出，根据全等三角形的性质得出，即可求证四边形是平行四边形； （2）（ⅰ）根据平行四边形的判定求出四边形是平行四边形，则有，根据平行四边形的性质可知，即可求证； （ⅱ）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可判定四边形是矩形，则有，根据求出是等腰直角三角形，根据设，即可求解． 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 设，则，， ． ， ， ， ， ． 【变式7-4】（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，是边上两点，且，．点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】（1）先根据对称性可得，，进而得，再说明，可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）先根据对称性可得，，然后说明，接下来作，再根据直角三角形的性质得， 并根据勾股定理求出，即可得，接下来求出，最后根据平行四边形的对边相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵点D与点F关于直线对称， ∴． ∵点E与点G关于直线对称， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点D与点F关于直线对称， ∴． ∵点E与点G关于直线对称， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 过点F作，交延长线于点H， 在中，则， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 在中，． ∵四边形是平行四边形， ∴． 类型八、正方形综合题 【典例8】（25-26八年级下·广东汕头·期中）四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （3）解：     理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西延安·期中）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用为万元 【分析】（1）在正方形中，，，得．在中，由勾股定理得．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可； （2）过作于，证得，．由角平分线和等腰三角形性质推出，为等腰直角三角形，故，再证为等腰直角三角形，得，则可得到； （3）当面积最大时，为等腰直角三角形，此时与重合．将总费用转化为，构造等腰直角三角形，当T，N，M共线时费用最小，计算得最低总费用为万元． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ，， ， ，， 在中，， 为的中点， ； （2）证明：如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 即； （3）解：如图，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， 由（2）同理得，， 由题意得，四边形是正方形，且边长为， ∴， ， 是直角三角形， 将沿翻折得， 是直角三角形， 是的中点， ， 当时，的面积最大， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图所示，则点与重合， ， 三点共线时，取得最小值，则点与重合， ∴取得最小值， ∴， ∵修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元， ∴修建水渠和小路的最低总费用为： （万元）． 【点睛】本题核心是利用直角三角形斜边中线、全等三角形和等腰直角三角形的性质，结合几何最值思想，将代数费用问题转化为几何线段和的最小值问题求解． 【变式8-2】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），连接，若平分，求证：； (3)如图（3），若，连接，为的中点，直接写出的最小值是________． 【答案】(1)证明：四边形为正方形， ，． ， ， ． ， ， ， ． (2)证明：如图，过点作于点，交的延长线于点， ． 由（1）可知，， ， 四边形为矩形， ，即． 四边形为正方形， ，即， ． 平分，，， ． 又， ， ． ， ． (3) 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质，得出，再利用三角形的内角和定理，即可得证； （2）先过点作于点，交的延长线于点，再根据矩形的判定与性质、正方形的性质，得出，利用角平分线的性质得出，最后根据全等三角形的判定与性质，即可得证； （3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再利用勾股定理得出，最后利用二次函数求最值的方法，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）可知，， ． 为的中点， ， 求的最小值，即求的最小值． 四边形为正方形， ，． 设，（），则， 在中， 由勾股定理得，， 当时，取得最小值，即， ． 【变式8-3】（2026·辽宁锦州·三模）如图，在正方形中，，点M为线段上一点，将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部），连接，，，若，则的面积为______． 【答案】16 【分析】过点作交于点,根据翻折的性质即可得，可知是等腰三角形，进而可知，再根据同角的余角的关系可知，进而可证明，再根据勾股定理即可知长度，根据面积公式即可求解． 【详解】解：过点作交于点, 在正方形中， ∴, ∵沿所在直线翻折得到， ∴, ∴, ∵， ∴, ,, ∴, ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴, ∴, 在中， ∴, ∴, ∴, ∴． 【变式8-4】（25-26八年级下·浙江台州·阶段检测）如图，在正方形中，点E是对角线上的一个动点（不与点A，C重合），连接，点C关于直线的对称点为点F，连接，． (1)如图1，若点F恰好落在对角线上，连接，求的度数． (2)如图2，连接，，若，试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)如图3，连接，，记的面积为，的面积为，若是等腰直角三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，，理由如下： 延长交于点G，如图所示， ∵点C关于直线的对称点为点F， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∴， 在和，， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）正方形四边相等，四个内角都是直角，每条对角线平分一组对角，点C关于直线的对称点为点F，可以得出，进而得出，算出的度数，从而得出的度数； （2）延长交于点G，点C关于直线的对称点为点F，可以得出，，两直线平行内错角相等，推出与的位置关系，证明和全等，得出，从而推出与的数量关系； （3）连接，交于点O，作交延长线于G，作交的延长线于点H，推出是等腰直角三角形，得出和的值，进而得出和的值，利用三角形面积公式推出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵、是正方形的对角线， ∴，， ∵点C关于直线的对称点为点F， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）略 （3）设正方形的边长为a，连接，交于点O，作交延长线于G，作交的延长线于点H，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵、是正方形的对角线， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵点C关于直线的对称点为点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵交延长线于G， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】正方形的性质，每条对角线平分一组对角，每个内角都是直角，四条边相等，牢记点关于线段对称的性质是解题的关键（即这条线段所在直线是这组对应点所成线段的垂直平分线）． 类型九、矩形综合题 【典例9】（25-26八年级下·湖南怀化·阶段检测）【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ②； (3)的长为1或9 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，； （2）①证明：略； ②解：∵, ∴, 设，则， ， 、， 在中，， ，解得：， ∴． （3）解：分两种情况讨论： 当点Q在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知， 、、， ， 设，则、， ， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为1或9． 【变式9-1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动（每位同学的矩形纸片规格不同）．老师规定矩形纸片按如下方式操作（如图1）． 操作一：在矩形纸片的边上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点； 操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为． (1)根据以上操作可知的度数为______． (2)如图2，小嘉折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在经过折叠后，矩形纸片中，，求的长． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形；理由见解析 (3)的长为 【分析】（1）根据折叠的性质，，，矩形中，可得，代入计算得； （2）连接，结合矩形与折叠性质，先证，推导出相关角度；再通过边角关系证明，得，结合，证得是等腰直角三角形； （3）过作，由勾股定理求得，设，分别在与中用勾股定理表示，建立方程解得，最终求出． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ，，， ． 由折叠的性质得：，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，， 又， ， ∵， ∴， ， 由折叠可得，， ， ， ∵， ∴， ， 又∵，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， 由折叠的性质可知，， 四边形为矩形， ，． ∵矩形，，， ； 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 设， ；；； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 解得， ． 在中，由勾股定理得：， ∴， ． 【点睛】本题核心是利用折叠前后边角不变的性质，结合全等三角形、勾股定理求解；通过角度推导、方程思想，将几何关系转化为代数计算，是矩形折叠类问题的典型思路． 【变式9-2】（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）综合与探究 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为． 猜想： (1)如图1，延长交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，连接，当点落在上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： (3)在旋转过程中，当点在同一条直线上时，若，请直接写出的长． 【答案】(1)解：，理由如下，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转可得，，， ∴， 在和， ∴， ∴， ∴． (2)解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由旋转可得，，，， 在和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． (3)或． 【分析】（1）连接，由旋转可得，，根据证明三角形的全等，即可得到； （2）根据矩形的性质，旋转的性质，可得，，根据证明三角形的全等，即可得到；根据矩形的性质，等量代换，可得；根据平行四边形的判定，即可； （3）根据旋转的性质可得，，，根据勾股定理，求出，分类讨论：当点在矩形内；当点在矩形之外，进行解答，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：或． ①当点在矩形内， ∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转可得，，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当点在矩形之外， ∵四边形是矩形， ∴，，， 当点在同一条直线时，， ∴； 由旋转可得，， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，进行解答，即可． 类型十、菱形综合题 【典例10】（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在中，平分，为延长线上一点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，于点，的延长线交于点． ①求证：；②求的值． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分，， ， ， 平行四边形中， 四边形是菱形． (2)①证明：在中：， ， ， ， 在中，， ， 菱形 ， ， ， ； ② 【分析】（1）利用平行四边形性质以及角平分线证邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）①先在内角和算出，结合菱形性质、直角三角形角度推导，等角对等边得； ②由，转化为求，构造直角三角形计算边长比值． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：过作交于， ， 则， 又，，， ， ， 又四边形是菱形，， ， ． 【变式10-1】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“极美菱形”．如图为点A，C的“极美菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． (1)点，，中，能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点的是______； (2)如果四边形是点M，P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为15，且与直线有公共点时，请直接写出b的取值范围； ③当四边形的面积为时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数． 【答案】(1) (2)①，②，③ 【分析】（1）根据“极美菱形”的定义，验证的长度即可判断； （2）①先求出两点的中点坐标，再求的长度，最后由四边形的面积计算即可； ②由四边形的面积求出的长度，进而求出的坐标，代入直线，结合图象求解b的取值范围即可； ③由四边形的面积求出的长度，再求出的长度，可得为等边三角形，即可求较小内角的度数即可． 【详解】（1）解：点M的坐标为，点P的坐标为， 点在直线上， 点，，， ， ， ，， ，， 能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点． （2）解：①如图，四边形是点M，P的“极美菱形”，连接与交于， 四边形是菱形， ，为中点， 点M的坐标为，点P的坐标为，点N的坐标为， 的中点的坐标为，即， ，， 四边形的面积． ②如图： 当四边形的面积为15， 由①得，解得， ， ，且， 为等腰直角三角形，， 在直线上，直线平分第一、三象限， 与轴正方向的夹角为， 点在轴上， ， 点的坐标为，同理可得点坐标为， 将，代入，分别解得，， 如图，当四边形与直线有公共点时，b的取值范围为． ③如图： 当四边形的面积为， 由①得，解得， ， ， 四边形是菱形， ， 为等边三角形， ，即该“极美菱形”中较小内角的度数为． 【变式10-2】（2026·浙江杭州·二模）【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探究． 如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，．可沿直线平移，连接， 【实验探究】 (1)在平移过程中，同学们发现四边形是平行四边形，请证明此结论； (2)当沿平移到某一个位置时，四边形恰好为菱形， ①如图，此时若，，试求的长； ②如图，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)① ② 【分析】（1）根据全等三角形的性质可知，，可证，根据全等三角形的性质可证，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）①连接交于点，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可知和互相垂直平分，可得：，设，则，利用勾股定理可得：，从而可以求出，，根据菱形的性质和线段之间的关系即可求出的长度； ②延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ，， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①解：如下图所示，连接交于点， ，， ， 四边形是菱形， ，和互相垂直平分， 在中，，，， ， 设，则， ， ， ，， ， ； ②解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是菱形， ，， ． 【变式10-3】（2026·山东青岛·模拟预测）如图，已知，，． (1)证明：． (2)连接，，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上________（填序号），则四边形的形状是________，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ． (2)解：选择条件①，则四边形是菱形， 理由如下：由（1）知， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 点是对角线，的中点， ， ，即， 四边形是菱形； 选择条件②，则四边形是矩形， 理由如下：由（1）知， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 点是对角线，的中点． ， ， 四边形是矩形； 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证； （2）选择条件①，由（1）知，根据全等三角形的性质可证：，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，因为，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形； 选择条件②，由（1）知，根据全等三角形的性质可知，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，由可得，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可证四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 1.（2026·北京朝阳·二模）如图，将正方形绕其中心逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的公共点为，B，C，D，E，F，G，H，连接，，．给出下面四个结论： ； ； ； 线段，，可以组成直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，分别交于L、K，设正方形的边长为，则正方形的对角线为，连接，连接交于R，由旋转的性质可知，则，根据等腰三角形三线合一得到，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，，可知是等腰直角三角形，证明，同理可知，则，是等腰直角三角形，，根据勾股定理可知，①错误；根据三角形外角的性质及等边对等角得到，②正确；连接，根据全等三角形的性质得到，，，证明，得到，，可知即是等腰直角三角形，得到，根据可知，③正确；证明，得到，则线段，，可以组成直角三角形，④正确． 【详解】解：如图，连接，分别交于L、K， 则， 设正方形的边长为，则正方形的对角线为， 则， 连接，连接交于R， 由旋转的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 即 同理可得， ∵， ∴，同理可知， ∴，是等腰直角三角形，， ∴，，①错误； ∵， ∴，即，②正确； 如图，连接， ∵ ∴，，， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴线段，，可以组成直角三角形，④正确． 2.（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）探究解题 (1)【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为 ； (2)【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； (3)【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 【答案】(1)6 (2)证明：如图②，连接交于点H， 由题意得， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分，即点H是的中点； ∵点O是边的中点， ∴是的中位线， ∴． (3)线段的长度为或 【分析】（1）利用旋转的性质、等边三角形的判定与性质即可求解； （2）连接交于点H，由折叠的性质及点O是边的中点，得，从而可证明，有，则得垂直平分，由三角形中位线的性质即可证明； （3）分两种情况：当点F落在的垂直平分线上时，则易得四边形是矩形，则；当点F落在的垂直平分线上时，过O作于点H，则可得，都是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，点O是边的中点，， ∴； ∵将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，且旋转角的大小为， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为； （2）略 （3）解：当点F落在的垂直平分线上时，如图③， ∵点O是边的中点， ∴， ∴； 由旋转知， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当点F落在的垂直平分线上时，过O作于点H，如图④， 则P，Q分别是，的中点， ∴； 同理可得：四边形是矩形， ∴； ∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 即， ∴是等腰直角三角形，且； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得． 综上，线段的长度为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论，所涉及的知识点较多，灵活应用是解题的关键． 3.（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 4.（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图1，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，连接，且． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若的中点恰好在线段上，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，继而根据三角形内角和定理得到． （2）根据正方形的性质证明，根据对应边相等得到，继而得证结论． （3）作于点，于点，于点，连接，根据四边形是矩形，得到，根据三角形中位线定理得到，设，通过证明、、、为等腰直角三角形，继而得到，，，从而得到或． 【详解】（1）解：四边形是正方形， 对角线平分， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， 对角线平分， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图2，作于点，于点，于点，连接， ，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点，， ， ， 点是的中点， ∴是的中位线， ， 设，则，由（2）可得， 于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，同理、、均为等腰直角三角形， 在等腰直角三角形中，， 在等腰直角三角形中，， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在等腰直角三角形中，， 即． 5.（25-26八年级下·重庆·期中）近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． (1)求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ (2)4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 【答案】(1)每顶普通帐篷进价元，每顶星空帐篷进价元 (2) 【分析】（1）设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶列方程求解即可； （2）根据普通帐篷总费用为元，星空帐篷数量为顶，新进价为元，由总采购费为12000元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶 列分式方程： 化简得：，解得 经检验，是原方程的解， 因此 即普通帐篷进价200元，星空帐篷进价400元； （2）解：4月份采购数量： 普通帐篷数量：顶，星空帐篷数量：顶， 5月份采购条件：普通帐篷：数量25顶，新进价为元，总费用：元； 星空帐篷：数量为顶，新进价为元， 由总采购费为12000元，列方程： 化简整理得： 因为， 所以 6.（2026·辽宁朝阳·二模）在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 (1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； (2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 【答案】(1)购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． (2)将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 【分析】（1）设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶件，根据等量关系：两款公仔玩偶共花费1430元，建立一元一次方程即可求解； （2）设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶件， 由题意得：， 解得：， 则（件）； 答：购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． （2）解：设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 7.（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)7 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行线的判定得出； （2）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设与相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴，． 在中，． 8.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，在上，连接． (1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； (2)如图2，连接，在上，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，推出，根据得，等量代换得，即可证明平分； （2）由，，推导出．根据以及三角形外角的性质，证明，即可得出； （3）在左侧构造，使得，在直线上，通过（2）中的条件和结论，先利用全等三角形说明，再利用（3）中的条件进行角度代换，通过等角对等边说明，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明： 中，，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 中，，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明： ， ， 又 ， ． ，， ， ， ， ， 又 ， ， ； （3）解：如图，在左侧构造，使得，在直线上，连接，作，， 由作法，可知，，，，， 又由（2），得，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵，， 又， ∴，即， 解得． 9.（2026·吉林长春·二模）如图，已知正方形与，连接，过D作的垂线交于点H，以和为邻边作平行四边形，连结、，与交于点M，和交于点N．给出下面四个结论：①平行四边形是正方形；②；③；④，上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【分析】先证明得出，结合四边形是平行四边形，，即可证明四边形是正方形，即可判断①；证明得出，在中，，等量代换，即可判断②，假设，连接，证明得出，从而得出矛盾，即可判断③，过点作于点，证明，得出，证明得出，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴，故②正确； 若，则 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 如图，连接， ∵ ∴ ∴， 而，则，故假设不成立， ∴，故③错误； 如图，过点作于点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，故④正确， 综上所述，正确的有①②④ 10.（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在四边形中，，点E为边上的动点．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论：①的最小值是；②的最小值是；③的最大值是；④的最大值是，其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵， ，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合，与重合时，最小此时， ，故③错误； 故②正确； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时 当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值 故①正确； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴最大值为．故④正确； 综上所述结论正确的是①②④ 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $