专题09 期末真题百练通关（期末复习专项训练）（压轴题35题）七年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 聚焦期末压轴题，整合35道跨年级真题，覆盖代数几何综合、动态问题及实际应用，以题构建知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|12题（如三角板旋转、图形平移）|动态探究与角度计算|从静态图形到动态变换，结合角平分线、全等性质推导| |代数综合|10题（如不等式组整数解、定义新运算）|含参数问题与逻辑推理|从方程求解到不等式应用，渗透分类讨论思想| |应用实践|13题（如行程、利润方案）|实际情境建模|从实际问题抽象等量关系，运用方程不等式解决|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09期末真题百练通关 （压轴题35题) 真题实战·百练通关 一、填空题 1.(25-26七年级上·重庆忠县期末)如图①是由编号为1,2,3,4,5的五个小长方形组成的大长方形.已 知图①中编号为3,4,5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面 积的两倍，若b=ka,则k= 5 图① 图② 2.(25-26七年级上·广东东莞期末)一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每 天17k的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后 以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，那么科学考察队在生 态区考察了 天 3.(24-25七年级下·全国·课后作业)一个角的余角的2倍比这个角的补角的少27·，则这个角的度数 为 4.(24-25七年级下·四川资阳期末)如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB,BC,CA至 点A1,B1,C1,使A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,顺次连接A1,B1,C1得到△A1B1C1,第二次操作： 分别延长A1B1B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使AB1=A1B1B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,顺次连接 A2,B2,C2,得到△A2B2C2,.按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过 次 操作。 B C A 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3x-5>x-1 5。(2425七年级下四川资阳期末)已知关于x的不等式组2x+2<a十x十2有5个整数解，则a 的取值范围是 6.(25-26八年级上·广东广州期中)将一副三角板按如图所示的方式放置.∠BAC=∠DAE=90°， ∠B=45°，∠D=30°，F为DE与BC的交点.若∠DAB=30°，则∠DFB=一· 7.(24-25七年级上·上海·期末)如图，将一个周长为a厘米的三角形ABC沿射线AB方向平移后得到三 角形DEF,点A、B、C的对应点分别是点D、E、F,连接CF,已知四边形AEFC的周长为b厘米，那么 平移的距离是 厘米.（用含a、b的代数式表示结果）· X<m 8。(24-25七年级下海南省直辖县级单位期末)若关于x的不等式组7-2x≤1的整数解恰有2个， 则m的取值范围是 9.(24-25七年级下四川乐山期末)1.设△ABC的面积为a,如图1将边BC、AC分别2等分，BE1、 AD1相交于点O,△A0B的面积记为S1;如图2将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点0， △AOB的面积记为S2;,以此类推. E D D D. B D D,D 图1 图2 图3 (1)S1= (用含有a的代数式进行表示)； (2)若将边BC、AC分别n+1等分，BE1、AD1相交于点0，记△A0B的面积为Sn,则Sn= (用 含有a和n的代数式进行表示 2/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (x+3y=4-a 10.(24-25七年级下山西吕梁期末)已知关于x,y的二元一次方程组x-y=3a ，给出下列结 论中正确的是 ①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，a=一2；②当a=1时，方程组的解也是方程 x+y=4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y,则y=-号+ 11.(24-25七年级上浙江金华期末)一条公路上有相距80km的AB两地，甲、乙、丙三人都在这条公 路上行驶.根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题 甲：我从A地出发匀速前往B地，速度为20km/h. 乙：甲出发1小时后，我也从A地出发匀速前往B地，出发半小时后追上了甲，到达B地后停止不动， 丙：我与甲同时出发，但我是从B地匀速前往A地，当我与甲相遇时，甲与乙相距20km.我出发后 小时与乙相遇， 12.(24-25七年级上湖北武汉·期末)对一各位均不为0的三位自然数abc,将其各位数代入a+b-c 中，称为对其进行一次“少年运算”，例如：对123进行一次“少年运算”，其结果为1十2一3=0；对该 三位数及任意调换其两位数字后所得的五个数分别进行一次“少年运算”，所得结果的最小值，称为该三位 数的宏志数”.若一对三位数1xy和1yx满足7·1xy+29·1yx=4293,则1xy的“宏志数”= 二、解答题 13.（25-26七年级上·安徽马鞍山期末)定义：我们把关于x,y的二元一次方程 (a十n)x十(b+n)y=c+n叫做方程ax+by=c(abc≠0，n为正整数)的n阶方程. (1)方程2x+3y=7的2阶方程”为：- (2)方程一x+2y=k的4阶方程”和x+3y=k+1的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (8=m+1 (3)若气y=m-3是关于”，y的方程ax+by=c与它的3阶方程"构成的方程组的解，求 -5a+3b+2c-4的值 14.(25-26七年级上山东聊城期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在 一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45): 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为 ②若∠ACB=140°，则∠DCE的度数 为 (2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由 (3)当∠ACE<180°，且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在， 请直接写出∠ACE角度所有可能的值（并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由）；若不存在，请说明理 由. 15.(25-26七年级上·北京期中)将连续的奇数1,3,5,7,9，.排成如图所示的数阵，用十字框按如 图所示的方式任意框五个数.（十字框只能平移） 1 357911 131517192123 252729313335 373941434547 495153555759 616365·· (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为； (②)十字框内五个数的和的最小值是 (3)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请 说明理由. 16.(24-25七年级上陕西安康期末)如图1，把一副三角板拼在一起，边0A,0C与直线EF重合，其 中∠A0B=45°，∠C0D=60°，此时易得∠B0D=75°. 4/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ① ② ③ (1)如图2，三角板C0D固定不动，将三角板AOB绕点0以每秒5·的速度顺时针开始旋转，在转动过程中， 三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角板AOB运动时间为t秒. ①当t=3时，∠BOD=°； ②当t为何值时，∠A0E=4∠B0D? (2)如图3，在(1)的条件下，若0M平分∠BOE,ON平分∠A0D. ①当∠A0E=30°时，∠MON=°； ②请问在三角板AOB的旋转过程中，∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果 不发生变化，请直接写出∠MON的度数， 17.(25-26七年级上江苏淮安期末)“绿水青山，就是金山银山”，某旅游景区为了保护环境，需购买A、 B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台 B型设备日处理能力一共为62吨， (1)求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？ (②)若购买A、B两种型号的垃圾处理设备共20台(A、B两种型号均购买)，并且它们的日处理能力不低于 235吨.请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案； (3)已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于137 万元时，则按9.5折优惠；问：采用(2)中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由 18.(24-25八年级上江苏常州阶段检测)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90。,BC=6cm, AC=8cm,AB=10cm,现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停 止，速度为2cms,设运动时间为t秒. 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P D B E 图① 图② (1)如图①，当t=2时，AP= cm; (2)如图①当t= 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； (3)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,EF=3cm,在△ABC的边上，若 另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止，在两点运动过 程中的某时刻，恰好△APQ兰△DEF,求点Q的运动速度. 19.(25-26七年级上山东日照阶段检测)定义：关于x的方程ax-b=0与方程bx一a=0(a,b均 为不等于0的常数)称为互为“反对方程”，例如：方程2x一1=0与方程x一2=0互为“反对方程”. (1)若关于x的方程6x-3=0与方程3x-c=0互为“反对方程”，则c= (2)若关于x的方程5x十3m十1=0与方程8x-n+2=0互为“反对方程”，求mn的值. (3)若关于x的方程5x一c=0与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值. 20.(23-24七年级上·广东广州期末)克拉玛依市准噶尔商场经销的A,B两种商品，A种商品每件售价 利润 60元，利润为20元：B种商品每件进价50元，售价80元.（利润=售价-进价，利润率=进×100%） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (I)A种商品每件进价为 元，每件B种商品利润率为 (2)若准噶尔商场同时购进A,B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对A,B两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性 购买A,B商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 21.(25-26七年级上·重庆期中)已知关于x的多项式A=4mx2-x十m,B=4x2-3nx+5(m,n 为常数). 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若代数式3A-2B的值与x无关，求6m+4n的值， (2)若A一B=0为关于x的一元一次方程，当方程的解为x=一1时，求m,n的值. 22.(24-25七年级下·湖南衡阳·期末)某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A,B两种不同 款式的服装.己知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同.若1 套A款服装和2套B款服装需用布料5m,3套A款服装和1套B款服装需用布料7m. (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A,B两款服装共100套，所用布料不超过168m,那么该服装厂最少需要生产多少套B款 服装？ (3)在(2)的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100 套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由。 23.（22-23八年级上广东汕尾·阶段检测)认真阅读下面关于三角形内、外角平分线所夹角的探究片段， 完成所提出的问题， 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线B0和CO的交点，试分析∠BOC与∠A的关系； (2)如图2，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线B0和C0的交点，试分析∠B0C与∠A有怎样的关系？并说 明理由； (3)如图3，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线B0和C0的交点，请直接写出∠BOC与∠A的数量关系， 24.(23-24七年级下·广西北海期末)某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳 生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告，请你帮他们完成下 面的活动报告， 活动 了解“新能源汽车充电难”问题 课题 活动 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”， 目的 活动 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 7/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 素材 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 /m2 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩 需要07万元. 问题 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元· 一 问题 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 二 问题 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个， 三 则共有几种建造方案？请列出所有方案.哪种方案占地面积最小. 25.(23-24七年级下·河南南阳·期末)【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD,BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻 AB三分线”，BE是“邻BC三分线”. 【问题解决】 图① 图② 图③ (1)如图①，∠ABC=60·,BD,BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE=°； (2)如图②，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，若∠B的“邻BC三分线”BD交AC于点D,则 ∠BDC=o; (3)如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC三分线”，且BP⊥CP, 求∠A的度数. 26.(24-25七年级上黑龙江牡丹江期末)某商场销售A、B两种商品，售出150件A种商品与售出200件 B种商品所得利润共50000元，1件A商品的利润比1件B商品的利润的3倍少100元. 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别是多少元： (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进A、B两种商品共34件.如果将这34件 商品全部售完后所得利润不低于4000元，且A种商品至多购进8件，求商场有哪几种购进方案： (3)在(2)的条件下，若每件A种商品售价500元，每件B种商品售价220元，用(2)中获得的最大利润 全部用于再购进A、B两种商品，直接写出再次购进A、B两种商品总数最多的方案。 27.(24-25七年级上黑龙江牡丹江期末)我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的 值称为此方程（组）和不等式（组）的梦想解”. 例如：己知方程2x-3=1与不等式x+3>0,当x=2时，2×2-3=1与2+3=5>0同时成立，则 称x=2是方程2x-3=1和不等式x十3>0的“梦想解” ()已知①x-克>，②2(x+3)<4,③号<3，则方程2x+3=1的解是它与不等式 的“梦 想解”.（填序号） |3x-2y=m+2 (②若关于x,y的二元一次方程组2x-y=m-5和不等式-5≤x+y≤1有“梦想解”，求m的取值 范围。 28.(23-24七年级下·广东湛江·期末)在△ABC中，∠B=∠C,点D在线段BC上. D D H 图1 图2 图3 (1)如图1，点E在线段AC上，∠ADE=∠AED,若∠BAC=80°，∠CDE=25°，则∠BAD=_°； (2)如图2，AH平分∠BAD,点F在线段BD上，FH⊥AH交AD的延长线于点G,∠ACB与∠AGF的角平 分线交于点P,问是否为定值，请说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，点F在线段CD上，∠CFG=m°时，请直接写出∠P的度数（用含m的式 子表示)· 29.(24-25七年级上四川成都期末)若两角之差的绝对值为60°，则称这两个角是一组“奇妙角”.即若 |∠-∠5|=60°，则∠与∠B是一组“奇妙角”(0°<∠a<180°，0°<∠B<180°). 9/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B B A B B D L-- B 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，在长方形ABCD中，点P在边AB上，点G在边CD上，沿着PG将四边形PADG对折，点A落在 点A处，点D落在点D'处，若∠BPA=20°，判断∠APG与∠BPA是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点P为长方形ABCD的边AB上一点，点M,点N分别是射线AD,射线BC上一点，连接 PM,PN,沿着PM,PN分别对折三角形APM和三角形BPN,点A落在点A处，点B落在点B处. ①如图3，当点P,A,B三点共线时，∠APM与∠BPN是一组“奇妙角”，求∠BPN的度数： ②当点P,A,B三点不共线时，∠APM与∠BPN是一组“奇妙角，∠APM>∠BPN,且 ∠APB=12·,求∠BPA的度数 30.(24-25七年级上山东济宁期末)如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点 A重合，点E落在边AB上，∠BAC=∠DAE=90·,∠CAD=180°（本题中所有的角均小于或等于 180°). D 图1 图2 (1)如图2，若将三角板ABC绕点A以每秒3°的速度顺时针旋转，而三角板ADE保持静止不动，第10秒时， ∠BAE的度数为 °，∠CAD的度数为 。,此时∠BAE十∠CAD= (2)若将三角板ABC绕点A顺时针旋转一周后停止，而三角板ADE保特静止不动，(1)中∠BAE和 ∠CAD的数量关系是否始终成立？请说明理由； (3)若将三角板ABC绕点A以每秒3°的速度顺时针旋转的同时，将三角板ADE以每秒6°的速度逆时针旋 转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时∠BAE=∠CAD？(直接写出答案即可) 31.(23-24七年级下·福建泉州期末)簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪 念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州 人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的 10/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决. 图1 图2 (1)己知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不 能是下列哪种形状的正多边形 (填序号) ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (②)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后 中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若 围成一圈后中间形成一个正多边形，则的值为，并简要说明理由 32.（24-25七年级上·重庆期末)列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情，购置御寒衣物、取 暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”.全国各地立足自身自然资源优势，将“冷 资源”转化为“热经济”.某商店的A、B两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件A商品的售价为800元， 利润为300元；每件B商品的进价为800元，利润率为25%： (1)每件A商品的进价为 元，每件B商品的售价为 元 (2)若该商店第一次用68000元购进了A、B两种商品，其中B商品的件数比A商品件数的2倍少20件，求 购进A、B两种商品各多少件： (3)在(2)的条件下，该商店第二次又购进A、B两种商品进行销售，与第一次相比，购进A商品的件数不 变，进价提高了m%,售价不变并且全部售出；购进B商品的件数增加了2m%,进价不变，但每件的售价 调整为1100元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的22件B商品打九折 并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润29180元，求m的值 33.(24-25七年级上湖南长沙期末)已知一个关于x的一元一次方程cx十d=0(c≠0，d为常数)， 若这个方程的解恰好为x=c十d或x=一c一d,则称这个方程为“幸福方程”.例如：一2x十4=0的解 为x=2,而-2十4=2，则方程-2x十4=0是“幸福方程” (1)下列方程是“幸福方程的打“√”，不是“幸福方程的打“×”； ①3x-是=0()②x-7=0()③-3x+1=-号() (2)若关于x的方程2x+m=0是“幸福方程”，求m的值； (3)若关于x的方程ax-b=0是“幸福方程”，求关于y的方程a(b-a)y+5=(-b+1)y的解 11/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 34.(24-25七年级上浙江嘉兴期末)根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两 裁剪长方形 材 种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3 (图1) 纸板 1 块小正方形纸板， (图2) 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可 素 制作无盖长 做成图3所示的无盖长方体纸盒：3块相同的小 材 方体纸盒 长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示 2 (图3 (图4) 的无盖长方体纸盒， 问题解决 任 制作图3规 若有21张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板可以做成的无盖纸盒数最 务 格的纸盒若 多？最多能做多少个？ 1 千个 任 制作图3、图 务 4规格的纸 若有25张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板能够恰好完成制作？ 2 盒共11个 35.(23-24七年级下·黑龙江双鸭山期末)我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合 成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组 合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”. (2x-4=0 (1)组合15x-2<3是 ；(填有缘组合或无缘组合) 15x+15=0 (②若关于x的组合号>a是有缘组合，求a的取值范围： 12/12 专题09 期末真题百练通关（压轴题35题） 一、填空题 1．（25-26七年级上·重庆忠县·期末）如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组的应用．编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，根据题意得到，，据此求解即可． 【详解】解：由题意，编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， 编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， ∵编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍， ∴， ∴， ∵大长方形的两对边相等， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：2． 2．（25-26七年级上·广东东莞·期末）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 【答案】23 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为，根据总天数和行程距离相等建立方程，根据，均为正整数，可求出和，再代入总天数方程求即可． 【详解】解：设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为， 由题意，向上游距离等于返回距离，且返回最后一天行进了， 因此有， 化简得， ∴， ∴是25的倍数， 取，则，此时，符合题意， ∴的通解为，（k为整数）， 当或时，x、y不满足为正整数且， ∴， ∴，， 又总天数满足， ∴ 故答案为：23． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了余角与补角的定义，掌握余角、补角的定义，以及通过列方程解决角度问题是解题的关键． 设这个角的度数为，根据余角和补角的定义，列出方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则余角为，补角为． 根据题意，得方程： 展开并化简： ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，面积为1，第一次操作：分别延长，至点，使，顺次连接得到 ．第二次操作：分别延长至点，使，，顺次连接，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过___________次操作． 【答案】 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，此题属规律性题目，先根据已知条件求出及 的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可． 【详解】解：连接如图： 与的面积相等， 面积为， ， 同理可得， ， 同理可证 的面积的面积， 第三次操作后的面积为 第四次操作后的面积为， ∴按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过次操作， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解的情况确定字母的取值范围．先解不等式组，得到解集，由有个整数解可知整数解为，，，，，从而确定需满足． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 因有个整数解，即可取，，，，， 故需满足，以确保包含但不包含． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．设交于点H，由，且，，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵，且， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期末）如图，将一个周长为a厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、连接，已知四边形的周长为b厘米，那么平移的距离是______厘米（用含a、b的代数式表示结果）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可． 【详解】解：将一个周长为a厘米的沿射线方向平移后得到， ，， 的周长为a厘米， ， 四边形的周长为b厘米， ，即， ， 即平移的距离是， 故答案为： 8．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若关于的不等式组的整数解恰有2个，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，理解恰有2个整数解的意义是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据恰有2个整数解确定 m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是：． ∵不等式组有2个整数解， ∴整数解是3，4． ∴． 故答案是：． 9．（24-25七年级下·四川乐山·期末）1．设的面积为，如图1将边、分别2等分，、相交于点，的面积记为；如图2将边、分别3等分，、相交于点，的面积记为；……，以此类推． (1)___________(用含有a的代数式进行表示)； (2)若将边、分别等分，、相交于点，记的面积为，则__________(用含有和的代数式进行表示)． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，即可解答． （1）连接，先求出，推导出，继而得到，则，即可解答； (2)连接，先推导出，得到，则，得到，即可解答． 【详解】解：(1)连接如图 ∵点将、分别2等分， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． (2)如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 10．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解： 当这个方程组的解，的值互为相反数时， 即， 两方程相加，得， ， 解得；故正确； 当时，原方程组可化简为 解得 方程， 左边可化为：， 右边可化为：， 所以左边右边， 故错误； 可得：， 即， 所以无论取什么实数，的值始终为，故正确； 由知， ，故正确； 故答案为． 11．（24-25七年级上·浙江金华·期末）一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后____小时与乙相遇． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 设丙出发与乙相遇，求出乙的速度为；当丙与甲相遇时，①若甲在乙前面，②若乙在甲前面，乙已经到达B地，；③若乙在甲前面，乙已经到达B地，根据题意，列出方程，分别解方程可得答案． 【详解】解：设丙出发与乙相遇， 根据题意可得：乙的速度为 当丙与甲相遇时， ①若甲在乙前面，则此时乙在A地，甲刚好出发，行驶了， ∴丙速度为， ∴， 解得：； ②若乙在甲前面，乙未到达B地， ∵， ∴此时乙出发了，所走路程为，甲所走路程为 ∴丙的速度为， ∴， 解得； ③若乙在甲前面，乙已经到达B地， 此时甲所走路程为， 此时甲出发了， ∴丙的速度为， ∴， 解得； 综上所述，丙出发或或与乙相遇， 故答案为：或或． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）对一各位均不为0的三位自然数，将其各位数代入中，称为对其进行一次“少年运算”，例如：对123进行一次“少年运算”，其结果为；对该三位数及任意调换其两位数字后所得的五个数分别进行一次“少年运算”，所得结果的最小值，称为该三位数的“宏志数”．若一对三位数和满足，则的“宏志数”_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了列代数式，求二元一次方程的正整数解，化简绝对值等知识点，读懂题意，按照题中定义的新运算正确列式计算是解题的关键． 由题意可得，进而可得或，再结合新定义进一步求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理，得：， ∵，为正整数， ∴或， 当时，则， ∴对该三位数及任意调换其两位数字后所得的数为，， ∴，，， ∴的“宏志数”； 当时，则， ∴对该三位数及任意调换其两位数字后所得的数为，， ∴，，， ∴的“宏志数”； 综上，的“宏志数”为或， 故答案为：或． 二、解答题 13．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 14．（25-26七年级上·山东聊城·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：     (1)若，则的度数为_______________．若，则的度数为_____________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，见解析 (3)存在，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【分析】该题考查的是三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识．  （1）先根据直角三角板的性质求出及的度数，进而可得出的度数；由，，可得出的度数，进而得出的度数；  （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，可得出结论；  （3）分，，，及进行解答． 【详解】（1）解：，，  ，  ，  ．  故答案为；  ，，  ，  ．  故答案为； （2）猜想：．  理由如下：，  又，  ，  即； （3），，，，．  理由：当时，如图1所示：  ∴， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴ ∴；  当时，如图4所示： ∴， ∴；  当时，延长交于F，如图5所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·北京·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为______； (2)十字框内五个数的和的最小值是______； (3)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)和不能等于2026，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，熟练掌握通过设未知数，根据数量关系列方程求解，以及分析数字排列规律是解题的关键． （1）根据数阵中数的排列规律，正中间的数与上下左右四个数的关系为：左右两个数比中间数少2和多2，上下两个数比中间数少12和多12，据此求出这五个数并求和； （2）要使十字框内五个数的和最小，则正中间的数要尽可能小，结合十字框的框取规则确定正中间最小的数，进而求出这五个数并求和； （3）设正中间的数为，根据上述数量关系表示出其余四个数，然后根据五个数的和等于2026列出方程，求解并根据实际情况判断解是否合理． 【详解】（1）解：∵正中间的一个数为， ∴左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和为， 故答案为：； （2）解：∵十字框只能平移，且要框住个数， ∴正中间最小的数为， 此时左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和的最小值为， 故答案为：； （3）解：和不能等于2026，理由如下： 设正中间的数为，则左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， 依题意得：， 合并同类项得：， 系数化为得：（不是整数）． ∴它们的和不能等于2026． 16．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，② (2)①，②的度数不发生变化， 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可得出结果； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【详解】（1）解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转， 设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． （2）解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 17．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 【答案】(1)设备处理能力为一天吨，设备一天吨； (2)一共有2种方案，方案：买设备台，设备台；方案②：买设备台，设备台； (3)采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及费用最值问题，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式，准确计算各方案费用并比较． （1）设未知数，根据两种设备组合的日处理能力列出方程组，求解得出两种设备的日处理能力； （2）设购买A设备台数，结合总台数和日处理能力要求列不等式，根据“A、B均购买”确定正整数解，得出购买方案； （3）分别计算各有效方案的货款，判断是否符合优惠条件，计算实际费用后比较大小． 【详解】（1）解：设1台A型设备日处理能力为吨，1台B型设备日处理能力为吨， 由题意得， 由得，代入得， 解得， 则， 答：1台A型设备日处理能力吨，1台B型设备日处理能力吨． （2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台， 由题意得， 解得， ∵为正整数（A、B两种型号均购买）， ∴或，对应的购买方案方案①：购买A型设备1台，B型设备台； 方案②：购买A型设备2台，B型设备台； 答：两种方案，分别为购买A型设备1台、B型设备台和A型设备2台、B型设备台． （3）解：方案①：货款万元， ∵，享受折优惠， 实际付款万元； 方案②：货款万元， ∵，不享受优惠， 实际付款万元； ∵， ∴方案①（购买A型设备1台、B型设备台）费用最少． 答：采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少． 18．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 19．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义求解； （2）根据“反对方程”的定义求出m和n的值，进而求积即可； （3）根据“反对方程”的定义写出方程的“反对方程”，求出两个方程的解，根据它们的解均为整数， 可得答案． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 根据定义，的“反对方程”应为， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 即方程与方程互为“反对方程”， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：方程的“反对方程”为， 解得：， 解得：， 方程与其“反对方程”的解都是整数， ∴是5的倍数，也是5的因数， ∴． 20．（23-24七年级上·广东广州·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【答案】(1)40； (2)种商品40件 (3)580元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A种商品每件进价为a元，利用利润=售价-进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出A种商品每件的进价，再利用利润率利润进价，即可求出每件B种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，由题意得，再解方程即可； （3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分及两种情况考虑，根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种商品每件进价为a元， 依题意得：， 解得：， ∴A种商品每件进价为40元， 每件B种商品利润率为． 故答案为：40；． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得， 解得：． 即购进种商品件，种商品件． （3）设小华打折前应付款元． 当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即， 由题意得，解得， 当打折前购物金额超过600元，即， ， 解得：． 综上，小华在该商场购买同样商品要付元或元． 21．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于x的多项式，(m，n为常数)． (1)若代数式的值与x无关，求的值． (2)若为关于x的一元一次方程，当方程的解为时，求m，n的值． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，整式加减中的无关型问题，已知一元一次方程的解求参数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先化简，根据代数式的值与x无关，得到关于m，n的方程求解，再代入求值； （2）先化简，根据为关于x的一元一次方程，得到且，得到方程为，再当方程的解为时，求得n即可． 【详解】（1）解：∵，(m，n为常数) ∴ ∵代数式的值与x无关， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， 整理得， ∵为关于x的一元一次方程， ∴且， ∴且， 于是方程为， 当方程的解为时，， 解得：， 此时，满足一元一次方程． 综上，，． 22．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 23．（22-23八年级上·广东汕尾·阶段检测）认真阅读下面关于三角形内、外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)如图1，在中，是与的平分线和的交点，试分析与的关系； (2)如图2，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？并说明理由； (3)如图3，是外角与外角的平分线和的交点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． （1）首先根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线的定义，得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义，可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 平分，平分， ， 由三角形外角性质可知：， ， 是的一个外角， ； （3）解：，理由如下： 平分，平分， ， ， 由三角形内角和可知：， ． 24．（23-24七年级下·广西北海·期末）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元； 问题二：最多可以建个地下充电桩； 问题三：共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案占地面积最小 【分析】问题一：找准等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解，得到单个地上和地下充电桩的建造费用； 问题二：设地下充电桩数量，根据总资金限制列出一元一次不等式，求解得出地下充电桩的最大数量； 问题三：结合资金限制和地下充电桩数量的下限，列出一元一次不等式组，找出整数解得到所有建造方案，再计算各方案的占地面积并比较大小，确定占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 根据题意得： 解得： 答：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 问题二：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 化简得： 解得： 答：最多可以建43个地下充电桩 问题三：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 解不等式组得： 又∵为正整数 可以为，，， 共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩 方案1的占地面积为（平方米） 方案2的占地面积为（平方米） 方案3的占地面积为（平方米） 方案4的占地面积为（平方米） ∵ ∴方案占地面积最小 答：共有种建造方案，分别为上述方案，方案占地面积最小 25．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图①，，是的“三分线”，则______； (2)如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； (3)如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 【答案】(1)40 (2)90 (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． （1）根据“三分线”的定义即可得到答案； （2）根据是“邻三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵是的“三分线”， ∴， 故答案为：40； （2）解：如图， ∵是“邻三分线”时，， 则， 故答案为：90； （3）解：∵， ∴， ∴． ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∴， ∴． 26．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某商场销售、两种商品，售出件种商品与售出件种商品所得利润共元，件商品的利润比件商品的利润的倍少元． (1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别是多少元； (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且A种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，若每件种商品售价元，每件种商品售价元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进、两种商品，直接写出再次购进、两种商品总数最多的方案． 【答案】(1)每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元 (2)商场有三种购进方案：方案一：购进A种商品6件，B种商品28件；方案二：购进A种商品7件，B种商品27件；方案三：购进A种商品8件，B种商品26件 (3)再次购进A、B两种商品总数最多的方案为购进A种商品0件，B种商品35件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及最大利润下的购买方案． （1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元，列方程组求解； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据利润要求和不等式条件确定购进方案； （3）利用最大利润计算再购进方案，通过比较进价最大化购买件数． 【详解】（1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． 根据题意，得 解得． 答：每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． （2）设购进种商品件，则购进种商品件． 总利润为， 根据利润不低于元，得， 解得． ∵种商品至多购进件，故， ∴ ， ∵为整数， ∴当时，种商品件；当时，种商品件；当时，种商品件． 答：商场有三种购进方案： 方案一：购进种商品件，种商品件； 方案二：购进种商品件，种商品件； 方案三：购进种商品件，种商品件． （3）由（2）知，最大利润对应，利润为元． 每件种商品售价元，利润元，故进价为元； 每件种商品售价元，利润元，故进价为元． 设用元再购进种商品件，种商品件， 根据题意得， 化简得． 总件数，为了使最大化，应尽可能多购进进价低的种商品． 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，； ∴随增大而减小，故最大为，此时，． ∴ 再次购进、两种商品总数最多的方案为购进种商品件，种商品件． 27．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题为新定义问题，考查了解不等式，解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组等知识﹒ （1）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （2）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出求的取值范围﹒ 【详解】（1）解：解方程得， 解不等式得，故方程的解不是不等式①的梦想解； 解不等式得，故方程的解不是不等式②的梦想解； 解不等式得，故方程的解是不等式③的梦想解﹒ 故答案为：③； （2）解：解二元一次方程组 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 28．（23-24七年级下·广东湛江·期末）在中，，点在线段上． (1)如图1，点在线段上，，若，，则_____°； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，再结合已知条件可证； （2）如图，延长交于K．设，求出x与y之间的关系即可解决问题； （3）如图，延长交于K，延长交于N．设，仿照（2）求出x与y之间的关系即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：是定值，理由如下： 如图，延长交于K．设． ∵，平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵（三角形的外角的性质）， ∴， ∴，即， ∴是定值； （3）解：如图，延长交于K，延长交于N．设． 同（2）法可证：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，角度的和差计算等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 29．（24-25七年级上·四川成都·期末）若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若，则与是一组“奇妙角”（）．    (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“奇妙角”，并说明理由； (2)如图2，点为长方形的边上一点，点，点分别是射线，射线上一点，连接，沿着分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处． ①如图3，当点三点共线时，与是一组“奇妙角”，求的度数； ②当点，，三点不共线时，与是一组“奇妙角”，，且，求的度数． 【答案】(1) 与是一组“奇妙角”，理由如下： ， ，由折叠可知：，    与是一组“奇妙角”； (2)①或；②或 【分析】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用， （1）先求出，由折叠，则即可得出结论； （2）①设，得出，根据定义得出或，列方程解决即可； ②设，得出，分两种情况：当与无重叠时，或当与有重叠时分别列方程解决． 【详解】（1）略 （2）解：①设， 由对折可得：， ， ，     与是一组“奇妙角”， 或， 或， 或，即或， ②设， 由对折可得： 与是一组“奇妙角”，且 ， 当与无重叠时，如图：   ， ， ， ， ， 当与有重叠时，如图：     ， ， ， ， 综上所述，或． 30．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）． (1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第10秒时，的度数为__________，的度数为__________，此时__________； (2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，而三角板保持静止不动，（1）中和的数量关系是否始终成立？请说明理由； (3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【答案】(1)，， (2)成立，理由见解析 (3)秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要涉及角的旋转以及角的数量关系问题，根据题意找到角的数量关系是解题的关键． （1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数； （2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系； （3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第10秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：成立，理由如下， 设三角板绕点顺时针旋转度（）， 情况1，当时，如图2， ，， ∵， ∴， ∴； 情况2，当时，如图3， ； ∴（1）中和的数量关系始终成立． （3）解：设秒时，， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转了， 三角板以每秒的速度逆时针旋转，则旋转了， 情况1，时，如图4， ，， ∴， 解得：； 情况2，时，如图5， ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图6， ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图7， ，， ∴， 解得：； 综上，第秒或秒或秒或秒时． 31．（23-24七年级下·福建泉州·期末）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【详解】（1）解：①正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ②正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：． 32．（24-25七年级上·重庆·期末）列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价； （2）设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解 （3）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元）， 因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元）， 故答案为：，； （2）解：设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件， 已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得： ， 解得：， ， 所以第一次购进商品件，商品件； （3）解：由（2）得第一次购进商品件，商品件， 第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元， 第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 33．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（   ）        ②（   ）    ③（   ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)；； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【分析】本题考查了新概念的理解，一元一次方程，正确理解题中的新概念，利用分类讨论的思想解题是关键． （1）根据“幸福方程”的概念，逐一判断即可； （2）根据“幸福方程”的概念，分类列方程，逐一解出即可； （3）根据“幸福方程”的概念，列出式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①解，可得，，故方程是“幸福方程”； ②解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ③解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于5，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 34．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒：3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务1 制作图3规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板可以做成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ 任务2 制作图3、图4规格的纸盒共11个 若有25张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板能够恰好完成制作？ 【答案】任务1：用18张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，用3张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，可以做成的无盖纸盒数最多，最多为9个； 任务2：当裁剪长方形的纸张的数量为20，裁剪小正方形的纸张数量为5时，恰好完成制作 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：设用张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，则用张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，根据4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒，列出方程进行求解即可； 任务2：设制作图3规格的纸盒为个，则制作图4规格的纸盒为个，根据纸张共25张，列出方程进行求解即可． 【详解】任务1：设用张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，则用张长方形纸板按图2所示的方法裁剪， 由题意，得：， 解得：， ∴， ∴可以裁剪小正方形的个数为：， ∴用18张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，用3张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，可以做成的无盖纸盒数最多，最多为9个； 任务2：设制作图3规格的纸盒为个，则制作图4规格的纸盒为个，由题意，得： ， 解得：， ∴裁剪小正方形的纸张数量为： ，裁剪长方形的纸张的数量为：； 答：当裁剪长方形的纸张的数量为20，裁剪小正方形的纸张数量为5时，恰好完成制作． 35．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解． （1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“有缘组合”和“无缘组合”的定义判断即可． （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据“有缘组合”的定义一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解进而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $