专题07 期末真题百练通关（期末复习专项训练）（80题17大提升题型）七年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 以80道期末真题构建17大提升题型，聚焦代数方程不等式与几何图形性质，通过题型归类与方法提炼实现知识逻辑与解题能力的系统突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数综合|58题|换元法解特殊方程组、参数问题分类讨论、错解复原策略|从一元一次方程到二元一次方程组再到不等式组，形成"概念-解法-应用-参数"递进链条| |几何综合|22题|三角形内角和与外角性质应用、平移旋转性质迁移|以三角形为基础，延伸至多边形对角线计算及图形变换，构建"基本性质-模型应用-动态变换"逻辑|

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07期末真题百练通关(80题17大提升题型) 真题实战，百练通关 题型1一元一次方程解的关系 题型10由不等式组解集的情况求参数 题型2绝对值方程 题型11不等式组和方程组结合的问题 题型3一元一次方程的应用 题型12一元一次不等式组的应用 题型4二元一次方程组的特殊解法 题型13与角平分线有关的三角形内角和问题 题型5二元一次方程组的错解复原问题 题型14三角形外角的定义及性质 题型6构造二元一次方程组求解 题型15多边形对角线的条数问题 题型7已知二元一次方程组解的情况求参数 题型16利用平移的性质求解 题型8二元一次方程组的应用 题型17利用旋转的性质求解 题型9解特殊不等式组 题型一一元一次方程解的关系（共3小题） 1.(25-26七年级上安徽铜陵期末)若关于x的一元一次方程a(x-0)+b=2x+c-0的解 为x=-1,则关于y的一元一次方程ay+b=2y+c的解为y= 2.(25-26七年级上山东聊城期末)若方程2(x-1)=-3x+8的解与关于x的方程号-m=等的 解相同，则m的值为 3.(25-26七年级上青海海东期末)已知关于x的方程2(x-1)=3m-1与3x=一6的解互为相反数， 则m的值为 题型二绝对值方程（共3小题） 4.(25-26七年级上湖北武汉·期末)对任意两个有理数a,b定义如下运算：a*b=a+b一ad.若 a*2=2*b,则a,b的关系为() A.a=b B.a=-b C.a=b或a=-bD.a=b或a十b=4 5.(25-26七年级上·重庆阶段检测)已知a+2=3,|b=3,c=8. (1)若ab<0且a-b>0,求2a+b的值： (2)若|a+b|=-(a+b)且b+c=b+c,求a+b-c的值. 6.(2025六年级上全国.专题练习)解方程：2x-1+x-2=x+1. 题型三一元一次方程的应用（共14小题） 1/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26七年级上·安徽宿州期末)学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓.小康和小悦采 摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多24kg.已知小康平均每小时采摘6kg,小悦平均 每小时采摘4kg,那么小康采摘的草莓重量是多少千克？ 8.(25-26七年级上·广东佛山期末)随着人们生活水平的提高，人工智能扫地机器人成为上班族或现代 家庭的常用家电用品.为了测试两款机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人从A,B两 地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫（路途中没有障碍物遮挡），已知出发后经3分钟两个机器人 相遇，相遇后再经2分钟乙到达A地，A,B相距45米.请你运用数学科的知识一“方程”来解决下面问题： (1)甲、乙两个机器人的速度分别是多少？ (2)从A,B两地同时出发后，经过多少时间后两个机器人相距6米？ 9.(25-26七年级上·山西太原·期末)近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己 的方式重新建立与历史的连接.绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱. 某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花.己知每名匠人每天可以制作簪 杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作.若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套， 手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 10.(25-26七年级上·黑龙江大庆期末)为迎接校园科技节，需要组装一批智能机器人模型.如果由一名 同学单独组装，需要60小时才能完成.现在先安排一部分同学组装1小时，之后又增加15名同学和 他们一起组装2小时，恰好全部完成.假设每名同学的组装效率相同，求：最先安排了多少名同学组装 模型？ 11.(25-26七年级上陕西汉中期末)某商店销售甲、乙两种商品，其中甲商品的进价为50元/件，售价 为70元/件，乙商品的进价为60元/件，售价为90元/件.若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，总 2/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 进价为5400元. (1)该商店购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中甲商品打9折，乙商品打a折，若销售完甲、乙这两 种商品，甲商品的总利润比乙商品的总利润多300元，求a的值. 12.(25-26七年级上·湖北武汉期末)某校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下 表记录了五位参赛者的得分情况.根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 A B D 答对题数 20 19 15 14 答错题数 0 6 得分 100 94 70 64 (1)每答对一题得 分，每答错一题得 分； (2)参赛者E同学说他得了82分，求他答对了多少道题？ 13.(24-25七年级上·浙江宁波期末)为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式 如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话200分钟及以下， 通话120分钟及以下， 通话不超时且流量不 流量18GB及以下，各 流量10GB及以下，各 超量 种费用月费共计100 种费用月费共计60元， 元 通话超时部分加收0.2 通话超时部分加收 通话超时或上网超量 元/分；流量超量部分 0.18元/分：流量超量 加收2.5元/GB. 部分加收2元/GB. (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20GB,则按套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，己知上网流量为23GB且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多 少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18GB,是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？ 若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由. 3/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26七年级上福建漳州期末)己知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数 字，得到一个新的两位数.则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值 15.(25-26七年级上河南漯河期末)长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形.若AB=22, 则AD=」 D B 16. (25-26七年级上·云南普洱期末)根据以下素材，探索并完成任务 为增强公民节水意识，合理利用水资源，普洱市发展和改革委员会于2023年1月18日发布了关于 材 调整普洱主城区居民阶梯水费标准有关事项的通知.供水管网范围内，对于完成“一表一户”改造的 料1 居民用水收费标准如下表： 居民生活用水 总水价 用户类别阶梯水 自来水价 污水处理费 (含污水处理 水量基数 价 (元/ (元/m3) 费) (m3/月/户) m3) (元/m3) 材 料2 第一阶水价 0-12(含12) 2.65 1.5 4.15 第二阶水价 12~16(不含12，含16) 3.98 1.5 5.48 第三阶水价 16以上（不含16） 7.95 1.5 9.45 (注：污水处理费按实际用水量计算) 例如：某用户2025年3月份用水15m3,则各种费用如下： 材 自来水费12×2.65+(15-12)×3.98=43.74（元） 料3 污水处理费1.5×15=22.5（元） 缴纳水费43.74+22.5=66.24（元） 问题解决： 4/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 任务1确定水费 (1)若小超家2025年10月份用水10m3,则他家应缴纳水费多少元？ 任务2确定污水处理费 (2)若小明家2025年11月份所缴纳水费中，自来水费为55.67元，求小明家11月份需缴污水处理费多 少元？ 17.(24-25七年级上福建福州·期末)列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机 共2550台，其中I型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为2：3：5，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣 机各多少台？ 18.（25-26七年级上·河南南阳期末)如图是2026年1月份的日历图，用形如H字型框任意框出7个数， 框出的7个数的和不可能是() 星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六 2 4 5 6 > 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A.140 B.119 C.84 D.63 19.(25-26七年级上·重庆江北期末)《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步， 问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车， 最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程() A.3(x+2)=2x-9 B.3(x-2)=2x+9 C.等+2=学 D.等-2=罗 20.(2425七年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)王老师利用假期带领学生到市里去参加科技展览，每张车票 定价为40元，甲车主说：乘坐我的车可以8折优惠.乙车主说：乘坐我的车学生9折，老师免费.王老 师心里计算一下发现无论坐谁的车费用都一样，那么这次去参加科技展览的学生共有多少人？ 题型四二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 2x+y=-13+a 21.(25-26八年级上广东梅州期未)关于xy的方程组x十2y=1一a，则x+y的值为 ax+y=c1 「X=2 22.(24-25七年级上重庆期末)若方程组a2x+y=c2的解是y=3,则方程组 5/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (a1x+y=2a1+c1 (a2x+y=2a2+c2的解是 ((a-1)+2(b+2)=6 23. (23-24八年级上·四川眉山开学考试)阅读探索，知识累积.解方程组2(a-1)+(b+2)=6 (x+2y=6 解：设a-1=X, b+2=y,原方程组可变为2x+y=6 x=2 a-1=2 了a=3 解方程组得： 即 y=2,{b+2=2，所以b=0·这种解方程组的方法叫换元法。 (1)拓展提高 (得-1)+2（号+2）=4 运用上述方法解下列方程组： 2(号-1)+（鲁+2）=5： (2)能力运用 (ax+biy=C1 （x=5 已知关于，y的方程组ax+b2y=c2的解为y=3·直接写出关于m、n的方程组 5a1(m+3)+3b1(n-2)=c1 、5a2(m+3)+3b2(n-2)-c2的解为 题型五一元一次方程组的错解复原问题（共3小题） mx+3y=6① 24.(24-25七年级下重庆期未)甲、乙两人同时解关于x,y的方程组2x一y=8②，甲、乙两人 (x=3 (x=-1 都解错了，甲看错了方程D中的m,解得y=2,乙看错了方程2中的，解得y=1，则原方程 组的解为 ax+by=2 (X=1 25.(18-19八年级全国课后作业)小明在解方程组cx-3y=一2时，得到的正确解是{y=-1, X=2 小英解这个方程组时，由于把c抄错而得到的解是y=一6求方程组中a,b,c的值. 3x-by=-1① 26.(21-22七年级下·四川巴中.期末)甲、乙两人解关于x、y的方程组 ax+by=-5②时，甲因 X=1 x=-1 看错a得到方程组的解为 y=2,乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为y=一1· (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解. 题型六构造二元一次方程组求解（共3小题） 1.(24-25七年级下湖南邵阳·期末)己知a+b=8,a-b=2,则a2+b2= 2.(24-25七年级下·安徽合肥开学考试)对于多项式kx十b(k,b为常数)，若x分别用7,13代入时， 6/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 kx+b的值分别为16,28，求k和b的值. (X=1 3,(24-25七年级下·四川遂宁阶段检测)请写出一个解是y=一1的二元一次方程组（不含 【X=1 (y=-1） 题型士已知二元一次方程组解的情况求参数（共3小题） 12x+5y=-k+3 27.(2-23七年级下湖南娄底阶段检测)已知方程组7x+4y=3k-1的解满足5x-y=4,则k 的值是 2x+y=k 28.(25-26八年级上陕西咸阳期末)已知关于x,y的方程组(x+2y=一3的解满足x与y互为相反 数，则k的值为() A.-1 B.0 C.3 D.6 ∫2x+my=15 29.(24-25九年级下·重庆沙坪坝期末)关于x,y的二元一次方程组(x一2y=0的解为正整数， 则所有满足条件的整数m之和是 题型八二元一次方程组的应用（共8小题） 30.（24-25七年级下·北京怀柔期末)某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动.如图，小 明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒.他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将 其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来.已知BE=3EF,求底边EF和AE的长.设 EF=x,AE=y,则可以列方程组为() D C B (3x+3y=30 ∫y=2x |3x+y=30 A. x+y=30 B. 2x+2y=30C.1x=3y D (3x+y=30 2x+2y=30 31.(25-26八年级上全国期末)从甲地到乙地的路是一段上坡路和一段下坡路.如果上坡平均每分钟走 50m,下坡平均每分钟走100m,那么从甲地走到乙地需要25min,从乙地走到甲地需要20min.求从甲地 到乙地上坡与下坡的路程。 32.(24-25六年级下·上海金山期末)某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了 分拣员，如果1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹；2名熟练分拣员和3名新手分拣员一 7/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 天能分拣140件包裹， (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (②)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在5小时内送完所有包裹；若将速度 提高15千米/小时，行驶3小时后，还剩85千米的路程未完成配送.求快递车的总配送路程是多少千米？ 33.(25-26八年级上山西晋中期末)2025年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣 密鼓筹备中，在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行.这里集结了 用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共15艘.每艘“天问”需1名航天工程师 保障，每艘“神舟”需2名工程师协同.现调配20名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 34.(25-26八年级上·山西太原·期末)2026年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福 马”礼盒和“奔马”礼盒两种.若购买2个“福马”礼盒和3个“奔马”礼盒共需340元，购买3个“福马”礼盒和2个 “奔马”礼盒共需310元.求每个“福马”礼盒和奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 奔马礼盒 35.(24-25七年级上广东广州期末)据人民日报报道，中欧班列自2013年诞生后运行的十余年来，通 达欧洲25个国家227个城市，亚洲11个国家超100个城市，累计运送货物超1100万标箱、货物品类达 53大类5万余种.某贸易公司因业务需要租用A、B两种标箱共22个，其中租用A种标箱每个4万元， 租用B种标箱每个6万元，共支付租金108万元. (1)将“1100万”用科学记数法法表示，可记为： (2)求该贸易公司租用A、B两种标箱各多少个？ 36.(25-26八年级上山西运城期末)山西太原是一座承载着厚重历史的城市，正迎来一场绿色航空革命， 太原武宿机场成为首个以“零碳”为目标的民航示范工程，核心是“两源一储一终端”的技术路径，电力方面 采用了先进的光伏发电系统.若该系统中包含两种规格的光伏板：A型板每块日均发电10千瓦时，B型板 每块日均发电8千瓦时，为了满足机场部分区域的用电需求，工程队一共安装了这两种光伏板2000块.已 8/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知这个光伏系统日均总发电量达到18800千瓦时，那么机场需要安装的A型光伏板和B型光伏板各有多少 块？ 37.(25-26七年级上陕西西安期末)古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八.问： 人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱.合伙人数、羊价各 是多少？（请列方程求解） 38.(25-26八年级上·宁夏银川期末)今有鸡兔同笼，上有二十四头，下有七十四足，问鸡兔各几何？ 题型九解特殊不等式组（共3小题） 39.(24-25七年级下·山东济南期末)已知关于x的方程3x+a=ax一7的根是负数，则实数a的取值 范围是 40.(24-25八年级上黑龙江哈尔滨开学考试)阅读以下例题：解不等式：(x+4)(x-1)>0. 解：①当x+4>0,则x-1>0, (x+4>0 即可以写成： (x-1>0, 解不等式组得：x>1, ②当若x+4<0,则x-1<0, ∫x+4<0 即可以写成： (x-1<0,解不等式组得：x<-4. 综合以上两种情况：原不等式的解集为：x>1或x<一4： 以上解法的依据为：当ab>0,则ab同号. 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)(x+1)(x-2)>0: (2(2x-1)(3x+2)<0 41.(24-25七年级下·河南新乡期末)【阅读思考】阅读下列材料： “已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围有如下解法： 解：：8-y=2, ·x=y+2 又：x>1 .y+2>1 ÷y>-1 又：y<0 .-1<y<0① 9/18 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 同理1<x<2② 由①+②得-1+1<x+y<0+2 ·X十y的取值范围是0<x+y<2 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： (1)己知x-y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是 (2)己知x-y=a,且x<-1,y>1,试确定x+y的取值范围（用含有a的式子表示）. 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： (3)己知x+y=2,且x>1,y>-4,试确定x-y的取值范围. 题型土由不等式组解集的情况求参数（共3小题） x-a<0, 42.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯阶段检测)关于：的不等式组{≥1恰有4个负整数解，则 2 a的取值范围是 ∫2x-m>n-1 43.(2425八年级下甘肃兰州期末)已知不等式组x-m+n<4的解集为-1<x<1,则 (m+n)2024的值等于多少 [x>a 44.(24-25七年级下湖北宜昌期末)若关于x的不等式组x<3有4个整数解，则α的取值范围 题型十一不等式组和方程组结合的问题（共3小题） 5x+y=m+1 45.(24-25七年级下·重庆期末)已知关于x、y的方程组 x-3y=2m 的解满足-1<x+y<1, 则符合条件的所有整数m的取值之和为 46.(24-25七年级下·湖南长沙期末)对x,y定义一种新运算T, 规定：T(x,y)=ax十2by一1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： T(0,1)=a×0+2b×1-1=2b-1. (1)已知T(1,-1)=-6,T(4,2)=3 ①求a,b的值； (T(2m,5-4m)≤1 ②若关于m的不等式组(T(m,3-2m)>p恰好有2个整数解，求实数p的取值范围， (2)若T(x,y）=T(y,x)对任意实数x,y都成立（这里T(x,y)和T(y,x)均有意义），则a,b应 满足怎样的关系式？ 【3x+2y=m+2 47.(2425七年级下江苏宿迁期末)已知关于x,y的方程组2x+3y=4m+3· 10/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若方程组的解满足x+y=1,求m的值 (2)若方程组的解满足x一y>1,求m的取值范围， 题型十二一元一次不等式组的应用（共6小题） 48.(24-25七年级下·陕西渭南期末)如图是测量一物体体积的过程： S: 步骤一： 步骤二： 步骤三： 二二 步骤一：将180cm的水装进一个容量为300cm3的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满： 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积x(c3)所在的范围是多少，并写出求解过程， 49.(24-25七年级下·北京期末)小华在公园的环形跑道（周长大于1km)练习长跑，从起点出发按逆 时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前4km的 记录如图所示.小华一共跑了24km且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是(） 3km起点 4km lkm 2km A.14圈 B.15圈 C.16圈 D.17圈 50.(25-26八年级上·浙江丽水·期末)请仔细阅读如图的对话，根据对话内容，求出笔记本和橡皮的标价. 阿姨，我买 本笔记本 节，我给你买的笔记本打9折， 和一块橡皮 两样东西请拿好，还有找你 的6角钱 51.(25-26八年级上·浙江嘉兴·期末)某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观.现有甲、 乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示.设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元. 11/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 1000 800 (1)求出y(元)与x(辆)之间的函数表达式 (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案. 52.(24-25七年级下·山东泰安期末)暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤.已知购进甲种 T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元. (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元， 并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T 恤的方案. 53.(24-25七年级下·辽宁大连期末)大连地铁票收费标准如下： 不超过6km2元/人次； 超过6km到12km (含)3元/人次；超过 12km到18km(含) 4元/人次：超过18km 到26km(含)5元/人 次；超过26km到 34km(含)6元/人次： 超过34km到44km (含)7元/人次；超过 44km到54km(含) 8元/人次；超过54km 部分，票价每增加1元 可再乘坐15km. ~位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为xkm,用不等式表示x的范围为 12/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 54.(25-26八年级上·浙江金华·期末)金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱.某工艺品店销 售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，己知销售2个小号佛手柑挂件和1个大号佛手柑挂件共可获利26元， 销售5个小号佛手柑挂件的获利和销售4个大号佛手柑挂件的获利相等. (1)求销售1个小号佛手柑挂件和1个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共80个，己知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的2倍还 多，获得的总利润不足750元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 题型土三与角平分线有关是三角形内角和问题（共3小题） 55.(24-25七年级下·陕西汉中期末)如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是它的高线，E为 BC边上一点，连接AE B DE (I)若AE是△ABC的角平分线，∠B=50°，求∠DAE的度数： (2)若AE是△ABC的中线，AB=6cm,AC=8cm,求△ABE的面积. 56.(22-23八年级上天津东丽·期末)如图，AD是△ABC的边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E ,若∠C=65°，∠BED=68°，求∠ABC和∠BAC的度数， B D 57.(24-25七年级下·全国期末)如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=64°，∠C=56°. A D (1)求∠ADC的度数； (2)若DE⊥AC于E,求∠ADE的度数. 题型土四三角形外角的定义及性质（共3小题） 58.(2425七年级下.重庆期末)如图①，AB川CD,点E,F分别在直线CD,AB上， 13/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BEC=2∠BEF,过点A作AG⊥BE,交BE的延长线于点G,交CD于点N,AK平分∠BAG,交EF于 点H,交BE于点M,交CD于点K B A B H H M N M EG D K EG D ① ② (I)直接写出∠AHE,∠FAH,∠HFA之间的数量关系： (2)若∠BEF=专∠BAK,求∠AHE的度数： (3)如图②，在(2)的条件下，将三角形KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒.当 KE边与射线ED重合时停止转动，则在旋转过程中，当三角形KHE的其中一边与三角形ENG的某一边 平行时，直接写出此时t的值 59.(25-26七年级上河南周口·期末)如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由 于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点C,再拐到点D,然后沿与AB平行的DE方向继续铺设， 如果∠BCD=50°，则∠ABC十∠CDE= 60. (25-26七年级上江苏扬州期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=48°，D是AC的中 点，E是射线CB上的一点，连接DE,将△CDE沿DE翻折得到△FDE,当DFI‖AB时，则∠DEB的 度数为 D C E B 题型十五多边形对角线的条数问题（共3小题） 61.(25-26七年级上，宁夏银川期末)过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值为 62.（23-24七年级下·重庆期末)若n边形的对角线共有20条，则这个多边形是边形， 63.(24-25七年级下四川巴中·期末)如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一 14/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 共有 条 题型十六利用平移的性质求解（共3小题） 64.(24-25八年级上重庆期末)如图，将△ABC向右平移得到△DEF,点A,B,C分别平移到了点 D,E,F,且点B,E,C,F在同一条直线上，连接AD,若CE=2,BF=8,则AD的长是() A.2 B.3 C.5 D.6 65.(24-25七年级下·山西长治期末)如图，将三角形ABC平移得到三角形AB'C,下列结论中，正确的 有() ①AAI‖BB或AA与BB在同一条直线上 ②3B lcC或BB'与CC在同一条直线上 ③AA=BB=CC ④BC=AC A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 66.(25-26七年级上·上海奉贤期末)如图，三角形ABC沿着由点B到点E的方向平移到三角形DEF的 位置，已知BC=8,EC=5,那么平移的距离为 D B C 题型土士利用旋转的性质求解（共3小题） 67.(24-25七年级下·广西贵港期末)如图，△ABC绕点A逆时针旋转60·得到△ADE,若 ∠CAD=10°，则∠DAE的度数是· 15/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 68.(24-25七年级下-陕西汉中期末)如图，己知△ABC中，∠CAB=20°，∠ABC=30°，将 △ABC绕A点逆时针旋转50·得到△ABC,点B、C的对应点分别为点B、C.现有以下结论：① BC=B'C;②∠BAC=25°；③∠ACB=130°；④ACCB.其中所有正确结论的序号为· B C B 69.(24-25七年级下.四川乐山期末)如图，△ABC绕顶点A逆时针旋转30°至△ADE,∠B=40°， ∠DAC=50°，则∠E=() B A.50° B.60 C.70° D.80° 2 考题猜想·高分必刷 2x-3y=5① 1.用加减法解方程组3x-2y=7② 下列解法不正确的是() A.①×3-②×2，消去x B.①×2-②×3，消去y C.①×(-3)+②×2，消去x D.①×2-②×(-3)，消去y 2.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七 客，一房九客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么 有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出1间房.问有多少间客房，多少位客人.设有x间客房， y位客人，则下列方程组中正确的是() 【7x=y+7 |7x=y-7 A.19(x+1)=y B.19(x-1)=y 16/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7x=y+7 7x=y-7 C.19(x-1)=y D.19(x+1)=y 3.如图所示，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形AB'C,则下列结论中不正确的是() O→M B A.AAllBB B.AA=BB C.∠ACB=∠ABC D.BC=BC 4.方程x+y=7的正整数解的个数等价于在排列1,1,1,1,1,1,1形成的6个空隙中，任选一个空 (x=2 /x=5 用隔板隔离，比如排列1,1↑1,1,1,1,1等价于y=5,排列1,1,1,1,1个1,1等价于y=2 ,因为原排列有6个空隙，所以方程x+y=7共有6个正整数解；类似的，方程x+y+z=7的正整数 解的个数为() A.15 B.20 C.10 D.19 X-a<0 5.解关于x的不等式组7-2≤1的整数解有4个，则a的取值范围是（） A.6<a<7 B.6≤a<7 C.6≤a≤7 D.6<a≤7 6.五一小长假前，某景区内一文创商店购进A,B两种文创产品各50件进行售卖，这两种产品的进货总 价为7250元，B种产品的进货单价比A种产品的进货单价少15元. (1)求A,B两种产品的进货单价各是多少元； (2)商店将A种产品每件的售价定为120元，若商店销售这两种产品的利润不低于3500元，B种产品每件 的售价最低定为多少元？ (3)由于这两种产品备受青睐，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两种产品共100件进行销售. 若A种产品每件的售价仍定为120元，B种产品每件的售价按(2)中的最低定价.销售完这100件产品 能否获利3700元？请说明理由. 7.如图，已知△ABC,连接BE,CE. 17/18 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B (1)当点E在三角形内部时， ①若∠A=40°，∠E=90°，如图，则∠ABE+∠ACE=-; ②若∠A=m°，∠E=n°，试用m、n表示∠ABE+∠ACE的度数. (2)当点E在三角形的外部时，∠A=m°，∠E=n°，∠ABE与∠ACE之间是否存在确定的数量关系？ 如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由 8.在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单. x+y=3① 例如，解二元一次方程组3x+4y=10②时，将x+y看成一个整体，则②可变为 3(x+y)+y=10,从而解得y=1.请用整体思想完成： |a+b=3 (1)已知关于a,b,c的三元一次方程组 a+c=4 ,则a十b十c= b+c=5 2x+17y=e x=2 (2)已知关于x,y的二元一次方程组5x+21y=f的解为y=1,那么关于P,g的二元一次方程组 2(p-3g)+17(p+3q)=e 5(p-3g)+21(p+3g)=f的解为 ∫a-2ab+b=1 ⊙已知关于a,b的方程组：{2a+ab+2b=-3,求a+b,ab的值. 18/18 专题07 期末真题百练通关（80题17大提升题型） 题型1 一元一次方程解的关系 题型10 由不等式组解集的情况求参数 题型2 绝对值方程 题型11 不等式组和方程组结合的问题 题型3 一元一次方程的应用 题型12 一元一次不等式组的应用 题型4二元一次方程组的特殊解法 题型13 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型5 二元一次方程组的错解复原问题 题型14三角形外角的定义及性质 题型6 构造二元一次方程组求解 题型15 多边形对角线的条数问题 题型7 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型16 利用平移的性质求解 题型8 二元一次方程组的应用 题型17 利用旋转的性质求解 题型9 解特殊不等式组 题型一 一元一次方程解的关系（共3小题） 1．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为____________． 【答案】 【分析】本题考查换元法解方程，通过变量替换求解一元一次方程，将原方程变形后利用解的定义求解即可． 【详解】解：， ， ， 令 ，则方程化为， ∵原方程解为， ∴，即方程的解为， ∵与上述方程同解， ∴其解为； 故答案为： 2．（25-26七年级上·山东聊城·期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了方程的同解问题． 先解第一个方程求出的值，再将代入第二个方程求解即可． 【详解】解：解方程， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 将代入方程， 得， 即， 移项得， 计算得， 所以． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·青海海东·期末）已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，相反数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求出两个方程的解，再根据解互为相反数的条件建立关于的方程，求解即可． 【详解】解：解方程， 得； 解方程， 得； ∵两个方程的解互为相反数， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型二 绝对值方程（共3小题） 4．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）对任意两个有理数，定义如下运算：．若，则，的关系为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算、绝对值的性质和等式的性质，关键是根据新运算的定义将等式转化为绝对值方程，再利用“若，则或”的性质分情况讨论求解．首先根据给定的新运算规则，分别计算出和的表达式，得到关于、的等式；然后根据绝对值的性质分两种情况进行求解，最终得到与的关系． 【详解】解：，； ． 分两种情况： ①当时，移项得， ； ②当时，得； 综上，与的关系为或． 故选：D． 5．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知，，． (1)若且，求的值； (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查绝对值定义、代数式求值，根据题中要求，分类讨论确定字母的值是解决问题的关键． （1）先由绝对值定义求出，再由且，得到，且，从而确定，代入代数式计算即可得到答案； （2）先由绝对值定义求出，再由且，分类讨论确定满足条件的，确定三种情况：；；，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ，， ，， 即或，， ， 与异号， ， ，且， 则， ； （2）解： ，，， ，，， 即或，，， ， ， ， ， 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，符合要求； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，符合要求； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，符合要求； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 当，，时，，，不符合要求，舍去； 综上所述，有三种情况能使，且： 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或． 6．（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 先找零点，为，再分段去绝对值． 【详解】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 题型三 一元一次方程的应用（共14小题） 7．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，那么小康采摘的草莓重量是多少千克？ 【答案】小康采摘草莓 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是抓住“两人采摘时长相同”和“小康采摘的草莓比小悦多”这两个关键条件，找到等量关系：小康采摘的草莓重量-小悦采摘的草莓重量=．先设采摘时长为未知数，通过采摘重量=每小时采摘量×时长，分别表示出两人的采摘重量，再列方程求解时长，最后计算小康采摘的草莓重量． 【详解】解：设小康和小悦采摘的时长为小时， 根据题意列方程得：， 解得：， 则小康采摘的草莓重量为kg； 答：小康采摘的草莓重量是千克． 8．（25-26七年级上·广东佛山·期末）随着人们生活水平的提高，人工智能扫地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电用品．为了测试两款机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人从，两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫路途中没有障碍物遮挡，已知出发后经分钟两个机器人相遇，相遇后再经分钟乙到达地，，相距米．请你运用数学科的知识——“方程”来解决下面问题： (1)甲、乙两个机器人的速度分别是多少？ (2)从，两地同时出发后，经过多少时间后两个机器人相距米？ 【答案】(1)甲机器人速度米分，乙机器人速度米分 (2)经过分钟或分钟后两个机器人相距米 【分析】（1）先求得乙的速度，再设甲机器人的速度为x米/分，根据相遇时两机器人的路程和等于总路程列方程求解即可； （2）设经过t分钟后两个机器人相距6米，分相遇前和相遇后两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乙机器人的速度为米/分， 设甲机器人的速度为x米/分，则， 解得， 答：甲机器人的速度为6米/分，乙机器人的速度为9米/分； （2）解：设经过t分钟后两个机器人相距6米， 当两机器人相遇前相距6米，则， 解得； 当两机器人相遇后相距6米，则， 解得， 综上，经过或分钟后两个机器人相距6米． 9．（25-26七年级上·山西太原·期末）近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 【答案】安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 【分析】先设出制作簪杆的匠人人数，用总匠人人数表示出制作绒花的匠人人数，再根据配套关系（每天生产的绒花数量是簪杆数量的3倍）列出一元一次方程，最后通过解方程得到结果． 【详解】解：设手工坊安排名匠人制作簪杆，则安排名匠人制作绒花． 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 则制作绒花的匠人人数为(名)． 答：手工坊应该安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）为迎接校园科技节，需要组装一批智能机器人模型．如果由一名同学单独组装，需要 60 小时才能完成．现在先安排一部分同学组装 1 小时，之后又增加 15 名同学和他们一起组装 2 小时，恰好全部完成．假设每名同学的组装效率相同，求：最先安排了多少名同学组装模型？ 【答案】10名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．设先安排组装的人员有x名，根据工作效率×工作时间×工作人数=工作总量结合题意，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设先安排组装的人员有x名， 根据题意得：， 解得：． 答：先安排组装的人员有10名． 11．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某商店销售甲、乙两种商品，其中甲商品的进价为50元/件，售价为70元/件，乙商品的进价为60元/件，售价为90元/件．若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，总进价为5400元． (1)该商店购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中甲商品打9折，乙商品打折，若销售完甲、乙这两种商品，甲商品的总利润比乙商品的总利润多300元，求的值． 【答案】(1)该商店购进甲商品60件，购进乙商品40件 (2)8 【分析】（1）设该商店购进甲商品件，则购进乙商品件，根据“总进价为5400元”列方程求解即可． （2）表示出甲商品和乙商品的总利润，根据“甲商品的总利润比乙商品的总利润多300元”，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该商店购进甲商品件，则购进乙商品件． 根据题意，得，解得． （件）． 答：该商店购进甲商品60件，购进乙商品40件． （2）解：根据题意，得， 解得：． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 【答案】(1)，； (2)道 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是先通过已知数据确定答对和答错的分值，再利用方程求解未知量． （1）首先利用参赛者的满分情况直接计算答对一题的得分，再结合其他参赛者的得分求出答错一题的分值； （2）设同学答对题数为未知数，根据“总得分答对题得分答错题得分”的等量关系建立一元一次方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵参赛者答对题得分， ∴每答对一题得分； 设每答错一题得分，由参赛者的得分情况可得：， 解得； 故答案为：；； （2）解：设参赛者答对了道题，则答错了道题， 根据题意列方程：， 解得：； 答：参赛者答对了道题． 13．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)按“套餐一”计费需要101元 (2)该月小宁通话时间为300分钟 (3)存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用按“套餐一”计费所需费用（通话时间）（上网流量），即可求出结论； （2）设该月小宁通话时间为x分钟，根据11月小宁按“套餐二”计费需付128元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为 ，根据按套餐一和套餐二计费相等，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）； 答：按“套餐一”计费需要101元； （2）解：设该月小宁通话时间为分钟， 根据题意得：， 解得：； 答：该月小宁通话时间为300分钟； （3）解：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为， 根据题意得：， 解得：． 答：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24． 14．（25-26七年级上·福建漳州·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数字，得到一个新的两位数．则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值． 【答案】33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．通过设个位数字为未知数，利用两位数的数位表示方法写出原两位数与新两位数，计算两数之和后分析其因数，找到能整除该和的最大整数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：设原两位数的个位数字为x， 则十位数字为，x为正整数，且，即， 故x可取， 原两位数为 ， 新两位数为 ， 两数之和为， 即两数之和为，故该和一定能被33整除，所有可能的和（当分别取时）的最大公因数为33， ∴这个整数的最大值是33． 15．（25-26七年级上·河南漯河·期末）长方形可以分割成如图所示的七个正方形．若，则_____． 【答案】30 【分析】根据题意，设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图 设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，根据题意得， ， ∵， ∴， 解得：， ∴； 16．（25-26七年级上·云南普洱·期末）根据以下素材，探索并完成任务． 材料1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，普洱市发展和改革委员会于2023年1月18日发布了关于调整普洱主城区居民阶梯水费标准有关事项的通知．供水管网范围内，对于完成“一表一户”改造的居民用水收费标准如下表： 材料2 用户类别阶梯水价 居民生活用水 污水处理费 （元/） 总水价 （含污水处理费） （元/） 水量基数 （/月/户） 自来水价 （元/） 第一阶水价 0~12（含12） 2.65 1.5 4.15 第二阶水价 12~16（不含12，含16） 3.98 1.5 5.48 第三阶水价 16以上（不含16） 7.95 1.5 9.45 （注：污水处理费按实际用水量计算） 材料3 例如：某用户2025年3月份用水，则各种费用如下： 自来水费（元） 污水处理费（元） 缴纳水费（元） 问题解决： 任务1确定水费 （1）若小超家2025年10月份用水，则他家应缴纳水费多少元？ 任务2确定污水处理费 （2）若小明家2025年11月份所缴纳水费中，自来水费为55.67元，求小明家11月份需缴污水处理费多少元？ 【答案】（1）元； （2）元 【分析】（1）小超家用水量在第一阶梯范围内，可直接用总水价乘以用水量快速计算应缴水费； （2）先计算前两阶梯自来水费的总额，与小明家的自来水费比较，确定用水量进入第三阶梯，再通过方程求出总用水量，最后根据污水处理费的计费规则计算费用． 【详解】（1）解：∵小超家年月份用水，，属于第一阶梯水价范围， ∴应缴纳水费为(元)． 答：小超家应缴纳水费元． （2）解：∵，， ∴前的自来水费总额为(元)． ∵， ∴小明家月份用水量超过． 设超过的水量为， 根据题意列方程：， 解得， ∴小明家月份总用水量为()． ∴污水处理费为(元)． 答：小明家月份需缴污水处理费元． 17．（24-25七年级上·福建福州·期末）列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【答案】Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．根据比例设三种型号的洗衣机分别为台，台，台，再结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设计划生产Ⅰ型洗衣机台，则Ⅱ型洗衣机台，Ⅲ型洗衣机台， 由题意得，， 解得：， 则（台）， （台）， （台）， 答：洗衣机厂该月计划生产Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台． 18．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图是2026年1月份的日历图，用形如字型框任意框出7个数，框出的7个数的和不可能是（   ） A．140 B．119 C．84 D．63 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及日历中的数字规律，熟练掌握日历中上下行数字相差7、左右相邻数字相差1的规律，并用代数式表示数列出方程是解题的关键． 先设H字型框中间的数为，根据日历数字规律表示出其余6个数，得出7个数的和为，再将各选项数值代入方程求解，结合日历实际排版判断是否合理，从而确定符合题意的选项． 【详解】解：设H字型框中间的数为，则框出的7个数分别为，，，，，，． ∵7个数的和为， ∴7个数的和为． 当时， ∵， ∴． ∵在日历中位置合理，可框出7个数， ∴故可能是，A项不符合题意． 当时， ∵， ∴． ∵在日历中位于第三行第七列，无法作为H型中间数框出7个数， ∴故不可能是，B项符合题意． 当时， ∵， ∴． ∵在日历中位置合理，可框出7个数， ∴故可能是，C项不符合题意． 当时， ∵， ∴． ∵在日历中位置合理，可框出7个数， ∴故可能是，D项不符合题意． 故选：B． 19．（25-26七年级上·重庆江北·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，设有x辆车，通过两种乘车方式表示总人数并相等，列出方程． 【详解】解：若设有辆车， 由题意可建立方程：． 故选：B． 20．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）王老师利用假期带领学生到市里去参加科技展览，每张车票定价为40元，甲车主说：乘坐我的车可以8折优惠．乙车主说：乘坐我的车学生9折，老师免费．王老师心里计算一下发现无论坐谁的车费用都一样，那么这次去参加科技展览的学生共有多少人？ 【答案】这次去参加科技展览的学生共有8人 【分析】设这次去参加科技展览的学生共有x人，利用总价=单价数量，结合无论坐谁的车费用都一样，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这次去参加科技展览的学生共有x人， 根据题意得：， 解得： 答：这次去参加科技展览的学生共有8人． 题型四 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 21．（25-26八年级上·广东梅州·期末）关于x、y的方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是掌握二元一次方程组的特殊解法． 通过将两个方程相加，消去参数a，直接求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·重庆·期末）若方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】整理第一个方程组可得，；整理第二个方程组可得，把代入可得y的值． 本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴，； ， 得，， ∴， ∴， ∴， 把代入③得，， ∴， ∴方程组的解为． 故答案为：． 23．（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （1）利用换元法解方程组即可； （2）设，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （2）解：原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 题型五 一元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 24．（24-25七年级下·重庆·期末）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 25．（18-19八年级·全国·课后作业）小明在解方程组时，得到的正确解是，小英解这个方程组时，由于把c抄错而得到的解是求方程组中a，b，c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把两组的值代入合适的方程得到关于的值是解题的关键． 将小明的解代入原方程组求得值，将小英的解代入原方程组中的第一个含有的方程，联立小明的方程即可求出的． 【详解】解：将代入得， ， 由②得， 将代入得，， 联立①，③得 解得， ∴． 26．（21-22七年级下·四川巴中·期末）甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟知方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，掌握二元一次方程组的解是解题的关键． （1）将代入①算出，将代入算出即可； （2）将 的值代入二元一次方程组中，解出即可． 【详解】（1）解：甲看错方程组中的a，得到方程组的解为． 将代入①得：， 乙把方程②中的b看成了它的相反数，得到方程组的解， 将代入中 得：； （2）解：将代入中得：， 得，， 解得， 将代入①得：， 解得， 由方程组的解为 ． 题型六 构造二元一次方程组求解（共3小题） 1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则___________． 【答案】34 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，联立方程组是解题的关键．通过联立已知的两个方程，可以解出a和b的具体值，再代入计算的值 【详解】解：联立方程组 解这个方程组，得， 将代入，得： ， 故答案为：34． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）对于多项式（k，b为常数），若x分别用7，13代入时，的值分别为16，28，求k和b的值． 【答案】k的值为2，b的值为2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用． 把x分别用7，13代入多项式，结果分别等于16和28，得到关于k和b的方程组，解方程组就可以得到k和b的值． 【详解】解：根据题意得： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：． 所以． 即k的值为2，b的值为2． 3．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段检测）请写出一个解是的二元一次方程组（不含）______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可． 【详解】解：的解是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参数（共3小题） 27．（22-23七年级下·湖南娄底·阶段检测）已知方程组的解满足，则k的值是______． 【答案】 【分析】利用整体代换的思想，将原方程组中两个方程作差，得到与已知条件形式相同的表达式，进而建立关于的一元一次方程求解． 【详解】解：， ，得， 整理得， 原方程组的解满足， ， 解得． 28．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知关于x，y的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解二元一次方程组是解决问题的关键．根据题意，解方程组，再由求值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 联立方程组， 解得， ， 故选：C． 29．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 题型八 二元一次方程组的应用（共8小题） 30．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知，求底边和的长．设，，则可以列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，需由图形中的数量关系建立等式列方程组，结合无盖长方体纸盒的展开图结构分析并结合是解决本题的关键． 首先可由得到，结合，可由列第一个方程，再根据正方形的另外一条边由两个和两个组成即可列第二个方程． 【详解】解：因为，，， 所以， 又因为， 可得； 又因为该无盖长方体纸盒的底面由组成， 所需两个和两个组成，为正方形的另外一条边长， 所以， 所以可以列方程组为． 故选：D ． 31．（25-26八年级上·全国·期末）从甲地到乙地的路是一段上坡路和一段下坡路．如果上坡平均每分钟走50m，下坡平均每分钟走100m，那么从甲地走到乙地需要25min，从乙地走到甲地需要20min．求从甲地到乙地上坡与下坡的路程． 【答案】从甲地到乙地上坡的路程为1000m，下坡的路程为500m 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据题意列出对应的二元一次方程组． 设从甲地到乙地上坡的路程为，下坡的路程为，根据时间=路程÷速度分别列出和的二元一次方程组，求出和的值即可． 【详解】解：设从甲地到乙地上坡的路程为，下坡的路程为， 根据題意，得 解得； 答：从甲地到乙地上坡的路程为，下坡的路程为． 32．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 33．（25-26八年级上·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 【详解】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 34．（25-26八年级上·山西太原·期末）年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 【答案】每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的两个等量关系是：购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，可设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元． 根据题意，得 解得 所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 35．（24-25七年级上·广东广州·期末）据人民日报报道，中欧班列自2013年诞生后运行的十余年来，通达欧洲25个国家227个城市，亚洲11个国家超100个城市，累计运送货物超1100万标箱、货物品类达53大类5万余种．某贸易公司因业务需要租用A、B两种标箱共22个，其中租用A种标箱每个4万元，租用B种标箱每个6万元，共支付租金108万元． (1)将“1100万”用科学记数法法表示，可记为______； (2)求该贸易公司租用A、B两种标箱各多少个？ 【答案】(1) (2)该贸易公司租用A种标箱12个，B种标箱10个 【分析】本题考查二元一次方程的应用，科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义，列得正确的方程组是解题的关键． 把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案； 设该贸易公司租用A种标箱x个，B种标箱y个，根据题意列得二元一次方程组，解得x，y的值即可． 【详解】（1）解：万， 故答案为：； （2）该贸易公司租用A种标箱x个，B种标箱y个， 由题意得， 解得：， 即该贸易公司租用A种标箱12个，B种标箱10个． 36．（25-26八年级上·山西运城·期末）山西太原是一座承载着厚重历史的城市，正迎来一场绿色航空革命，太原武宿机场成为首个以“零碳”为目标的民航示范工程，核心是“两源一储一终端”的技术路径，电力方面采用了先进的光伏发电系统．若该系统中包含两种规格的光伏板：A型板每块日均发电10千瓦时，B型板每块日均发电8千瓦时，为了满足机场部分区域的用电需求，工程队一共安装了这两种光伏板2000块．已知这个光伏系统日均总发电量达到18800千瓦时，那么机场需要安装的A型光伏板和B型光伏板各有多少块？ 【答案】机场需要安装的A型光伏板1400块，B型光伏板600块 【分析】设机场需要安装的A型光伏板x块，B型光伏板y块，根据题意列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：设机场需要安装的A型光伏板x块，B型光伏板y块， 根据题意得：， 解得， 答：机场需要安装的A型光伏板1400块，B型光伏板600块． 37．（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱． 根据题意，得， 将代入中，得 ， 解得 把代入中，得 ． 答：人数为21人，羊价为150钱． 38．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）今有鸡兔同笼，上有二十四头，下有七十四足，问鸡兔各几何？ 【答案】鸡有11只，兔子13只 【分析】设有x只鸡，y只兔子．根据“上有二十四头，下有七十四足”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设有x只鸡，y只兔子．根据题意，得 ， 解得． 答：鸡有11只，兔子13只． 题型九 解特殊不等式组（共3小题） 39．（24-25七年级下·山东济南·期末）已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解一元一次不等式组，先求出一元一次方程的解，再根据其解为负数得出或，分别解不等式组，求出解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 当时，，此方程无解； 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的根是负数， ∴或， 解得， 故答案为：． 40．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 41．（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了不等式的性质，求一元一次不等式，解特殊不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （2）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （3）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ， 又， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （2）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （3）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ， ∵， 同理， 由得， ∴， 即取值范围是． 题型十 由不等式组解集的情况求参数（共3小题） 42．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）关于x 的不等式组 恰有4个负整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组整数解求参数问题，解题的关键是掌握不等式组的解法．解出不等式的解集，再根据有4个负整数解列不等式，即可作答． 【详解】解： 解①式得： 解②式得：， ∵关于x 的不等式组 恰有4个负整数解， ∴4个负整数解为，，，， ∴， 故答案为： 43．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，代数式求值；解不等式得，由不等式组的解集为可得，从而知的值，代入即可． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， ， ， 则． 44．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围______． 【答案】 【分析】本题考查不等式组解集的求法，熟练掌握概念是解题的关键． 先确定不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解这一条件来确定的取值范围． 【详解】解：已知不等式组，因为不等式组有解， 可得不等式组的解集为， 因为不等式组有4个整数解， 所以这4个整数解为，，，， 那么需要满足， 这样才能保证不等式组的整数解恰好为，，，． 故答案为：． 题型十一 不等式组和方程组结合的问题（共3小题） 45．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 46．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 47．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． （1）由化简得到，代入解方程即可得到答案； （2）得，代入解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 得 ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得； （2）解： 由得， 方程组的解满足， ∴， 解得． 题型十二 一元一次不等式组的应用（共6小题） 48．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，结合“放入三个玻璃球未满，放入四个玻璃球水溢出”列不等式是解决本题的关键． 先利用放过三个玻璃球未满，即水的容量加三个玻璃球的体积小于杯子的容量列第一个不等式，再由放入四个玻璃球水溢出列第二个不等式，由一元一次不等式组的求法求解即可． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积， 将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， 所以， 将四个相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， 所以， 即，解得， 所以， 即一颗玻璃球的体积在和之间 ． 49．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 50．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）请仔细阅读如图的对话，根据对话内容，求出笔记本和橡皮的标价． 【答案】笔记本的标价是7元，橡皮的标价是元 【分析】设笔记本的标价是x元，则橡皮的标价是元，根据“笔记本的标价小于8元，笔记本和橡皮的标价之和大于8元”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x是正整数，即可求出结论． 【详解】解：设笔记本的标价是x元，则橡皮的标价是元，根据题意得 ， 解得：， 又∵x是正整数， ∴， 则． 答：笔记本的标价是7元，橡皮的标价是元． 51．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 (1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． (2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】(1)(且x为整数) (2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 (且x为整数)； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 52．（24-25七年级下·山东泰安·期末）暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 【答案】(1)甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 (2)一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件 【分析】（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元． （2）解：设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案： 方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件； 方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件； 方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 53．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 54．（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【答案】(1)销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元 (2)销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元，根据“销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数），根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元， 依题意，得：， 解得：， 答：销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元； （2）解：设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数）， 依题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴（个）， 答：销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个． 题型十三 与角平分线有关是三角形内角和问题（共3小题） 55．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，是它的高线，E为边上一点，连接． (1)若是的角平分线，，求的度数； (2)若是的中线，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的中线与高，掌握这些知识是解题的关键； （1）由角平分线可得的度数，由是的高，即可求得； （2）利用三角形面积公式求得，再利用三角形中线求解即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵是的中线， ∴． 56．（22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，是的边上的高，平分交于点E，若，，求和的度数． 【答案】； 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据是 边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 57．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 题型十四 三角形外角的定义及性质（共3小题） 58．（24-25七年级下·重庆·期末）如图①，，点，分别在直线，上，，过点作，交的延长线于点，交于点，平分，交于点，交于点，交于点． (1)直接写出，，之间的数量关系：________； (2)若，求的度数； (3)如图②，在（2）的条件下，将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒．当边与射线重合时停止转动，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案； （2）根据，分别表示出和，再由，可得的度数； （3）结合（2），分以下几种情况求解：①当时，延长交边于，②当时，③当时，即与在同一直线上时，④当时，⑤当时． 【详解】（1）解： 是的外角， ， （2） ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，则， ， ， ； （3）①当时，延长交边于，如图， ， ， ， ， ， 当绕点旋转时，， （秒） ②当时，如图， ，， ， ， 当绕点旋转时，， （秒）， ③当时，即与在同一直线上时， 当绕点旋转时，， （秒）， ④当时， ，， 当旋转时，， （秒） ⑤当时， ， ， 当旋转时，， （秒）， 综上所述，当的其中一边与的某一边平行时t的值为． 59．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 60．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D是的中点，E是射线上的一点，连接，将沿翻折得到，当时，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折变换的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是根据点在射线上的不同位置，分情况讨论，利用平行线性质和翻折性质建立角度关系求解． 先在中求出的度数；再根据，分两种情况求出的度数． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴ ． ∵ 沿DE翻折得到， ∴ ， ∴设， 分两种情况讨论： 情况一：在线段CB上． ∵ ， ∴ . ∴ . 在中，． 情况二：在CB的延长线上. ∵ ， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，， ∴，解得． 故答案为：或． 题型十五 多边形对角线的条数问题（共3小题） 61．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值为_______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多边形的一个顶点作对角线的条数，过n边形的一个顶点可以作条对角线，给定为6条，因此，求出答案即可． 【详解】解：由题意得，解得． 故答案为：9． 62．（23-24七年级下·重庆·期末）若边形的对角线共有条，则这个多边形是______边形． 【答案】八 【详解】本题考查了多边形对角线的条数问题，利用多边形对角线条数公式建立方程，即有，然后根据因数求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据题意得， 所以， 因为， 所以， 故答案为：八． 63．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有______条． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为是解题的关键． 根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由n边形的对角线总条数公式为进行解答． 【详解】解：：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有9条， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形是十二边形． ∴该多边形对角线一共有：(条)， 故答案为：54． 题型十六 利用平移的性质求解（共3小题） 64．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】为向右平移得到的距离，设，根据长度关系可得x的值，从而可得到平移的距离． 【详解】解：由题意可得，为向右平移得到的距离， 设，则， ，， ， ，解得， 也是向右平移的距离， ． 65．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． 66．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 【答案】 【分析】平移的距离是平移前后对应点之间的线段长度，点的对应点是点，因此平移的距离即为线段的长度，结合已知和的长度，通过线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】解：∵三角形平移到三角形的位置，点的对应点是点， ∴平移的距离为的长度． ∵，， ∴． 即平移的距离为． 题型十七 利用旋转的性质求解（共3小题） 67．（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数是______． 【答案】/度 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 68．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点、．现有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为______． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形内角和定理和平行线的判定．根据旋转的性质即可判断结论①是否正确；可证得，据此可判断结论②是否正确；根据旋转的性质可知，，，再利用三角形内角和定理即可判断结论③是否正确；可证得，据此可判断结论④是否正确． 【详解】解：①根据旋转的性质可知，结论①正确． ②根据旋转的性质可知，， ∴．结论②错误． ③根据旋转的性质可知，，， ∴．结论③正确． ④根据旋转的性质可知，， 根据②的证明过程可知， ∴． ∴． 结论④正确． 综上所述，结论①③④正确． 故答案为：①③④． 69．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，绕顶点逆时针旋转30°至，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转、三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解： 绕顶点逆时针旋转至， ，， ， ， 在中，， ． 故选：B． 1．用加减法解方程组下列解法不正确的是（    ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 【答案】D 【分析】加减消元法要求消去某个未知数时，需使该未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过加减运算消去该未知数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项：得：，得：，两式相减可消去，该解法正确，故A选项不符合题意； B选项：得：，得：，两式相减可消去，该解法正确，故B选项不符合题意； C选项：得：，得：，两式相加可消去，该解法正确，故C选项不符合题意； D选项：可得：，整理得：，不能消去，该解法错误，故D选项符合题意． 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住人，那么有人无房可住；如果每间客房住人，那么就空出1间房．问有多少间客房，多少位客人．设有间客房，位客人，则下列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设有间客房，位客人，根据两种住宿情况分别列出方程即可得到方程组 【详解】解：设有间客房，位客人， ∵每间客房住人，有人无房可住，总人数等于间房住的人数加上无房的人，可得， 整理得， ∵每间客房住人，空出间房，实际住了间房，总人数等于乘以实际使用房间数，可得， 即， ∴方程组为． 3．如图所示，将三角形沿方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质：平移前后图形的形状和大小不变，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对各选项进行判断即可； 【详解】解：∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴对应点连线平行且相等，即，，故A，B选项正确，不符合题意； ∴对应线段相等，即，故D选项正确，不符合题意； ∴对应角相等，即，而是的对应角， ∴不一定成立，故C选项不正确，符合题意． 4．方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解；类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．15 B．20 C．10 D．19 【答案】A 【分析】本题仿照题干给出的隔板法思路求解，将7个1排成一排，要分成3个正整数部分，需要在中间空隙中选2个插入隔板，计算选法数量即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵方程的解为正整数， ∴均为大于等于1的正整数 仿照题干给出的示例，将7个1排成一排， 即 ∴7个1之间共有个空隙， 要将7个1分成3组，分别对应，需要从6个空隙中任选2个插入隔板， 计算选法总数：从6个空隙选第一个有6种选法，选第二个有5种选法，两个隔板顺序不影响结果， ∴总选法为， ∴方程的正整数解的个数为15， 5．解关于的不等式组的整数解有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合关于的不等式组的整数解有4个，即可得出结果． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于的不等式组的整数解有4个， ∴不等式组的整数解为，，，， ∴． 6．五一小长假前，某景区内一文创商店购进A，B两种文创产品各50件进行售卖，这两种产品的进货总价为7250元，B种产品的进货单价比A种产品的进货单价少15元． (1)求A，B两种产品的进货单价各是多少元； (2)商店将A种产品每件的售价定为120元，若商店销售这两种产品的利润不低于3500元，B种产品每件的售价最低定为多少元？ (3)由于这两种产品备受青睐，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两种产品共100件进行销售．若A种产品每件的售价仍定为120元，B种产品每件的售价按（2）中的最低定价．销售完这100件产品能否获利3700元?请说明理由． 【答案】(1)A，B两种产品的进货单价分别是80元、65元 (2)B种产品每件的售价最低定为95元 (3)销售完这100件产品不能获利3700元 【分析】（1）设A种产品的进货单价是元，则B种产品的进货单价是元．根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设 B种产品每件的售价定为元．根据题意，列出不等式，解不等式即可求解． （3）设购进A种产品件，则购进B种产品件．根据题意得出一元一次方程求得的值，进而根据总费不超过7400元，列出一元一次不等式，求得的范围，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：设A种产品的进货单价是元，则B种产品的进货单价是元． 根据题意，得．     解得，．     所以． 答：A，B两种产品的进货单价分别是元、元． （2）解：设 B种产品每件的售价定为元． 根据题意，得．     解得，． 答：B种产品每件的售价最低定为元． （3）解：设购进A种产品件，则购进B种产品件． 根据题意，得．     解得，．     根据题意，得， 解得，． 因为． 所以销售完这件产品不能获利元． 7．如图，已知，连接，． (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图，则 °； ②若，，试用m、n表示的度数． (2)当点E在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①50；② (2)存在，与之间的数量关系是：或或或 【分析】（1）①延长交于点F，由三角形外角性质得，，进而得，据此可得的度数； ②由（1）可知，据此可得的度数； （2）依题意分四种情况讨论如下：①当点E在边的右侧，且交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，由（1）②的结论得，据此可得与之间的数量关系；④当点E在的下方时，根据四边形的内角和等于得，据此可得与之间的数量关系；综上所述即可求解． 【详解】（1）解：①延长交于点F，如图1所示： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②由（1）可知：， ∵，， ∴． （2）解：存在，与之间的数量关系是：或或或． 理由如下： 当点E在的外部时，有以下四种情况： ①当点E在边的右侧，且与相交于点P时，如图3①所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，如图3②所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，如图3③所示： 由（1）②的结论得：， ∴； ④当点E在的下方时，如图3④所示： 根据四边形的内角和等于得，， ∴， 综上所述：与之间的数量关系是：或或或． 8．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）三个式子相加即可求解； （2）根据方程组的结构可得，再加减消元即可； （3）利用整体法结合加减消元即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为 ∴， 解得； （3）解：由题可得， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $