专题六 频率与概率的综合应用专项训练2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 围绕事件辨别、频率估计概率、列举法计算、游戏公平性四大模块，构建从概念辨析到实际应用的完整训练体系，突出概率与统计的结合及实际问题解决。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件辨别|7题（含中考真题）|通过生活情境判断必然、随机、不可能事件|从事件概念出发，建立可能性大小认知基础| |频率估计概率|6题（含表格分析题）|结合重复试验数据，用频率稳定值估计概率|体现统计思想，实现频率到概率的转化应用| |列举法求概率|11题（含抽卡、摸球等）|用列表/树状图列举结果，结合概率公式计算|掌握核心计算方法，解决简单随机事件概率问题| |游戏公平性|4题|比较双方获胜概率判断游戏公平性|深化概率应用，培养决策意识与理性思维|

频率与概率的综合应用专项训练 一、辨别“事件” 判断事件发生的可能性大小 1．（2026·重庆·中考真题）下列事件中，一定会发生的是（     ） A．从只有白球的袋中摸出白球 B．明天一定会下雨 C．随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7 【答案】A 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断选项，选出一定会发生的事件． 【详解】解：A选项中袋中只有白球，因此从袋中摸球一定只能摸出白球，该事件一定会发生． B选项明天是否下雨是不确定的，属于随机事件，不一定发生． C选项随意翻页得到的页码可能是奇数也可能是偶数，属于随机事件，不一定发生． D选项正方体骰子向上一面的点数最大为，不可能得到点数，属于不可能事件，一定不会发生． 2．（2026·湖南长沙·三模）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．勇士队球星库里在一场比赛中投篮1次，投进篮筐 B．水中捞月 C．开车时，连续三个路口都遇到绿灯 D．任意画一个正多边形，它是轴对称图形 【答案】D 【分析】根据必然事件的定义逐一判断各选项的事件类型即可． 【详解】解：A选项中，投篮1次投进可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； B选项中，水中捞月一定不会发生，属于不可能事件，不符合题意； C选项中，连续三个路口都遇到绿灯可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； D选项中，任意正多边形一定是轴对称图形，该事件一定发生，属于必然事件，符合题意． 3．（2026·湖北武汉·二模）有两个事件，事件（1）：在一个标准大气压下，水加热到100℃时沸腾；事件（2）：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上．下列判断正确的是（     ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）是必然事件，（2）是随机事件 C．（1）（2）都是必然事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 【答案】B 【分析】根据定义判断两个事件的类型即可得出答案． 【详解】解：∵在一个标准大气压下，水加热到一定沸腾，该事件必然发生， ∴事件（1）是必然事件． ∵抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上，结果不确定， ∴事件（2）是随机事件．因此B选项判断正确． 4．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（     ） A．了解河南省中学生的视力和用眼卫生情况，采用普查 B．检查“神舟系列”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C．掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D．买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 【答案】C 【分析】根据调查对象的特征选择合适的调查方式，再结合随机事件，不可能事件的定义逐一判断选项即可，一般来说，调查范围广，工作量大的调查选择抽样调查，精确度要求高，事关重大的调查选择全面调查； 【详解】了解河南省中学生的视力和用眼卫生情况，调查范围广，工作量大，应采用抽样调查，因此说法错误； 检查“神舟系列”载人飞船零部件，对精确度要求高，事关飞行安全，必须采用全面调查，因此说法错误； 掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，也可能是反面，结果不确定，因此朝上一面是正面是随机事件，说法正确； 买一张体育彩票，中一等奖可能发生也可能不发生，因此中一等奖是随机事件，不是不可能事件，说法错误． 5．（2026·湖北武汉·二模）将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【答案】D 【详解】解：∵每次转出的数字都大于或等于1， ∴两次转出的数字和大于1是必然事件； 两次转出的数字和等于6是随机事件； 两次转出的数字差等于0是随机事件； 最大数字为6，最小数字为1，差的绝对值最大为5， 两次转出的数字差等于6是不可能事件，故D选项符合题意． 6．（25-26七年级下·江西吉安·期中）将4个红球、5个黄球、2个绿球放入一个不透明袋子里，这些球除颜色外都相同，从中一次性摸出8个球，则“摸到红球”这个事件（   ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 【答案】D 【分析】先计算所有非红球的总数量，再和摸出的球数比较，即可判断该事件的类型． 【详解】解：∵袋子中非红球（黄球绿球）的总数为个， ∴要一次性摸出8个球，最多只能取出7个非红球， ∴摸出的8个球中至少有1个红球． ∴“摸到红球”这个事件必然发生． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）以下四个事件： 事件：投掷一枚质地均匀的硬币时，正面朝上； 事件：在一个小时内，你步行80千米； 事件：在一个装有3个黄球和7个蓝球的袋子中，球的质量、大小完全一样，从中摸出一个球是黄球； 事件：若两数之和是负数，则其中必有一数是负数． (1)其中不可能的事件是事件___________，必然事件是事件___________．（填字母） (2)请你把相应事件的概率对应的字母，，，表示在下面的数轴对应的点上． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据事件发生的可能性确定事件的分类； （2）分别确定各事件发生的概率，在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：事件：投掷一枚质地均匀的硬币时，可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件； 事件：在一个小时内，你步行80千米，是不可能事件， 事件：在一个装有3个黄球和7个蓝球的袋子中，球的质量、大小完全一样，从中摸出一个球是黄球的概率为，是随机事件； 事件：若两数之和是负数，则其中必有一数是负数，是必然事件． （2）解：发生的概率为，发生的概率为，发生的概率为，发生的概率为． 在数轴上表示如图所示． 二、用“频率”估计“概率”的综合应用 8．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【答案】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可解答． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为． 9．（25-26七年级下·山东泰安·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树．资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：_____________，_____________； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____________（精确到）． (3)如果想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗够吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)不够，理由见解析 【分析】（1）利用成活率、每批棵树、成活的棵树的关系列式计算即可； （2）利用大量测试下，试验的频率在概率附近波动； （3）利用1200乘以成活概率，再与1000比较即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是，（精确到）． （3）解：不够，理由如下： 由（棵），则想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗不够． 10．（25-26八年级下·江苏南京·期中）某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数/只 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 75 102 次品的频率 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.050 m (1)完成上述表格：______； (2)从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是______（精确到0.01）； (3)若该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量． 【答案】(1)0.051 (2)0.05 (3)次品数量为5000只 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）用总数乘样本中次品的数量所占百分比即可． 【详解】（1）解：； （2）解：从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是0.05； （3）解：（只）， 答：该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量为5000只． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． (1)估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； (2)如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 【答案】(1)0.75 (2) 【分析】（1）利用频率估算概率，再根据概率之和为1，进行求解即可； （2）根据概率求出总数，再利用频率估算概率，利用概率求出数量即可． 【详解】（1）解：∵经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近， ∴摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴摸到“沧浪亭”卡片的概率是； （2）解：由（1）知，原来摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴原来卡片的总数量为（张）； ∵放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近， ∴现在摸到“狮子林”卡片的概率为0.5， ∴， 解得； 故． 12．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1)①3②2或1 (2)1 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 【详解】（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 13．（25-26九年级下·江西·开学考试）某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 【答案】(1)， (2)0.1 (3)这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元 【分析】（1）用频数11除以总数100即可求出频率m，用总数400乘以频率0.095即可求出频数n； （2）根据频率估计概率得0.1； （3）先用300除以概率0.1得到鱼塘中大约有3000条鱼，再列式即可求出总价值． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据频率估计概率得随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为0.1； （3）解：（条）， （元）． 答：这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元． 三、“列举法”求概率 根据概率公式计算（综合应用） 14．（2026·山西朔州·三模）剪纸是我国传统文化中的一块瑰宝，春节来临之际，某校开展了“剪纸迎春”活动．现有两张“福”字剪纸和一张“春”字剪纸，将它们分别放入完全相同的三个信封中．小华从中随机抽取两个信封，则恰好抽到放有一张“福”字和一张“春”字的信封的概率为_________． 【答案】 【分析】先对三个信封内的剪纸进行标记，列举出随机抽取两个信封所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：将两张“福”字剪纸分别标记为，，将“春”字剪纸标记为 随机抽取两个信封，所有等可能的结果为：，，，共种，其中恰好抽到一张“福”字和一张“春”字的结果有种 根据概率公式可得，所求概率为． 15．（2026·河南周口·三模）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，随机抽取两张卡片，两张卡片数字之和为偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定所有等可能的抽取结果数，再找出数字之和为偶数的结果数，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：从四张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：，共种等可能的结果， 其中两张卡片数字之和为偶数的结果为，共种， ∴两张卡片数字之和为偶数的概率为． 16．（2026·安徽宿州·二模）如果一个自然数的平方的个位上的数字等于该数自身，则称这个数为自守数．在3，4，5，6这四个数中任选两个数都是自守数的概率为______． 【答案】 【分析】先根据自守数的定义确定四个数中的自守数个数，再求出从四个数中任选两个的所有等可能结果数，以及两个都是自守数的结果数，最后根据概率公式计算概率. 【详解】解：首先根据定义判断自守数： ，个位数字，不是自守数， ，个位数字，不是自守数， ，个位数字，是自守数， ，个位数字，是自守数， 因此四个数中共有2个自守数， 从4个数中任选2个，所有等可能的结果数为 ，，，，，， 所选两个数都是自守数的结果数为， 根据概率公式可得所求概率为. 17．（2026·陕西西安·三模）如图，木杆上挂了3个大小完全相同的气球A、B、C．甲、乙、丙3人蒙着眼睛同时随机拿气球，一人拿一个． (1)甲能拿到A的概率是______； (2)丙拿不到C的概率是多少？说明理由． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：总共有3个气球(A、B、C)，甲随机拿一个，所有可能的结果有3种，且每种结果的可能性相等， 甲拿到A的结果只有1种， 所以甲能拿到A的概率是； （2）解：列出所有可能的拿气球情况： 甲A、乙B、丙C， 甲A、乙C、丙B， 甲B、乙A、丙C， 甲B、乙C、丙A， 甲C、乙A、丙B， 甲C、乙B、丙A； 总共有6种等可能的结果； 其中丙拿不到C的情况有： 甲A、乙C、丙B， 甲B、乙C、丙A， 甲C、乙A、丙B， 甲C、乙B、丙A， 共4种， 所以丙拿不到C的概率是． 18．（25-26七年级下·江西吉安·期中）诺诺和妈妈计划在5月7日～13日去云南旅游，如图是她在某天气上查看到的这七天天气预报，求下列事件的概率： (1)随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天去大理自驾游，恰好天气预报都是晴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解； （2）先列举所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：共有7天，其中天气预报是雨的只有1天， ∴随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨的概率是； （2）解：选择连续的两天的情况数有周四和周五，周五和周六，周六和周日，周日和周一，周一和周二，周二和周三，共6种情况， 其中恰好天气预报都是晴的有2种， ∴概率为． 19．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能） (2)小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【答案】(1)必然 (2)9个 (3)解：抽中一等奖的概率会减小．理由如下： 则增加三个黄球，球的总数增加，而红球的数量没有变，抽中一等奖的概率为， ∴抽中一等奖的概率变小． 【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行判断； （2）由于平均每6个人中会有3人抽中三等奖，利用样本估计总体，得到抽中白球的概率为，然后根据概率公式计算袋中白球的数量； （3）根据概率公式说明抽中一等奖的概率会减小． 【详解】（1）解：∵只有三种颜色的小球，每种颜色的小球都对应着相应的奖级， ∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件； （2）解：∵平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖， ∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为， ∴红色球和黄色球分别有（个），（个）， ∴估算袋中白球的数量为（个）； （3）略 20．（25-26七年级下·广东梅州·阶段检测）春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． (1)某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； (2)请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 【答案】(1) (2)方案二 【分析】（1）列举出所有可能即可求； （2）分别求出两种方案下平均获奖的情况即可． 【详解】（1）解：所有可能的情况有6种，①正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；②正面朝上指针指向100元，获得100元购物券；③正面朝上指针指向谢谢，不得奖；④正面朝下指针指向50元，购物券金额减半获得25元购物券；⑤正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券；⑥正面朝下指针指向谢谢，不得奖；其中一次获得50元购物券的情况有2种：分别是正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券； 故一次获得50元购物券的概率为； （2）解：由（1）知，方案一：一次获得100元购物券的情况只有1种，故一次获得100元购物券的概率为；一次获得25元购物券的情况只有1种，故一次获得25元购物券的概率为； 一次平均获奖（元）， 方案二：直接获奖40元， 则顾客选择方案二更合算． 21．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）现有正面分别写有“最”“美”“附”“中”“人”的卡片共30张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“最”字的卡片有9张，“附”字卡片有6张，“中”字卡片有3张，“人”字卡片有8张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (2)从这些卡片中取出a张写有“最”字的卡片，再放入a张写有“美”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“美”字卡片的概率为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据总卡片数和其他卡片数量算出“美”字卡片的数量，再根据概率公式计算抽到“美”字卡片的概率； （2）取出张写有“最”字的卡片，放入张写有“美”字的卡片后，总卡片数仍为张，此时写有“美”字的卡片数量为张，结合给定的概率列出一元一次方程，求解得到的值． 【详解】（1）解：由题意得，总卡片数为张写有“美”字的卡片数量为张， 因此随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为 （2）解：根据题意可列方程， 解得． 22．（2026·湖南湘潭·二模）我市中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）． 根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)________，________． (2)补全上图中的条形统计图． (3)若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球． (4)在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从这10名女生中，选取1名参加全市中学生女子羽毛球比赛，求选中小红或小燕的概率． 【答案】(1)100；5 (2)见解析 (3)400 (4) 【分析】（1）利用篮球人数除以对应占比可得到的值；用排球人数除以总人数再乘以求出的值； （2）求出足球的人数，补全条形图即可； （3）利用“样本估计总体”方法进行求解即可； （4）利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由条形图和扇形图可知：篮球人数为30且占比， 则（名）， 由于排球有5人， 则排球的占比为，即； （2）解：足球的人数为：（名）， 补全条形图如下； （3）解：（名）， 答：该校约有400名学生喜爱打乒乓球； （4）解：从10名女生中任选1名，共有10种等可能选取结果，其中选中小红或小燕有2种结果， 则选中小红或小燕的概率为． 23．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）为迎端午，某超市举办了促销抽奖活动，并设置了一、二、三等奖．在不透明的抽奖箱里放有4个白球，8个黄球，12个红球和36个蓝球，每个球除颜色外完全相同，顾客摸到白球则商品打七折，摸到黄球则商品打八折，摸到红球则商品打九折，摸到蓝球则商品不打折． (1)活动第一天共抽奖120次，其中抽到商品打九折共18次，则在这120次抽奖中，抽到商品打九折的频率是________； (2)顾客从抽奖箱中任意摸出1个球，抽到商品打折的概率是多少？ (3)若向抽奖箱中再放入4个白球和若干个黄球，此时从抽奖箱中任意摸出1个球，商品打八折的概率是，求放入了多少个黄球？ 【答案】(1)0.15 (2) (3)放入了6个黄球 【分析】（1）频率频数总次数； （2）概率等于所求情况数与总情况数之比； （3）设放入了个黄球，根据题意列出方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：， 故在这120次抽奖中，抽到商品打九折的频率是； （2）解：从抽奖箱中任意摸出1个球，所有可能的结果有（种）． 因为每个球除颜色外完全相同， 所以每种结果出现的可能性相同． 因为摸到白球、黄球或红球的结果有（种）． 所以抽到商品打折的概率． （3）解：设放入了个黄球． 根据题意，得， 解得． 答：放入了6个黄球． 24．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）一个不透明的袋中有红、黄、白三种颜色球共50个，它们除了颜色外其他都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是． (1)求袋中白球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (3)取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）总个数乘以红球的概率求出红球个数，据此得出黄、白球的总个数，设袋中白球的个数为x个，根据黄球个数比白球个数的2倍少5个及球的总个数列出关于x的方程，解之即可； （2）用黄球的个数除以球的总个数即可； （3）用红球的个数除以袋中剩余球的总个数即可． 【详解】（1）解：袋中红球的个数为（个）， 则袋中黄、白球的总个数为（个）， 设袋中白球的个数为x个， 则， 解得， ∴袋中白球有15个； （2）解：由（1）知，袋中黄球的个数为个， 所以从袋中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 四、游戏的公平性 25．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球1个、白球3个、黑球2个，将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出1个小球．现有两种游戏规则： ①摸出白球则甲胜，摸出非白球则乙胜； ②摸出黑球则甲胜，摸出白球则乙胜，摸出红球（不放回）重新摸球． 为使游戏对甲、乙双方公平，应选择哪种游戏规则？并说明公平的理由． 【答案】解：应选择规则①，理由如下： ∵一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球1个、白球3个、黑球2个， ∴①甲胜的概率为：，乙胜的概率为：， ， ∴游戏公平； ②摸出红球重新摸球，则可看作一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中白球3个、黑球2个， 甲胜的概率为：，乙胜的概率为：， ， ∴游戏不公平； ∴为使游戏对甲、乙双方公平，应选择规则①． 【分析】分别计算两种游戏规则甲、乙双方胜利的概率，进而计算即可． 【详解】略 26．（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． (1)小颖同学摸出红球的概率是多少？ (2)小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到黄色，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1) (2) 解：不公平，理由如下： 一共有6个球，黄球有2个，其它球有4个， 则小颖获胜的概率是，小英获胜的概率是， 因为， 所以小英获胜的可能性大，则游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式解答； （2）先分别求出两人获胜的概率，再比较可得答案． 【详解】（1）解：一共有个球，红球有1个， 所以小颖同学摸出红球的概率是； （2）略 27．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）某校举行数学竞赛活动，晓晨和阿进两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可获得准备好的2件奖品中的一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，数学小组长设计了一个趣味性游戏，游戏规则：将如图1所示的四张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，晓晨从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2所示的是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6，阿进掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数．若晓晨记下的牌面数字大于4，则晓晨先挑取奖品，若阿进记下的点数大于4，则阿进先挑取奖品．（结果相同则再来一次） (1)晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？ (2)请用所学知识说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）分别求出晓晨先挑取奖品的概率和阿进先挑取奖品的概率，即可得到结论． 【详解】（1）解：因为四张扑克牌为方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5， 所以晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是； （2）解：这个游戏对双方不公平．理由如下： 因为晓晨先挑取奖品的概率，阿进先挑取奖品的概率， 所以晓晨先挑取奖品的概率阿进先挑取奖品的概率，所以这个游戏对双方不公平． 28．（25-26七年级下·广东深圳·期中）本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)填空：_______；_______； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为________；（结果精确到0.1） (3)小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)0.305，148 (2)0.3 (3)游戏公平，理由见解析 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； （3）解：游戏公平，理由如下： 观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“贴纸”有5份，不是“贴纸”有5份． ∴（小明获胜），（小红获胜）； ∴（小明获胜）（小红获胜） ∴这个游戏公平． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 频率与概率的综合应用专项训练 一、辨别“事件” 判断事件发生的可能性大小 1．（2026·重庆·中考真题）下列事件中，一定会发生的是（     ） A．从只有白球的袋中摸出白球 B．明天一定会下雨 C．随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7 2．（2026·湖南长沙·三模）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．勇士队球星库里在一场比赛中投篮1次，投进篮筐 B．水中捞月 C．开车时，连续三个路口都遇到绿灯 D．任意画一个正多边形，它是轴对称图形 3．（2026·湖北武汉·二模）有两个事件，事件（1）：在一个标准大气压下，水加热到100℃时沸腾；事件（2）：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上．下列判断正确的是（     ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）是必然事件，（2）是随机事件 C．（1）（2）都是必然事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 4．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（     ） A．了解河南省中学生的视力和用眼卫生情况，采用普查 B．检查“神舟系列”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C．掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D．买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 5．（2026·湖北武汉·二模）将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 6．（25-26七年级下·江西吉安·期中）将4个红球、5个黄球、2个绿球放入一个不透明袋子里，这些球除颜色外都相同，从中一次性摸出8个球，则“摸到红球”这个事件（   ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）以下四个事件： 事件：投掷一枚质地均匀的硬币时，正面朝上； 事件：在一个小时内，你步行80千米； 事件：在一个装有3个黄球和7个蓝球的袋子中，球的质量、大小完全一样，从中摸出一个球是黄球； 事件：若两数之和是负数，则其中必有一数是负数． (1)其中不可能的事件是事件___________，必然事件是事件___________．（填字母） (2)请你把相应事件的概率对应的字母，，，表示在下面的数轴对应的点上． 二、用“频率”估计“概率”的综合应用 8．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 9．（25-26七年级下·山东泰安·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树．资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：_____________，_____________； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____________（精确到）． (3)如果想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗够吗？为什么？ 10．（25-26八年级下·江苏南京·期中）某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数/只 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 75 102 次品的频率 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.050 m (1)完成上述表格：______； (2)从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是______（精确到0.01）； (3)若该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． (1)估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； (2)如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 12．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 13．（25-26九年级下·江西·开学考试）某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 三、“列举法”求概率 根据概率公式计算（综合应用） 14．（2026·山西朔州·三模）剪纸是我国传统文化中的一块瑰宝，春节来临之际，某校开展了“剪纸迎春”活动．现有两张“福”字剪纸和一张“春”字剪纸，将它们分别放入完全相同的三个信封中．小华从中随机抽取两个信封，则恰好抽到放有一张“福”字和一张“春”字的信封的概率为_________． 15．（2026·河南周口·三模）现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，随机抽取两张卡片，两张卡片数字之和为偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 16．（2026·安徽宿州·二模）如果一个自然数的平方的个位上的数字等于该数自身，则称这个数为自守数．在3，4，5，6这四个数中任选两个数都是自守数的概率为______． 17．（2026·陕西西安·三模）如图，木杆上挂了3个大小完全相同的气球A、B、C．甲、乙、丙3人蒙着眼睛同时随机拿气球，一人拿一个． (1)甲能拿到A的概率是______； (2)丙拿不到C的概率是多少？说明理由． 18．（25-26七年级下·江西吉安·期中）诺诺和妈妈计划在5月7日～13日去云南旅游，如图是她在某天气上查看到的这七天天气预报，求下列事件的概率： (1)随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天去大理自驾游，恰好天气预报都是晴． 19．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能） (2)小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 20．（25-26七年级下·广东梅州·阶段检测）春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． (1)某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； (2)请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 21．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）现有正面分别写有“最”“美”“附”“中”“人”的卡片共30张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“最”字的卡片有9张，“附”字卡片有6张，“中”字卡片有3张，“人”字卡片有8张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (2)从这些卡片中取出a张写有“最”字的卡片，再放入a张写有“美”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“美”字卡片的概率为，求a的值． 22．（2026·湖南湘潭·二模）我市中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）． 根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)________，________． (2)补全上图中的条形统计图． (3)若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球． (4)在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从这10名女生中，选取1名参加全市中学生女子羽毛球比赛，求选中小红或小燕的概率． 23．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）为迎端午，某超市举办了促销抽奖活动，并设置了一、二、三等奖．在不透明的抽奖箱里放有4个白球，8个黄球，12个红球和36个蓝球，每个球除颜色外完全相同，顾客摸到白球则商品打七折，摸到黄球则商品打八折，摸到红球则商品打九折，摸到蓝球则商品不打折． (1)活动第一天共抽奖120次，其中抽到商品打九折共18次，则在这120次抽奖中，抽到商品打九折的频率是________； (2)顾客从抽奖箱中任意摸出1个球，抽到商品打折的概率是多少？ (3)若向抽奖箱中再放入4个白球和若干个黄球，此时从抽奖箱中任意摸出1个球，商品打八折的概率是，求放入了多少个黄球？ 24．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）一个不透明的袋中有红、黄、白三种颜色球共50个，它们除了颜色外其他都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是． (1)求袋中白球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (3)取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 四、游戏的公平性 25．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球1个、白球3个、黑球2个，将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出1个小球．现有两种游戏规则： ①摸出白球则甲胜，摸出非白球则乙胜； ②摸出黑球则甲胜，摸出白球则乙胜，摸出红球（不放回）重新摸球． 为使游戏对甲、乙双方公平，应选择哪种游戏规则？并说明公平的理由． 26．（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． (1)小颖同学摸出红球的概率是多少？ (2)小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到黄色，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 27．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）某校举行数学竞赛活动，晓晨和阿进两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可获得准备好的2件奖品中的一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，数学小组长设计了一个趣味性游戏，游戏规则：将如图1所示的四张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，晓晨从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2所示的是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6，阿进掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数．若晓晨记下的牌面数字大于4，则晓晨先挑取奖品，若阿进记下的点数大于4，则阿进先挑取奖品．（结果相同则再来一次） (1)晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？ (2)请用所学知识说明这个游戏对双方是否公平． 28．（25-26七年级下·广东深圳·期中）本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)填空：_______；_______； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为________；（结果精确到0.1） (3)小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $