25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式和判别式引入，以“两根与系数是否有其他关系”的问题搭建学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于通过求根公式推导和因式分解展开两种方法验证定理，培养学生推理能力。例题涵盖直接求两根和积、已知一根求另一根、变形求值等，结合归纳的常见公式，强化应用意识，帮助学生构建知识体系，教师可借此提升教学效率，学生能发展数学思维与问题解决能力。

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 22051 1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. 2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 学习目标 22051 1. 方程ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？ 2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0)根的情况？ b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根. 方程的两根 x1和 x2与系数a、b、c还有其他关系吗？ 复习导入 22051 分析：整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 思考1 观察求根公式 它有什么特点，由此考虑一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 新知讲解 22051 思考1 观察求根公式 它有什么特点，由此考虑一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 因为 所以 新知讲解 22051 若 x1，x2是一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两个根，则有： 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数； 两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 归纳小结 22051 思考2 我们知道，如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0的左边可以分解因式为a(x－x1)(x－x2)，那么方程ax2 + bx + c = 0的两根为x1和x2，反过来，如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两根为x1和x2，你能看出x1，x2与a，b，c之间的关系吗? 上述关系还可以用如下方法得出. 把方程ax2 + bx + c =a(x－x1)(x－x2)的右边展开，化成一般形式，得 ax2 + bx + c =ax2 -a(x1+x2) x +ax1x2 b = -a(x1+x2) 因此 x1+x2= ， x1x2=. c = ax1x2 新知讲解 22051 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x - 1 = 4x2. 解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴ 　　　　　 例题讲解 22051 （1）已知关于 x 的一元二次方程 x2+px-3=0 的一个根为-3，则它的另一根为 ． （2）关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个实数根分别为1和2，则b=_____，c=______． 1 -3 2 小试牛刀 22051 例2 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x²＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解：根据根与系数的关系得： (1) (2) 例题讲解 22051 例2 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x²＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解：根据根与系数的关系得： (3) (4) 例题讲解 22051 常见求值公式变形 归纳小结 22051 若 x1，x2是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个根，则有： 常见应用 一元二次方程的根与系数的关系 内容 课堂小结 22051 1.若 x1，x2 是一元二次方程 5x2+x-5=0 的两根，则 x1+x2 的值是（　　） A． B． C．1 D．-1 B 当堂检测 基础 22051 2.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是( ) A. x2 + 6x + 5 ＝ 0 B. x2 - 7x + 10 ＝ 0 C. x2 - 5x + 2 ＝ 0 D. x2 - 6x - 10 ＝ 0 B 当堂检测 基础 22051 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0 ( p为常数 )有两个不相等的实数根x1和x2． (1)填空：x1+x2＝______，x1x2＝_______； (2)求 ， ； p 1 解：∵x1 + x2 ＝ p，x1x2 ＝ 1， ∴ ； ∵x12 - px1 +1 = 0 ， ∴x1- p + = 0 ，即 . 当堂检测 提升 22051 (3)已知x12 +x22 ＝ 2p+1，求 p 的值． 解：∵x12 +x22 ＝ 2p+1，∴(x1 +x2)2 ﹣2x1x2＝ 2p+1， ∴p2﹣2 ＝ 2p + 1，解得 p1 ＝ 3，p2 ＝ ﹣1， 当 p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0 ( p为常数 )有两个不相等的实数根x1和x2． x1 + x2 ＝ p，x1x2 ＝ 1 当堂检测 提升 22051 $