陕西省教育联盟2025-2026学年第二学期高一质量检测数学试卷（三）

2025~2026学年第二学期高一质量检测卷（三）・数学 参考答案、提示及评分细则 1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．A 8．D 9．AC 10．BC 11．ABD 12．15 13．-3 14． 15．解：（1）由，可得，， 即，，， 5分 ，； 7分 （2）因，，， 10分 则． 13分 16．解：（1）由分组对应的频数是10，频率是0.20，知，所以， 2分 所以，解得， 4分 所以，； 6分 （2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为； 9分 （3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是． 10分 因为， 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数满足， 12分 解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1， 13分 由， 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3． 15分 17．解：（1）因为为底面圆心，为底面直径，所以点为的中点， 2分 又因为点为的中点，所以， 4分 因为平面，平面，所以平面； 7分 （2）因为点在底面圆周上，所以，又因为点为的中点，所以； 9分 因为为底面直径，所以，又因为，所以， 11分 且，，平面，所以平面， 13分 平面，所以平面平面． 15分 18．解：（1），又， 3分 由，解得， 6分 ，得； 7分 （2），， 9分 设，则， 在中，由余弦定理可得，， 11分 在中，由余弦定理可得，， 12分 两式相加可得，， 13分 由（1）可得，，， 或（舍）， 14分 ，， 15分 ，，，，， 16分 的周长为 ．17分 19．解：（1）连接，，， 因为是长方体，，分别为棱，的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以． 1分 因为，，所以，， ， 则有，则有； 3分 同理，，并且，，平面，所以平面，又因为，所以平面； 5分 （2）分别取，的中点为，，连接，则有，所以，又因为是边长为的正三角形，则有，则即为二面角的平面角， 7分 且，，，所以， 9分 所以二面角的余弦值为； 10分 （3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，则． 11分 因为，平面，平面，所以平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，根据，即， 解得， 13分 又因为与平面所成角的正弦值为， 则． 14分 连接， 是边长为的正三角形，在中，由余弦定理得： ，即， 整理得：，即， 解得或， 15分 又因为，， 所以或， 16分 所以或． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期高一质量检测卷（三） 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册第六章~第九章9.2.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则向量对应的复数为 A． B． C． D． 3．下列说法正确的是 A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 4．已知向量，，它们的夹角为，则 A．10 B． C． D．13 5．将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为 A． B． C． D． 6．如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为 A． B． C． D． 7．太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名．如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度．在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，若，，，，则山高为（图中的点，，，，均在同一个铅直平面内） A． B． C． D． 8．已知，，是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列调查中，适宜采用抽样调查的是 A．调查某市小学生每天的运动时间 B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C．农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 10．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 11．在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是 A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有________人． 13．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则________． 14．已知三棱锥，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知向量，，． （1）求； （2）设向量，的夹角为，求的值． 16．（本小题满分15分） 对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 0.20 24 2 0.04 合计 1 （1）求出表中，及图中的值； （2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数） 17．（本小题满分15分） 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，点在底面圆周上，点为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 18．（本小题满分17分） 在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，． （1）求的值； （2）已知，为的中点，，求的周长． 19．（本小题满分17分） 如图，长方体的底面是正方形，，，，分别为棱，的中点，（）． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $