广东惠州市2026年初中数学学业水平模拟考试试卷

**基本信息** 融合2026春晚机器人、春节档电影等时代素材与鲁班锁、《张邱建算经》等传统文化，梯度覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，突出数学应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法（第2题）、概率（第5题）、三视图（第3题）|结合春节游客数据、电影选片等真实情境| |填空题|5/15|因式分解（12题）、新运算（13题）、反比例函数（15题）|设置自定义运算“Δ”考查代数变形能力| |解答题|8/75|统计分析（20题）、动态几何面积（22题）、新定义“横纵中点值”（23题）|折纸实践题（22题）融合动手操作与几何推理，新定义题（23题）考查数学抽象与创新应用|

2026年初中数学学业水平考试模拟试卷 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共7页，共23题．考试时间120分钟，满分120分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“”，运出物资为“”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 2．2026年春节假期九天（2月15日至2月23日），深圳全市共接待游客约8658.9万人次，较2025年春节假期（八天）增长8.1%。数据8658.9万用科学记数法表示为（  ） A．8.6589B．8.6589 C．8.6589D．8.6589 3.鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，如图1是一种经典的六柱孔明锁，其中一柱如图2所示，则图2中木块的主视图是（  ） A．B．C． D． 4.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《熊出没·年年有熊》。从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（ ） A． B． C． D． 6．如图，2026年春晚《武》节目中，宇树人形机器人与河南塔沟武校学员同台演绎时，需在定制斜坡舞台完成腾跃动作．若该斜坡的坡度为，机器人腾跃点的水平宽度厘米，则腾跃点的垂直高度为（ ） A.30厘米 B.60厘米 C.80厘米 D.120厘米 7.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 9.如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐹是边𝐵𝐶的中点，𝐻为边𝐶𝐷上一点，过点𝐻作𝐸𝐻⊥𝐶𝐷于点𝐻，交𝐴𝐵于点𝐸．若𝐻𝐸=3，𝐻𝐹=2.5，则cos∠𝐶𝐻𝐹的值为（ ） A． B． C． D． 10. 如图， △ 𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 2，正方形𝐷𝐸𝐹𝐺的边长也为 2，且𝐴𝐶与𝐷𝐸在同一直线上，△ 𝐴𝐵𝐶从点 C 与点 D 重合开始，沿直线𝐷𝐸向右平移，直到点 A 与点 E 重合为止，设𝐶𝐷的长为 x， △ 𝐴𝐵𝐶与正方形𝐷𝐸𝐹𝐺重合部分（图中阴影部分）的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B．C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 12．分解因式： 13..对于任意实数a，b，定义新运算“Δ”：𝑎Δ𝑏=𝑎2−2𝑎𝑏−𝑏2，例如：2Δ3=22−2×2×3−32=−17．若m，n是方程(𝑥+3)Δ2=0的两个实数根，则𝑚+𝑛的值为________ 14．如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为____． 15.如图，过反比例函数图象上一点作垂直于轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，连接交于点，连接，若的面积为，则________ 第二部分非选择题 .三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．(本题6分)计算： 17．(本题7分)解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18. (本题8分)如图，在直角坐标平面内，线段OB与反比例函数的图象交于点B，线段OB的表达式为yx，点B的坐标为a,4，线段OA与反比例函数的图象交于点P，且AB∥x轴 (1)求a的值及反比例函数的关系式； (2)当OA平分OB与 x轴正半轴的夹角时，求点A的坐标． 19.(本题9分)超燃的机器人春晚武术节目《武BOT》，真的不只是炫酷，几十台机器人在舞台上跑、跳、翻跟头、变队形，居然一个都不撞。如果把舞台看成一张大坐标图，横向是x轴，纵向是y轴，每台机器人都是一个精准的坐标点。设定舞台为平面直角坐标系，左下角为原点，每个单位长度代表1米。机器人初始位置为点A(2,3) （1）节目开场，机器人从初始位置A(2,3)向正北方向移动4米，到达点A'，请问点A'的坐标是多少？ （2）机器人在点A(2,3)处，绕原点O顺时针旋转180度后落地，落点为A''。请直接写出A''的坐标，并判断 △OAA''的形状。 （3）舞台上机器人按“正方形方阵”规律变换造型：第1次变换，形成最内层正方形，使用4台机器人；第2次变换，在外围加一圈，这一圈新增12台机器人；第3次变换，再向外围加一圈，这一圈新增20台机器人；以此类推，每次都在最外侧新增一圈正方形机器人。请写出第n次变换时，这一圈需要新增的机器人数量。 学科网（北京）股份有限公司 20. (本题9分)2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过与人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力．某校对学生进行了DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对DeepSeek掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩x/分 频数 频率 A 60≤𝑥<70 8 0.16 B 70≤𝑥<80 m 0.24 C 80≤𝑥<90 n 0.48 D 90≤𝑥<100 6 p 调查结论 …… (1) 上述表格中，样本容量为 ，𝑚= ，𝑛= ，𝑝= ； (2) 所抽取学生成绩的中位数落在 组；补全频数分布直方图； (3) 若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？ 21. (本题9分)如图，已知O的圆心O在三角形ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连接DE． (1) 若BABD，求证：AB是O的切线； (2) 若CD4，CE2，求O的半径． 22．(本题13分)【综合实践】综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1．将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC．打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q，打开铺平，连接PQ、QD、PD． 【探究提炼】 （1） 如图1，点P是BC上任意一点；线段QD和线段PQ存在什么关系？并说明理由； （2） 如图2，连接PH，当PH恰好垂直于AC时，求线段CQ的长度； 【类比迁移】 （3） 如图3，某广场上有一块边长为40m的菱形草坪ABCD，其中BCD60∘．现打算在草坪中修建步道 AC和MNNDDM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MNND． ①求NMD的度数； ②请问步道MNNDDM所围成的MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 23.（本题14分）在平面直角坐标系中，对“横纵中点值”给出如下定义：点A x, y 是函数图像上任意一 点，横坐标x与纵坐标y的和的一半称为点A的“横纵中点值”．函数图像上所有点的“横纵中点值”中的最大值称为函数的“完美横纵中点值”，最小值称为函数的“缺陷横纵中点值”．例如：点A1,3在函数y2x13x6 的图像上，点A的“横纵中点值”为,函 数y2x1图像上所有点的“横纵中点值”可以表示为,当3x6时，最大值为,最小值5,所以函数y2x13x6的“完美横纵中点值”为,“缺陷横纵中点值”为5 (1)点P2,4的“横纵中点值”为 (2)已知二次函数yx29x3，当2x6时，求它的“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值” (3)若二次函数yax22axca0的图像顶点在“横纵中点值”为 的函数图像上 ①二次函数yax22axc的“完美横纵中点值”为 , 求该二次函数的表达式． ②当a1xa3时，设二次函数y2 ax24a1x2ca0的“完美横纵中点值”为,“缺陷横纵中点值”，且,求a的值．  2026年初中数学学业水平考试模拟试卷 数学评分标准·全解全析 （考试时间：120 分钟，分值：120 分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“”，运出物资为“”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法的应用，理解有理数加法的意义是解题的关键，由有理数加法的意义求解即可． 【详解】解：由题意得：， 所以该仓库当天物资变化的结果可表示为吨， 故选：C． 2．2026年春节假期九天（2月15日至2月23日），深圳全市共接待游客约8658.9万人次，较2025年春节假期（八天）增长8.1%。数据8658.9万用科学记数法表示为（  ） A．8.6589B．8.6589 C．8.6589D．8.6589 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的应用，理解科学记数法的意义是解题的关键，由有科学记数法求解即可． 【详解】解：由题意得：8658.9万=86589000， 所以该数据8658.9万用科学记数法表示为8.6589， 故选：A． 3．鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，如图1是一种经典的六柱孔明锁，其中一柱如图2所示，则图2中木块的主视图是（  ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前面看到的图形，进行判断即可，注意存在能看见的用实线，存在看不见的用虚线． 【详解】解：观察可知，主视图为： 故选A． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，合并同类项，完全平方公式以及同底数幂的乘法，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，则A符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：A． 5．2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《熊出没·年年有熊》。从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率 【详解】首先，总共有4部电影，所以所有可能的选择结果有4种，且每种结果的可能性是相等的。而“恰好选到《飞驰人生3》”的结果只有1种. 根据概率公式代入数据得 故选：B． 6．如图，2026年春晚《武》节目中，宇树人形机器人与河南塔沟武校学员同台演绎时，需在定制斜坡舞台完成腾跃动作．若该斜坡的坡度为，机器人腾跃点的水平宽度厘米，则腾跃点的垂直高度为（） A.30厘米 B.60厘米 C.80厘米 D.120厘米 【答案】B 【分析】根据坡度代入数据计算即可 【详解】解：∵该斜坡的坡度为， ∴ 又厘米， ∴（厘米）． 故选：B． 7我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设清酒斗，醑酒斗，根据一共有5斗酒可得方程，根据一共有30斗谷子可得方程，据此建立方程组即可得到答案． 【详解】解；设清酒斗，醑酒斗， 由题意得，， 故选：A． 8. 8. 已知抛物线的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴ ∵抛物线对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故A正确； ∵，∴故B正确； ∵抛物线与x轴有两个交点 ∴，故C正确； 由图象得，抛物线经过点 ∴，故D错误． 9. 如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐹是边𝐵𝐶的中点，𝐻为边𝐶𝐷上一点，过点𝐻作𝐸𝐻⊥𝐶𝐷于点𝐻，交𝐴𝐵于点𝐸．若 𝐻𝐸=3，𝐻𝐹=2.5，则cos∠𝐶𝐻𝐹的值为（   ） A． B． C． D．【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．延长𝐴𝐵，𝐻𝐹交于𝐺，可证明 △ 𝐶𝐻𝐹≌ △ 𝐵𝐺𝐹(AAS)，得到𝐺𝐹 = 𝐻𝐹 = 2.5，再证明 𝐸𝐻 ⊥ 𝐴𝐵，则可利用勾股定理得到𝐸𝐺 = 𝐻𝐺2−𝐻𝐸2 = 4，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长𝐴𝐵，𝐻𝐹交于𝐺， ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形， ∴ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴ ∠𝐶𝐻𝐹 = ∠𝐵𝐺𝐹，∠𝐶 = ∠𝐺𝐵𝐹， ∵ 𝐹是边𝐵𝐶的中点， ∴ 𝐵𝐹 = 𝐶𝐹， ∴△ 𝐶𝐻𝐹≌ △ 𝐵𝐺𝐹(AAS)， ∴ 𝐺𝐹 = 𝐻𝐹 = 2.5，∠𝐶𝐻𝐹 = ∠𝐺 ∴ 𝐺𝐻 = 𝐻𝐹 + 𝐺𝐹 = 5， ∵ 𝐸𝐻 ⊥ 𝐶𝐷， ∴ 𝐸𝐻 ⊥ 𝐴𝐵， ∴ 𝐸𝐺 = 𝐻𝐺2−𝐻𝐸2 = 4， ∴ cos∠𝐶𝐻𝐹 = cos∠𝐺 = 𝐻𝐺 = 5 故选：A． 𝐸𝐺 4 10. 如图， △ 𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 2，正方形𝐷𝐸𝐹𝐺的边长也为 2，且𝐴𝐶与𝐷𝐸在同一直线上， △ 𝐴𝐵𝐶从点 C 与点 D 重合开始，沿直线𝐷𝐸向右平移，直到点 A 与点 E 重合为止，设𝐶𝐷的长为 x， △ 𝐴𝐵𝐶与正方形𝐷𝐸𝐹𝐺重合部分（图中阴影部分）的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） B. B．C． D． 依题意，𝐷𝐴 = 𝐶𝐸, 𝐷𝐶 = 𝐷𝐸 + 𝐸𝐶 则𝑥 = 2 + 𝐸𝐶 ∴𝐸𝐶 = 𝑥−2 故𝐴𝐸 = 𝐷𝐸−𝐷𝐴 = 2−(𝑥−2) = 4−𝑥，同理得出△ 𝐴𝐸𝑁是等腰直角三角形， ∴当2 ≤ 𝑥 ≤ 4时，𝑦 = 𝑆 △𝐴𝑁𝐸 1 = × 𝐴𝐸 × 𝐸𝑁 2 1 = 2 × (4−𝑥) × (4−𝑥) 1 = × (16−8𝑥 + 𝑥2) 2 = 𝑥2−4𝑥 + 8 1 2 此时是开口向上的二次函数， 观察四个选项，唯有 A 选项符合题意；故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考二次根式的非负性性质，根据被开方数是非负数求解即可． 【详解】解：由， ∴ 12．分解因式：𝑎2−16𝑏2= ．【答案】(𝑎 + 4𝑏)(𝑎−4𝑏) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征．根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：𝑎2−16𝑏2 = 𝑎2−(4𝑏)2 = (𝑎 + 4𝑏)(𝑎−4𝑏) 故答案为：(𝑎 + 4𝑏)(𝑎−4𝑏)． 13..对于任意实数a，b，定义新运算“Δ”：𝑎Δ𝑏=𝑎2−2𝑎𝑏−𝑏2，例如：2Δ3=22−2×2×3−32=−17．若m，n是方程(𝑥+3)Δ2=0的两个实数根，则𝑚+𝑛的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由(𝑥 + 3)Δ2 = 0得：𝑥2 +2𝑥−7 = 0，由根与系数的关系得𝑚 + 𝑛 = −2，𝑚𝑛 = −7；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵(𝑥 + 3)Δ2 = 0， ∴(𝑥 + 3)2−2(𝑥 + 3) × 2−22 = 0， 整理得：𝑥2 +2𝑥−7 = 0， ∵m，n 是方程(𝑥 + 3)Δ2 = 0的两个实数根，即 m，n 是方程𝑥2 +2𝑥−7 = 0的两个实数根， ∴𝑚 + 𝑛 = −2，𝑚𝑛 = −7； ∴ 1 + 1 = 𝑛+𝑚 = −2 = 2； 𝑚 𝑛 𝑚𝑛 −7 7 14．如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为____． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离．根据作图可知，点在的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，求解即可． 【详解】解：由作图可知：点在的角平分线上， ∴点到两个坐标轴的距离相等， ∴， ∴； 故答案为：3． 15．如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若B是的中点，的面积为5，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是的中点， ∴， 在△和中， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分）计算： 【答案】 【详解】解：原式（4分） ．（6分） 17．（7分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程组、运用数轴表示不等式组的解集，先把每个不等式的解集解出来，再运用数轴表示不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：解不等式①，得：，（2分） 解不等式②，得： ，（4分） 原不等式组的解集为，（5分） 其解集在数轴上表示如下：（7分） 18. (本题8分)如图，在直角坐标平面内，线段OB与反比例函数的图象交于点B，线段OB的表达式为yx，点B的坐标为a,4，线段OA与反比例函数的图象交于点P，且AB∥x轴 (1)求a的值及反比例函数的关系式； (2)当OA平分OB与 x轴正半轴的夹角时，求点A的坐标． 【答案】(1)，(2) 【分析】(1)把代入解析式中，得到，求得，继而确定点，设反比例函数解析式为，把点代入计算解答即可； (2)根据题意，得，，设，，证明，建立等式，求得，解答即可． 【详解】(1)解：把代入解析式中，得到，解得，（2分） 故点，设反比例函数解析式为，把点代入，得，解得，故反比例函数的解析式为；（4分） (2)解：轴，， 点的纵坐标为，，， 设，，（6分） 平分 与 轴正半轴的夹角， 解得 故点 （8分） 20. (本题9分)超燃的机器人春晚武术节目《武BOT》，真的不只是炫酷，几十台机器人在舞台上跑、跳、翻跟头、变队形，居然一个都不撞。如果把舞台看成一张大坐标图，横向是x轴，纵向是y轴，每台机器人都是一个精准的坐标点。设定舞台为平面直角坐标系，左下角为原点，每个单位长度代表1米。机器人初始位置为点A(2,3) （1）节目开场，机器人从初始位置A(2,3)向正北方向移动4米，到达点A'，请问点A'的坐标是多少？ （2）机器人在点A(2,3)处，绕原点O顺时针旋转180度后落地，落点为A''。请直接写出A''的坐标，并判断△OAA''的形状。 （3）舞台上机器人按“正方形方阵”规律变换造型：第1次变换，形成最内层正方形，使用4台机器人；第2次变换，在外围加一圈，这一圈新增12台机器人；第3次变换，再向外围加一圈，这一圈新增20台机器人；以此类推，每次都在最外侧新增一圈正方形机器人。请写出第n次变换时，这一圈需要新增的机器人数量。 【答案】(1)点的坐标为 (2)△OAA''是等腰三角形 (3)第n次变换时，新增机器人数量为：(8n – 4)台 【分析】本题考查平面直角坐标系变换和数列规律的知识点 【详解】 (1) 求点A'的坐标 在平面直角坐标系中，正北方向是沿y轴正方向移动，x坐标不变，y坐标增加。 已知初始位置，向北移动4米，即y坐标增加4： 3 + 4 = 7 所以点的坐标为 （2分） (2) 求点A''的坐标并判断△OAA'’的形状 绕原点顺时针旋转180°的坐标变换规律：点旋转后变为。 所以旋转后得到。（4分） 分析△OAA''的形状： ，且、、三点在同一直线上， 因此△OAA''是等腰三角形（也是以O为顶点的等腰三角形，且为直线型的等腰三角形）（6分） (3) 求第n次变换新增的机器人数量 观察新增机器人数量的规律： 第1次：4台 第2次：12台 第3次：20台 将这些数写成与n相关的式子： 第1次： 第2次： 第3次： 所以第n次变换时，新增机器人数量为：{8n - 4}台（9分） 21. (本题9分)2025 年横空出世的 DeepSeek 可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过与人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了 DeepSeek 的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对DeepSeek掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩x/分 频数 频率 A 60≤𝑥<70 8 0.16 B 70≤𝑥<80 m 0.24 C 80≤𝑥<90 n 0.48 D 90≤𝑥<100 6 p 调查结论 …… (4) 上述表格中，样本容量为 ，𝑚= ，𝑛= ，𝑝= ； (5) 所抽取学生成绩的中位数落在 组；补全频数分布直方图； (6) 若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？ 【答案】(1)50，12，24，0.12 (2)C，详见解析 (3)估计成绩不低于 80 分的学生有 720 名 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，求样本容量，频数统计表，中位数，用样本估计总体等相关知识，通过图表获取所需信息是解题关键． （1）A 等级的人数除以所占的比例求出样本容量，进而求出 BC 等级的学生人数和 D 得频率即可； （2） 根据中位数的确定方法，求出中位数所在等级； （3） 利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知样本容量为8 ÷ 0.16 = 50； 𝑚 = 50 × 0.24 = 12； 𝑛 = 0.48 × 50 = 24； 𝑝 = 1−0.16−0.24−0.48 = 0.12． 故答案为： 50，12，24，0.12（4分） （2）一共 50 名同学，从小到大排列后，中位数为第 25 位和第 26 位数的平均数，A，B两组共有 20 人，且 C 组有 24 人， ∴所抽取学生成绩的中位数落在 C 组．（5分） 依据题意补全频数分布直方图如下图所示：（7分） （3）成绩不低于 80 分的学生有：1200 × (0.12 + 0.48) = 720（名），答：估计成绩不低于 80 分的学生有 720 名．（9分） 22. (本题9分)如图，已知O的圆心O在三角形ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连接DE． (3) 若BABD，求证：AB是O的切线； (4) 若CD4，CE2，求O的半径．【答案】(1)见解析 (2) 半径长为 3 【详解】（1）证明：连接OD ，则OD OA ， ∴ OAD ODA ， ∵ O 的圆心 O 在 AC 上，且与边 BC 相切于点 D， ∴ BC OD ， ∴ ODB 90 ， ∵ BA BD ， ∴ BAD BDA ， ∴ OAB OAD BAD ODA BDA ODB 90 ， ∵ OA 是O 的半径，且 AB OA ， ∴ AB 是O 的切线．（4分） （2）解：∵ OD OE ， ∴ ODE OED ， ∵ AE 是O 的直径， ∴ ADE 90 ， ∴ CAD OED 90 ， ∵ CDE ODE ODC 90 ， ∴ CDE CAD ， ∵ C C ， ∴△CDE ∽△CAD ， ∴ CE CA CD2 ，（7分） ∵ CD 4，CE 2，OE OA ， ∴ 2 2 2OE 42 ，解得OE 3 ， ∴O 的半径长为 3．（9分） 22. (本题13分)【综合实践】综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动． 【动手操作】 如图1．将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC．打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q，打开铺平，连接PQ、QD、PD． 【探究提炼】 （4） 如图1，点P是BC上任意一点；线段QD和线段PQ存在什么关系？并说明理由； （5） 如图2，连接PH，当PH恰好垂直于AC时，求线段CQ的长度； 【类比迁移】 （6） 如图3，某广场上有一块边长为40m的菱形草坪ABCD，其中BCD60∘．现打算在草坪中修建步道 AC和MNNDDM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MNND． ①求NMD的度数； ②请问步道MNNDDM所围成的MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） QD PQ ,理由见解析；（2） 8cm ；（3）①120 ；②存在、100 3m2 【分析】（1）根据折叠的性质可知GH 垂直平分 PD ，再结合垂直平分线性质求解，即可解题； （2）结合折叠的性质VQHP≌QHD ，理由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到 QHD QHP QDH QPH ，结合正方形性质得到QDH 67.5 ，再利用三角形内角和定理推出 DQC QDH ，最后根据等腰三角形性质求解，即可解题． （3）①过点 N 作 NR BC 于点 R ，过点 N 作 NS DC 于点S ，利用四边形内角和得到RNS ，结合菱形性质证明 Rt∆NRM ≌Rt∆NSD ，结合全等的性质进行等量代换，即可解题； ②过点 N 作 NT MD 于点T ，结合直角三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理得到, 进而得到 利用直角三角形性质和勾股定理求出 MD ，即可解题 【详解】解：（1） QD PQ ，理由如下：由折叠的性质可知GH 垂直平分 PD ， QD PQ ；（2分） （2）由（1）知， QH 垂直平分 PD ， DH PH ， QD QP ，由折叠的性质同理可得QP QH ， QD QH ， QHP QPH ， QH QH ， ∆QHP≌QHD SSS ， QHD QDH ， QHD QHP QDH QPH ，（4分） PH 恰好垂直于 AC ， 四边形 ABCD 为正方形， AC 平分PCH ， PCH 90 ， PC CH ， PHC HPC 45 ， PHD 180 45 135 ， DQC 180 ACD QDH 67.5 DQC QDH ， 正方形 ABCD 边长为8 cm ， QC DC 8cm ；（7分） ①解：过点 N 作 NR BC 于点 R ，过点 N 作 NS DC 于点S 草坪 为菱形， 为菱形 的对角线， （10分） ②解：存在，（10分） 过点 作 于点 , 整理得 当 最小时， 面积最小， 即MD BC 时， MND 面积最小， BCD 60∘ ， MDC 30 ， Q 菱形草坪 ABCD 的边长为40 m ， MC 1 DC 20m ， 2 DM DC 2 MC 2 20 3m ， S VMND 3 MD2 3 1200 100 3 （ m2 ）．（13分） 12 12 【点睛】本题考查了折叠的性质，垂直平分线性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，正方形性质，三角形内角和定理，菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键作辅助 线构造全等三角形． 23．（本题14分）在平面直角坐标系中，对“横纵中点值”给出如下定义：点A x, y 是函数图像上任意一 点，横坐标x与纵坐标y的和的一半称为点A的“横纵中点值”．函数图像上所有点的“横纵中点值”中的最大值称为函数的“完美横纵中点值”，最小值称为函数的“缺陷横纵中点值”．例如：点A1,3在函数y2x13x6 的图像上，点A的“横纵中点值”为,函 数y2x1图像上所有点的“横纵中点值”可以表示为,当3x6时，最大值为,最小值5,所以函数y2x13x6的“完美横纵中点值”为,“缺陷横纵中点值”为5 (1)点P2,4的“横纵中点值”为 (2)已知二次函数yx29x3，当2x6时，求它的“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值” (3)若二次函数yax22axca0的图像顶点在“横纵中点值”为 的函数图像上 ①二次函数yax22axc的“完美横纵中点值”为 , 求该二次函数的表达式． ②当a1xa3时，设二次函数y2 ax24a1x2ca0的“完美横纵中点值”为,“缺陷横纵中点值”，且,求a的值．  【答案】（1）1 （2）该函数的“完美横纵中点值”是 14，“缺陷横纵中点值”是 ； （3）的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，顶点坐标、对称轴、解析式以及最值问题，关键在于理解题目新定义结合二次函数性质求解。 【详解】（1）解：， 点 的“横纵中点值”为 1， 故答案为：1； （2分） （2）解：设二次函数 上任意一点的“横纵中点值”为 ， 则 ， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为 ， 当 时， 取得最大值 14，（4分） 当 时，， 当 时，， ， 的最小值为 ， 该函数的“完美横纵中点值”是 14，“缺陷横纵中点值”是 ；（6分） （3）解：① ， 该函数的顶点坐标为 ， 二次函数 的图像顶点在“横纵中点值”为 的函数图像上， ，（7分） 设该函数的“横纵中点值”为 ， 则， ， ， 则函数 的图像开口向下，其最大值为 二次函数 的“完美横纵中点值”为 ， ， 解得：，（8分） 经检验， 是方程的解且符合题意， ， 该二次函数的表达式为 ；（9分） ② 设二次函数 的“横纵中点值”为 ，则 ， 由①知：， ， 该函数的图像开口向下，对称轴为 ， 该函数自变量范围为 ，且 ， 又 ， 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， 解得：（不符合题意，舍去）；（10分） 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， 解得：（不符合题意，舍去）；（11分） 当即时， 函数在处取得最大值，在处取得最小值， 解得：（不符合题意，舍去）；（12分） 当即时， 函数在处取得最大值，在处取得最小值， 解得：（不符合题意，舍去）；（13分） 综上所述，的值为或．（14分） 17（7分） 18.（8分） （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） （1） （2） （3） 20（9分） 2. 样本容量为 ，𝑚= ，𝑛= ，𝑝= ； 3. 组；补全频数分布直方图； 4. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2026年初中数学学业水平考试模拟试卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二．填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分.） 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 13 ._________________ 14. ______________ 三．解答题（本大题有8小题，共75分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 16.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17（7分） 18.（8分） （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） （1） （2） （3） 20（9分） (1) 样本容量为 ，𝑚= ，𝑛= ，𝑝= ； (2) 组；补全频数分布直方图； (3) （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13分） (1) (2) (3) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） (1) (2) (3) $