精品解析：辽宁辽阳市集美中学2025-2026学年高二下学期6月练习数学试卷

绝密★启用前 6月练习卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知集合内的元素个数为2，则（ ） A. 0或1 B. 1或2 C. 0或4 D. 1或8 4. 若，，1成等比数列，4，，成等差数列，则（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 6. 已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，点，，，，若成等比数列，且曲线在三点处的切线的斜率依次成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，，则（ ） A. 曲线过定点 B. 有2个极值点 C. 在区间上单调递减 D. 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为2 B. 的前项和小于 C. 数列的前项和不大于 D. 数列的前项和小于 11. 记曲线：，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线上存在横、纵坐标均为整数的点 B. 直线与曲线有且仅有3个公共点 C. 曲线可视为关于的函数 D. 若直线与曲线有且仅有2个公共点，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 13. 已知为实数，且，则的最小值为________. 14. 已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若命题“，”为真命题，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且有极小值0，求的值. 17. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 记为数列的前项和，已知，. （1）求； （2）证明：. 19. 已知函数. （1）证明：在上单调递增； （2）设，曲线在点处的切线方程为，证明：当时，； （3）若时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 6月练习卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】集合，， 方程组解得或， 所以，元素个数为2. 2. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由等差数列的性质得，则， 故的公差为. 3. 已知集合内的元素个数为2，则（ ） A. 0或1 B. 1或2 C. 0或4 D. 1或8 【答案】C 【解析】 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 4. 若，，1成等比数列，4，，成等差数列，则（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由题得，，则， 所以，得，，所以. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】由题得，，令，因为，所以，则 . 6. 已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件，对进行变形，利用基本不等式求出取最大值时的关系，再根据的关系求出的最大值. 【详解】因为正数满足， 所以， 设 ，则 ，， 所以， 令 ，则 ，且 ， ， 由基本不等式：， 当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ， 即， 因为 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 7. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 8. 已知函数，点，，，，若成等比数列，且曲线在三点处的切线的斜率依次成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数导数得到切线斜率表达式，再根据等比数列设元、等差数列斜率条件列出等式，化简后利用公比不为的条件解得的值，最后代入函数求出． 【详解】由，得， 设，， 因为曲线在三点处的切线的斜率依次成等差数列， 所以， 即， 化简得， 又，所以， 因为，所以， 则． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，，则（ ） A. 曲线过定点 B. 有2个极值点 C. 在区间上单调递减 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，当时，参数取任意实数时，都有，可得曲线过定点；对于选项B与选项C，通过求导，讨论导函数的零点分布即可判断；对于D，由函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，由，可知曲线过定点，故A正确； 对于B，C,由求导得，因, 由，可得或；由，可得, 故在和上单调递增；在上单调递减， 所以有2个极值点，故B正确，C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得，故D正确. 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为2 B. 的前项和小于 C. 数列的前项和不大于 D. 数列的前项和小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出数列的公比，即可判断A；求出数列的前项和，即可判断B；利用裂项相消求出数列的前项和为，举反例当时，即可判断C；利用裂项相消求出数列的前项和，即可判断D. 【详解】对于A，设的公比为， 则，所以，故A正确； 对于B，由题得， 其前项和为，故B正确； 对于C，， 其前项和为， 当时，，故C错误； 对于D，， 其前项和为，故D正确. 11. 记曲线：，则下列说法错误的是（ ） A. 曲线上存在横、纵坐标均为整数的点 B. 直线与曲线有且仅有3个公共点 C. 曲线可视为关于的函数 D. 若直线与曲线有且仅有2个公共点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将点代入即可；对于B，将代入，求解方程即可；对于C，验证唯一性即可；对于D，将代入得，令，通过求导判断单调性，对分类讨论的零点个数即可. 【详解】对于A，易知点在曲线上，故A正确； 对于B，将代入，得，， 所以直线与曲线有且仅有2个公共点，，故B错误； 对于C，令，此时有3个解，与函数定义矛盾，故C错误； 对于D，将代入，得. 考虑时，只要函数的零点个数为2即可， ， 由三次函数性质知有两个极值点0，，注意到， 故由2个零点知，即， 即， 设， 注意到， ， 可知存在，使得曲线与直线的公共点个数为2，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 13. 已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14. 已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得． 【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数， 由等差数列的通项公式可得，所以 当时，，则， 因为等比数列的各项均为正整数，所以， 若，则，不成立， 故，且， 当时，， 整理得，即， 由等比数列的定义可得， 则， 因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项， 若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数， 所以，则， 所以，，则． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若命题“，”为真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式确定集合，再根据集合的包含关系求的取值范围. （2）问题转化为，再分情况讨论求的取值范围. 【小问1详解】 由题得， 且， ，解得， 的取值范围为. 【小问2详解】 命题“，”为真命题， ， 又，， 或，即或， 的取值范围为. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且有极小值0，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）要求曲线在某点处的切线方程，需要先求出该点的函数值和导数值，再根据点斜式方程求解即可； （2）先对函数求导，根据导数的正负性分析函数的单调性，进而确定函数的极小值点，再结合极小值为0求解的值即可. 【小问1详解】 当时，， 则，所以， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 因为， 所以， ①当，即时，， 由，得或； 由，得， 所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 此时的极小值为，不符合题意； ②当，即时，， 此时恒成立，无极值，不符合题意； ③当，即时，， 由，得或； 由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为， 解得，符合题意. 综上，. 17. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系化简原式求解； （2）错位相减法求前项和 【小问1详解】 因为， 所以， 两式相减并整理得， 则， 当时，，则， 所以， 所以数列为首项为的等比数列，故各项均为，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， ， 两式相减得 ， 故. 18. 记为数列的前项和，已知，. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1） （2） 因为，所以， 两式相减得，则. 当时，； 当时，， 设，，则， 所以在上单调递增，所以由， 得， 故，， 则，， 设，，则， 所以在上单调递减， 所以由，得，， 则当时，，所以； 当时，， 则，故. 综上，. 【解析】 【分析】（1）令可得，再令可得的值. （2）利用与的关系，结合累加法，首先得到，设，，利用导数分析其单调性，进而利用结论可证，，再设，，利用导数分析单调性，进而利用结论可证. 【小问1详解】 因为，， 所以当时，，得； 当时，， 得. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）证明：在上单调递增； （2）设，曲线在点处的切线方程为，证明：当时，； （3）若时，，求的取值范围. 【答案】（1）因为，所以， 当时，； 当时， 所以在上单调递增. （2）由题可得， 则， 设， 则， 设，则， 设，则， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 因为， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 则，故有，即当时，. （3） 【解析】 【分析】（1）由题设说明在R上成立可完成证明； （2）设，，，通过研究单调性可得在上单调递减，在上单调递增，最后由可完成证明； （3）将问题转化为，设，通过研究单调性，可得时不满足题意，然后通过研究单调性，可得，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，即， 设，，则， 设 ，，则， 由（2）可得时，，所以在上单调递增，则， 所以，则在上单调递增， 当时，取，则 ，不合题意； 当时，设，则， 令，则，由（2）可知时， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以，所以符合题意. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $