精品解析：辽宁省辽阳市集美中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷

阶段测试卷（一）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则195是数列的（ ） A 第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项 【答案】B 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由，结合， 得： 解得：， 故选：B 2. 数列的通项公式如下，则递增数列是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】ABD选项均可举反例说明；C选项证明对任意恒成立即可. 【详解】A，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故A错误； B，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故B错误； C，，则，即对任意恒成立，故数列是递增数列，故C正确； D，，则，，则 ，故数列不是递增数列，故D错误. 故选：C 3. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①回归直线至少经过一个样本点； ②可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强； ③残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析、独立性检验逐个判断正误. 【详解】线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错， 值越大则两个变量的相关程度越强，②错， 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，③对. 因为，所以可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，④正确. 故选：B 4. 用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（ ） A. 60 B. 52 C. 32 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】按照0是否在末位分类讨论可得． 【详解】末位是0的有， 末位不是0的有：，共有20＋32＝52个． 故选：B. 5. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】记甲中奖的事件为，乙中奖的事件为， 则，，， 所以 . 故选：B 6. 在等差数列中，是其前n项和．若，则公差（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式基本量运算求解. 【详解】等差数列中，是其前n项和． 若， 则公差. 故选：A. 7. 在展开式中，含的项的系数是，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知展开式中含的项，再结合含的项的系数是即可求出. 【详解】由题可得含的项为， 所以，解得． 故选：D． 8. 将下列各组数依次排列构成数列，为数列的前项和，则（ ） 第组： 第组：， 第组：，， …… 第组：，，，…， …… A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知每组的序数与该组中的项数相等，且第行最后一项在数列中对应的项数为，第行所有项之和为，确定为的位置，结合分组求和的方法可得解. 【详解】易知每组的序数与该组中的项数相等， 且第行最后一项在数列中对应的项数为， 第行所有项之和为， 令， 即为第组的最后一项， 则， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量X的数学期望，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D. 从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的期望，方差的性质，可判断正确，错误；根据二项分布的概念可判断正确；根据超几何分布的概念可判断正确. 【详解】对于，因为，故正确； 对于，因为，故错误； 对于，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故正确； 对于，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故正确. 故选：. 10. 公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断个选项. 【详解】由已知等比数列的公比为，且，， 则，解得， 所以，， 故选：ABD. 11. 已知数列的前n项和为，则（ ） A. B. 是递减数列 C 有最大项 D. 有最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据前项和公式求出通项公式，再逐一判断每个选项即可. 【详解】A，当时，， 当时，， 故，故A错误， B，由于，故B错误； C，单调递减，故有最大项，C正确； D，，故当时，有最大值，D正确， 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 古希腊的毕达哥拉斯学派将，，，等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如下图所示把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干可得数列的递推公式，再根据累加法可得. 【详解】由已知可得，即， 当时，可得，，，， 等式左右分别相加可得， 又，所以，当时，满足通项. 故答案为：. 13. 已知是数列的前项和，若，，则数列的前项和为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用和的关系可得数列的通项公式，进而可得数列的通项公式及前项和. 【详解】由已知， 则，即， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以， 则数列为等差数列， 所以数列的前项和. 故答案为：. 14. 如图所示的三角形解释二项展开式的二项式系数规律，现把三角形中的数从上到下，由左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，，…，记作数列，则______；若数列的前项和为，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知可得每行的序数与该行的项数相等，所以第行最后一项在数列中的项数为，进而确定与的位置，再结合二项式定理二项式系数可得解. 【详解】由已知可得每行的序数与该行的项数相等，所以第行最后一项在数列中的项数为， 令，解得， 且第行最后一项在数列中的项数为， 即位于杨辉三角数阵的第行中的第位， 即， 同理，令，解得， 且第行最后一项在数列中的项数为， 即位于杨辉三角数阵的第行中的第位， 又由二项式系数可知杨辉三角数阵中各行和为， 所以， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 用1，2，3，4四个数字（可重复）组成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列． （1）写出这个数列的前11项； （2）这个数列共有多少项？ （3）若，求． 【答案】（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用列举的方法，写出数列的前11项； （2）利用分步计数原理，即可求解； （3）根据条件计数比小的数字个数，即可求. 【小问1详解】 111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133． 【小问2详解】 这个数列的项数就是用1，2，3，4组成的三位数的个数，每个数位上都有4个数字可以选择，则共有（项）． 【小问3详解】 比小的数有两类： ① 百位 十位 个位 1 × × 2 × × ② 百位 十位 个位 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有（项）． 所以． 16. 记数列的前n项和为，已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，证明： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据通项公式和前项和公式的关系消去，根据等差数列的定义即可判断； （2）利用裂项相消求和即可求出不等式左边，从而判断其范围. 【小问1详解】 ∵， 又， 两式相减可得， ∴， ∴， ∴是以为公差的等差数列. 【小问2详解】 由已知得. ∴， ∴. ∴ . 17. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系结合条件即得； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由已知可得， 则， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知, ， 则， ， 两式作差相减，可得： ， 则. 18. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【答案】（1）有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据二联表中数据，求解卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，即可利用超几何分布的概率公式求解. 【小问1详解】 零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. 【小问2详解】 抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人， 所以所有可能的取值为， 所以，，， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 随机变量的数学期望 19. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【答案】（1）证明见解析； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据得出，构造出，即可证明，再根据等比数列的通项公式求解即可； （2），结合及二项式定理得出当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得出，利用二项式定理得出除以16的余数为除以16的余数，即可求解． 【小问1详解】 当时，，又，所以， 当时，①， 故，② ①－②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试卷（一）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则195是数列的（ ） A. 第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项 2. 数列的通项公式如下，则递增数列是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①回归直线至少经过一个样本点； ②可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强； ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（ ） A 60 B. 52 C. 32 D. 20 5. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，是其前n项和．若，则公差（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 0 7. 在展开式中，含的项的系数是，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 8. 将下列各组数依次排列构成数列，为数列的前项和，则（ ） 第组： 第组：， 第组：，， …… 第组：，，，…， …… A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量X数学期望，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D. 从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 10. 公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前n项和为，则（ ） A. B. 是递减数列 C. 有最大项 D. 有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 古希腊的毕达哥拉斯学派将，，，等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如下图所示把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，则______． 13. 已知是数列的前项和，若，，则数列的前项和为______． 14. 如图所示的三角形解释二项展开式的二项式系数规律，现把三角形中的数从上到下，由左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，，…，记作数列，则______；若数列的前项和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 用1，2，3，4四个数字（可重复）组成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列． （1）写出这个数列的前11项； （2）这个数列共有多少项？ （3）若，求． 16. 记数列的前n项和为，已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，证明：. 17. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表： 年龄 周平均锻炼时长 合计 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 50岁以下 40 60 100 50岁以上（含50） 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望. 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 19. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）定义函数，其中表示不超过的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $