精品解析：辽宁大连市第八中学2025-2026学年高二下学期6月阶段测试数学试题

2025-2026学年度下学期高二年级6月阶段测试 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据简单的复合函数的导数求得，再将代入即可得解. 【详解】因为，所以， 所以． 2. 在等比数列中，，则（ ） A. 48 B. 96 C. 144 D. 192 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得， 又因为，所以， 则， 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 4. 某商场推出抽奖促销活动．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母，3个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个、白球2个．顾客按如下规则进行操作：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则可得到一份奖品，那么顾客获奖的概率为（　　） A. 0.48 B. 0.41 C. 0.59 D. 0.64 【答案】C 【解析】 【详解】设 “从第一个盒子中取得标有字母的球”， “从第一个盒子中取得标有字母的球”， “第二次取出的球是红球”， 由题意可知，，，，, 则. 5. 若函数无极值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 则没有变号零点，即没有变号零点， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 当时，， 当时，， 当时，的增长速率远远比的要大，所以， 作出的图象，如图所示， 所以． 6. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的运算公式和性质，结合条件概率的运算公式、对立事件的概率公式、和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】因为两个随机事件相互独立， 所以两个随机事件也相互独立， 由， 由， 所以 7. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 68 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据奇数数列的通项，明确为个奇数，根据宝塔数表的排列性质，通过计算，求得所在的位置，可得答案. 【详解】由题意，令，解得，则是第个奇数， ∵宝塔形数表第行有个数，前行共有个数， ，在宝塔形数表的第行中， 为第行从左往右数第个数，即， . 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题通过观察宝塔形数表，归纳出一般规律来考查归纳推理及等差数列求和公式，属于难题题.归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 8. 关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过同构构造，利用单调性脱去外层，转化为简单的参数分离与最值分析. 【详解】由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 10. 已知函数有唯一的零点，则m的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】AD 【解析】 【详解】令，得， 设，则， 令，解得，单调递增， 令，解得，单调递减， .当时，，当时，， 作出的大致图象如下： 由图象可知： 当，即时，无交点； 当，即时，有两个交点； 当或，即或时，有一个交点； m的值可能为1或2． 11. 已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：其中不正确的命题是（ ） A. 若，则对任意，数列都不是“加速数列” B. 若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项 C. 若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得 D. 正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，计算的比值即可作出判断；B选项，根据条件可判断是常数列或单调递增数列，然后结合可推出数列存在最小项；C选项，“加速数列”会使数列指数增长，导致无界，即可作出判断；D选项，正项等比数列是否为“加速数列”， 的取值与公比有关，即可判断. 【详解】因为若存在常数，对于任意的，都有， 则称数列为“加速数列”， 所以设，对于任意的，都有成立，. 对于A： ， 因为，所以，所以成立， 即，因为， 所以存在，使得数列是“加速数列”，故A错误； 对于B：若数列是“加速数列”，则， 而， 故，故存在，使得 ， 所以， 故数列存在最小项，故B正确； 对于C：若数列是“加速数列”，则，且， 则，所以， 即，当时，，所以不存在，使得， 故C错误； 对于D：若正数列是等比数列，则，等价于 若，则，不等式等价于， 只要，数列是“加速数列”； 若，则，不等式等价于， 只要，数列是“加速数列”， 所以是“加速数列”的充要条件不是，故D错误. 三、填空题 12. 随机变量服从正态分布，若，则________ 【答案】0.2## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 所以，. 所以. 13. 已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用的关系变形给定等式，再利用构造法求出通项即可. 【详解】数列{an}的前n项和为，， 由，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 14. 若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是 ____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的导数，研究函数的单调性，从而求得函数的最值，根据不等式恒成立求得实数的取值范围. 【详解】要使得对任意,均有不等式成立，即恒成立， 令函数，则导数， 当时，导数，则函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值， 需满足，∴，即； 当时，函数，当时，，满足条件； 当时，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，端点值，， 所以令，所以，所以； 当时，在上单调递减，值域为，满足题意； 当时，函数在上单调递减，最小值，不满足题意. 综上所述：. 四、解答题 15. 台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； （2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可. （2）利用二项分布的概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. 【小问2详解】 使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为， 记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布， 可得. 16. 已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助等比中项性质求出等差数列公差以确定通项公式. （2）通过分组求和法分别计算对应等比、等差数列的前项和，合并得到最终结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， 可得，，. 由，，成等比数列， 可得， 代入得 ， 展开整理得， 解得. 因此，. 【小问2详解】 由（1）得， 数列为等比数列，其前项和为， 数列为等差数列，其前项和为， 因此. 17. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求，的极值． 【答案】（1） （2）时无极值 时极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得斜率，利用原函数求得切点坐标，代入点斜式即可得切线方程； （2）对的取值分类讨论，利用导函数研究函数的单调性，结合函数的单调性可得函数的极值点，再代入原函数即可得极值． 【小问1详解】 （1），， 则 ，， 所以在点处的切线方程为：， 即： ． 【小问2详解】 （2）由题意知的定义域为， 则， ①当时， 在上恒成立，在上单调递减，所以在上无极值； ②当时，令 ，则，令 ，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在时，取得极小值 ，无极大值； 综上所述：当时，在上无极值， 当时，在上有极小值 ，无极大值． 18. 已知数列的前项和为，，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，利用作差法求出数列的通项公式. （2）先根据（1）求出，再对列项，然后通过列项相消法求. （3）分n为偶数和奇数两种情况，根据数列的单调性，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，， 两式相减得， 当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，， 则， 所以数列的前项和. 【小问3详解】 当为偶数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为偶数时，单调递增， 所以，则， 当为奇数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为奇数时，单调递增， 所以，则，则， 综上所述， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性． （2）若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①； ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【小问1详解】 由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. 【小问2详解】 ①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高二年级6月阶段测试 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 在等比数列中，，则（ ） A. 48 B. 96 C. 144 D. 192 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 某商场推出抽奖促销活动．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母，3个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个、白球2个．顾客按如下规则进行操作：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则可得到一份奖品，那么顾客获奖的概率为（　　） A. 0.48 B. 0.41 C. 0.59 D. 0.64 5. 若函数无极值点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 68 D. 72 8. 关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 10. 已知函数有唯一的零点，则m的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 2 11. 已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：其中不正确的命题是（ ） A. 若，则对任意，数列都不是“加速数列” B. 若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项 C. 若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得 D. 正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是 三、填空题 12. 随机变量服从正态分布，若，则________ 13. 已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 14. 若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是 ____. 四、解答题 15. 台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表： 白光 黄光 近视 80 60 不近视 40 60 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关； （2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）求，的极值． 18. 已知数列的前项和为，，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）对于，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性． （2）若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $