河南省部分名校2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题

HN202606 高一数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.若复数z满足i=-1+i,则z的虚部为 A.1 B.-1 C.i D.-i 2.已知A,B,C是同一平面内不同的三点，且A正=2BC,若AC=入BC,则入= A写 B号 C.2 D.3 3.已知一组数据5,9,3，x,4,7的极差为6，则 A.x的最小值为1 B.x的最小值为4 C.:的最大值为9 D.x的最大值为15 4.在正四面体A-BCD中，E,F,G分别为AB,AC,AD的中点，则异面直线EF与CG所成角的 余弦值为 A写 B 3 c晋 D. 5 5.已知两个随机事件A,B相互独立，P(A)=2P(B)=0.8,则P(AUB)= A.0.68 B.0.76 C.0.88 D.0.98 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=5,c=3,则BC边上的中线长度的取值 范围是 A.(1,3) B.(2,3) c.(1,4) D.(2,4) 数学第1页（共4页） 7.已知球O与正四棱锥P-ABCD的四条侧棱和底面均相切，若PA=√2BC=2√2，则球O的 表面积为 B.2m c弩 D.T 8.已知0是△4BC所在平面内一点，且0正.(O成-0d=号应，0心.(0元-0)=B心， △ABC的面积S满足2S=BA·BC,则LA0C= B.3 c.3 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(2,1),b=(x,4),则下列说法正确的是 A.lal =5 B.若a∥b,则x=8 C.若a⊥b,则x=-2 D.若21al=Ibl,则x=2 10.已知a,b为异面直线，a,B为两个不同的平面，且aCa,bCB,则下列说法正确的是 A.对于任意一点0，都存在过点0的平面与a,b都平行 B.对于任意一点0，都存在过点0的直线与a,b都垂直 C.若a∥B,b∥a,则a∥B D.若a⊥b,则a⊥B 11.在长方体ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=4,AB=2,E,F分别为棱BC1, DD1的中点，设过点B,E,F的平面为a,CD1∩a=M,则 A.2D,M=MC B.a截长方体ABCD-A,B,C,D1所得截面为五边形 C.a截长方体ABCD-AB,C,D,所得截面的周长不超过12 D.a与平面ABCD所成的锐二面角的正切值为S 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人.现按比例采用分层随机 抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为 13.已知复数x满足1z+31=1,则1z的最小值为 14若对任意的xE4,都有上e4,则称A是完美集合从集合-3，-2,0，分，，123,4的 所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且AC=6,PA=8. (1)求证：BC⊥PC: (2)求点A到平面PBC的距离， 0 16.(15分) 在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1,2,3），2个黄球 (分别标有数字1,2)，1个白球（标有数字1）.现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件 A=“3个小球的颜色均不相同”，B=“取出的小球上的数字分别为1,2,3”，C=“取出的3 个小球上的数字之和大于5”. (1)求P(C); (2)判断事件A,B是否相互独立，并说明理由. 数学第3页（共4页） 17.(15分) 某市组织数学建模大赛，从参加比赛的800名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样 本分析（满分为150分，按照[90,100），[100,110)，…，[140,150]分成六组)，并绘制成如 图所示的频率分布直方图，其中a=2b. (1)求图中a的值，并估计样本数据的众数；（同一组 ↑频率阻距 0.030 数据用该组区间的中点值作代表) 0.025 (2)根据成绩，准备给成绩较高的15%的学生颁发一 等奖，估计获得一等奖学生的最低分； 0.005- (3)若落在[100,110)中的样本数据的平均数是105 0490100110120130140150成续份 方差是5，落在[110,120)中的样本数据的平均数是117，方差是2，求落在[100,120) 中的样本数据的平均数元和方差2. 18.(17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知2 esinA+写）=36 (1)求C. (2)c=23. (i)若△ABC的周长为4+23，角C的平分线交AB于点D,求CD的长； (ⅱ)若△ABC为锐角三角形，A正=EB,求CE的取值范围. 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD,CD⊥AD,CD⊥AP,△PAD为等 边三角形，BC=1,AD=3,CD=2. (1)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 (2)若M为棱AP上一点，且BM∥平面PCD, (i)试确定点M的位置； (ⅱ)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正弦值. 数学第4页（共4页）HN202606 高一数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.ABC 10.BC 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.4 13.2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解析(1)因为点C在底面圆周上，AB是圆0的直径， 所以∠ACB=90°，即BC⊥AC, …(2分) 因为PA垂直于圆0所在的平面，所以PA上BC,…(3分) 又PA∩AC=A,所以BCL平面PAC,… (4分) 又PCC平面PAC,所以BC⊥PC.… (5分) (2)方法一：如图，过点A作AHLPC,交PC于点H, 由(1)知BC⊥平面PAC,所以BC⊥AH, 又PC∩BC=C,所以AHL平面PBC,则AH的长度即是点A到平面PBC的距离.…(7分) 在△PAC中，PC=P+AC=√82+6=10，…(9分) 由PC·AH=2PH·AC,即号×10×AH=7×8x6, 解得AH=兰，即点A到平面PBC的距离为 5 (13分) A B 方法二：由题可得PC=√PA2+AC=√82+62=10. (6分) 设点A到平面PBC的距离为h, 由题意知-c=V-m,即子S6cXPH=了5am×h,… (9分) 即号×分×6×C)×8=子×（分×10×BC)×,解得h-号 即点A到平面PBC的距离为号 …(13分) 16.解析不妨记标有数字1,2,3的3个红球分别为R1,R2,R3,标有数字1,2的2个黄球分别为Y,Y2,标有数字 1的1个白球为W, 则一次性摸出3个小球的情形有(R,R2,R),(R1,R2,Y),(R1,R2,Y2),(R1,R2,W),(R,R,Y),(R,R3, Y2),(R,R3,W1),(R1,Y,Y2),(R,Y,W1),(R1,Y2,W),(R2,R,Y),(R2,R3,Y2),(R2,R3,W1),(R2,Y, Y2),(R2,Y,W),(R2,Y2,W),(R,Y,Y2),(R,Y,W),(R,Y2,W1),(Y,Y2,W),即样本空间2包含的 基本事件共有20个…(3分)》 (1)事件C包含的基本事件有(R,R2,R),（R1,R,Y2),(R2,R,Y),(R2,R,Y2),(R2,R3,W),（R3,Y, Y2),(R3,Y2,W),共有7个， 所以PGC)= …(6分) (2)事件A包含的基本事件有(R,Y1,W),（R,Y2,W),（R2,Y1,W),(R2,Y2,W),(R3,Y1,W),(R,Y2, W1),共有6个，所以P(A)=)名=， ……(9分) 事件B包含的基本事件有(R1,R2,R3),(R1,R3,Y2),(R2,R3,Y),(R2,R,W),(R,Y,Y),(R3,Y2,W),共 有6个，所以P代8)=80 …(11分) 事件AnB包含的基本事件为(R,Y,W),则P(AnB)=P(AB)= 20' …(13分)） 面P4·PB)=品×0-品 (14分)》 所以P(AB)≠P(A)·P(B),故事件A,B不相互独立.… (15分) 17.解析(1)依题意可知，(0.005+2b+a+0.030+0.025)×10=1, 又a=2b,解得a=0.020. (3分) 估计样本数据的众数为125. (4分) (2)由(1)可知b=0.010,即成绩落在[140,150]中的频率为10b=0.10, 成绩落在[130,140)中的频率为0.25， 则获得一等奖学生的最低分应落在[130,140)中.…(7分) 设获得一等奖学生的最低分为x,则有0.025×(140-x)+0.10=0.15, 2 解得x=138,即估计获得一等奖学生的最低分约为138分.…(10分) 0.10 3)元500020×105t002020X723,…… (12分) 2=35+13-105)3]+号[2+(17-113)2]=35. (15分) 18.解析（(1)2 esinA+号）=56，即c(sA+5csA)=56,… (1分) 由正弦定理可得sin Csin A+√3 cos Asin C=√3sinB, sin B=sin(A +C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Csin A=3 sin Acos C,… …(3分) 因为Ae(0,m),所以sinA≠0， 所以simC=3cosC,即tanC=3, 又Ce(0,T),所以C=牙.…(5分) 3 (2)(i)因为c=25,△ABC的周长为4+25，所以a+b=4, 由余弦定理可得c0s上ACB=七C=之即a+F-12=ab, 2ab 即(a+6)2-12=36,得a6=号 … (7分) 所以△AC的直积为5=了LA0=子×号×号-。 (8分) 所以CD= 3 (10分) （i)因为正=成，所以E是AB的中点，所以成=之(+)， 则c-(Ci+d2-a+b)-a地， 4 又（(a+6）2-12=3a6,所以i-122心=分b+3,…（02分） 4 由正弦定理可得a,=6 c25-4, sin A sin B sinACB 3 2 所以a=4snA,6=46nB=4sin(写-A, 所以h=16insn(g-A）-16(停m4osA+分in 3 =4(,5sin2A-c0s2A）+4=8in2A-石）+4…(14分） 0<A< 因为△ABC为锐角三角形，所以 得Ae(石，)， 0<-A<受 所以24-若∈(，），所以m24-)=(分，小 所以ab∈(8,12]，所以C它∈(7,9]，则CE的取值范围是（万，3].…（17分） 19.解析(1)因为CD⊥AD,CD⊥AP,AD∩AP=A, 所以CD⊥平面PAD,… (2分) 又CDC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD.…(3分) 如图1，取AD的中点E,连接PE,CE,则PE LAD, 又平面ABCDO平面PAD=AD,所以PE⊥平面ABCD, 所以∠PCE即为直线PC与平面ABCD所成的角，…(5分) 因为BC=1,AD=3,CD=2, 所ucE=D+0E-PE=3×99pC=E+PE:B. 2 2 33 2-339 则啦LPCE=P店S 26 即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为3丽 26 …(7分) D 图1 (2)(i)M为棱AP上靠近点P的一个三等分点. 证明：如图2，过点M作MW∥AD交PD于点N,连接CN, 因为BC∥AD,所以MN∥BC 又BM∥平面PCD,所以BM∥CN, 所以四边形BCNM为平行四边形，MW=BC=1, 一4 故M为棱AP上靠近点P的一个三等分点时满足题意。…(10分) M D 图2 (ⅱ)如图2，过点M作MO∥PD交AD于点O,连接BO, 则OD=PM=1,A0=AM=2,B0∥CD, 又BO平面PCD,CDC平面PCD,所以BO∥平面PCD, 同理可证MO∥平面PCD, 又BO∩M0=O,所以平面BOM∥平面PCD.…. …（12分) 过点A作AH⊥MO于点H,过点H作HG⊥BM交BM于点G,连接AG, 由(1)知CD⊥平面PAD,因为BO∥CD,所以BO⊥平面PAD, 又AHC平面PAD,所以BO LAH, 又AH⊥MO,BO∩M0=O,所以AHL平面BMO, 又BMC平面BMO,所以AH⊥BM, 又HG⊥BM,AH∩HG=H,所以BM⊥平面AGH,所以BM⊥AG, 则∠AGH即为平面BOM与平面BAM所成锐二面角的平面角，…(15分) 在△MBM中，BM=AB=22,AM=2,则cos∠BMA=,则in∠BWA=万 221 221 在△AGM中，n∠BM1=AC=4S=万，所以AG= AM222 2， 在△AM0巾，AM=2×号=5， 在Rt△AHG中，n∠AGH=4=E-5-匣 AGI4万7， 2 即平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正弦值为√至 …(17分） 7 一5