河南省叶县高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习训练卷（2）

**基本信息** 2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷，涵盖概率、向量、立体几何等核心知识，通过“六芒星”几何模型、AI知识竞赛统计等情境，梯度设计基础题与综合题，培养数学眼光、思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|概率事件（至少1白球）、复数模、向量投影、线面关系|基础概念辨析，结合空间观念| |填空题|3题/15分|分层抽样步骤、山高测量解三角形、圆锥外接球体积|数学语言表达，联系实际测量| |解答题|5题/77分|向量运算、四边形解三角形、AI竞赛统计分析、四棱锥证明与线面角|综合考查推理能力与数据观念，体现知识迁移|

2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷（2） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 2.已知复数，则（     ） A．1 B． C．2 D． 3．已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（    ） A． B． C． D． 4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m ，则m⊥ C．若m⊥，mn，n ，则⊥ D．若 ＝m，n ，n⊥m，则n⊥ 5.已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 6．若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 7．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（   ） A．中位数是3 B．第80百分位数是4 C．平均数是3.5 D．方差是11 10.的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，的三角形有两解，则的取值范围为 11．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某家电视台在互联网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场节目，采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众． ①确定抽样比，样本容量，总体容量，抽样比为． ②分层，按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区． ③按比例确定每层抽取的个体数，在东城区抽取（人），在西城区抽取（人），在南城区抽取（人），在北城区抽取（人）． ④在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各城区抽取的观众合在一起组成样本． 正确的抽取步骤是______． 13．如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得．已知山高米，则山高_______米． 14.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 四、解答题 15．（13分）已知向量，，． (1)求； (2)求； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围． 16．（15分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 17．（15分）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)填空：______； (2)求样本数据的中位数与第35百分位数； (3)已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数. 18．（17分）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷（2）（解析版） 范围：人教A版必修二全册 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 2.已知复数，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据虚数单位幂运算，求出复数，结合模长公式即可求解. 【详解】虚数单位的幂次周期为，即（）， 因为，所以，因此分母为： ， 所以 ， 因此： . 3．已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，则， ，则， 则， ，，， 则投影向量，故选项A正确. 4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m ，则m⊥ C．若m⊥，mn，n ，则⊥ D．若 ＝m，n ，n⊥m，则n⊥ 【答案】C 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误； 若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确； ＝m，n ，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线， 故不一定垂直于，故D错误． 5.已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】D 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 6．若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据斜二测图形的信息推理得到原图形的尺寸，再分析旋转后几何体的构成，求其体积即可. 【详解】已知在斜二测图形中，， 可知在原图形中，，. 又已知，可得原图形中，且，. 如图，作出其原图.    因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台. 其中圆台的底面半径 ，高； 根据圆台体积公式，可得 . 7．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出角，结合图形写出中线向量的表达式，由向量数量积的运算律，代入即可求得中线的长度. 【详解】在中, 由余弦定理，， 则. 因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故. 8．如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的几何意义可得点与点或点重合时，取最大值，结合数量积公式计算即可得，再利用对称性可得其最小值，即可得其范围. 【详解】如图，作， 则， 由，为在上的投影， 故当点与点或点重合时，取最大值， 即， 又，所以， 由对称性可知. 所以的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（   ） A．中位数是3 B．第80百分位数是4 C．平均数是3.5 D．方差是11 【答案】AB 【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差的定义计算即可. 【详解】因为样本数据为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 所以中位数为，A正确； 由于，所以第80百分位数是，B正确； 平均数为，所以C错误； 样本数据的方差为， 所以D错误. 10.的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】对于ABC，由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误；对于D，由余弦定理可得，然后由关于c的方程有两个不同正根可判断选项正误. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理可得：，故，故A正确； 对于B，由正弦定理边角互化可得：， 则C为锐角，但不能为锐角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理边角互化可得， 或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， 因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则， 解得，故D正确. 11．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某家电视台在互联网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场节目，采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众． ①确定抽样比，样本容量，总体容量，抽样比为． ②分层，按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区． ③按比例确定每层抽取的个体数，在东城区抽取（人），在西城区抽取（人），在南城区抽取（人），在北城区抽取（人）． ④在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各城区抽取的观众合在一起组成样本． 正确的抽取步骤是______． 【答案】②①③④ 【分析】根据分层抽样的步骤排序即可. 【详解】按照分层随机抽样的步骤分层、求比、定数、抽样可得正确的步骤为②①③④． 故答案为：②①③④ 13．如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，以及，从C点测得．已知山高米，则山高_______米． 【答案】 【分析】要求山高，放在直角中，已知一角，故需再求一边即可，根据已知条件，放在直角与中计算即可． 【详解】在中，已知，，故米； 在中，，，故， 由正弦定理可得：，即，解得米； 在中，因为，故米； 所以山高为米． 14.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【分析】根据条件，求出圆锥底面半径r和母线l的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥的外接球球心在SO上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径R，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的高为 因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 又轴截面面积为，所以， 解得，则，圆锥的高为， 由题意三棱锥的外接球的球心在SO上，且设为，外接球半径设为R， 连接，则，所以， 在中，，即， 则，解得， 则三棱锥的外接球的体积. 四、解答题 15．（13分）已知向量，，． (1)求； (2)求； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可； （2）利用平面向量夹角的公式计算即可； （3）由与夹角为钝角，则且与不共线，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）由已知得，， 则． （2），， 则． （3）由与夹角为钝角得，且与不共线， 即，解得且， 故． 16．（15分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答； （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】（1）设，依题意，， 则，， 即，而， 所以. （2）连接，中，，，    由余弦定理得， 则，即，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 17．（15分）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)填空：______； (2)求样本数据的中位数与第35百分位数； (3)已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数. 【答案】(1)0.005 (2)中位数为80；75 (3)89. 【详解】（1），故. （2）前三组频率之和为，所以样本数据的中位数为80； 前两组频率之和为，则样本数据的第35百分位数落在第三组. 设第35百分位数为，则，解得， （3）由题意，成绩在，内的人数分别为30，20， 所以成绩在内的平均数为：， 所以，成绩在内的平均数为89. 18．（17分）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【详解】（1）从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 . （2）由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，共1个样本点， 由（1）知样本点个数为，所以. （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $