第6天 平面向量 每日专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量核心考点，通过选择填空多题型覆盖线性运算、数量积、模长最值等，结合几何与实际情境，体现知识逻辑与核心素养 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|8道（含新高考Ⅰ卷等真题）|几何图形向量分解、夹角计算、实际应用（帆船风速）|从线性运算到数量积，构建“概念-运算-应用”逻辑链| |多选|3道|坐标向量平行垂直、充要条件判断|结合代数运算与逻辑推理，强化知识间联系| |填空|3道|单位向量关系、向量表示、函数与向量综合|从基础计算到综合应用，体现知识迁移与创新意识|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第6天 平面向量 1.解　(1)由辅助角公式得 f(x)=sin x+cos x=sin, 则y= = =2sin2 =1-cos =1-sin 2x, 所以该函数的最小正周期T==π. (2)由题意,y=f(x)f =sin·sin x =2sinsin x =2sin x· =sin2 x+sin xcos x =·+sin 2x =sin 2x-cos 2x+ =sin+, 由x∈可得 2x-∈,1.答案　C 解析　因为=,所以=, 则=x+ =x(-)+(-) =- =×- =-, 因为B,E,D三点共线, 所以-=1,解得x=-. 故选C. 2.答案　B 解析　设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 因为a+2b=(3,1),2a-3b=(-1,2), 所以 所以a=(1,1),b=(1,0),a·b=1, 则cos<a,b>===, 因为<a,b>∈[0,π],则<a,b>=.故选B. 3.答案　A 解析　真风风速对应的向量=视风风速对应的向量-船行风速对应的向量=视风风速对应的向量+船速对应的向量=,如图,||=2∈[1.1,3.3],故选A.] 4.答案　C 解析　设a=(x,y),则a-4m=(x-4,y), 又|a-4m|=|m|,即=1, 所以(x-4)2+y2=1, 所以y2=1-(x-4)2≥0,解得3≤x≤5, 所以|a|===, 所以当x=3时|a|取得最小值,且最小值为3.故选C. 5.答案　C 解析　·=||·||cos A=6,因cos A=,则||·||=24, sin A==, 得S△ABC=||·||sin A=3. 又=3,则||=||, 分别过A,M作BC的垂线,垂足为G,F, 则△DMF∽△DAG,故||=||, 又△BCM,△BAC底边相同, 则S△BCM=S△ABC=2.故选C. 6.答案　D 解析　在△ABC中,AC=1,BC=,AB=2,则AC2+BC2=4=AB2,即∠ACB=90°, 以点C为原点,射线CA,CB分别为x,y轴建立平面直角坐标系, 则C(0,0),A(1,0),B(0,),=(-1,), 由点P,Q是线段AB上的动点, 设=λ=(-λ,λ), =μ=(-μ,μ),λ,μ∈[0,1], 于是=+=(1-λ,λ), =+=(1-μ,μ), 因此·=(1-λ)(1-μ)+3λμ =1-(λ+μ)+4λμ≤1-(λ+μ)+(λ+μ)2, 当且仅当λ=μ时取等号, 而0≤λ+μ≤2,则当λ+μ=2,即λ=μ=1时,=3, 又·=(1-λ)(1-μ)+3λμ≥0, 当且仅当时取等号, 所以·的取值范围是[0,3].故选D. 7.答案　D 解析　如图所示,以AB中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0),C(1,),D(-1,), 设M(x,)(-1≤x≤1), 则=(x+2,),=(x-2,), cos α= ==, 令x2-1=t,则-1≤t≤0, cos α==- =-, 可得cos α∈,故选D. 8.答案　D 解析　因为||=||=,||=2, 由=-平方,可得·=0, 所以<,>=. 2+=2(-)+- =+-2,||==5, 所以|2+|2 =++4-4(+)· =2+2+4×25-4(+)· =104-4(+)·, 又|(+)·|≤|+||| =5×=10, 即-10≤(+)·≤10, 所以|2+|2∈[64,144], 即|2+|∈[8,12].] 9.答案　CD 解析　对于A,|b|==5,故A错误;对于B,a+c=(4,3),与b不平行,故B错误;对于C,a·(b-c)=(0,-1)·(-7,0)=0,故C正确;对于D,设a在c上的投影向量为·=·c=·(4,4)=,故D正确.故选CD. 10.答案　BC 解析　若a⊥b,则a·b=(x-1)(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x+1)=0, 解得x=2或x=-1,“x=-1”是“a⊥b”的充分不必要条件,所以A选项不正确; 结合A的分析知,“x=2”是“a⊥b”的充分不必要条件,B选项正确; 若a∥b,则2(x-1)-(x-2)2=0, 即x2-6x+6=0, 解得x=3±,“x=3-”是“a∥b”的充分不必要条件,所以C选项正确;由C的分析知,“x=-3+”是“a∥b”的既不充分也不必要条件,D选项不正确.故选BC. 11.答案　ABD 解析　 如图,过点C作CD⊥AB于点D, 则向量, 由已知=, 所以AD=AB, 设AD=x,则BD=2x, 又tan A=2,所以CD=2x,所以B=. 在Rt△ACD中,AC=x,又AC=2,所以x=2, 所以AD=2,BD=4,CD=4,所以AB=6, 在Rt△BCD中, 易得BC==4, 所以边BC上的高为AB·sin B=3,故选项A正确; 在△ABC中,由余弦定理的推论得 cos C= ==, 又因为C∈(0,π), 所以sin C==,故选项B正确; ·=||·||cos C=2×4×=8,故选项C错误; 设AB的中点为M,则=(+), 所以==×(20+32+2×8)=17, 则||=,故选项D正确, 故选ABD. 12.答案　- 解析　∵a+b+c=0, ∴a+c=-b, ∴(a+c)2=(-b)2, ∴a2+2a·c+c2=b2, ∴a·c=-. 13.答案　a+b　-15 [=+=+ =+(-)=+ =a+b. ∵||=5,∴25=, 即900=a2+16b2+8a·b, ① 易得=b-a, ∵⊥,∴·=0, 即·(b-a)=0, 得4b2-a2-3a·b=0, ② 由①②得2 700=80b2-5a2, ∴16b2-a2=540, ∴·=· =(a2-8b2+2a·b) = =(a2-16b2) =×(-540)=-15.] 14.答案　(1,) 解析　若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0,则a,b,c两两垂直,在平面内显然不成立;只有{f(a·b),f(a·c),f(c·b)}={-1,0,1}, 不妨设 设 则可得 α∈,k∈Z, 则|a+b+c|= =, 由α∈,k∈Z, 得α+∈,k∈Z, 所以sin∈, 故∈(1,), 即|a+b+c|的取值范围为(1,).] 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第6天 平面向量 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.(2025·长春二模)在△ABC中,=,点E在BD上,若=x+,则x=(　　) A.- B.- C.- D.- 2.(2025·泰州一调)已知向量a,b满足a+2b=(3,1),2a-3b=(-1,2),则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 3.(2025·新高考Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则真风为(　　) 等级 风速大小(单位:m/s) 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 　　　　 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 4.(2025·湖北七市联调)已知向量m=(1,0),向量a满足|a-4m|=|m|,则|a|的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2025·邯郸一模)在△ABC中,cos A=,·=6,点M在△ABC的内部,AM的延长线与BC交于点D,若=3,则△BCM的面积是(　　) A.1 B. C.2 D. 6.(2025·沈阳一监)已知△ABC中,AC=1,BC=,AB=2,点P,Q是线段AB上的动点,则·的取值范围是(　　) A. B.[0,1] C. D.[0,3] 7.(2025·甘肃一模)已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2AD=4,点M为边CD上的动点,若∠AMB=α,则cos α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2,设C(3,4),则|2+|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 二、多选题(每小题6分,共18分) 9.(2025·四省联考)若向量a=(0,-1),b=(-3,4),c=(4,4),则下列结论正确的是(　　) A.|b|= B.(a+c)∥b C.a⊥(b-c) D.a在c上的投影向量是 10.(2025·邯郸二模)已知向量a=(x-1,x-2),b=(x-2,2),则下列结论正确的是(　　) A.“x=-1”是“a⊥b”的必要不充分条件 B.“x=2”是“a⊥b”的充分不必要条件 C.“x=3-”是“a∥b”的充分不必要条件 D.“x=-3+”是“a∥b”的必要不充分条件 11.(2025·常州三模)在△ABC中,AC=2,tan A=2,向量在向量上的投影向量为,则下列结论正确的是(　　) A.边BC上的高为3 B.sin C= C.·=-8 D.边AB上的中线长为 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.(2025·广州天河区二测)已知单位向量a,b,c满足a+b+c=0,则a·c=　　　　.  13.(2025·天津卷,14)△ABC中,D为AB中点,=,=a,=b,则=　　　　(用a,b表示);若||=5,AE⊥CB,则·=　　　　.  14.(2025·上海卷)已知函数f(x)= a,b,c是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)+f(a·c)+f(c·b)=0,则|a+b+c|的取值范围是　　　　.  第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $