第1讲 集合·分类【练】习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以考法分类为框架，系统覆盖集合基础运算、关系判断及新定义综合，通过分层题型构建从具体到抽象的认知逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的表示与基本运算|16题|聚焦不等式/函数与集合运算、Venn图应用及参数逆求|从集合表示（描述法/列举法）到运算（交并补），渗透数形结合思想| |集合间的关系与参数求解|20题|包含子集个数计算、包含关系参数及集合相等问题|以元素互异性为基础，构建集合关系判断与参数取值的推理链条| |集合的新定义与综合探究|12题|结合新运算、计数原理及数列性质的创新题型|通过抽象情境发展数学抽象与逻辑推理，体现数学眼光与思维的应用|

第1讲 集合·分类训练（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D C D B C 6 7 8 9 10 C A C B 11 12 13 14 15 BCD BC A C 16 17 18 19 20 B C D D C 21 22 23 24 25 D C C A 26 27 28 29 30 B C C B A 31 32 33 34 35 BC ABD C C 36 37 38 39 40 C C C 41 42 43 44 45 C ABC BD D C 46 47 48 B 考点一：集合的表示与基本运算 考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算 1.（2026·八省T8·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得，即. ∵， ∴. 对应选项D. 【点拨】解一元二次不等式求出集合B的范围，再与离散集合A求交集即可. 2.（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，即； ，即. ∴，. ∴. 对应选项C. 【点拨】注意补集运算时端点值的取舍，开区间的补集端点为闭. 3.（2026·八省T8·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，即； ，即. ∴. 对应选项D. 【点拨】求解对数不等式和偶次根式不等式时，必须优先保证真数大于0和被开方数非负. 4.（2026·江西南昌·一模）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由及，结合正弦函数图象可得. ∴. 对应选项B. 【点拨】结合正弦函数的图象或三角函数线，在给定区间内直接读出三角不等式的解集. 5.（2025·江西上进·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵且， ∴或或或，解得或或或. ∴. 由，得，即. ∴. 对应选项C. 【点拨】利用整除性质求出集合A的整数元素，结合对数不等式求出集合B的范围. 6.（2026·江西宜春十校·二模）（单选）设集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解绝对值不等式得，即. 指数函数的值域为，即. ∴. 对应选项C. 【点拨】认清集合的代表元素，集合B的代表元素是y，实质是求指数函数的值域. 7.（2026·福建龙岩·二模）（单选）若集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. . ∴. 对应选项A. 【点拨】区分集合的代表元素，集合A求的是二次函数的值域，集合B求的是指数不等式的解集. 8.（2026·山东潍坊·一模）（填空）若集合，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】，即. ，即. ∴. 【点拨】解指数不等式求出集合N，再与集合M求交集. 考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算 9.（2026·河北唐山·一模）（单选）已知全集及其两个非空真子集，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据德·摩根定律，. 对应选项C. 【点拨】直接应用德·摩根定律（De Morgan's laws）展开即可. 10.（单选）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解得，即. 解得，即. 目标集合为. 选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意； 选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意； 选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意； 选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意. 对应选项B. 【点拨】先解不等式求出集合M和N，再将目标集合用M和N的运算表示出来，最后对应Venn图. 11.（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（ 　　） A. B. C. 集合可能是 D. 【答案】BCD 【解析】由题意知， ∴. 对于A，∵，且，∴，A选项错误； 对于B，∵，∴，B选项正确； 对于C，已知，这意味着既属于A又属于B.若，当时，，，，此时满足所有已知条件，故C选项正确； 对于D，∵，又，∴，D选项正确. 对应选项BCD. 【点拨】利用德·摩根定律将补集的交并运算转化为交并集的补集运算，结合全集分析各元素归属. 12.（2026·湖南天壹名校联盟·5月模拟）（多选）若，，，，则下列命题为真命题的是（ 　　） A. B. 的真子集个数为 C. D. 【答案】BC 【解析】. 由，，， 作出Venn图可知，，. 故，A错误；，即，C正确； 集合A的真子集个数为个，故B正确； ∵，∴，D错误. 对应选项BC. 【点拨】画出Venn图，根据各部分的交并补关系将全集中的元素逐一填入对应区域是解题的关键. 13.（2026·浙江温州·二模）（填空）表示有限集合中元素的个数，已知，，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】根据容斥原理，. 【点拨】直接应用集合的容斥原理公式求解. 考法3：已知集合运算结果逆求参数 14.（2026·江苏南京盐城·一模）（单选）设全集，集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，， ∴. 又， ∴，解得. 对应选项A. 【点拨】根据补集的定义，集合A与它的补集构成全集，从而确定集合A的元素. 15.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）（单选）设集合，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】集合，而， 则且，即且，解得. 经验证，当时，，满足. ∴. 对应选项C. 【点拨】根据交集结果列出方程，求出参数后必须代回原集合检验是否满足元素的互异性. 16.（2026·湖南长沙师大附中·一模）（单选）已知，集合，，若，则（ 　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】已知集合，，且， ∴，即，，此时. 又，即或. 若，则，此时，则，与矛盾，舍去. 若，则，此时，，符合条件. 综上所述，. 对应选项B. 【点拨】由交集元素确定参数关系，求出参数后必须检验交集是否恰好为已知集合. 考点二：集合间的关系与参数求解 考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数 17.（2025·深圳中学·一阶测试）（单选）已知集合，则集合的子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由解得. 又，∴，集合中有个元素. 则集合的子集个数为. 对应选项C. 【点拨】先解一元二次不等式，结合整数集限制求出集合元素，再利用子集个数公式求解. 18.（2026·山东名校联盟·5月核心素养评估）（单选）已知集合，则集合的子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】集合，集合中有个元素. 则集合的子集个数为. 对应选项D. 【点拨】列举出集合中的所有整数元素，再根据元素个数计算子集数量. 19.（2026·广东广州·一模）（单选）集合的子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解不等式得. ∵，∴集合，有个元素. 则集合的子集个数为. 对应选项D. 【点拨】解不等式并筛选整数解，熟记个元素的集合有个子集. 20.（2026·安徽淮南·二模）（单选）已知集合，，则符合条件的集合的个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】集合. ∵，∴可能的取值为，即集合. ∵是的真子集， ∴集合的个数为. 对应选项C. 【点拨】真子集个数公式为，注意审题是求真子集个数. 21.（2025·河北保定·二模）（单选）已知集合，，则的真子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为的对称轴为，顶点为，且过点. 当时，上的点为. 作，的图象，由图可知，的图象与抛物线有个不同的交点. 则有个元素，从而的真子集的个数为. 对应选项D. 【点拨】将集合交集问题转化为两曲线交点个数问题，利用数形结合法画出草图判断交点数. 22.（2026·山东师大附中·3月阶段检测）（单选）已知集合，，则的子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】集合. . ∴集合，共有个元素. ∴子集个数为. 对应选项C. 【点拨】求函数定义域得到集合B，列举法表示集合A，求交集后计算子集个数. 23.（2025·山东名校考试联盟·二模）（单选）已知集合，，有且只有个子集，则实数（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则. 记，则. 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减. 且当时，；时，，. 因此只有一个实数根时，. 由于有且只有个子集，则只有一个元素，故. 对应选项C. 【点拨】集合交集只有一个元素，等价于两函数图象只有一个交点，利用导数研究函数单调性与最值求解. 24.（2024·江西吉安六校协作体·5月联考）（填空）设集合，，则集合的子集个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意可得， 故的子集个数为. 【点拨】先求出交集中的元素，再利用子集个数公式求解. 考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数 25.（2026·蚌埠·二模）（单选）已知集合，，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则. 又因为集合，， ∴或，解得或. ∴“”是“”的充分不必要条件. 对应选项A. 【点拨】将交集结果转化为子集关系，求出参数的所有可能值，再判断充分必要性. 26.（2026·山东德州·二模）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解不等式得或，即. 又， ∴，，，. 对应选项B. 【点拨】解一元二次不等式求出集合B，再结合数轴判断集合间的关系. 27.（2026·山东烟台·二模）（单选）已知集合，，若，则实数的值为（ 　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】∵，，， ∴或，解得或或. 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，满足； 当时，，满足. 综上，或. 对应选项C. 【点拨】根据子集关系列出方程，求出参数后必须检验集合元素的互异性. 28.（2026·山东菏泽·一模）（单选）已知集合，，若，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，，， ∴，即，解得. 对应选项C. 【点拨】根据子集定义，集合A中的元素必须都在集合B中，从而建立方程求解. 29.（单选）设，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，， ∴集合是由所有奇数的一半组成. 而集合是由所有整数的一半组成， ∴. 对应选项B. 【点拨】通过对表达式变形，分析集合中元素的奇偶性特征，从而判断包含关系. 30.（单选）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】集合，. 要使，只需，解得. 对应选项A. 【点拨】将集合包含关系转化为区间端点的不等式关系，注意端点值是否能取等号. 31.（多选）若非空集合满足：，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】由可得：. 由，可得，则推不出，故选项A错误； 由可得，故选项B正确； ∵且，∴，则，故选项C正确； 由可得：不一定为空集，故选项D错误. 对应选项BC. 【点拨】熟练掌握交集、并集与子集关系的等价转化：，. 32.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）（多选）设集合，，若，则的值可以为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】集合. 由可得，则分或或或四种情况. 当时，； 当时，满足，解得； 当时，满足，解得； 当时，显然不符合条件. ∴的值可以为. 对应选项ABD. 【点拨】将并集关系转化为子集关系，特别注意不要遗漏集合为空集的情况. 考法6：利用集合相等与互异性求参数 33.（2025·河南金科新未来·5月联考）（单选）设集合，，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若，则必有，同时也满足，故. 对应选项C. 【点拨】根据集合相等对应元素相等，求出参数后验证是否满足所有条件. 34.（2026·湖北楚天协作体·二模）（单选）如果集合只有一个元素，则实数的值是（ 　　） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】集合，表示关于的方程的解集. 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得，此时，符合题意. 综上可得或. 对应选项C. 【点拨】对于含参的一元二次方程解集问题，必须分类讨论二次项系数是否为零. 35.（2025·广东衡水金卷·3月联考）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意得或， 解得或. 当时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，满足集合元素的互异性，故. 【点拨】集合相等需考虑元素对应的两种情况，求出解后务必检验元素的互异性. 36.（2026·山东德州·一模）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】， 且且且. 或. 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 【点拨】同样是集合相等问题，注意利用元素的互异性排除无效解. 考点三：集合的新定义与综合探究 考法7：理解集合新运算求元素或集合 37.（单选）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作. 若集合，则中元素的个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，则，则中元素的个数为. 对应选项C. 【点拨】理解新定义运算规则，列举出所有可能的和，注意集合元素的互异性进行去重. 38.（单选）定义集合. 已知集合，，则中元素的个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，因为，，所以. 对应选项C. 【点拨】与上一题类似，列举求和并去重. 39.（单选）对于集合，定义. 若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为， 所以，所以. 相当于集合中除去形式的数，其前项包含了个这样的数，所以. 则. 对应选项C. 【点拨】理解差集定义，找出被剔除元素的规律（既是奇数又是被3除余1的数，即被6除余1），从而确定数列中的项. 40.（2026·广东东莞·一模）（填空）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意，，. 对于集合，其横坐标，纵坐标. 但当时，只能取， 所以中元素的个数为. 【点拨】列举出集合A和B中的整点，分析横纵坐标相加后的取值范围，注意排除不可能取到的组合. 考法8：基于集合新定义判断性质或求参数 41.（2026·福建厦门·适应性测试）（单选）已知均为有限实数集，记中的最大元素为，，若，则（ 　　） A. B. C. 中所有元素的平均数为 D. 中所有元素的和为 【答案】C 【解析】设中元素有个，所有元素和为，平均数为. 所以，，则，，，故选项A错误； 易得，所以，，故选项B错误； 因为增加的数一定是的倍数，被整除的余数不等，故元素中不会出现重复，所以，所以. 又，两边除以，得， 累加得，所以，故选项C正确； ，所以，故选项D错误. 对应选项C. 【点拨】根据递推关系逐步写出集合元素，寻找最大元素、元素个数及元素和的递推规律. 42.（2025·福建福九联盟·5月联考）（多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ 　　） A. 若，且，则 B. 若，则对任意，都有 C. 若，则存在实数，使得 D. 若，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】ABC 【解析】A选项，由，可得，，因为，所以，，故A错误； B选项，由知，且，则且，但是不一定成立，例如：，，，，，故B错误； C选项，由，，当，即时，；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以不存在实数，使得，故C错误； D选项，由，，取，可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确. 对应选项ABC. 【点拨】理解集合“极差”的新定义，结合二次函数的性质、集合的并集运算进行分类讨论. 43.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪. 直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机. 所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. 试判断下列选项中，可能成立的是（ 　　） A. 是一个戴德金分割 B. 没有最大元素，有一个最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 没有最大元素，也没有最小元素 【答案】BD 【解析】对于A，因为，，故A错误； 对于B，若，则满足戴德金分割，此时没有最大元素，有一个最小元素0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，设为，有一个最小元素，设为，则，则，而内也有有理数，则，故C错误； 对于D，若，，则满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确. 对应选项BD. 【点拨】深刻理解戴德金分割的定义，结合有理数的稠密性进行判断. 考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值 44.（单选）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用表示集合中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不妨设，则的值为，显然，，所以集合中至少有以上5个元素，不妨设，则显然，则集合中至少有7个元素，所以不可能，故排除A选项； 其次，若，则集合中至多有6个元素，则，故排除B项； 对于集合，取，则，此时，，故D项正确； 对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误. 对应选项D. 【点拨】利用极端假设法和举反例法，结合组合数计算集合元素的最值. 45.（单选）已知集合满足，若，且表示两个不同的“互衬对”，则满足题意的“互衬对”个数为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当时，集合可以为； 当时，集合可以为； 当时，集合可以为； 当时，集合可以为； 当时，集合可以为； 当时，集合可以为； 当时，集合可以为； 当时，集合可以为. 故满足题意的“互衬对”个数为27. 对应选项C. 【点拨】按集合A的元素个数分类讨论，列举出所有满足条件的集合B. 46.（2026·山东九五协作体·一模）（填空）已知为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③中所有元素的和分别为，且. 则正整数的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由①知构成的一个划分. 由②知中全为奇数，中全为偶数，中包含中所有的倍数. 由③知，设总和为，则. 由于必须是的倍数，故只能是或的形式. 从小到大检验： 若，，，，含的倍数（无），全奇，全偶，无法满足； 若，，，，必含，此时，不符； 若，，，，必含，还需元素和为，只能取，即.剩下奇数给，，不符； 若，，，，必含，此时，不符； 若，，，必含，还需元素和为，可取，此时.剩下奇数给，.剩下偶数给，.满足条件. 故正整数的最小值为. 【点拨】利用集合的划分性质，结合元素和被3整除的特征，从小到大检验n的可能取值. 47.（2025·江西三新教研共同体·3月联考）（填空）已知集合，，集合的子集，若对于任意的，都有，则符合条件的集合的个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】不妨设，再设，，中元素由和有序数组决定. ，，中任意相邻几个之和也不属于，否则会出现. 若中没有，或只有个，则一定有，不符合题意. 若中有个或个，不满足中任意相邻几个之和也不属于，所以中有个. 考虑的排列情况和的取值情况： 若由组成，则的个数为； 若由组成，则的个数为； 若由组成，则的个数为； 若由组成，则的个数为. 故符合条件的集合的个数为. 【点拨】将集合元素的差值转化为差分数列，通过分析差分数列的取值限制，利用排列组合求解. 考法10：结合数列性质求集合元素最值 48.（单选）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对于条件①，②，必有， 若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如，集合中有11个元素， 又， ， 则该集合满足条件①②，不符合条件③， 故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个， 故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为100，最多有10个元素， 例如. 对应选项B. 【点拨】利用极值思想构造满足间距最小的数列，计算其前n项和，从而确定元素个数的上限. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合·分类训练 考点一：集合的表示与基本运算 分类训练 考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算 1.（2026·八省T8·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·八省T8·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·江西南昌·一模）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 5.（2025·江西上进·4月联考）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·江西宜春十校·二模）（单选）设集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·福建龙岩·二模）（单选）若集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 8.（2026·山东潍坊·一模）（填空）若集合，，则＿＿＿＿＿＿. 考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算 9.（2026·河北唐山·一模）（单选）已知全集及其两个非空真子集，则（ 　　） A. B. C. D. 10.（单选）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ 　　） A. B. C. D. 11.（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（ 　　） A. B. C. 集合可能是 D. 12.（2026·湖南天壹名校联盟·5月模拟）（多选）若，，，，则下列命题为真命题的是（ 　　） A. B. 的真子集个数为 C. D. 13.（2026·浙江温州·二模）（填空）表示有限集合中元素的个数，已知，，，则＿＿＿＿＿＿. 考法3：已知集合运算结果逆求参数 14.（2026·江苏南京盐城·一模）（单选）设全集，集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 15.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）（单选）设集合，若，则（ 　　） A. B. C. D. 16.（2026·湖南长沙师大附中·一模）（单选）已知，集合，，若，则（ 　　） A. B. C. 或 D. 考点二：集合间的关系与参数求解 考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数 17.（2025·深圳中学·一阶测试）（单选）已知集合，则集合的子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 18.（2026·山东名校联盟·5月核心素养评估）（单选）已知集合，则集合的子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 19.（2026·广东广州·一模）（单选）集合的子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 20.（2026·安徽淮南·二模）（单选）已知集合，，则符合条件的集合的个数为（ 　　） A. B. C. D. 21.（2025·河北保定·二模）（单选）已知集合，，则的真子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 22.（2026·山东师大附中·3月阶段检测）（单选）已知集合，，则的子集个数为（ 　　） A. B. C. D. 23.（2025·山东名校考试联盟·二模）（单选）已知集合，，有且只有个子集，则实数（ 　　） A. B. C. D. 24.（2024·江西吉安六校协作体·5月联考）（填空）设集合，，则集合的子集个数为＿＿＿＿＿＿. 考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数 25.（2026·蚌埠·二模）（单选）已知集合，，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 26.（2026·山东德州·二模）（单选）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 27.（2026·山东烟台·二模）（单选）已知集合，，若，则实数的值为（ 　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 28.（2026·山东菏泽·一模）（单选）已知集合，，若，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 29.（单选）设，，则（ 　　） A. B. C. D. 30.（单选）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 31.（多选）若非空集合满足：，则（ 　　） A. B. C. D. 32.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）（多选）设集合，，若，则的值可以为（ 　　） A. B. C. D. 考法6：利用集合相等与互异性求参数 33.（2025·河南金科新未来·5月联考）（单选）设集合，，若，则（ 　　） A. B. C. D. 34.（2026·湖北楚天协作体·二模）（单选）如果集合只有一个元素，则实数的值是（ 　　） A. 或 B. C. 或 D. 35.（2025·广东衡水金卷·3月联考）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿. 36.（2026·山东德州·一模）（填空）设集合，，若，则＿＿＿＿＿＿. 考点三：集合的新定义与综合探究 考法7：理解集合新运算求元素或集合 37.（单选）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作. 若集合，则中元素的个数为（ 　　） A. B. C. D. 38.（单选）定义集合. 已知集合，，则中元素的个数为（ 　　） A. B. C. D. 39.（单选）对于集合，定义. 若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（ 　　） A. B. C. D. 40.（2026·广东东莞·一模）（填空）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为＿＿＿＿＿＿. 考法8：基于集合新定义判断性质或求参数 41.（2026·福建厦门·适应性测试）（单选）已知均为有限实数集，记中的最大元素为，，若，则（ 　　） A. B. C. 中所有元素的平均数为 D. 中所有元素的和为 42.（2025·福建福九联盟·5月联考）（多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ 　　） A. 若，且，则 B. 若，则对任意，都有 C. 若，则存在实数，使得 D. 若，则对任意的实数，总存在实数，使得 43.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪. 直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机. 所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. 试判断下列选项中，可能成立的是（ 　　） A. 是一个戴德金分割 B. 没有最大元素，有一个最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 没有最大元素，也没有最小元素 考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值 44.（单选）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用表示集合中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ 　　） A. B. C. D. 45.（单选）已知集合满足，若，且表示两个不同的“互衬对”，则满足题意的“互衬对”个数为（ 　　） A. B. C. D. 46.（2026·山东九五协作体·一模）（填空）已知为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③中所有元素的和分别为，且. 则正整数的最小值为＿＿＿＿＿＿. 47.（2025·江西三新教研共同体·3月联考）（填空）已知集合，，集合的子集，若对于任意的，都有，则符合条件的集合的个数为＿＿＿＿＿＿. 考法10：结合数列性质求集合元素最值 48.（单选）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ 　　） A. B. C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $