第02讲 与三角形有关的线段（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

第02讲 与三角形有关的线段 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断能否构成三角形 题型2 已知三角形的两边，求第三边的取值范围 题型3 三角形的稳定性 题型4 等边三角形的分类讨论 题型5 根据三角形的中线求长度 题型6 根据三角形的中线求面积 题型7 重心的概念 题型8 三角形的角平分线 题型9 做三角形的高 题型10 与三角形的高有关的计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角形的高、中线、角平分线； 重心；垂心；内心；三角形稳定性 三角形三边关系 1.理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能区分三者概念，掌握规范几何语言表达。 2.会画出锐角、直角、钝角三角形的高、中线、角平分线，掌握三类线段在不同三角形中的位置特征。 3.掌握中线平分面积、三线共点等核心性质，能利用性质进行线段、角度、面积的简单计算。 4.了解三角形重心、垂心、内心的概念，理解三角形的稳定性及其生活应用。 5.熟练掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形、求第三边取值范围、解决边长相关计算。 学习重点：三角形高、中线、角平分线的定义、画法与性质；几何语言书写。 学习难点：掌握等腰三角形三边关系分类讨论。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 三角形的三边关系 1.定理：三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边. 2.简化判断（最快用法）： 只需验证：较短两条边的和＞最长边，满足就能构成三角形。 取值范围 设三边长为a、b、c，且c为最长边：a+b > c 若已知两边为m、n（m>n），第三边 x 范围：m-n < x < m+n 即时即练以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可， 选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项B：，∴能组成三角形，符合要求； 选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求． 【方法总结】 三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 知识点02 三角形的稳定性 1.性质：三角形三边确定，形状、大小就固定不变，即三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性。 2.应用：支架、桥梁钢架、自行车车架利用稳定性；伸缩门利用四边形不稳定性。 即时即练港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 【方法总结】 1.三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． 2.三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． 3.四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 知识点03 三角形的中线、角平分线、高 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 即时即练如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴， 设中边上的高为， ∵的面积为， ∴， ∴. 【易错提醒】 1.三角形的高/中线/角平分线三者全都是线段，有两个端点；单独的角平分线是射线，垂线是直线，和三角形对应线段不是同一概念。 2.任意三角形都有3条高、3条中线、3条角平分线。 3.锐角三角形三条高全部在三角形内部，交点（垂心）也在内部； 4.直角三角形中两条直角边互为对应边上的高，斜边上有1条高；三条高的交点就是直角顶点。 5.钝角三角形中只有钝角所对边上的高在内部；另外两条高需要先延长钝角的两条邻边，再从顶点向延长线作垂线，两条高落在三角形外部。 题型1 判断能否构成三角形 【例1】下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，且， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，不符合题意． 【例2】已知三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三边关系得到第三边的取值范围，进而判断出选项中不符合该范围的数值． 【详解】解：三角形的两边长分别为和，设第三边长为， 由三角形三边关系可得， 即， 选项中不满足，其余选项均满足， 此三角形第三边的长不可能是． 故选：． 【技巧归纳】 核心妙招：短边和>最长边 先把三条边按从小到大排序：a≤b ≤c 只需验证：a + b > c 若成立，就能构成三角形； 若不成立，直接排除。 易错提醒： 不用验证所有组合，只验证这一组即可。 注意题目给的是线段长度，还是能取的整数范围。 【变式1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 【变式1-2】下列各组线段能组成一个三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需比较较短两条边的和与最长边的大小，即可得出结论． 【详解】解：A.∵，不满足三边关系， ∴ 不能组成三角形，不符合题意； B.∵，不满足三边关系， ∴ 不能组成三角形，不符合题意； C.∵，不满足三边关系， ∴ 不能组成三角形，不符合题意； D.∵，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，符合题意． 题型2 已知三角形的两边，求第三边的取值范围 【例1】已知一个三角形的两边长是4和7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是___（写一个） 【答案】5（或7或9，答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合周长为偶数的条件确定第三边的奇偶性，即可得到符合要求的第三边长． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∵三角形的周长，且三角形周长为偶数， ∴为奇数， ∴范围内的奇数为，，，任选一个即可． 【例2】由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知 ， ∴ 即 化简得 观察选项，只有在此范围内， 故选C． 【技巧归纳】 核心妙招：两边之差<第三边<两边之和 设已知两边为m, n（不妨设m > n），第三边为 x 直接套用公式：m - n < x < m + n 拓展用法： 若题目问 “第三边的整数解有几个”，就在范围内找整数。 若题目问 “周长的取值范围”，两边同时加上m+n即可。 易错提醒： 范围是开区间，不包含等号，因为等号时三点共线，不是三角形。 【变式2-1】已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题利用非负数的性质求出a，b的值，再结合三角形三边关系确定c的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：， 则， 解得， 由于是三角形的最长边， 则， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得， 因此c的取值范围是， 只有符合条件， 故选：C． 【变式2-2】已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 【答案】6 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：设第三边长为a， 则，即， 第三边长a为整数， 第三边长． 题型3 三角形的稳定性 【例1】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 【例2】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．三角形两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故选A． 【技巧归纳】 核心妙招：看结构里有没有三角形，有就稳定，没有就不稳定 稳定的本质：三角形三边固定，形状就固定了。 典型应用： 稳定：自行车车架、桥梁支架、电线杆拉线、篮球架底座。 不稳定：伸缩门、活动衣架、菱形拉花（四边形变形）。 易错提醒： 题目问 “为了加固，应该加几根木条”，就找能把四边形/多边形分割成三角形的木条数量。 【变式3-1】下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断． 【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 故选：C． 题型4 等边三角形的分类讨论 【例1】已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再根据或为腰长进行分类讨论，结合三角形的基本性质判断结果即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，且， ∴，， 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为或． 【例2】已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三边关系进行分类讨论求解即可； 【详解】解：等腰三角形的一边等于，一边等于， 当腰为时，三边为，，，能构成三角形， 周长为； 当腰为时，三边为，，， ， 不能构成三角形； 三角形的周长为． 【技巧归纳】 核心妙招：先分情况，再用三边关系检验 分类标准：哪条边是腰 情况①：已知边为腰； 情况②：已知边为底边。 步骤： 假设某边为腰，写出三边长； 用三边关系（短边和>最长边）判断是否能构成三角形； 舍去不能构成的情况，再求周长或边长。 易错提醒： 很多同学只算一种情况，忘了检验三边关系，导致漏解/错解。 例：两边为3和7时，3不能做腰，只能7做腰。 【变式4-1】已知等腰三角形两边的长分别为5和7，则此等腰三角形的周长为_____ 【答案】17或19 【分析】分情况进行讨论，同时利用三角形的三边关系进行判断是否可以构成三角形，进行计算即可． 【详解】解：当三角形三边为时， ，可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为； 当三角形三边为时， ，可以构成三角形， 则此等腰三角形的周长为． 【变式4-2】等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 【答案】4 【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当边长为的边为腰长时， 底边长为， 此时三角形三边长为， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②当边长为的边为底边长时， 腰长为， 此时三角形三边长为， 满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 题型5 根据三角形的中线求长度 【例1】已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 【答案】10 【分析】先根据等腰三角形和中线的定义可得，再分两种情况分别列出方程，求出解，然后根据三角形的三边关系确定答案即可． 【详解】解：如图所示， ∵是边上的中线， ∴． 当时，即， 解得； 当时，即， 解得，则， ∵， ∴不能组成三角形，不符合题意． 所以腰长为10． 【例2】如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 【技巧归纳】 核心妙招：中线平分对边，先标中点，再用线段和差 中线定义：AD是BC边上的中线 BD = DC =BC 常用技巧： 已知中线分对边的长度，可直接求原边长； 已知被中线分成的两个三角形周长差，周长差 = 两腰之差（公共边+中线抵消）。 易错提醒： 中线不是角平分线，不要用角的关系乱算； 不要把“中线”当成“高”来算直角。 【变式5-1】如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定义，点为的中点，因此，代入 即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ 是的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 【变式5-2】如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12，理由见解析 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 题型6 根据三角形的中线求面积 【例1】如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 【例2】如图，是的中线，是的中线，，则______． 【答案】 【分析】三角形中线平分三角形面积，先由是的中线得，再由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 【技巧归纳】 核心妙招：一条中线把三角形分成面积相等的两部分 原理：等底同高，面积相等。 AD是中线 ：S△ABD = S△ACD=S△ABC 拓展用法： 再取一次中线，面积再减半； 多条中线组合，可快速求小三角形面积。 易错提醒： 中线分的是面积相等，不是周长相等； 重心把中线分成2:1两段，可进一步细分面积 【变式6-1】如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 【答案】1 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，同理，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 【变式6-2】如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 【答案】18 【分析】连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为3，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 题型7 重心的概念 【例1】长方形和在平面直角坐标系中的位置如图所示，若将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是____________． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式计算出长方形和的重心坐标，再利用不规则图形的重心坐标计算公式即可求解． 【详解】解：如图， 、分别为长方形和的重心， ∵，，，，，，， ∴，，，，，， ∴长方形的面积，长方形的面积， ∴重心的坐标， ， ∴重心坐标为． 【例2】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 【技巧归纳】 三条中线的交点，永远在三角形内部，分中线为 2:1 【变式7-1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：B． 【变式7-2】在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 题型8 三角形的角平分线 【例1】如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 【例2】如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 【技巧归纳】 核心妙招：角平分线平分内角，得到两个相等的小角 几何语言： AD平分∠BAC：∠BAD = ∠CAD = ∠BAC 常见考法： 已知内角，求被平分后的角； 与高、中线结合，求角度。 易错提醒： 三角形的角平分线是线段，不是射线； 只平分内角，不平分外角（除非题目明确说外角平分线）。 【变式8-1】如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 【变式8-2】如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 题型9 做三角形的高 【例1】如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴中边上的高是． 【例2】下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【技巧归纳】 核心妙招：一垂二标三延长，不同三角形画法不一样 通用步骤： 过顶点，向对边（或对边延长线）作垂线； 标出垂足和直角符号； 钝角三角形要先延长对边，再作高。 【变式9-1】如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高．在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高．直接利用三角形高的定义分析得出答案． 【详解】解：在中，边上的高是， 故选：B． 【变式9-2】如图，中边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查三角形高的定义，关键是理解三角形高的概念：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高． 【详解】解：根据三角形高的定义，在中，边上的高是从点向边所在直线作的垂线段，观察图形可知线段符合条件； 故选：A． 题型10 与三角形的高有关的计算 【例1】如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 【例2】如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 【技巧归纳】 核心妙招：用面积法，同一个三角形面积不变 核心公式：S△ABC = BC×hBC =AC×hAC = AB×hAB 用法： 已知一边和这边上的高，可求面积； 已知面积和另一边，可求这条边上的高。 易错提醒： 直角三角形的面积：S =直角边1×直角边2，不要用斜边和斜边上的高乱算； 钝角三角形的高在外部，计算时底用原边长即可，高是顶点到延长线的距离。 【变式10-1】如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解． 【详解】解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 【变式10-2】如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的定义、三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据三角形中线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴是的2倍． 故答案为：2． 1．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或者 D． 【答案】D 【分析】需分类讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况； 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 满足三角形三边关系，此时周长为， 因此该等腰三角形的周长为． 2．下列长度的条线段，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和大于最长边即可. 【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需比较两条较短边的和与最长边的大小关系. A选项 ∵，∴不能组成三角形. B选项 ∵，∴不能组成三角形. C选项 ∵，∴不能组成三角形. D选项 ∵，满足三边关系，∴能组成三角形. 3．三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 4．如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，，根据三角形面积之间的关系可得：，，根据，可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，， 点是边的中点，点在边上，， ，， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， 点在边上，， ， ， 整理得：， ， ． 5．如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 【答案】24 【分析】本题主要考查了三角形的中线的应用， 先求出，进而求出，再根据三角形中线的定义得，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴ ， ∴． ∵点D是的中点， ∴ ． ∵点E是的中点， ∴ ， ∴． 故答案为：24． 6．如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 7．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 8．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 (1)任务1：如图1，若的面积为6，则的面积为______． (2)任务2：如图1，若的面积为，求的面积． (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 (4)如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心计算即可． 【详解】（1）解：点为的重心， 点是边的中点， 的面积为6， ； （2）解：点为的重心， 分别是边上的中点， ， ， ； （3）解：点为的重心， 是边上的中点， ， 由（2）知， ， ； （4）解：由（3）得， ， ， ， ，， 点是的重心， 点是边的中点， ， ． 9．如图，在中，，，，，，求和的长． 【答案】； 【分析】根据直角三角形的面积计算的面积再由面积计算的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 10．已知、、分别是的三边长，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系，可得，，再根据绝对值的性质，化简合并即可． 【详解】解：、、分别是的三边长， ，， ，， 则原式 ． 11．已知a，b，c是的三边，其中，且三角形的周长为奇数．求c的值． 【答案】或 【分析】利用算术平方根和平方的非负性求出的值，再利用三角形三边关系求出的范围，结合三角形的周长为奇数即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， ∵a，b，c是的三边， ∴， ∴， 又∵周长为奇数，即为奇数， ∴或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 与三角形有关的线段 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断能否构成三角形 题型2 已知三角形的两边，求第三边的取值范围 题型3 三角形的稳定性 题型4 等边三角形的分类讨论 题型5 根据三角形的中线求长度 题型6 根据三角形的中线求面积 题型7 重心的概念 题型8 三角形的角平分线 题型9 做三角形的高 题型10 与三角形的高有关的计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角形的高、中线、角平分线； 重心；垂心；内心；三角形稳定性 三角形三边关系 1.理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能区分三者概念，掌握规范几何语言表达。 2.会画出锐角、直角、钝角三角形的高、中线、角平分线，掌握三类线段在不同三角形中的位置特征。 3.掌握中线平分面积、三线共点等核心性质，能利用性质进行线段、角度、面积的简单计算。 4.了解三角形重心、垂心、内心的概念，理解三角形的稳定性及其生活应用。 5.熟练掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形、求第三边取值范围、解决边长相关计算。 学习重点：三角形高、中线、角平分线的定义、画法与性质；几何语言书写。 学习难点：掌握等腰三角形三边关系分类讨论。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 三角形的三边关系 1.定理：三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边. 2.简化判断（最快用法）： 只需验证：较短两条边的和＞最长边，满足就能构成三角形。 取值范围 设三边长为a、b、c，且c为最长边：a+b > c 若已知两边为m、n（m>n），第三边 x 范围：m-n < x < m+n 即时即练以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【方法总结】 三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 知识点02 三角形的稳定性 1.性质：三角形三边确定，形状、大小就固定不变，即三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性。 2.应用：支架、桥梁钢架、自行车车架利用稳定性；伸缩门利用四边形不稳定性。 即时即练港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【方法总结】 1.三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． 2.三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． 3.四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 知识点03 三角形的中线、角平分线、高 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 即时即练如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【易错提醒】 1.三角形的高/中线/角平分线三者全都是线段，有两个端点；单独的角平分线是射线，垂线是直线，和三角形对应线段不是同一概念。 2.任意三角形都有3条高、3条中线、3条角平分线。 3.锐角三角形三条高全部在三角形内部，交点（垂心）也在内部； 4.直角三角形中两条直角边互为对应边上的高，斜边上有1条高；三条高的交点就是直角顶点。 5.钝角三角形中只有钝角所对边上的高在内部；另外两条高需要先延长钝角的两条邻边，再从顶点向延长线作垂线，两条高落在三角形外部。 题型1 判断能否构成三角形 【例1】下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】已知三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 核心妙招：短边和>最长边 先把三条边按从小到大排序：a≤b ≤c 只需验证：a + b > c 若成立，就能构成三角形； 若不成立，直接排除。 易错提醒： 不用验证所有组合，只验证这一组即可。 注意题目给的是线段长度，还是能取的整数范围。 【变式1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各组线段能组成一个三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 题型2 已知三角形的两边，求第三边的取值范围 【例1】已知一个三角形的两边长是4和7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是___（写一个） 【例2】由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】 核心妙招：两边之差<第三边<两边之和 设已知两边为m, n（不妨设m > n），第三边为 x 直接套用公式：m - n < x < m + n 拓展用法： 若题目问 “第三边的整数解有几个”，就在范围内找整数。 若题目问 “周长的取值范围”，两边同时加上m+n即可。 易错提醒： 范围是开区间，不包含等号，因为等号时三点共线，不是三角形。 【变式2-1】已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 题型3 三角形的稳定性 【例1】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【例2】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．三角形两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【技巧归纳】 核心妙招：看结构里有没有三角形，有就稳定，没有就不稳定 稳定的本质：三角形三边固定，形状就固定了。 典型应用： 稳定：自行车车架、桥梁支架、电线杆拉线、篮球架底座。 不稳定：伸缩门、活动衣架、菱形拉花（四边形变形）。 易错提醒： 题目问 “为了加固，应该加几根木条”，就找能把四边形/多边形分割成三角形的木条数量。 【变式3-1】下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 题型4 等边三角形的分类讨论 【例1】已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 【例2】已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 【技巧归纳】 核心妙招：先分情况，再用三边关系检验 分类标准：哪条边是腰 情况①：已知边为腰； 情况②：已知边为底边。 步骤： 假设某边为腰，写出三边长； 用三边关系（短边和>最长边）判断是否能构成三角形； 舍去不能构成的情况，再求周长或边长。 易错提醒： 很多同学只算一种情况，忘了检验三边关系，导致漏解/错解。 例：两边为3和7时，3不能做腰，只能7做腰。 【变式4-1】已知等腰三角形两边的长分别为5和7，则此等腰三角形的周长为_____ 【变式4-2】等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是_____________ ． 题型5 根据三角形的中线求长度 【例1】已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 【例2】如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【技巧归纳】 核心妙招：中线平分对边，先标中点，再用线段和差 中线定义：AD是BC边上的中线 BD = DC =BC 常用技巧： 已知中线分对边的长度，可直接求原边长； 已知被中线分成的两个三角形周长差，周长差 = 两腰之差（公共边+中线抵消）。 易错提醒： 中线不是角平分线，不要用角的关系乱算； 不要把“中线”当成“高”来算直角。 【变式5-1】如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式5-2】如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 题型6 根据三角形的中线求面积 【例1】如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【例2】如图，是的中线，是的中线，，则______． 【技巧归纳】 核心妙招：一条中线把三角形分成面积相等的两部分 原理：等底同高，面积相等。 AD是中线 ：S△ABD = S△ACD=S△ABC 拓展用法： 再取一次中线，面积再减半； 多条中线组合，可快速求小三角形面积。 易错提醒： 中线分的是面积相等，不是周长相等； 重心把中线分成2:1两段，可进一步细分面积 【变式6-1】如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 【变式6-2】如图，若的面积为3，且点A，B，C分别是、、的中点，则求阴影部分的面积为______． 题型7 重心的概念 【例1】长方形和在平面直角坐标系中的位置如图所示，若将这两个长方形视为一个组合图形，则这个组合图形的重心坐标是____________． 【例2】平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B． C． D． 【技巧归纳】 三条中线的交点，永远在三角形内部，分中线为 2:1 【变式7-1】如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【变式7-2】在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 题型8 三角形的角平分线 【例1】如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【技巧归纳】 核心妙招：角平分线平分内角，得到两个相等的小角 几何语言： AD平分∠BAC：∠BAD = ∠CAD = ∠BAC 常见考法： 已知内角，求被平分后的角； 与高、中线结合，求角度。 易错提醒： 三角形的角平分线是线段，不是射线； 只平分内角，不平分外角（除非题目明确说外角平分线）。 【变式8-1】如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 题型9 做三角形的高 【例1】如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【例2】下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【技巧归纳】 核心妙招：一垂二标三延长，不同三角形画法不一样 通用步骤： 过顶点，向对边（或对边延长线）作垂线； 标出垂足和直角符号； 钝角三角形要先延长对边，再作高。 【变式9-1】如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，中边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 题型10 与三角形的高有关的计算 【例1】如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【例2】如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【技巧归纳】 核心妙招：用面积法，同一个三角形面积不变 核心公式：S△ABC = BC×hBC =AC×hAC = AB×hAB 用法： 已知一边和这边上的高，可求面积； 已知面积和另一边，可求这条边上的高。 易错提醒： 直角三角形的面积：S =直角边1×直角边2，不要用斜边和斜边上的高乱算； 钝角三角形的高在外部，计算时底用原边长即可，高是顶点到延长线的距离。 【变式10-1】如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【变式10-2】如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 1．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或者 D． 2．下列长度的条线段，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 4．如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 6．如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 7．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 8．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 (1)任务1：如图1，若的面积为6，则的面积为______． (2)任务2：如图1，若的面积为，求的面积． (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 (4)如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 9．如图，在中，，，，，，求和的长． 10．已知、、分别是的三边长，化简：． 11．已知a，b，c是的三边，其中，且三角形的周长为奇数．求c的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $