第06讲 三角形中角度计算七大几何模型（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第06讲 三角形中角度计算七大几何模型（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+7个知识归纳+7个题型+课后作业】 【知识点1 8字模型】 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 【知识点2 飞镖模型】 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 【知识点3 A字模型】 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 【知识点4 老鹰抓小鸡模型】 【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 【知识点5 双内角平分线模型】 【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 【知识点6 双外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 【知识点7 内外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A. 【题型1 8字模型】 【例1】如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 【变式1-1】如图，求的度数. 【变式1-2】如图，求的度数. 【变式1-3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【题型2 飞镖模型】 【例2】【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【变式2-1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么_____．    【变式2-2】如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 【变式2-3】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【题型3 A字模型】 【例3】如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 【变式3-2】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【变式3-3】探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______； (2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 【题型4 老鹰抓小鸡模型】 【例4】如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【变式4-1】如图，把一张三角形纸片的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 【变式4-3】（1）如图 1，把 沿 折叠，使点 A 落在点 处，试探索与 的关系．（证明）．    （2）如图 2， 平分， 平分，把折叠，使点 A 与点 I 重合， 若，求的度数；    （3）如图 3，在锐角中，于点 F，于点 G， 交于点 H， 把折叠使点 A 和点 H 重合，试探索与的关系．（直接写出结果）    【题型5 双内角平分线模型】 【例5】如图，在中，与的平分线相交于点O，则______． 【变式5-1】如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为______． 【变式5-2】如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作 和 且，，，若的平分线与的平分线交于点 P，则的度数为_____． 【变式5-3】如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为__________ 【题型6 双外角平分线模型】 【例6】如图，和是的外角，和分别是和的角平分线，延长和交于点．设，，则与之间的数量关系为 ． 【变式6-1】如图，，分别是和的角平分线，交点是，，分别是和的角平分线，交点是，，在上，，在上，若，那么______．    【变式6-2】在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则________． 【变式6-3】如图，在中，为的外角，与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线相交于点，当两条角平分线无交点时，则的值为_______________． 【题型7 内外角平分线模型】 【例7】如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为_______． 【变式7-1】如图，两条相交的直线，分别是直线上的两个动点，作的平分线，直线交的平分线于点，则________． 【变式7-2】如图，在中，．与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得；…；与的平分线相交于点，得．    （1）与之间的数量关系为______． （2）若的度数为整数，则n的值最大为______． 【变式7-3】在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是_______．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 模块二 课后作业 1．如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 4．如图，若，那么（　　） A． B． C． D． 5．如图，中，点是延长线上的一点，于点的平分线与的平分线交于点．当时，则的度数为______．    6．如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则______°，______°． 7．如图，在中，，，的平分线交于点，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．所有正确结论的序号是________． 8．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 9．凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 10．【模型探究】（1）如图1，已知线段相交于点O，连接，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型． 甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵，∴ 同理可得，_____． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角，∴， 同理可得，______． ∴． 【模型应用】 （2）如图2，已知线段相交于点O，连接分别平分． ①若，求的度数． 解：∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知……（求解过程缺失） 请补全上面的求解过程； ②若，直接写出______（用含有和的代数式表示）． （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，则的度数为______． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，，，试问与、之间的数量关系为：______．（用、表示）； 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 三角形中角度计算七大几何模型（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+7个知识归纳+7个题型+课后作业】 【知识点1 8字模型】 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 【知识点2 飞镖模型】 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 【知识点3 A字模型】 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 【知识点4 老鹰抓小鸡模型】 【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 【知识点5 双内角平分线模型】 【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 【知识点6 双外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 【知识点7 内外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A. 【题型1 8字模型】 【例1】如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）2∠E＝∠A+∠C，理由见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理：，结合对顶角相等可得结论． （2）利用（1）中结论，设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y，可得∠A+x=∠E+y，∠C+y=∠E+x，两式相加可得结论． 【详解】解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）结论：2∠E＝∠A+∠C． 理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E， ∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y， ∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x， ∴∠A+∠C＝∠E+∠E， ∴2∠E＝∠A+∠C ． 【变式1-1】如图，求的度数. 【答案】. 【分析】根据三角形的内角和定理即可求解 【详解】解：连结， BC与DE相交成对顶三角形， ， 【变式1-2】如图，求的度数. 【答案】. 【分析】连接CD，将转化为四边形CDEF的内角和即可求出答案. 【详解】解：如图所示，连接CD. 由对顶三角形得，， ∴ . 【变式1-3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【答案】（1）见解析； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【详解】解：（1）如图.   ，， ． ， ； （2）如图.   ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.   直线平分，平分的外角， ，， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即 ． （4）连接   直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【题型2 飞镖模型】 【例2】【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 【变式2-1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么_____．    【答案】70 【分析】延长、，交于点G，连接，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为即可求解． 【详解】解：延长、，交于点G，连接，如图，    ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：70． 【变式2-2】如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出 【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得， ① ② 是的平分线，是的平分线 ，． ①-②得，． 【变式2-3】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ∵，， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ③设，， 则，， 则，， 解得， 所以， 即的度数为． 【题型3 A字模型】 【例3】如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3-1】将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图：    由题意得：， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______； (2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； （2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1）、（2）中思路即可求解； （4）根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，由外角性质可知： ， ， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图所示： 在中，由外角性质可知： ，， ∵， ∴ ． （3）解：由（1）、（2）中思路，由三角形外角性质可知： ，， ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：． （4）解：与的关系为：，理由如下： 如图， ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系． 【题型4 老鹰抓小鸡模型】 【例4】如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：， 中，， 又，， ， 故答案为：． 【变式4-1】如图，把一张三角形纸片的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角性质，折叠性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据折叠得，运用三角形的外角性质得，故，，又因为，故． 【详解】解：连接，如图所示： ∵折叠 ∴ 依题意，， ∵， ∴， 同理得， 同理得， ∵， ∴． 【变式4-2】如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时， ； ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时， ； ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立； 综上所述，的度数是或． 故选：C． 【变式4-3】（1）如图 1，把 沿 折叠，使点 A 落在点 处，试探索与 的关系．（证明）．    （2）如图 2， 平分， 平分，把折叠，使点 A 与点 I 重合， 若，求的度数；    （3）如图 3，在锐角中，于点 F，于点 G， 交于点 H， 把折叠使点 A 和点 H 重合，试探索与的关系．（直接写出结果）    【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）连接，如图，则由折叠的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得出结论； （2）由（1）的结论可得，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求解即可； （3）由四边形的内角和是可得，结合（1）的结论即可得到答案． 【详解】（1）； 证明：连接，如图， 则由折叠的性质可得， ∵， ∴； ∴与 的关系是；    （2）∵， 则由（1）知：， ∴； ∵ 平分， 平分， ∴， ∴， ∴； （3）∵于点 F，于点 G， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，即， ∴．    【题型5 双内角平分线模型】 【例5】如图，在中，与的平分线相交于点O，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解，再结合角平分线可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点O， ∴， ∴， 故答案为： 【变式5-1】如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为______． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，求出，继而求出，得到，求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作 和 且，，，若的平分线与的平分线交于点 P，则的度数为_____． 【答案】/148度 【分析】设，，根据角的平分线，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设，， ∵的平分线与的平分线交于点 P， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：148度 【变式5-3】如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为__________ 【答案】 【分析】根据题目信息，利用角平分线的性质得出，，以此类推 ，，的度数，依次类推即可求得的度数了．本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 【详解】解：，， ， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， 同理可得，， ，， ， 故答案为． 【题型6 双外角平分线模型】 【例6】如图，和是的外角，和分别是和的角平分线，延长和交于点．设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，对顶角的性质，三角形内角和定理，由三角形外角性质可得，，由角平分线定义得，，进而得，，再根据三角形内角和定理可得，即可得到，进而即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，， ∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【变式6-1】如图，，分别是和的角平分线，交点是，，分别是和的角平分线，交点是，，在上，，在上，若，那么______．    【答案】/69度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理用表示和, 得到和的关系,得到答案. 【详解】解：∵分别是和的平分线， , 同理， 故答案为:. 【变式6-2】在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则________． 【答案】125 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平角的性质、角平分线等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，，，根据角平分线定义得，，则，再根据平角的定义可得，然后根据角平分线的定义可得，则，最后根据三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：125． 【变式6-3】如图，在中，为的外角，与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线相交于点，当两条角平分线无交点时，则的值为_______________． 【答案】3 【分析】本题考查图形变化的规律，三角形内角和定理及整体思想的运用是解题的关键.利用整体思想结合三角形的内角和定理即可依次求出的度数，根据发现的规律即可解决问题. 【详解】， ， ， 又 和 分别平分和, ,, ， ， 和 分别平分 和 ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴无法组成三角形，即两条角平分线无交点， 故的值为. 故答案为: . 【题型7 内外角平分线模型】 【例7】如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为_______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据三角形的外角性质可得的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】如图，两条相交的直线，分别是直线上的两个动点，作的平分线，直线交的平分线于点，则________． 【答案】或或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意，分类讨论，结合图形分析是关键． 根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴设， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴在中，， ∵是角平分线 ∴， 在中，； 如图所示， ∵是的外角， ∴， ∵是角平分线 ∴ 在中，； 综上所述，的度数为或或或， 故答案为：或或或 ． 【变式7-2】如图，在中，．与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得；…；与的平分线相交于点，得．    （1）与之间的数量关系为______． （2）若的度数为整数，则n的值最大为______． 【答案】 6 【分析】（1）根据三角形的外角的性和角平分线的定义得到同理可得，……，即可得到； （2）由的度数为整数，，，即可得到n的值最大． 【详解】（1）由三角形的外角性质得，， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； 同理可得， 即， …… 则可得到， 故答案为： （2）∵ ∴， ∵的度数为整数，， ∴n的值最大为6， 故答案为：6 【变式7-3】在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是_______．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】此题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 模块二 课后作业 1．如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出的值． 【详解】解：由题意可知：， ∵在中，、的平分线是，， ∴， ∴． 故选：B． 2．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，，再由平角得出，利用三角形内角和定理得出，再由平行线的性质得出，即可求解 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 3．如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 根据折叠和平角的定义，求出，根据外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，若，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，，，再结合题意求解即可，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由三角形内角和定理可得：，，， ∴， 故选：C． 5．如图，中，点是延长线上的一点，于点的平分线与的平分线交于点．当时，则的度数为______．    【答案】/110度 【分析】如图所示，设交于点，根据可求出的关系，根据角平分线的性质可得的关系，由此可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，    ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则______°，______°． 【答案】 【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 又， ， ，解得：， 故答案为：，． 7．如图，在中，，，的平分线交于点，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质可求出的度数，判定①；根据角平分线的定义及三角形内角和定理可求出的度数，判定②；根据内外角平分线的性质求出，进而求出，再求出，判定③；根据邻补角的角平分线互相垂直判定④；根据平行线的判定条件分析⑤． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， ， ， ，故①正确； ，分别平分，， ，， ，故②错误； 平分，平分， ， ， 如图， 平分，平分 ，， ， ，故③正确； 平分，平分， ， ，故④正确； 若，则， ， ，即，题目未给出，故⑤不一定正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 8．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解： 沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 9．凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．【模型探究】（1）如图1，已知线段相交于点O，连接，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型． 甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵，∴ 同理可得，_____． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角，∴， 同理可得，______． ∴． 【模型应用】 （2）如图2，已知线段相交于点O，连接分别平分． ①若，求的度数． 解：∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知……（求解过程缺失） 请补全上面的求解过程； ②若，直接写出______（用含有和的代数式表示）． （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，则的度数为______． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，，，试问与、之间的数量关系为：______．（用、表示）； 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及对顶角相等． （1）通过三角形内角和定理以及外角建立角之间的关系； （2）①根据“八字”模型可知，，结合即可得到度数； ②将①中所求的整理一下即可； （3）设，，在两个三角形内，根据对顶角相等找到等量关系，得到，在另外两个三角形中，根据同样的办法得出新的等量关系，将代入即可； （4）通过识别图形中的 “飞镖” 结构，建立角的等式，再结合题目给出的角的比例关系，联立方程消去中间角，最终推导出数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴ 同理可得，． 又∵， ∴． 乙同学证明：∵是的外角， ∴， 同理可得，． ∴． 故答案为：；． （2）解：①∵分别平分， ∴． 由“八字”模型知： 在和中，， 在和中，， 将两式相减得：， ， ． ， 解得：． ②， ． 故答案为：． （3）解：直线平分平分， 设，， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 即． 故答案为：． （4）， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得． 第 1 页 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