第04讲 全等三角形及其性质（暑假预习讲义）新八年级数学新教材人教版

第04讲 全等三角形及其性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 全等图形 题型2 全等三角形的概念及表示方法 题型3 利用全等三角形的性质求角度 题型4 利用全等三角形的性质求线段长 题型5 利用全等三角形的性质证明线段或角相等 题型6 全等三角形的性质在图形变换中的应用 题型7 利用全等三角形的性质研究动点问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全等三角形 对应边相等 对应角相等 1.理解全等形、全等三角形的概念，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。 2.掌握全等三角形的表示方法，规范书写全等符号，做到对应顶点位置对齐。 3.熟记全等三角形的核心性质：对应边相等、对应角相等；理解并会运用推论：全等三角形周长、面积相等，对应中线、对应高线、对应角平分线相等。 4.能利用全等三角形的性质，进行边长、角度、周长、面积的计算与简单推理。 5.能在平移、旋转、翻转等变换后的图形中，快速找出全等三角形的对应元素。 学习重点：理解全等三角形的概念，掌握其对应边、对应角相等的性质并熟练运用。 学习难点：在图形变换后准确找出全等三角形的对应元素，规范完成几何推理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全等图形 1.全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. 2.特征： （1）形状相同； （2）大小相等； （3）对应边相等、对应角相等。 即时即练下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 全等三角形概念 1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 2.表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 即时即练下列命题中，是真命题的为（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．如果两个角相等，那么它们是对顶角 C．如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【易错提醒】 1.书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 2.找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 （3）有公共边的，公共边是对应边。 （4）有公共角的，公共角是对应角。 （5）有对顶角的，对顶角是对应角。 （6）两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 （7）由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角。 知识点03 全等三角形的性质 1.性质1：对应边相等：两个全等三角形的所有对应边长度相等。 2.性质2：对应角相等：两个全等三角形的所有对应角度数相等。 3.拓展延伸（常用推论）：由对应边、对应角相等可进一步推出： 全等三角形的周长相等； 全等三角形的面积相等； 全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的角平分线分别相等。 4.标准几何语言 若△ABC≌△DEF，则： 对应边：AB=DE，BC=EF，AC=DF 对应角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 即时即练如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 【易错提醒】 1.书写全等三角形时，对应顶点一一对应书写，否则会找错对应边、对应角。 2.全等三角形⟹ 周长相等、面积相等；周长/面积相等⟹ 三角形全等（反过来不成立）。 3.只有全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线才相等。 4.图形翻转、旋转、平移后得到的全等三角形，先锁定对应顶点，再依次找边和角，不跳步。 题型1 全等图形 【例1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 能够完全重合的图形即为全等图形，全等图形形状、大小完全相同。 【变式1-1】下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A．B． C． D． 题型2 全等三角形的概念及表示方法 【例1】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【技巧归纳】 记作△ABC≌△DEF时，对应顶点必须一一对应书写，据此快速确定对应边、对应角。 【变式2-1】下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 【变式2-2】已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 题型3 利用全等三角形的性质求角度 【例1】如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，，若，，则等于______． 【技巧归纳】 全等三角形对应角相等，结合三角形内角和、外角性质综合计算。 【变式3-1】如图，与相交于点，已知，，，则的度数为____． 【变式3-2】如图，已知，且点，，，在同一条直线上． (1)连接．若，，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 题型4 利用全等三角形的性质求线段长 【例1】如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则长为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【技巧归纳】 全等三角形对应边相等，结合线段和差关系求解长度。 【变式4-1】如图，，则___________． 【变式4-2】如图，在一条直线上，，，，，．求： (1)的长； (2)的度数． 题型5 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 【例1】如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【例2】如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求证：． 【变式5-1】如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【变式5-2】如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 题型6 全等三角形的性质在图形变换中的应用 【例1】如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（   ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【例2】两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则______（用含的代数式表示）． 【技巧归纳】 图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个三角形全等；变换只改变位置，对应边、对应角大小不变。 【变式6-1】如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转，连接BM，MN．若和全等，则点M表示的数为______．    【变式6-2】如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 题型7 利用全等三角形的性质研究动点问题 【例1】如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【例2】如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 __________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【技巧归纳】 动点运动过程中，始终保持三角形全等关系，对应边、对应角恒定不变；结合路程、速度、线段长度列等式求解。 【变式7-1】题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【变式7-2】综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 1．如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 3．如图，点在一条直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 5．图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 6．如图，．点在线段上，点在线段上．若，则的长为_____． 7．如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 8．如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 9．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，试说明： (1)； (2)满足什么条件时， 10．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 全等三角形及其性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 全等图形 题型2 全等三角形的概念及表示方法 题型3 利用全等三角形的性质求角度 题型4 利用全等三角形的性质求线段长 题型5 利用全等三角形的性质证明线段或角相等 题型6 全等三角形的性质在图形变换中的应用 题型7 利用全等三角形的性质研究动点问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全等三角形 对应边相等 对应角相等 1.理解全等形、全等三角形的概念，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。 2.掌握全等三角形的表示方法，规范书写全等符号，做到对应顶点位置对齐。 3.熟记全等三角形的核心性质：对应边相等、对应角相等；理解并会运用推论：全等三角形周长、面积相等，对应中线、对应高线、对应角平分线相等。 4.能利用全等三角形的性质，进行边长、角度、周长、面积的计算与简单推理。 5.能在平移、旋转、翻转等变换后的图形中，快速找出全等三角形的对应元素。 学习重点：理解全等三角形的概念，掌握其对应边、对应角相等的性质并熟练运用。 学习难点：在图形变换后准确找出全等三角形的对应元素，规范完成几何推理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全等图形 1.全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. 2.特征： （1）形状相同； （2）大小相等； （3）对应边相等、对应角相等。 即时即练下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 知识点02 全等三角形概念 1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 2.表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 即时即练下列命题中，是真命题的为（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．如果两个角相等，那么它们是对顶角 C．如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及直角三角形的性质、对顶角、全等三角形和三角形外角的性质，根据直角三角形的性质，两锐角互余是真命题；其他选项均存在反例，是假命题． 【详解】解：对于A：∵在直角三角形中，两锐角之和为，∴两锐角互余，故A是真命题． 对于B：两个角相等不一定是对顶角，∴B是假命题． 对于C：两个直角三角形面积相等不一定全等，例如直角边分别为和的三角形与直角边分别为和的三角形面积都是但不全等，∴C是假命题． 对于D：三角形的一个外角可能等于或小于某个内角，例如直角三角形中直角处的外角等于直角，∴D是假命题． 故选：A． 【易错提醒】 1.书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 2.找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 （3）有公共边的，公共边是对应边。 （4）有公共角的，公共角是对应角。 （5）有对顶角的，对顶角是对应角。 （6）两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 （7）由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角。 知识点03 全等三角形的性质 1.性质1：对应边相等：两个全等三角形的所有对应边长度相等。 2.性质2：对应角相等：两个全等三角形的所有对应角度数相等。 3.拓展延伸（常用推论）：由对应边、对应角相等可进一步推出： 全等三角形的周长相等； 全等三角形的面积相等； 全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的角平分线分别相等。 4.标准几何语言 若△ABC≌△DEF，则： 对应边：AB=DE，BC=EF，AC=DF 对应角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 即时即练如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 【答案】15 【分析】由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错提醒】 1.书写全等三角形时，对应顶点一一对应书写，否则会找错对应边、对应角。 2.全等三角形⟹ 周长相等、面积相等；周长/面积相等⟹ 三角形全等（反过来不成立）。 3.只有全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线才相等。 4.图形翻转、旋转、平移后得到的全等三角形，先锁定对应顶点，再依次找边和角，不跳步。 题型1 全等图形 【例1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 【例2】下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 【技巧归纳】 能够完全重合的图形即为全等图形，全等图形形状、大小完全相同。 【变式1-1】下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的概念，熟记全等图形的形状和大小都相同是解题的关键． 根据全等图形的概念，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状、大小都相同，是全等图形，符合题意； C、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； B、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，故本选项符合题意； D、组成图形的四个图形全等，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型2 全等三角形的概念及表示方法 【例1】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【例2】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【技巧归纳】 记作△ABC≌△DEF时，对应顶点必须一一对应书写，据此快速确定对应边、对应角。 【变式2-1】下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的定义，熟练掌握三角形全等的定义是解题的关键．全等三角形是指能够完全重合的三角形，因此选项C正确，其他选项均不能保证三角形全等． 【详解】解：对于A，形状相同的三角形的对应角相等，但对应边不一定相等，故不一定全等，不符合题意； 对于B，面积相等的三角形底和高可能不同，故不一定全等，不符合题意； 对于C，因为两个三角形全等的定义是它们能够完全重合，所以选项C是真命题，符合题意； 对于D，周长相等的三角形三边组合可能不同，故不一定全等，不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数． （1）若，，则伴生数为______； （2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______． 【答案】 4 13 【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可. 【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4； 当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13. 故答案为：4；13. 题型3 利用全等三角形的性质求角度 【例1】如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质得到的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【例2】如图，，若，，则等于______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【技巧归纳】 全等三角形对应角相等，结合三角形内角和、外角性质综合计算。 【变式3-1】如图，与相交于点，已知，，，则的度数为____． 【答案】/30度 【分析】利用全等三角形对应角相等得到，再根据和三角形内角和定理求出 ． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3-2】如图，已知，且点，，，在同一条直线上． (1)连接．若，，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由互补的定义得，由三角形内角和定理得到，再根据全等三角形的性质得； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到． 【详解】（1）解：点在同一条直线上，与互为补角， ， 在中，得， 由，得； （2）解：， ． ， ， ． 题型4 利用全等三角形的性质求线段长 【例1】如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ 【例2】如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键． 根据全等三角形对应边相等的性质可得，作差求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【技巧归纳】 全等三角形对应边相等，结合线段和差关系求解长度。 【变式4-1】如图，，则___________． 【答案】3 【分析】根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可求解． 【详解】解∶∵， ∴，， ∴． 【变式4-2】如图，在一条直线上，，，，，．求： (1)的长； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用全等三角形的性质得出，再根据线段的和差关系得出，即可解答；（2）根据，利用全等三角形的性质得出，再利用外角的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：， ． ， 即， ． 答：的长为． （2）解：， ． ， ． 答：的度数为． 题型5 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 【例1】如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）由全等三角形的性质得，再根据平行线的判定即可求证； （）利用全等三角形的性质解答即可求证； 本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． 【例2】如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的特征； （1）由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由全等三角形的性质得，，结合直角三角形两锐角互余得，即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故的长为； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-1】如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 又， ． 又， ． ． （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 【变式5-2】如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)直线与垂直，理由见解析 (2) 【分析】本题综合考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质(内错角相等)，涉及角的和差运算． （1）通过全等转化角度，结合三角形内角和判定垂直； （2）复用前一问结论，结合平行线性质完成角度计算． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴． ∵， ∴． 题型6 全等三角形的性质在图形变换中的应用 【例1】如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（   ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转与平移的性质，无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的． 【详解】解：∵， ∴，，， A、经过平移距离为的长，和重合，点A不重合，故不能与重合，故A选项错误，符合题意； B、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； C、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； D、将绕的中点逆时针旋转，和重合，点A不重合，故不能与重合，正确，不符合题意． 故选：A． 【例2】两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则______（用含的代数式表示）． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的全等的性质，角平分线的定义，平行线的性质， 根据角平分线的定义求出，利用，得，可得， 根据平行线的性质，分四种情况求解即可， 【详解】解：当点G在点A下方且点H在点F上方时，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， 当点G在点A下方且点H在点F下方时，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， 当点G在点A下方且点H在点E下方时，如图， ， ， 当点G在点A上方时，如图， ， ， 平分， ， ， ， 综上，的度数为． 故答案为：或或． 【技巧归纳】 图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个三角形全等；变换只改变位置，对应边、对应角大小不变。 【变式6-1】如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转，连接BM，MN．若和全等，则点M表示的数为______．    【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，根据全等三角形的性质得出或进而结合数轴即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∵和全等， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【变式6-2】如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，对应边：与与与；对应角：与与与 (2)垂直，见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键： （1）根据全等三角形的定义，以及全等三角形的性质，进行作答即可； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：； ∵绕着点B旋转（顺时针）到， ∴， ∴对应边为：与与与； 对应角为：与与与； （2）直线与相互垂直，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相互垂直． 题型7 利用全等三角形的性质研究动点问题 【例1】如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 【例2】如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 __________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 【技巧归纳】 动点运动过程中，始终保持三角形全等关系，对应边、对应角恒定不变；结合路程、速度、线段长度列等式求解。 【变式7-1】题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 【变式7-2】综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 1．如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识．根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 2．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． 3．如图，点在一条直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质．先根据全等三角形的性质得到，则可判断，然后利用可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， 故选：C． 4．如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况讨论：①，②，继而可解． 【详解】解：设两点所用的时间为，则，，， 中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则，， 则，解得； 若，则 则， 解得， 的值为：或2； 故选：C． 5．图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】 2或3 【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点的运动速度为时，有，，，当与全等时，需要分和两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于、的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点的运动速度为时，与全等， 则有，，， 当时， 可得：，， ，， ， 解得：， 点的运动速度为； 当时， 可得：，， ， 解得：， 点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：；或． 6．如图，．点在线段上，点在线段上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是关键；由全等三角形的性质得，结合得，由平行线的判定即可证明． 【详解】解：， ． ， ． ． 8．如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质； （1），由可得，即可求解； （2）由可得，再由为的外角，可得，即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 即. 9．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，试说明： (1)； (2)满足什么条件时， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等． （1）利用全等三角形的性质可得，，然后再等量代换即可； （2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴ ∴． 10．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $