江苏省南京市联合体2025-2026学年八年级下学期数学期末模拟试卷

**基本信息** 以几何探究、实际应用和动手操作为载体，通过梯形中位线证明、营养品利润计算、正方形折叠等问题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配八年级期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|6/12|随机事件、分式值为零、数轴化简|结合生活情境（射击频率）考查基础概念| |填空|10/20|分解因式、函数意义、平移面积|通过纸条交叉、折叠问题渗透几何直观| |解答|11/88|平行四边形证明、统计图表分析、动态几何（翻折）|25题梯形中位线探究培养推理意识，26题利润计算强化应用意识，27题动态翻折问题发展空间观念|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是随机事件的是(    ) A. 通常温度降到以下，纯净的水结冰； B. 明天太阳从东方升起； C. 购买张彩票，中奖； D. 任意画一个三角形，其内角和是； 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依据定义随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，即可判断． 【解答】 解：通常温度降到以下，纯净的水结冰，是必然事件，不符合题意； B.明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； C.买一张彩票中奖，可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意； D.三角形内角和是，因此三角形内角和是是不可能事件，不符合题意． 故选C． 2.小明在一次射击训练中，共射击发，成绩如下单位：环：，，，，，，，，，，则中靶环的频率是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.若分式的值为零，则的值是(    ) A. 或 B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了分式值为零的条件，分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．根据分式的分子为；分母不为，可得答案． 【解答】 解：由分式的值为零，得 由， 解得，不符合题意要舍去． 故选C． 4.实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握相关性质是解题关键．利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可． 【解答】 解：，，， ， ． 故选C． 5.如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，得到，则与正方形的面积比为(    ) A. ： B. ： C. ： D. 【答案】C  【解析】解：过作于， 由题意得，是等边三角形， ， 四边形是正方形， ， ， ， 设正方形的边长为，则， ， ，， 与正方形的面积比为：， 故选：． 过作于，根据等边三角形的性质得到求得，得到，求得，根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，正方形和三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 6.如图，在中，，，点在上，且，点是上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，，当时，线段长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，分别过点，作的垂线，垂足为，，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ，， ， 又点和点分别是线段和的中点， 和分别是和的中位线， ，， ，， ， ，， 设， ，， 在中，， 在中，， ， ， 解得，即， 在中，． 故选A． 分别过点，作的垂线，垂足为，，过点作于点，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段和的长，建立等式可求出结论． 本题主要考查三角形的中位线定理，以及矩形的判定与性质． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.分解因式：         ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了因式分解的提公因式法和完全平方公式依据因式分解的基本思路：有公因式的先提公因式然后再对照公式进行分解再结合完全平方公式：进行分解即可． 【解答】 解： ． 故答案为． 8.使式子有意义的的取值范围是______． 【答案】且  【解析】【分析】 分体考查的是二次根式的概念及分式有意义的条件有关知识，首先根据二次根式的概念可知：，根据分式有意义的条件可知：，即可解答． 【解答】 解：由题意可得： ，， 解得：且． 故答案为且． 9.某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间单位：分钟后，绘制了频数分布直方图，从左到右的前个长方形相对应的频率之和为，最后一组的频数是，则此次抽样调查的人数为______人．注：横轴上每组数据包含最小值不包含最大值 【答案】  【解析】解：由题意可知：最后一组的频率， 则此次抽样调查的人数为：人； 故答案为：． 根据直方图中各组的频率之和等于，结合题意可得最后一组的频率，再由频率的计算公式可得总人数． 本题考查了频数分布直方图的知识，解题的关键是牢记公式：频率频数总数． 10.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____精确到． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率是解本题的关键． 观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种油菜发芽的概率． 【解答】 解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在附近，  则这种油菜籽发芽的概率是，  故答案为． 11.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，当线段时，线段的长为______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．由条件可知，，可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得到． 【解答】 解：由条件可知，， 四边形为平行四边形， ． 故答案为． 12.如图所示，把直角梯形沿方向平移到梯形，，，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平移的性质有关知识，根据平移的性质得，则，由于，所以，然后根据梯形的面积公式计算． 【解答】 解：直角梯形沿方向平移到梯形， ， ， ， 13.已知，则代数式           【答案】  【解析】【分析】 此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算，未知数的值已给出，利用代入法即可求出． 【解答】 解：把代入代数式得： ． 故答案为． 14.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以，再除以它与的和，多次重复进行这种运算的过程如图所示．若第次运算所得的结果是，求输入的的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查了分式的混合运算，分式方程的解法熟练掌握运算法则及解分式方程的方法是解本题的关键根据计算程序，以此类推先得到的值，再将结果等于，可求出输入的值． 【解答】 解：根据题意得：， ， ，  以此类推，得到，  ， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，输入的值是． 故答案为． 15.取一张正方形纸片，先折叠成两个全等的矩形得到折痕，然后展开，再把沿折叠，使点落在折痕上，则的度数为____． 【答案】  【解析】【分析】 本题是折叠问题，主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及等边三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 先连接，根据折叠的性质，得出是等边三角形，进而得出，再根据进行计算即可． 【解答】 解：连接， 由折叠可得，， 是正方形的对称轴， ， ， 是等边三角形， ， 由折叠可得，， 故答案为． 16.如图，在正方形中，，与交于点，为的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】如图，过点作于点，作点关于直线的对称点， 连接，，则，所以． 因为，所以当为直线与直线的交点时， 取最大值，且最大值即为的长． 因为四边形为正方形，所以，，， 所以，，所以． 因为，所以，所以，所以为的中点． 因为为的中点，所以为的中点，所以为的中位线， 所以，所以的最大值为． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算               ． 【答案】解：原式 ； 原式 ．  【解析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 先把二次根式化简，再按照运算法则进行计算； 先利用平方差公式和完全平方公式将式子展开，再按照运算法则进行计算． 18.本小题分解方程：           【答案】解： 去分母得： 移项合并得： 系数化为得： 经检验得：是原方程的解， 原分式方程的解是； 去分母得：， 移项合并得：， 系数化为得： 经检验是增根， 分式方程无解．  【解析】本题考查分式方程的一般解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验可知该分式方程无解． 19.本小题分 已知：，， 若，求的值；若，比较与的大小关系． 【答案】解：由，得 ， 即， 解得； 当时， ， ．  【解析】本题考查了分式的值，利用分式的值得出方程是解题关键． 根据分式的值相等，可得关于的方程，根据解方程，可得答案； 根据作差法，可得答案． 20.本小题分 如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接． 求证：四边形为平行四边形； 若，，，求的度数． 【答案】证明：，， 为的中位线， ，， 又是的中点， ， ． 又四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形； 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ．  【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 证明为的中位线，得出，，证出，由平行四边形的性质得出，，得出，，即可得出结论； 由平行四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出，得出，即可得出结果． 21.本小题分 为了解年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作了不完整的统计表和统计图． 分数分 频数 百分比 请根据图表提供的信息，解答下列问题： 本次调查的样本容量为               在表中：            ，              补全频数分布直方图 如果比赛成绩在分以上含分为优秀，那么你估计参加该竞赛项目的的人中，优秀人数大约是            ． 【答案】解：； ；； 如图： ．  【解析】【分析】 本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表、中位数等知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 利用第一组的频数除以频率即可得到样本容量； 即为组频率即的值；即为组频数即的值； 根据组频数即可补全频数分布直方图； 将比赛成绩分以上的两组数的频率相加，再乘以即可得到结果． 【解答】 解：此次调查的样本容量为； 故答案为； ；； 故答案为，； 见答案； ． 故答案为． 22.本小题分 将图中的型、型、型矩形纸片分别放在个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这个盒子装入一只不透明的袋子中． 搅匀后从中摸出个盒子，求摸出的盒子中是型矩形纸片的概率； 搅匀后先从中摸出个盒子不放回，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率不重叠无缝隙拼接． 【答案】解：搅匀后从中摸出个盒子有种等可能结果， 所以摸出的盒子中是型矩形纸片的概率为； 画树状图如下： 由树状图知共有种等可能结果，其中次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有种结果， 所以次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为．  【解析】直接利用概率公式计算可得； 画树状图得出所有等可能结果，从中找打次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得． 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 23.本小题分 先阅读，后解答： 由根式的性质计算下列式子得： ，，，，． 由上述计算，请写出_______________；为任意实数． 利用中的结论，直接写出下列问题的结果： _____________________；化简：_____________________． 应用：若，则的取值范围是____________________． 【答案】解：； ；；  【解析】【分析】 本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；；尤其是第个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第小题，要分情况进行讨论． 将分为正数、、负数三种情况得出结果； 当，时，根据中的结论可知，得其相反数，即得； 先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果； 根据式得：，然后分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别计算，哪一个结果为，哪一个就是它的取值． 【解答】 解：； ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； ， 当时，，， 所以原式． 当时，，． 所以原式， 当时，，， 所以原式． ， 所以的取值范围是， 故答案为． 24.本小题分 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设 原式第一步       第二步             第三步    第四步 回答下列问题： 该同学第二步到第三步运用了因式分解的________． A.提取公因式                  平方差公式 C.两数和的完全平方公式        两数差的完全平方公式 该同学因式分解的结果是否彻底？________填“彻底”或“不彻底” 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________ ． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】； 不彻底； ；  设 ，    【解析】本题主要查看完全平方公式以及换元法的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键。 根据“ ”可知，运用的是两数和的完全平方公式； 还可以分解为，所以是不彻底；  ，按照例题的分解方法进行分解即可。 25.本小题分 我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 在中，、分别是、的中点，通过延长至，使，连接，易证：且． 【探究学习】 如果将截去，剩下掷形且，取、的中点、，连接，则叫梯形的中位线，探索与和的关系写出结论______，请证明你的结论； 【学以致用】 在梯形中，，，，、分别是、的中点，，求梯形的面积． 【答案】且  【解析】解：探究学习 连接并延长交延长线于， 梯形且， ， 是的中点， ， 又， ≌， ， 又是的中点， 是的中位线， 且， 且． 故结论为：且． 学以致用 、分别是、的中点，， ， 过点作于点， ，， ， ． 探究学习连接并延长交延长线于，易证≌，则可得，因此是的中位线．根据三角形的中位线的性质可得且 由此可得且． 学以致用由梯形的中位线的性质可得，过点作于点，根据三角函数的定义求出的长，最后再根据梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及梯形的面积公式，熟练掌握三角形中位线的判定和性质，灵活运用转化的思想解决问题是解题的关键． 26.本小题分 某公司生产的一种营养品信息如表已知甲食材每千克的进价是乙食材的倍，用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 毫克 乙食材 毫克 规格 每包食材含量 每包单价 包装 千克 元 包装 千克 元 问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？ 该公司每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． 问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出若包装的数量不低于包装的数量，则包装为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 【答案】(1)解：设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元. 由题意，得，解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意.（元）. 答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元.   (2)①设每日购进甲食材千克，乙食材千克，由题意得 解得 答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克. ②设包装为包，则包装为包， A包装的数量不低于B包装的数量，，， 设总利润为元，根据题意，得 ，随的增大而减小，当时，的最大值为2800. 答：当包装为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元.   【解析】 略  略 27.本小题分 在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． 若为上一点．  如图，当点落在边上时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的点不写作法，保留作图痕迹，并直接写出此时________；  如图，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； 如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【答案】解：作图如图所示：   ，， ， ． 故答案为； ，如图， 由折叠可知， ，， ，， ， ，  又， ， ． 当时，如图，易得； 当时，如图，中，，， ， ， 设，则 即 当时不成立 综上或．  【解析】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 按要求作出图形，根据勾股定理求出的长； 根据折叠的性质和平行线的性质得到，从而得出结论； 分三种情况，当时，当时，当时，结合勾股定理分别求出的长． 第17页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8. 且  9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17. 解：原式 ； 原式 ．  18. 解： 去分母得： 移项合并得： 系数化为得： 经检验得：是原方程的解， 原分式方程的解是； 去分母得：， 移项合并得：， 系数化为得： 经检验是增根， 分式方程无解．  19. 解：由，得 ， 即， 解得； 当时， ， ．  20. 证明：，， 为的中位线， ，， 又是的中点， ， ． 又四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形； 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ．  21. 解：； ；； 如图： ．  22. 解：搅匀后从中摸出个盒子有种等可能结果， 所以摸出的盒子中是型矩形纸片的概率为； 画树状图如下： 由树状图知共有种等可能结果，其中次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有种结果， 所以次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为．  23. 解：； ；；  24. ； 不彻底； ；  设 ，    25. 且  26. 【小题】 解：设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元 由题意，得，解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意．元． 答：甲食材每千克进价为元，乙食材每千克进价为元． 【小题】 设每日购进甲食材千克，乙食材千克，由题意得 解得 答：每日购进甲食材千克，乙食材千克． 设包装为包，则包装为包， 包装的数量不低于包装的数量，，， 设总利润为元，根据题意，得 ，随的增大而减小，当时，的最大值为． 答：当包装为包时，总利润最大，最大总利润为元．   27. 解：作图如图所示：   ，， ， ． 故答案为； ，如图， 由折叠可知， ，， ，， ， ，  又， ， ． 当时，如图，易得； 当时，如图，中，，， ， ， 设，则 即 当时不成立 综上或．  【解析】 1. 【分析】 本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依据定义随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，即可判断． 【解答】 解：通常温度降到以下，纯净的水结冰，是必然事件，不符合题意； B.明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； C.买一张彩票中奖，可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意； D.三角形内角和是，因此三角形内角和是是不可能事件，不符合题意． 故选C． 2. 略 3. 【分析】 本题考查了分式值为零的条件，分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．根据分式的分子为；分母不为，可得答案． 【解答】 解：由分式的值为零，得 由， 解得，不符合题意要舍去． 故选C． 4. 【分析】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握相关性质是解题关键．利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可． 【解答】 解：，，， ， ． 故选C． 5. 解：过作于， 由题意得，是等边三角形， ， 四边形是正方形， ， ， ， 设正方形的边长为，则， ， ，， 与正方形的面积比为：， 故选：． 过作于，根据等边三角形的性质得到求得，得到，求得，根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，正方形和三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 6. 解：如图，分别过点，作的垂线，垂足为，，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ，， ， 又点和点分别是线段和的中点， 和分别是和的中位线， ，， ，， ， ，， 设， ，， 在中，， 在中，， ， ， 解得，即， 在中，． 故选A． 分别过点，作的垂线，垂足为，，过点作于点，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段和的长，建立等式可求出结论． 本题主要考查三角形的中位线定理，以及矩形的判定与性质． 7. 【分析】 本题主要考查了因式分解的提公因式法和完全平方公式依据因式分解的基本思路：有公因式的先提公因式然后再对照公式进行分解再结合完全平方公式：进行分解即可． 【解答】 解： ． 故答案为． 8. 【分析】 分体考查的是二次根式的概念及分式有意义的条件有关知识，首先根据二次根式的概念可知：，根据分式有意义的条件可知：，即可解答． 【解答】 解：由题意可得： ，， 解得：且． 故答案为且． 9. 解：由题意可知：最后一组的频率， 则此次抽样调查的人数为：人； 故答案为：． 根据直方图中各组的频率之和等于，结合题意可得最后一组的频率，再由频率的计算公式可得总人数． 本题考查了频数分布直方图的知识，解题的关键是牢记公式：频率频数总数． 10. 【分析】 此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率是解本题的关键． 观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种油菜发芽的概率． 【解答】 解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在附近，  则这种油菜籽发芽的概率是，  故答案为． 11. 【分析】 本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．由条件可知，，可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得到． 【解答】 解：由条件可知，， 四边形为平行四边形， ． 故答案为． 12. 【分析】 本题考查了平移的性质有关知识，根据平移的性质得，则，由于，所以，然后根据梯形的面积公式计算． 【解答】 解：直角梯形沿方向平移到梯形， ， ， ， 13. 【分析】 此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算，未知数的值已给出，利用代入法即可求出． 【解答】 解：把代入代数式得： ． 故答案为． 14. 【分析】 此题考查了分式的混合运算，分式方程的解法熟练掌握运算法则及解分式方程的方法是解本题的关键根据计算程序，以此类推先得到的值，再将结果等于，可求出输入的值． 【解答】 解：根据题意得：， ， ，  以此类推，得到，  ， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，输入的值是． 故答案为． 15. 【分析】 本题是折叠问题，主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及等边三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 先连接，根据折叠的性质，得出是等边三角形，进而得出，再根据进行计算即可． 【解答】 解：连接， 由折叠可得，， 是正方形的对称轴， ， ， 是等边三角形， ， 由折叠可得，， 故答案为． 16. 如图，过点作于点，作点关于直线的对称点， 连接，，则，所以． 因为，所以当为直线与直线的交点时， 取最大值，且最大值即为的长． 因为四边形为正方形，所以，，， 所以，，所以． 因为，所以，所以，所以为的中点． 因为为的中点，所以为的中点，所以为的中位线， 所以，所以的最大值为． 17. 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 先把二次根式化简，再按照运算法则进行计算； 先利用平方差公式和完全平方公式将式子展开，再按照运算法则进行计算． 18. 本题考查分式方程的一般解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验可知该分式方程无解． 19. 本题考查了分式的值，利用分式的值得出方程是解题关键． 根据分式的值相等，可得关于的方程，根据解方程，可得答案； 根据作差法，可得答案． 20. 本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 证明为的中位线，得出，，证出，由平行四边形的性质得出，，得出，，即可得出结论； 由平行四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出，得出，即可得出结果． 21. 【分析】 本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表、中位数等知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 利用第一组的频数除以频率即可得到样本容量； 即为组频率即的值；即为组频数即的值； 根据组频数即可补全频数分布直方图； 将比赛成绩分以上的两组数的频率相加，再乘以即可得到结果． 【解答】 解：此次调查的样本容量为； 故答案为； ；； 故答案为，； 见答案； ． 故答案为． 22. 直接利用概率公式计算可得； 画树状图得出所有等可能结果，从中找打次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得． 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 23. 【分析】 本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；；尤其是第个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第小题，要分情况进行讨论． 将分为正数、、负数三种情况得出结果； 当，时，根据中的结论可知，得其相反数，即得； 先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果； 根据式得：，然后分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别计算，哪一个结果为，哪一个就是它的取值． 【解答】 解：； ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； ， 当时，，， 所以原式． 当时，，． 所以原式， 当时，，， 所以原式． ， 所以的取值范围是， 故答案为． 24. 本题主要查看完全平方公式以及换元法的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键。 根据“ ”可知，运用的是两数和的完全平方公式； 还可以分解为，所以是不彻底；  ，按照例题的分解方法进行分解即可。 25. 解：探究学习 连接并延长交延长线于， 梯形且， ， 是的中点， ， 又， ≌， ， 又是的中点， 是的中位线， 且， 且． 故结论为：且． 学以致用 、分别是、的中点，， ， 过点作于点， ，， ， ． 探究学习连接并延长交延长线于，易证≌，则可得，因此是的中位线．根据三角形的中位线的性质可得且 由此可得且． 学以致用由梯形的中位线的性质可得，过点作于点，根据三角函数的定义求出的长，最后再根据梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及梯形的面积公式，熟练掌握三角形中位线的判定和性质，灵活运用转化的思想解决问题是解题的关键． 26.  略  略 27. 本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 按要求作出图形，根据勾股定理求出的长； 根据折叠的性质和平行线的性质得到，从而得出结论； 分三种情况，当时，当时，当时，结合勾股定理分别求出的长． 第2页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是随机事件的是(    ) A. 通常温度降到以下，纯净的水结冰； B. 明天太阳从东方升起； C. 购买张彩票，中奖； D. 任意画一个三角形，其内角和是； 2.小明在一次射击训练中，共射击发，成绩如下单位：环：，，，，，，，，，，则中靶环的频率是(    ) A. B. C. D. 3.若分式的值为零，则的值是(    ) A. 或 B. C. D. 4.实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，得到，则与正方形的面积比为(    ) A. ： B. ： C. ： D. 6.如图，在中，，，点在上，且，点是上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，，当时，线段长为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.分解因式：         ． 8.使式子有意义的的取值范围是______． 9.某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间单位：分钟后，绘制了频数分布直方图，从左到右的前个长方形相对应的频率之和为，最后一组的频数是，则此次抽样调查的人数为______人．注：横轴上每组数据包含最小值不包含最大值 10.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____精确到． 11.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，当线段时，线段的长为______． 12.如图所示，把直角梯形沿方向平移到梯形，，，，则阴影部分的面积为_______． 13.已知，则代数式           14.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以，再除以它与的和，多次重复进行这种运算的过程如图所示．若第次运算所得的结果是，求输入的的值为          ． 15.取一张正方形纸片，先折叠成两个全等的矩形得到折痕，然后展开，再把沿折叠，使点落在折痕上，则的度数为____． 16.如图，在正方形中，，与交于点，为的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算               ． 18.本小题分解方程：           19.本小题分 已知：，， 若，求的值；若，比较与的大小关系． 20.本小题分 如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接． 求证：四边形为平行四边形； 若，，，求的度数． 21.本小题分 为了解年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作了不完整的统计表和统计图． 分数分 频数 百分比 请根据图表提供的信息，解答下列问题： 本次调查的样本容量为               在表中：            ，              补全频数分布直方图 如果比赛成绩在分以上含分为优秀，那么你估计参加该竞赛项目的的人中，优秀人数大约是            ． 22.本小题分 将图中的型、型、型矩形纸片分别放在个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这个盒子装入一只不透明的袋子中． 搅匀后从中摸出个盒子，求摸出的盒子中是型矩形纸片的概率； 搅匀后先从中摸出个盒子不放回，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率不重叠无缝隙拼接． 23.本小题分 先阅读，后解答： 由根式的性质计算下列式子得： ，，，，． 由上述计算，请写出_______________；为任意实数． 利用中的结论，直接写出下列问题的结果： _____________________；化简：_____________________． 应用：若，则的取值范围是____________________． 24.本小题分 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设 原式第一步       第二步             第三步    第四步 回答下列问题： 该同学第二步到第三步运用了因式分解的________． A.提取公因式                  平方差公式 C.两数和的完全平方公式        两数差的完全平方公式 该同学因式分解的结果是否彻底？________填“彻底”或“不彻底” 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________ ． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 25.本小题分 我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 在中，、分别是、的中点，通过延长至，使，连接，易证：且． 【探究学习】 如果将截去，剩下掷形且，取、的中点、，连接，则叫梯形的中位线，探索与和的关系写出结论______，请证明你的结论； 【学以致用】 在梯形中，，，，、分别是、的中点，，求梯形的面积． 26.本小题分 某公司生产的一种营养品信息如表已知甲食材每千克的进价是乙食材的倍，用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 毫克 乙食材 毫克 规格 每包食材含量 每包单价 包装 千克 元 包装 千克 元 问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？ 该公司每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． 问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出若包装的数量不低于包装的数量，则包装为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 27.本小题分 在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． 若为上一点．  如图，当点落在边上时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的点不写作法，保留作图痕迹，并直接写出此时________；  如图，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； 如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，是随机事件的是() A.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰； B.明天太阳从东方升起： C.购买1张彩票，中奖： D.任意画一个三角形，其内角和是360°： 2.小明在一次射击训练中，共射击10发，成绩如下（单位：环）：8,7,7,8,9,8,7,7,10,8，则中 靶8环的频率是() A.0.1 B.02 C.0.3 D.0.4 x2-4 3.若分式2-x一2的值为零，则x的值是() A.2或-2 B.2 C.-2 D.4 4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，且la>bl,则化简a2-la+b1的结果为() a 0 A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b 5.如图，在正方形ABCD中，分别以点B,C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点E,连接AE,BE得到△ ABE,则△ABE与正方形ABCD的面积比为() A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:3 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5,点D在AC上，且AD=2,点E是AB上的动点，连接DE, 点F,G分别是BC和DE的中点，连接AG,FG,当AG=FG时，线段DE长为() 第1页，共9页 A.V13 c图 D.4 D G E 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.分解因式：2x2-4xy+2y2=一· 8使式子有意义的的取值范周是 9.某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间（单位：分钟）后，绘制了频数分布直方图，从左到右 的前5个长方形相对应的频率之和为0.8，最后一组的频数是10，则此次抽样调查的人数为人，（注： 横轴上每组数据包含最小值不包含最大值) 某校部分学生假期读书时间 频数分布直方图 学生人数 0306090120150180时间/分钟 10.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 (精确到0.1). 第2页，共9页 11.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD,当线段AD=13 时，线段BC的长为 D 12.如图所示，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EGFD,HG=12cm,WG=4cm,WC=3cm,则阴 影部分的面积为 cm2. A B E D H G 13.己知x=2-V3,则代数式(7+4V3)x2+(2+√3)x+V3= 14.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如 图所示.若第8次运算所得的结果是 17 ,求输入的x的值为 2x 2y1 2y2 输入x 第1次 y*1 第2次 2= y+1 第3次 3 t1 15.取一张正方形纸片，先折叠成两个全等的矩形得到折痕EF,然后展开，再把△CBH沿BH折叠，使C点落 在折痕EF上，则∠CBH的度数为 D E (A)D E D ! F(B)C 16.如图，在正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于点O,N为OA的中点，点M在边BC上，且BM=6,P为 对角线BD上一点，则PM一PN的最大值为 第3页，共9页 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题6分)计算 (1)W⑧+V12-22 (2)(1-V5(5+1)+(5-1)2. 18(体小题6分)解方程：(a-+1-23x； 19.(本小题6分) a+2,B=Q+3 已知：A-a+1 -a+41 (1)若A=1-。年2求m的值：(2)若a>0,比较A与B的大小关系。 20.(本小题8分) 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE,连接EC并延长，使CG= CE,连接FGH为FG的中点，连接DH. G (1)求证：四边形AFHD为平行四边形： (2)若CB=CE,∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数. 21.(本小题8分) 为了解2020年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成 第4页，共9页 绩，整理并制作了不完整的统计表和统计图. 个频数（人） 120----------------- 90 60 30 0 60708090100分数（分） 分数x(分) 频数 百分比 60≤x<70 30 10% 70≤x<80 90 80≤x<90 m 40% 90≤X≤100 60 20% 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为； (2)在表中：m=,n= (3)补全频数分布直方图； (4)如果比赛成绩在80分以上（含80分）为优秀，那么你估计参加该竞赛项目的的30000人中，优秀人数大约 是 22.(本小题8分) 将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子 装入一只不透明的袋子中， A B (1)搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率： (2)搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能 拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接） 23.(本小题8分) 先阅读，后解答： 第5页，共9页 (1)由根式的性质计算下列式子得： @3=3.②③2-@，-=5：④-57=5.⑤0=0. 由上述计算，请写出va2 ： (a为任意实数). (2)利用(1)中的结论，直接写出下列问题的结果： ①W3.14-π)2= ②化简：Vx2-4x+4(x<2)=」 (3)应用：若√x-5)2+√x-8)=3,则x的取值范围是 24.(本小题8分) 下面是某同学对多项式(x2一4x+2)·(x2-4x+6+4进行因式分解的过程.解：设x2一4x=y 原式=(y+2)y+6)+4(第一步) =y2+8y+16 (第二步) =+4)2 (第三步) =(x2-4比+4)2（第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式 B.平方差公式 C两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”) 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解. 25.(本小题10分) 我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. 第6页，共9页 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，通过延长DE至F,使DE=FE,连接CF,易证：DE//BC且DE -2BC. y D E ◇ 【探究学习】 如果将△ADE截去，剩下掷形BCED且DE//BC,取BD、CE的中点M、N,连接MN,则MN叫梯形BCED 的中位线，探索MN与BC和DE的关系.写出结论一一，请证明你的结论： D M N 【学以致用】 在梯形BCED中，DE//BC,LB=30°，BD=8Cm,M、N分别是BD、CE的中点，MN=12cm,求梯形 BCED的面积. D E M 衣 B 26.(本小题10分) 第7页，共9页 某公司生产的一种营养品信息如表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20 元购买的乙食材多1千克. 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 原料 每千克含铁 配料表 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 规格 每包食材含量每包单价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 (1)问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完. ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ ②己知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出.若A包装的数量不低于B包装的数量，则A包 装为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 27.(本小题10分) 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10,BC=AD=6,P为射线BC上一点，将△ 第8页，共9页 ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处. D 图1 图2 图3 (1)若P为BC上一点. ①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E(不写作法，保留作图痕迹)， 并直接写出此时CE=一一一一： ②如图2，连接CE,若CE/AP,则BP与BC有何数量关系？请说明理由； (2)如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长。 第9页，共9页