第5天 三角中的最值、范围及证明问题 每日专项练习- 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角最值、范围及证明，通过典型模拟题构建三角函数与解三角形知识网络，强化推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数性质|1道|含三角恒等变换的周期与最值问题|三角函数化简→辅助角公式→性质应用| |解三角形综合|3道|涉及求角、线段最值、范围证明的综合题|正余弦定理→边角转化→函数/不等式求最值|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第5天 三角中的最值、范围及证明问题 1.解　(1)由辅助角公式得 f(x)=sin x+cos x=sin, 则y= = =2sin2 =1-cos =1-sin 2x, 所以该函数的最小正周期T==π. (2)由题意,y=f(x)f =sin·sin x =2sinsin x =2sin x· =sin2 x+sin xcos x =·+sin 2x =sin 2x-cos 2x+ =sin+, 由x∈可得 2x-∈, 所以当2x-=即x=时,函数取最大值1+. 2.解　(1)因为=, 所以=, 即b2+c2-a2=-bc, 可得cos A===-, 因为0<A<π,所以A=. (2)由S△ABC=S△ABM+S△ACM可得, bc·=c·+b··, 即bc=2c+b,可得+=1, 所以2b+c=(2b+c) =4+++1≥9, 当且仅当b=c=3时等号成立, 所以2b+c的最小值为9. 3.解　(1)在△ABC中,因为A+B+C=π, 所以sin A(sin A-sin C)=sin2 B-sin2 C, 得到sin2 A-sin Asin C=sin2 B-sin2 C, 由正弦定理可得a2-ac=b2-c2, 则a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得cos B==, 因为B∈(0,π),所以B=. (2)在△ABC中,因为∠BPC=2∠A, 所以∠ABP=∠A,则=, 由正弦定理得= ==, 则== =-1+, 又因为∠PBC=-A, 所以A∈,则tan A∈(0,), 结合函数性质可得-1+∈(1,+∞),故的取值范围为(1,+∞). 4.(1)证明　∵由正弦定理得5(a2-b2)=3c2, ∴cos B===, ∴5acos B=4c, ∴5sin Acos B=4sin C=4sin(A+B) =4sin Acos B+4cos Asin B, ∴sin Acos B=4cos Asin B, ∴tan A=4tan B. (2)解　tan C=-tan(A+B)=- =-= ∵<B<, ∴<tan B<1, 令tan B=t, ∴<t<1, tan C=,令y=4t-, 由于y=4t,y=-, 在t∈上单调递增,则函数y=4t-也在t∈上单调递增. ∴<4t-<3, ∴<tan C<5, 即tan C的取值范围为. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第5天 三角中的最值、范围及证明问题 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 1.(2025·湖北高中协作体一模)设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R). (1)求函数y=的最小正周期; (2)求函数y=f(x)f在[0,]上的最大值. 2.(2025·威海统考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=. (1)求A; (2)已知M是边BC上的点,AM⊥AB,AM=,求2b+c的最小值. 3.(2025·湖北七市联调)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin A(sin A-sin C)=sin2(A+C)-sin2 C. (1)求B; (2)若P为边AC上一点(异于端点),∠BPC=2∠A,求的取值范围. 4.(2025·如皋模拟)已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,5(asin A-bsin B)=3csin C. (1)求证:tan A=4tan B; (2)若B∈,求tan C的取值范围. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $