练案(29)高考大题范解答高考中三角函数综合问题的点题型-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习提能训练（新教材）

练案[29]高考大题规范解答一高考中三角函数综合问题的热点题型 酯A组基础巩固易 4.(2023·四川成都实验外国语学校月考)在△ABC中 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且5(sinA+ 1.(2023·天津高考试题)在△ABC中，角A,B,C所对的 sin C)b =12asin C. 边分别是a,b,c.已知a=√39，b=2,A=120 (1)若a=2b-c,求cosB的值. (1)求sinB的值： (2)是否存在△ABC,满足B为直角？若存在，求出 (2)求c的值： △ABC的面积：若不存在，请说明理由， (3)求sin(B-C)的值. 2.(2022·广东汕头一模)在①C=2B:②△ABC的面积 的B组能力提升 为：③n(B+G0=号这三个条件中任选-个，补充1.(22·新课标，17,10分)记△1BC的内角A.B,C 在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值：若 的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为√3，D为BC 问题中的三角形不存在，说明理由.。 的中点，且AD=1. 问题：是否存在△ABC,a,b,c分别为内角A,B,C的对 边，a=1,b=2, （1)若∠ADc=号求mB: 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 (2)若b2+c2=8,求b,e 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(b- 3.(2023·广东佛山二模)已知△ABC为锐角三角形，且 c)(sin B-sin C)=asin A-bsin C. cos A+sin B=3 sin A cos B). (1)求角A的大小： (2)求sinB+sinC的取值范围. (1)若C=号，求A: (2)已知点D在边AC上，且AD=BD=2,求CD的取 值范围。 -335 3.(2024·河南省南阳市新野县第一高级中学高三月4.在△ABC中，内角A,B.C所对的边分别是a,b,c,已知 考)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,e 2 csin B=(2a-c)tanC,角C的内角平分线与边AB交 已知cosB+cosC2+c=l. 于点E b2+c2 (1)求角B的大小： (1)求角A的大小： (2)记△BCE,△ACE的面积分别为S,S2,在①c=2, (2)若点D在边BC上，AD平分∠BAC,AD=2,且b= 2c,求a. 6=525m=36=万，4>C这两个条件中 任选一个作为已知，求受的值注：如果选择多个 条件分别解答，按第一个解答计分. 练案[30] 第五章 平面向量与复数 第一讲 平面向量的概念及其线性运算 的A组基础巩固月 4.(2018·课标全国I)设D,E,F分别为△ABC的三边 BC,CA,AB的中点，则EB+F元= () 一、单选题 1.如图，D、E、F分别是等边△ABC各边的中点，则下列 A.A元 B动 C.BC n成 结论成立的是 5.(2022·辽宁丹东模拟)设平面向量a,b不共线，若A =a+5b.BC=-2a+8b.Cd=3(a-b).则() A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 R序=2配 6.(2024·南昌质检)已知a,b是不共线的向量，AB=Aa AD成=D示 +b,A记=a+ub(AeR),若A,B,C三点共线，则入， C.EF CD D.2 DE=AC 4的关系一定成立的是 () 2.如图，设P,Q两点把线段AB三等A下Q A.=1 B.A =-1 分，则下列向量表达式错误的是 C.A-4=-1 D.A+u=2 A币=写裙 R0=号丽 7.如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且CD= 2DB,点E在AD上，且AD=3AE,则下面不正确的是 C廊=-子丽 D.A0=BP () 3.(2022·四川成都七中一诊)已知点0，A,B不在同 条直线上，点P为该平面上一点，且20示=2Oi+B」 () A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 A而=花+丽 R成=}而-C C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 c正-+8花 n.正=-8记 -336太n∠D=sin LBCD=in(ACB+子 sinB≠0，cmsA=- 2 2 =sim∠ACBeos-子T+cos LACBsin子T 又：Ae(0,)im4=夏 2 ×(引9哥 1 在△ACD中由正弦定理得： AC AD 练案[29] in∠D"sin ZACD A组基础巩固 由(1)知AC=27. 求得：4D=14. 1.[解析](1)由正弦定理 品用 、2 im∠CD=sin LACB=2T 7 部得如B=得 S4m=号×ACxADxsin∠ACB (2)解法-（余弦定理）：油余弦定理得a2=2+e2-2 becos A. 2 p39=4+e2-4eeos120°， =x27×14×=14,5 整理得c2+2e-35=0. 7 解得e=5或e=-7(舍去） 又：Sc=8c:AGn∠C1=号x2x27x牙-25， 所以c=5. 7 解法二（射影定理）：第1步：根据同角三角函数的基本关系，求 S后n=S6mc+S△m=14v5+23=165. 出C0sB 因为4=120°，所以B,C均为锐角， 高考大题规范解答—一 高考中三角函数综合问题的热点题型 所以osB=v-inB:2列 13 题型1 第2步：利用三角形的射影定理求( 变式训练 由射影定理得，c=4sB+bsA=V3丽x2罗+2× [解析](1)AB=2.AC=4,△ABC的面积为25 13 六s6度=行AB:AC·mLC=了×2X4X如∠BMC= (2)=6-1=5 25 b 六血∠C=婆又∠RC考能角. (3)由正被定理后C产品B可得血C5. 26 又B,C均为锐角，所以sC=V个-mC=3 .4B= 六∠BAc- 26 √-mB.2丽，（若第(2）问采用解法二，则sB可直接 D是BC的中点， 13 市=之（店+心）. 亦=(+心， 所议m(B-G0=血mG-mC:得x爱 26 又AB=2,4C=4,∠B1C=要 2g 13 2.[解析]若选①，则A=T-3B,且A<B<C 六4+16+？.花=3， 由品品n得调品n脚n 2 2 A=3 所以2sin3B=sinB,化筒得2(3sinB-4sim'B)=sinB,得sin2B 即AD=3. (2)AE为△ABC的角平分线， 六LBB=LCAE=子LBC=号。 因为Be(0,m),所以imB= 4 ,因为A<B<C, Sar=Sar+Saa· 所以角B为锐角，所以csB=个-imB= 4 BAE:血号+CAEm号=25， 所以sinC=血2B=2 in BoosB=2×而x6.压 4 4 4 2 题型2 变式训练 所以由正弦花理得：如(.2× 4 sin B= -=6 10 [解析](1)由+-d2_2+c2-d 4 =2be=2.得bc=l. cos A+e-a 若选②.则由△4BC的面积为a=1,6=2,得bC= (2)由正弦定理得a0sB-bc0s4_b acos B+bcos A e sin C= 冬，所以mC=士V个C=±县 =sin Acos B-cos Asin B sin B sin Acos B cos Asin B sin C 当C为锐角时，mC=}由杂弦定理得2=d+公-2dC sin Acos B-cos Asin B-sin sin C =1+4-2x1x2×是-2所以C=2:当C为轮角时sC sin Acos B-cos Asin B-sin B=sin C=sin(A+B). 4,由条弦定理得c=n+-2absC=1+4+2x1×2× 3 得-sinB=2 cos Asin B, —501— 子=8，所以e=22 B组能力提升 综上e=,2或c=2,2. 1.[解析】 由题意知Sa=尽，BD=DC一Se= 2 者，由血B+0=原得血： (DSax=A·D0·sm∠A0c=号.A=1.∠A0c= ,3 由品A品分得血B:4 景号-c2. 不存在 BD=2,易知∠ADB=2 3 3.[解析](1)因为cosA+sinB=5(sinA+cosB). 在△ADB中，由余弦定理可知， 所以cosA-3sinA=3sB-sinB, AB=BD+DA-2DA·DBs∠ADB. 卑(+号）==(B+） 电A=2+P-2x1x2x(-2）=7 AB=7, 又Ae(o,）Be(o,) ÷sB=4B+B0-AD_7+4-155 所以号<4+<君<B+后< 2AB·BD 2万×214 所以4+号=B+若，即B=A+后又A+B+C=m,C= 3 所以A+A+石+号=m,则A=开 tan B=sinB cos B 5 (2)如图所示，延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE. (2)因为AD=BD=2.所以∠DBA=∠A.又∠ABC=∠DBA+ ∠Dc=4+后所以∠DC=君 惑得四边形ABEC为平行四边形，.，AB=CE,AC=BE, A 由余弦定理得BC=AB+AC-2AB·ACCO%∠BAC,AE=AC CD BD +CE-2AC·CEeos∠ACE,两式相加得BC+AE=2(AB+ 在△DBC中，sin ZDBC-sim C AC),BC+AE=2(+)=16. 所以CD=BDin∠DBC= AE =2AD =2...BC =12...BC=23. sin C sin C 在△ABC中，inC=i(4+∠ABC)=im(2A+君） S=0cmLA0C=号A0=1.0=5, ,.sin∠ADC=1,AD⊥BG.b=e, 因为△ABC为锐角三角形， 又b2+c2=8.∴.b=e=2. [0<A<5 2.[解析](1)由正弦定理可得(6-c)(b-c)=a·a-bc,即b2 +c-a =be. 所以0<B=4+号<受，得君<4<号 由余弦定理的支形得cmA.尽+d2-d 26c = 0<0=m-4-A-6<受 又e(0,),所以A=号 所以号<24+看<语，所以分<m(24+看）1， (2)由A+B+G=m得G=2-B,且Be(0,）, mCe(1,2),即CD的取值范国为(1,2). 所以 所以血c=m(得-)=m[-(B+号)】=(B+号） 4.[解析】判断三角形是否存在 (1)因为a-2b-c,所以a+e=2b,又5(simA+sinC)b- 所以血B+血C=血B+m(B+）=子动B+受mB 12asin C. 由正维定理得5a+06=12c,所以品-号 5im(B+石） 所以由余弦定理得0sB=a+c-2ac-及_36 3 因为8(0，号小从而B+若e(后名小 2ae 2ae -1=2× -1号 所以(B+君)（分小商血B+血C(停， (2)假设B为直角，则sinB=1,sinC=cmsA,由题意结合正弦 放血B+mC的取值范国为（受可 定理可得，(inA+imC)inB=2inA·inC. 3.【解析]《1)因为csB+G产+c=l, 2+ 即nA+mA:号n24 e+6心k=8 2ac 上式两边平方得1+s血24：治n24, 化简可得2=+c2-c,由余弦定理可得2=62+c2- 2bccos A. 所以(9sin2A+5)(4in24-5)=0,因为0<in2A≤1， 所以9sin2A+5>0.4sim2A-5<0. 所以2asA=1smsA=宁，且Ae(0),则4=号 与(9sim2A+5)(4im2A-5)=0矛盾， 故不存在△ABC满足B为直角. （2)归：导：由杂弦定理可得m4:公法，持 -502 2c代入，化简可得a=3e, 知识点二 又因为AD平分∠BC,由角平分线定理可得想.即. 三角形平行四边形b+aa+(b+c)相反向量三角形 b 向量相同相反A(2a）Aa+uaAa+Ab 品}儡Gm=m,且=56，所m2,m=识高 知识点三 双基自测 3 1.(1)V(2)×(3)×(4)V 因为∠ADB+∠ADC=T, 2.BA弦+励-A花-Ci=A心-(A花+C=Ad-A=0 4+12-2 3.BO-Ei=Ei-Ei=Dd.故选B. 3 则m∠ADB=-0s∠ADC,结合余弦定理可得 4.BC对于ABD,通过计算向量的模进行判断即可，对于C,通过 2x 判断直线DC,F的位置关系来判断两向量是否共线因为1C市 4+-4 =√3+1下=10,1Dd=√22+2=22，所以1Ci≠1D心， 所以A错误：因为1=√3+下=√0，所以B正确：因为 2x2x23,解得C二3.所以c,利a3c3 3 ∠CDG=∠CFH=45°，所以DC∥HF,所以向量DC,HF共线，所 4.[解析](1)因为2 esin B=(2a-c)tanC, 以C正确：因为1D元+11=√2+2+√3+3=52≠ 10,所以D错误，故选BC 由正弦定理可得2 sin Csin B=(2nA-sinC)加C。 cos C' 5.AD为△ABC的边AB的中点， 2sin Bcos C=2sin A sin C 又由sinA=sin[r-(B+C)]=sin(B+C)=sin Beos C 市=(d+d)=2而-d故选A eos Bsin C. a,b不平行.∴，a+2b≠0，由题意可知存在唯一实数m, 可得2 cos Bsin C=sinC. 使得Aa+b=m(a+2h),即(A-m)·a=(2m-1)b, 图为Ce(0,m),可得simC>0,所以csB=2: 六公0解得A=子 又因为Be(0,),可得B=号 考点突破·互动探究 (2)选①：因为c=2,b=3, 考点1 由余弦定理可得60sB=“+之-公_。2+4-3.1 例1：BCA正确，AB与B是相反向量，长度相等；B错误，当a,b 2ac 4a 21 其中之一为0时，不成立：C错误，当a,b其中之一为0时，不 整理得a2-2a+1=0,解得a=1】 成立：D正确，因为零向量与任何一个向量共线.故选BC 因为CE为∠ACB的平分线，令∠ACE=∠BCE=B. 则S=CEin0=方x1×0Bsn0.=74c,C如0 例2：D日表示a方向的单位向量，因此合=而的充要条件是 a∥b且a与b同向： xCsin 0. 考点2 角度1 所以：人=，数的值为夏 例：A解法一：利用向量加法的平行四边形法则 店，故 3 在□ABCD中，设AB=a,A市=b, 选2：am35,6=7A>G. 由la+bl=la-b1知，iACi=1Di 4 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD,故a⊥b 由5w=nin日=分om号-3，解得c=3. 解法二：la+b=la-bl. .la+bl2=la-bl. 又由b=7,由余弦定理可得=a2+2-2ace%B, a2+b2+2a·b=a2+b-2a·h 即7=心2+e2-2×3×2,可得d2+2=10. .a·b=0..a⊥b. 角度2 又因为A>C,可得a>c,所以(a+e)2=a2+2+2ae=10+2×3 例1：B =16,即a+c=4, d=子d+成，即成- 联立方程仁0餐得a=36al, -2C+3Ci=-2m+3m.故选B 由CE为∠ACB的平分线.令∠ACE=∠BCE=8. 例2：B脉=成+市=硫+子=成 所以号=号C·CEn=子×3 CEsin,0.s=分 -AC· 子（丽+威=成+子 CEsin0=2×7 x CEsin0, (脉+)即成=成+(-成+解得尿 d+号瓜脚㎡=总+是 角度3 第五章平面向量与复数 例：C因为四边形ABCD是平行四边形。 所以A=D元，A=B元， 第一讲平面向量的概念及其线性运算 因为-2成，所以励=-成=-店。 知识梳理·双基自测 连接AF,在△AEF中， 知识梳理 所以E=E+A市=E面-心+A市+B耐 知识点一 1.大小方向长度模2.长度为0任意03,1 =访-市++成=号访-而 4.相反非零共线平行5.相等相同6.相等相反 503